2024屆北京市東城區第五十中學數學高一下期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設，，在，，…，中，正數的個數是（）A．15 B．16 C．18 D．202．已知A(2,4)與B(3,3)關于直線l對稱，則直線l的方程為()．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝03．已知變量x與y負相關，且由觀測數據算得樣本平均數=1.5，=5，則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是（）A． B．C． D．4．設等比數列的公比為,其前項的積為,并且滿足條件：；給出下列論:①；②；③值是中最大值；④使成立的最大自然數等于198.其中正確的結論是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．2 C． D．146．已知向量若與平行，則實數的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．27．在中，，，則的形狀是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定8．若變量，且滿足約束條件，則的最大值為（）A．15 B．12 C．3 D．9．若直線與平行，則實數的值為（）A．或 B． C． D．10．若，,則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知方程的兩根分別為、、且，且__________．12．已知一扇形的半徑為，弧長為，則該扇形的圓心角大小為______.13．若關于的不等式的解集為，則__________14．記為數列的前項和.若，則_______.15．已知，，，的等比中項是1，且，，則的最小值是______.16．若數列滿足，且，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列滿足,,,.(1)證明:數列是等比數列;(2)求數列的通項公式;(3)證明:.18．2019年4月20日，福建省人民政府公布了“3+1+2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化學、生物4門中選擇2門.“2”中記入高考總分的單科成績是由原始分轉化得到的等級分，學科高考原始分在全省的排名越靠前，等級分越高小明同學是2018級的高一學生.已確定了必選地理且不選政治，為確定另選一科，小明收集并整理了化學與生物近10大聯考的成績百分比排名數據x(如x=19的含義是指在該次考試中，成績高于小明的考生占參加該次考試的考生數的19%)繪制莖葉圖如下.(1)分別計算化學、生物兩個學科10次聯考的百分比排名的平均數；中位數；(2)根據已學的統計知識，并結合上面的數據，幫助小明作出選擇.并說明理由.19．設數列的前項和為，若且求若數列滿足，求數列的前項和.20．已知為常數且均不為零，數列的通項公式為并且成等差數列，成等比數列.（1）求的值；（2）設是數列前項的和，求使得不等式成立的最小正整數.21．某制造商月生產了一批乒乓球，隨機抽樣個進行檢查，測得每個球的直徑(單位：mm)，將數據分組如下表分組頻數頻率10205020合計100(1)請在上表中補充完成頻率分布表(結果保留兩位小數)，并在上圖中畫出頻率分布直方圖；(2)統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值(例如區間的中點值是作為代表.據此估計這批乒乓球直徑的平均值(結果保留兩位小數).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據數列的通項公式可判斷出數列的正負，然后分析的正負，再由的正負即可確定出，，…，中正數的個數.【詳解】當時，，當時，，因為，所以，因為，，所以取等號時，所以均為正，又因為，所以均為正，所以正數的個數是：.故選：D.【點睛】本題考查數列與函數綜合應用，著重考查了推理判斷能力，難度較難.對于數列各項和的正負，可通過數列本身的單調性周期性進行判斷，從而為判斷各項和的正負做鋪墊.2、C【解析】試題分析：兩點關于直線對稱，則,點與的中點在直線上，,那么直線的斜率等于，中點坐標為，即中點坐標為，,整理得：,故選C.考點：求直線方程3、A【解析】

先由變量負相關，可排除D；再由回歸直線過樣本中心，即可得出結果.【詳解】因為變量x與y負相關，所以排除D；又回歸直線過樣本中心，A選項，過點，所以A正確；B選項，不過點，所以B不正確；C選項，不過點，所以C不正確；故選A【點睛】本題主要考查線性回歸直線，熟記回歸直線的意義即可，屬于?？碱}型.4、B【解析】

利用等比數列的性質及等比數列的通項公式判斷①正確；利用等比數列的性質及不等式的性質判斷②錯誤；利用等比數列的性質判斷③錯誤；利用等比數列的性質判斷④正確，，從而得出結論.【詳解】解：由可得又即由，即,結合，所以，，即，，即，即①正確；又，所以，即，即②錯誤；因為，即值是中最大值，即③錯誤；由，即，即，又，即，即④正確，綜上可得正確的結論是①④，故選：B.【點睛】本題考查了等比數列的性質及不等式的性質，重點考查了運算能力，屬中檔題.5、A【解析】

首先求出、，再根據計算可得；【詳解】解：，，又，且與的夾角為，所以.故選：A【點睛】本題考查平面向量的數量積以及運算律，屬于基礎題.6、D【解析】

因為，所以由于與平行，得，解得.7、C【解析】

利用余弦定理求出，再利用余弦定理求得的值，即可判斷三角形的形狀.【詳解】在中，，解得：；∵，∵，，∴是直角三角形.故選：C.【點睛】本題考查余弦定理的應用、三角形形狀的判定，考查邏輯推理能力和運算求解能力.8、A【解析】

作出可行域，采用平移直線法判斷何處取到最大值.【詳解】畫出可行域如圖陰影部分，由得，目標函數圖象可看作一條動直線，由圖形可得當動直線過點時，．故選A．【點睛】本題考查線性規劃中線性目標函數最值的計算，難度較易.求解線性目標函數的最值時，采用平移直線法是最常規的.9、B【解析】

利用直線與直線平行的性質求解．【詳解】∵直線與平行，解得a＝2或a＝﹣2．∵當a＝﹣2時，兩直線重合，∴a＝2．故選B．【點睛】本題考查滿足條件的實數值的求法，是基礎題，解題時要注意兩直線的位置關系的合理運用．10、D【解析】

由于，，，，利用“平方關系”可得，，變形即可得出．【詳解】∵，，∴，∴．∵，∴，∵，∴．∴．故選D.【點睛】本題考查了兩角和的余弦公式、三角函數同角基本關系式、拆分角等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由韋達定理和兩角和的正切公式可得，進一步縮小角的范圍可得，進而可求．【詳解】方程兩根、，，，，又，，，，，，，結合，，故答案為．【點睛】本題考查兩角和與差的正切函數，涉及韋達定理，屬中檔題．12、【解析】

利用扇形的弧長除以半徑可得出該扇形圓心角的弧度數.【詳解】由扇形的弧長、半徑以及圓心角之間的關系可知，該扇形的圓心角大小為.故答案為：.【點睛】本題考查扇形圓心角的計算，解題時要熟悉扇形的弧長、半徑以及圓心角之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.13、1【解析】

根據二次不等式和二次方程的關系，得到是方程的兩根，由根與系數的關系得到的值.【詳解】因為關于的不等式的解集為所以是方程的兩根，，由根與系數的關系得，解得【點睛】本題考查一元二次不等式和一元二次方程之間的關系，根與系數之間的關系，屬于簡單題.14、【解析】

由和的關系，結合等比數列的定義，即可得出通項公式.【詳解】當時，當時，即則數列是首項為，公比為的等比數列故答案為：【點睛】本題主要考查了已知求，屬于基礎題.15、4【解析】

，的等比中項是1，再用均值不等式得到答案.【詳解】，的等比中項是1當時等號成立.故答案為4【點睛】本題考查了等比中項，均值不等式，意在考查學生的綜合應用能力.16、【解析】

對已知等式左右取倒數可整理得到，進而得到為等差數列；利用等差數列通項公式可求得，進而得到的通項公式，從而求得結果.【詳解】，即數列是以為首項，為公差的等差數列故答案為：【點睛】本題考查利用遞推公式求解數列通項公式的問題，關鍵是明確對于形式的遞推關系式，采用倒數法來進行推導.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.【解析】

（1）由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；（3）當時，滿足題意；若n是偶數，由，可得；當n是奇數,且時，由，可得，綜上，即可得到本題答案.【詳解】(1)因為，所以，因為，所以，所以數列是等比數列；(2)因為，所以，所以，又因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以；(3)①當時，；②若n是偶數，則，所以當n是偶數時，；③當n是奇數，且時，；綜上所述，當時，.【點睛】本題主要考查利用構造法證明等比數列并求通項公式，以及數列與不等式的綜合問題.18、（1）化學平均數30.2；中位數26；生物平均數29.6；中位數31；（2）見解析【解析】

（1）直接利用平均數的公式和中位數的定義計算化學、生物兩個學科10次聯考的百分比排名的平均數和中位數；（2）從平均數或中位數的角度出發幫助小明選擇.【詳解】解：（1）化學學科全市百分比排名的平均數，化學學科聯考百分比排名的中位數為.生物學科聯考百分比排名的平均數，生物學科聯考百分比排名的中位數為.（2）從平均數來看，小明的生物學科比化學學科百分比排名靠前，應選生物.或者:從中位數來看，小明的化學學科比生物學科百分比排名靠前，應選化學.【點睛】本題主要考查平均數的計算和中位數的計算，考查平均數和中位數的意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由時，，再驗證適合，于是得出，再利用等差數列的求和公式可求出；（2）求出數列的通項公式，判斷出數列為等比數列，再利用等比數列的求和公式求出數列的前項和．【詳解】（1）當且時，；也適合上式，所以，，則數列為等差數列，因此，；（2），且，所以，數列是等比數列，且公比為，所以．【點睛】本題考查數列的前項和與數列通項的關系，考查等差數列與等比數列的求和公式，考查計算能力，屬于中等題．20、(1);(2)【解析】

（1）由，可得，，，．根據、、成等差數列，、、成等比數列．可得，，代入解出即可得出．（2）由（1）可得：，可得，分別利用等差數列與等比數列的求和公式即可得出．【詳解】（1），，，，．，，成等差數列，，，成等比數列．，，，，，．聯立解得：，．（2）由（1）可得：，，由，解得．．【點睛】本題考查等差數列與等比數列的通項公式與求和公式及其性質、分類討論方法、不等式的解法，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．21、(1)見解析；(2)40.00(mm