廣東省汕頭市潮南實驗學校2024年數學高一下期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知是定義在上不恒為的函數，且對任意，有成立，，令，則有()A．為等差數列 B．為等比數列C．為等差數列 D．為等比數列2．如圖，兩點為山腳下兩處水平地面上的觀測點，在兩處觀察點觀察山頂點的仰角分別為，若，，且觀察點之間的距離比山的高度多100米，則山的高度為（）A．100米 B．110米 C．120米 D．130米3．已知，則的值等于()A．2 B． C． D．4．已知角的終邊經過點（3，-4），則的值為（）A． B． C． D．5．在△中，已知，，，則△的面積等于()A．6 B．12 C． D．6．過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()A． B．C．或 D．或7．已知三角形為等邊三角形，，設點滿足，若，則（）A． B． C． D．8．已知分別是的內角的的對邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形9．在ΔABC中,若,則=（）A．6 B．4 C．-6 D．-410．已知向量，則向量的夾角為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個社會調查機構就某地居民收入調查了10000人，并根據所得數據畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，現要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進一步調查，則月收入在（元）內的應抽出___人.12．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點，,則異面直線與所成的角為____.13．若直線與曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，當的面積取最大值時，實數m的取值____．14．在中，內角，，的對邊分別為，，.若，，成等比數列，且，則________.15．設a＞0，角α的終邊經過點P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于．16．若函數的圖像與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值范圍是______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某企業用180萬元購買一套新設備，該套設備預計平均每年能給企業帶來100萬元的收入，為了維護設備的正常運行，第一年需要各種維護費用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護費用要增加10萬元（1）求該設備給企業帶來的總利潤（萬元）與使用年數的函數關系；（2）試計算這套設備使用多少年，可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元？18．記為等差數列的前項和，已知，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．19．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c；已知．（1）求角B的大小；（2）若外接圓的半徑為2，求面積的最大值．20．2016年崇明區政府投資8千萬元啟動休閑體育新鄉村旅游項目．規劃從2017年起，在今后的若干年內，每年繼續投資2千萬元用于此項目.2016年該項目的凈收入為5百萬元，并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎上增長．記2016年為第1年，為第1年至此后第年的累計利潤（注：含第年，累計利潤=累計凈收入﹣累計投入，單位：千萬元），且當為正值時，認為該項目贏利．（1）試求的表達式；（2）根據預測，該項目將從哪一年開始并持續贏利？請說明理由．21．如圖，已知點和點，，且，其中為坐標原點.（1）若，設點為線段上的動點，求的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及對應的的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】令,得到得到，.,說明為等差數列，故C正確，根據選項，排除A，D.∵.顯然既不是等差也不是等比數列．故選C.2、A【解析】

設山的高度為，求出AB=2x，根據，求出山的高度.【詳解】設山的高度為，如圖，由，有.在中，，有，又由觀察點之間的距離比山的高度多100，有.故山的高度為100.故選A【點睛】本題主要考查解三角形的實際應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、D【解析】

根據分段函數的定義域以及函數解析式的關系，代值即可.【詳解】故選：D【點睛】本題考查了分段函數的求值問題，考查了學生綜合分析，數學運算能力，屬于基礎題.4、A【解析】

先求出的值，即得解.【詳解】由題得，，所以.故選A【點睛】本題主要考查三角函數的坐標定義，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、C【解析】

通過A角的面積公式,代入數據易得面積．【詳解】故選C【點睛】此題考查三角形的面積公式，代入數據即可，屬于簡單題目．6、C【解析】

設過點A(4，1)的直線方程為y-1=k(x-4)(k≠0),令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,∴所求直線方程為x+y-5=0或x-4y=0.故選C.7、D【解析】

用三角形的三邊表示出，再根據已知的邊的關系可得到關于的方程，解方程即得。【詳解】由題得，，，整理得，化簡得，解得.故選：D【點睛】本題考查平面向量的線性運算及平面向量基本定理，是常考題型。8、A【解析】

由已知結合正弦定理可得利用三角形的內角和及誘導公式可得，整理可得從而有結合三角形的性質可求【詳解】解：是的一個內角，，由正弦定理可得，又，，即為鈍角，故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的內角和及誘導公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎試題．9、C【解析】

向量的點乘，【詳解】,選C.【點睛】向量的點乘，需要注意后面乘的是兩向量的夾角的余弦值，本題如果直接計算的話，的夾角為∠BAC的補角10、C【解析】試題分析：，設向量的夾角為，考點：向量夾角及向量的坐標運算點評：設夾角為，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、25【解析】由直方圖可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分層抽樣應抽出人．故答案為25.12、【解析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點找中點的方法，找出邊的中點，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【詳解】取的中點E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設等邊三角形邊長為，易算得∴在∴故答案為【點睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應用典型的見中點找中點的方法，注意求角的三個環節，一畫，二證，三求．13、【解析】

點O到的距離，將的面積用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點，半徑為1的圓的上半圓，若直線與曲線相交于A，B兩點，則直線的斜率，則點O到的距離，又，當且僅當，即時，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案為．【點睛】本題考查了點到直線的距離，三角形面積，均值不等式，意在考查學生的計算能力.14、【解析】

A,B,C是三角形內角，那么，代入等式中，進行化簡可得角A,C的關系，再由，，成等比數列，根據正弦定理，將邊的關系轉化為角的關系，兩式相減可得關于的方程，解方程即得．【詳解】因為，所以，所以.因為，，成等比數列，所以，所以，則，整理得，解得.【點睛】本題考查正弦定理和等比數列運用，有一定的綜合性．15、﹣【解析】試題分析:利用任意角三角函數定義求解．解：∵a＞0，角α的終邊經過點P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案為﹣．考點：任意角的三角函數的定義．16、【解析】

將函數寫成分段函數的形式，再畫出函數的圖象，則直線與函數圖象有四個交點，從而得到的取值范圍.【詳解】因為因為所以，所以圖象關于對稱，其圖象如圖所示：因為直線與函數圖象有四個交點，所以.故答案為：.【點睛】本題考查利用三角函數圖象研究與直線交點個數，考查數形結合思想的應用，作圖時發現圖象關于對稱，是快速畫出圖象的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）這套設備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元【解析】

（1）運用等差數列前項和公式可以求出年的維護費，這樣可以由題意可以求出該設備給企業帶來的總利潤（萬元）與使用年數的函數關系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤最大值.【詳解】解：（1）由題意知，年總收入為萬元年維護總費用為萬元.∴總利潤，即，（2）年平均利潤為∵，∴當且僅當，即時取“”∴答：這套設備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元.【點睛】本題考查了應用數學知識解決生活實際問題的能力，考查了基本不等式的應用，考查了數學建模能力，考查了數學運算能力.18、（1），（2），最小值為?1．【解析】

（Ⅰ）根據等差數列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通項公式；（Ⅱ）根據等差數列的求和公式得Sn=n2-8n，根據二次函數的性質，可得Sn的最小值.【詳解】（I）設的公差為d，由題意得．由得d=2．所以的通項公式為．（II）由（I）得．所以當n=4時，取得最小值，最小值為?1．【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查了等差數列的前n項的和公式，考查了等差數列前n項和的最值問題；求等差數列前n項和的最值有兩種方法：①函數法，②鄰項變號法.19、（1）（2）【解析】

(1)利用正弦定理與余弦的差角公式運算求解即可.(2)根據正弦定理可得,再利用余弦定理與基本不等式求得再代入面積求最大值即可.【詳解】解：（1）在中,由正弦定理得,得,又∴.即,∴,又,∴．（2）結合（1）由正弦定理可知,由余弦定理可知,所以當且僅當時等號成立,所以,所以面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了正余弦定理與三角形面積公式在解三角形中的運用.同時考查了根據基本不等式求解三角形面積的最值問題.屬于中檔題.20、(1)；（2）.【解析】試題分析：（1）由題意知，第一年至此后第年的累計投入為（千萬元），第年至此后第年的累計凈收入為，利用等比數列數列的求和公式可得；（2）由，利用指數函數的單調性即可得出.試題解析：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累計凈收入為+×+×+…+×=（千萬元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千萬元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，∴當n≤3時，f（n+1）﹣f（n）＜1，故當n≤2時，f（n）遞減；當n≥2時，f（n+1）﹣f（n）＞1，故當n≥2時，f（n）遞增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴該項目將從第8年開始并持續贏利．答：該項目將從2123年開始并持續贏利；方法二：設f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），則f′（x）=，令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．從而當x∈[1，2）時，f'（x）＜1，f（x）遞減；當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞1，f（x）遞增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴