拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

（45分鐘100分）

一、選擇題（每小題6分，共30分）

1.（2013?濟(jì)寧高二檢測(cè)）設(shè)拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在此拋物線上且橫坐

標(biāo)為5,則|PF|等于（）

A.4B.6C.8D.10

2.（2013?宜春高二檢測(cè)）拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,其上一點(diǎn)P（m,1）到

焦點(diǎn)的距離為5,則拋物線方程為（）

A.x2=8yB.x2=-8y

C.x=16yD.x=-16y

3.（2013?四川高考）拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到直線x-百y=0的距離是（）

A.2y/3B.2C.WD.1

4.（2013?冀州高二檢測(cè)）設(shè)F為拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上

三點(diǎn)，當(dāng)證+而+E=O,且|前|+1FB+1FC|=3時(shí),此拋物線的方程為（）

A.y2=2xB.y2-4x

C.y2=6xD.y2=8x

22

5.點(diǎn)A是拋物線Ci:y2=2px（p>0）與雙曲線C2:^=1（a>0,b>0）的一條漸近線的交

點(diǎn),若點(diǎn)A到拋物線3的準(zhǔn)線的距離為p,則雙曲線C2的離心率等于（）

A.V2B.V3C.、+D.V6

二、填空題（每小題8分，共24分）

6.（2013?安陽高二檢測(cè)）經(jīng)過拋物線y=42的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（xi,yj,

4.

B區(qū),y2）兩點(diǎn),若yi+y2=5,則線段AB的長(zhǎng)等于

7.已知點(diǎn)(-2,3)與拋物線y=2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離是5,則p=.

8.(2013?天水高二檢測(cè))AB是過C:y=4x焦點(diǎn)的弦，且水B|=10,則AB中點(diǎn)的橫

坐標(biāo)是.

三、解答題(9題,10題14分,11題18分)

9.若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上,F為焦點(diǎn),M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),A為拋物

線上一點(diǎn)，且IAMIKT7,|AF|=3,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

10.直角AAOB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y=2px±,其中直角頂點(diǎn)。為原點(diǎn),0A所在

直線的方程為y=V3x,AAOB的面積為6、3求該拋物線的方程.

1L(能力挑戰(zhàn)題)如圖，已知直線Z:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點(diǎn),試在拋物

線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P,使4PAB的面積最大,并求出這個(gè)最大面積.

答案解析

1.【解析】選C.y2=l2x中，p=6,由焦半徑公式得|PF|=XP+}5+吼8.

22

2.【解題指南】運(yùn)用焦半徑公式.

【解析】選C.由條件可知，拋物線開口向上，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),由

1+工5.

2

.?.p=8,故拋物線方程為x2=16y.

3.【解析】選D.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得拋物線y2=8x的焦點(diǎn)(2,0)到直

線x-\Wy=0的距離空1.

4.【解題指南】利用向量的性質(zhì)及焦半徑公式求解.

［解析］選A.設(shè)A(xbyj,B(x2,y2),C(x3,y3),

FA+FB+FC=0,

(Xi--)+(x--)+(x--)=0,

22223

3

即x1+x?+x3=-p.

5l|FA|+|FB|+|FC|=3,

(Xi+-)+(x+-)+(x+-)=3,

22223

即3P=3,

p=1,故拋物線方彳呈為y2=2x.

22

5.【解析】選C.求拋物線G：y2=2px(p>0)與雙曲線。2：士-匚1(a>0,b>0)的一條

a2b2

漸近線的交點(diǎn):

2

y2=2px,2pa

'所以￡,c2=5a2,e="5選C.

b解得2pa一：：?=

y=-ax,y=h,

22

【變式備選】(2013?南安高二檢測(cè))雙曲線三-？1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)是拋物線

a2b2

y2=8x的焦點(diǎn)，兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)為P,且|PF|=5,則該雙曲線的離心率為

()

B.V5C.2

【解析】選C.拋物線的準(zhǔn)線為x=-2,設(shè)P(x°,y。),

則x0+2=5,

x0=3,y、=24.

但一處一1f2-1

.'a?b2—匕解得a「加

<a*24-b2=4,(b=3.

J離心率e=J2.

a

6.【解題指南】利用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式，即w+yz+p.

【解析】拋物線y=\2,即x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=-1,

4.

|AB|=|AF|+1BF|=yi+y2+2=5+2=7.

答案:7

7.【解析】y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為區(qū)0).由題意得

2

[6+2)2+9=5,解得p=4或p=72(舍去).

答案：4

【誤區(qū)警示】容易把點(diǎn)(-2,3)看成拋物線上的點(diǎn)，使用焦半徑公式，而導(dǎo)致出錯(cuò).

8.【解題指南】利用焦點(diǎn)弦公式.

[解析】設(shè)A(xbyO,B(x2,y2),則AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)Xo=*上.

2

又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=7,且|AB|=10,

??Xi+x2+p=Xi+Xz+2=10.

.?.Xi+X2=8,.?.X—=4.

2

答案：4

9.【解析】設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2

x=2py(p>0),設(shè)A(x0,y0),M(0,.

2

V|AF|=3,.-.y0+M,

2

2

V|AM|=V'17,.,.X2+(yo+5=17,

2

/.xn=8,代入方程x行2py()得，

8=2p(3-E),解得p=2或p=4.

2

所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y或x2=8y.

10.【解題指南】運(yùn)用解方程組分別求出A,B坐標(biāo)，從而求出|0A|和|0B|,利用面

積公式求出p即可.

［解析】因?yàn)?A_L0B,且0A所在直線的方程為y=V3x,所以0B所在直線的方程

為y=--x.

由,2=歲得A點(diǎn)坐標(biāo)(2p旭)

(y=V3x,3a

(y2=2px,

由1vl得B點(diǎn)坐標(biāo)(6p,-2V3p).

(y=-言，

|0A|=||p|,|0B|=4V3|p|,

2=

SAOAB=——p6\'3,所以p二士

即該拋物線的方程為y2=3x或y2=-3x.

【拓展提升】拋物線中恒過定點(diǎn)問題

過拋物線y2=±2px(p>0)的頂點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線0A和0B,則直線AB恒

過定點(diǎn)(±2p,0).

【舉一反三】若本題中0A的直線方程為y=kx,uAA0B的面積為6\"”去掉,證

明AB恒過定點(diǎn)(2p,0).

【證明】由『逮px得A的坐標(biāo)為砥，當(dāng))，

V0A±0B,.-.0B的直線方程為y=--x.

k

r_1

由、'=一%x，得B的坐標(biāo)為(2pk2,-2pk).

<y2=2px,

?I,_^+2pk_(i+k2)k_k

,,“B-痂k(]+k2)(l_k2)一G

.,.AB的方程為y+2pk=^(x-2pk2),

整理得k(x-2p)+(k2-1)y=0.

故直線恒過定點(diǎn)(2p,0).

11.【解題指南】先求出弦長(zhǎng)|AB|,再求出點(diǎn)P到直線AB的距離，從而可表示出

△PAB的面積，再求最大值即可.

【解析】明二”喉:端二，

AA(4,4),B(1,-2),

A|AB|=3V5,設(shè)P(x。,y0)為拋物線AOB這段曲線上一點(diǎn)，d為點(diǎn)P到直線AB的距

離，則有

d=四充生者近y「4|

v5V52

2

V-2<yo<4,(y0-1)-9<0.

???d=——[9—(