2024屆吉林省高中數(shù)學(xué)高一下期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則滿(mǎn)足的概率為()A． B． C． D．2．以圓形摩天輪的軸心為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，在摩天輪所在的平面建立直角坐標(biāo)系.設(shè)摩天輪的半徑為米，把摩天輪上的一個(gè)吊籃看作一個(gè)點(diǎn)，起始時(shí)點(diǎn)在的終邊上，繞按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩傩D(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其角速度為（弧度/分），經(jīng)過(guò)分鐘后，到達(dá)，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象為（）A． B．C． D．3．干支紀(jì)年法是中國(guó)歷法上自古以來(lái)就一直使用的紀(jì)年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對(duì)，周而復(fù)始，循環(huán)記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數(shù)學(xué)王子高斯出生的1777年是干支紀(jì)年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年4．記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，則的取值范圍為()A． B． C． D．5．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（）A． B． C． D．不確定6．甲、乙、丙三人隨意坐下，乙不坐中間的概率為（）A． B． C． D．7．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2+a4=6,則S5等于()A．10 B．12 C．15 D．308．某幾何體的三視圖如圖所示(實(shí)線(xiàn)部分)，若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．9．已知點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，則的值為（）A． B． C． D．10．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等.如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期是______．12．某地甲乙丙三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考，三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為200、300、400。現(xiàn)為了調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績(jī)，采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取一個(gè)樣本，已知甲學(xué)校中抽取了40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，那么在丙學(xué)校中抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)藬?shù)為_(kāi)________。13．已知數(shù)列滿(mǎn)足則的最小值為_(kāi)_________.14．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線(xiàn)，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________．15．設(shè)為，的反函數(shù)，則的值域?yàn)開(kāi)_____.16．方程在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)是________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）當(dāng)時(shí)，判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.18．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角；（2）若，，求的值.19．如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊所在的平面與底面垂直，且，設(shè)（1）求證：且；（2）求二面角的余弦值.20．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）求角C；（2）若，，求的面積.21．已知函數(shù)(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)增區(qū)間；(3)若求函數(shù)的值域．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：因?yàn)椋趨^(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，所以區(qū)域的面積為4，其中滿(mǎn)足的平面區(qū)域面積為，故滿(mǎn)足的概率為，選B．考點(diǎn)：本題主要考查幾何概型概率計(jì)算．點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，幾何概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵是認(rèn)清兩個(gè)“幾何度量”．2、B【解析】

根據(jù)題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此通過(guò)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷所給的圖象是否滿(mǎn)足條件，從而得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可得，振幅，角速度，初相，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為的最大值，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用以及余弦型函數(shù)圖象的特征，其中，求出函數(shù)模型的解析式是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.3、C【解析】

天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行推理，即可得到結(jié)果．【詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用∠APC不是平角，可得∠APC為鈍角等價(jià)于cos∠APC＜0，即

，從而可求λ的取值范圍．【詳解】

由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1）

∴

=（1，1，-1），∴

=（λ，λ，-λ），

∴

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）

顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價(jià)于cos∠APC＜0

∴

∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

＜λ＜1

因此，λ的取值范圍是（

，1），故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用空間向量求直線(xiàn)間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．5、C【解析】

令，由求出的值，再令時(shí)，由得出，兩式相減可推出數(shù)列是等比數(shù)列，求出該數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列求和公式可求出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，由得出，兩式相減得，可得.所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用前項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了等比數(shù)列求和，在遞推公式中涉及與時(shí)，可利用公式求解出，也可以轉(zhuǎn)化為來(lái)求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.6、A【解析】甲、乙、丙三人隨意坐下有種結(jié)果，乙坐中間則有，乙不坐中間有種情況，概率為，故選A.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.7、C【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故選C.8、A【解析】

由三視圖得出原幾何體是由半個(gè)圓錐與半個(gè)圓柱組成的組合體，并且由三視圖得出圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高，再由圓柱和圓錐的體積公式得解.【詳解】由三視圖可知，幾何體是由半個(gè)圓錐與半個(gè)圓柱組成的組合體，其中圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高所以圓柱的體積，圓錐的體積，所以組合體的體積．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的三視圖和空間幾何體圓柱和圓錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列式求解參數(shù)即可.【詳解】由題,,因?yàn)?故.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到線(xiàn)的距離公式求參數(shù)的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，不滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，解題的關(guān)鍵是讀懂流程圖各個(gè)變量的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)解析式可得，根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解．【詳解】．由周期公式可得：．故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基本知識(shí)的考查．12、80【解析】

由題意，求得甲乙丙三所學(xué)校抽樣比為，再根據(jù)甲學(xué)校中抽取了40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，即可求解丙學(xué)校應(yīng)抽取的人數(shù)，得到答案.【詳解】由題意知，甲乙丙三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為200、300、400，所以甲乙丙三所學(xué)校抽樣比為，又由甲學(xué)校中抽取了40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，所以在丙學(xué)校應(yīng)抽取人.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的概念，以及計(jì)算的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導(dǎo)出n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且對(duì)n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+1．從而設(shè)f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．又因?yàn)椋缘淖钚≈禐楣蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．14、【解析】

分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線(xiàn)長(zhǎng),再根據(jù)母線(xiàn)與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)槟妇€(xiàn)，所成角的余弦值為，所以母線(xiàn)，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為所以，因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為15、【解析】

求出原函數(shù)的值域可得出其反函數(shù)的定義域，取交集可得出函數(shù)的定義域，再由函數(shù)的單調(diào)性可求出該函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋裕瘮?shù)的定義域?yàn)?函數(shù)的定義域?yàn)椋捎诤瘮?shù)與函數(shù)單調(diào)性相同，可知，函數(shù)在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域的求解，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，明確兩個(gè)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.16、4.【解析】分析：通過(guò)二倍角公式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而推斷或，進(jìn)而求得結(jié)果.詳解：，所以或，因?yàn)椋曰蚧蚧颍式獾膫€(gè)數(shù)是4.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦的倍角公式，方程的求解問(wèn)題，注意一定不要兩邊除以，最后求得結(jié)果.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性定義來(lái)證明出函數(shù)的奇偶性；（2）將函數(shù)的解析式化為，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明出函數(shù)在上的單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為上的奇函數(shù).證明如下：，其定義域?yàn)椋瑒t，故函數(shù)為奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明如下：，任取，則，又由，則，則有，即.因此，函數(shù)為上的減函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定與證明，在利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性時(shí)，要熟悉定義法證明函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的基本步驟，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）（2），【解析】

（1）由正弦定理可得，求得，即可解得角；（2）由余弦定理，列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意知，由正弦定理可得，因?yàn)椋瑒t，所以，即，又由，所以.（2）由（1）知和，，由余弦定理，即，即，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦、余弦定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的掛念，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）證明見(jiàn)解析；（1）【解析】

（1）由平面∥平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得，，再由，得到.由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而有.（2）過(guò)作于，根據(jù)題意有平面，過(guò)D作于H，連結(jié)AH，由三垂線(xiàn)定理知，所以是二面角的平面角.然后在在中，在中，利用三角形相似求得再在求解.【詳解】（1）證明：∵平面∥平面，∴，，∵，，又∵平面平面，平面平面，∴平面，平面，∴.（2）過(guò)作于，∵為正三角形，∴D為中點(diǎn)，∵平面∴又∵，∴平面.在等邊三角形中，，過(guò)D作于H，連結(jié)AH，由三垂線(xiàn)定理知，∴是二面角的平面角.在中，～，，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體中面面平行的性質(zhì)定理和面面垂直的性質(zhì)定理及二角面角問(wèn)題，還考查了空間想象，抽象概括，推理論證的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，然后得到的值，從而得到；（2）根據(jù)余弦定理，得到關(guān)于的方程，從而得到，再根據(jù)面積公式，得到答案.【詳解】（1）在中，根據(jù)正弦定理，由，可