北京市首師附2025屆高一下數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是的概率是（）A． B． C． D．2．函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同的解，記為，則的取值范圍是()A． B． C． D．3．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.若，則（）A．的最大值為 B．的最小值為 C．的最大值為 D．的最小值為4．如圖，在三角形中，點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，則()A． B．C． D．5．在ABC中，．則的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）6．如圖，已知矩形中，，，該矩形所在的平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，記，，，則（）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．對(duì)任意的點(diǎn)，有 D．對(duì)任意的點(diǎn)，有7．已知平面上四個(gè)互異的點(diǎn)、、、滿足：，則的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形8．下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的最小值為 B．函數(shù)的最小值為C．函數(shù)的最小值為 D．函數(shù)的最小值為9．已知樣本數(shù)據(jù)為3，1，3，2，3，2，則這個(gè)樣本的中位數(shù)與眾數(shù)分別為（）A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，210．已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則A． B． C． D．11二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．=__________.12．已知向量，，則______.13．已知為第二象限角，且，則_________.14．已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．15．在上，滿足的的取值范圍是______.16．若、分別是方程的兩個(gè)根，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)同時(shí)滿足條件：①點(diǎn)在曲線上；②三點(diǎn)共線，若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．已知.（1）若不等式的解集為，求的值；（2）解不等式.19．在中，分別為角所對(duì)應(yīng)的邊，已知，，求的長(zhǎng)度.20．解方程:.21．已知不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)在直線上.（1）求直線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線，若直線，與軸圍成的三角形的面積為2，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

分別計(jì)算出所有可能的結(jié)果和點(diǎn)數(shù)之和為的所有結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【詳解】同時(shí)擲兩個(gè)骰子，共有種結(jié)果其中點(diǎn)數(shù)之和是的共有：，共種結(jié)果點(diǎn)數(shù)之和是的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型問(wèn)題中的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確計(jì)算出總體基本事件個(gè)數(shù)和符合題意的基本事件個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由方程恰有三個(gè)不同的解，作出的圖象，確定，的取值范圍，得到的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)

作出函數(shù)的圖象如圖：由

則當(dāng)

時(shí)

,,

即函數(shù)的一條對(duì)稱軸為

，要使方程恰有三個(gè)不同的解，則

,

此時(shí)

,

關(guān)于

對(duì)稱，則

當(dāng)

，即

，則

則

的取值范圍是，選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程與函數(shù)，數(shù)學(xué)結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)結(jié)合也是數(shù)學(xué)中比較重要的一種思想方法．3、C【解析】

由已知條件推導(dǎo)出（n2﹣n）d＜2n2d，從而得到d＞0，所以a1＜0，a8＞0，由此求出數(shù)列{Sn}中最小值是S1．【詳解】∵（n+1）Sn＜nSn+1，∴Sn＜nSn+1﹣nSn＝nan+1即na1na1+n2d，整理得（n2﹣n）d＜2n2d∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0∴d＞0∵1＜0∴a1＜0，a8＞0數(shù)列的前1項(xiàng)為負(fù)，故數(shù)列{Sn}中最小值是S1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中前n項(xiàng)和最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．4、A【解析】

利用向量的三角形法則以及線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn),所以,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加?減法以及數(shù)乘運(yùn)算,需要學(xué)生熟練掌握三角形法則和共線定理.5、C【解析】

試題分析：由于，根據(jù)正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.考點(diǎn)：三角形中正余弦定理的運(yùn)用.6、C【解析】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸、軸建立坐標(biāo)系，則，，且在矩形內(nèi)，可設(shè)，，，，，，錯(cuò)誤，正確，，，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，故選C.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是幾何形式，，二是坐標(biāo)形式，（求最值問(wèn)題與求范圍問(wèn)題往往運(yùn)用坐標(biāo)形式），主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.7、C【解析】

由向量的加法法則和減法法則化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，再由向量的垂直和等腰三角形的三線合一性質(zhì)得解.【詳解】設(shè)邊的中點(diǎn)，則所以在中，垂直于的中線，所以是等腰三角形.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

A．時(shí)無(wú)最小值；

B．令，由，可得，即，令，利用單調(diào)性研究其最值；

C．令，令，利用單調(diào)性研究其最值；

D．當(dāng)時(shí)，，無(wú)最小值．【詳解】解：A．時(shí)無(wú)最小值，故A錯(cuò)誤；

B．令，由，可得，即，令，則其在上單調(diào)遞減，故，故B錯(cuò)誤；C．令，令，則其在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故，故C正確；

D．當(dāng)時(shí)，，無(wú)最小值，故D不正確．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9、C【解析】

將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列即可求得中位數(shù)，再找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù).【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位數(shù)為，眾數(shù)為3.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由題意易得數(shù)列的公比代入求和公式計(jì)算可得．【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，，則，解得，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的公比是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得到，故答案為2.12、【解析】

求出，然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ)．本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算．13、.【解析】

先由求出的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出、即可.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵遥裕獾茫儆杉盀榈诙笙藿强傻谩ⅲ藭r(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角差的正切公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬常規(guī)考題.14、【解析】

求出的垂直平分線方程，兩垂直平分線交點(diǎn)為外接圓圓心．再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算．【詳解】由點(diǎn)B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①由點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為②聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為，其到原點(diǎn)的距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓圓心坐標(biāo)，外心是三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)，到三頂點(diǎn)距離相等．15、【解析】

由，結(jié)合三角函數(shù)線，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，因?yàn)椋詽M足的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及三角函數(shù)線的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用韋達(dá)定理可求出和的值，然后利用兩角和的正切公式可計(jì)算出的值.【詳解】由韋達(dá)定理得，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和的正切公式求值，同時(shí)也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）存在點(diǎn)，直線方程為.【解析】

（1）設(shè)，由題意根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)直線的方程為：.設(shè)，，根據(jù)題意可得，求出，再將直線與圓聯(lián)立求出，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示以及點(diǎn)在圓上，求出即可求解.【詳解】（1）設(shè)，由得，整理得：，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)直線的方程為：.設(shè)，.因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，所以解得即.由，得，即.此時(shí)，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線.若在曲線上，則，整理得，即，所以，即.綜上所述，存在點(diǎn)，滿足條件①②，此時(shí)直線方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查坐標(biāo)法、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、整體運(yùn)算思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想等.18、（1）；（2）時(shí)，解集為，時(shí)，解集為，時(shí)解集為．【解析】

（1）由一元二次不等式的解集一一元二次方程的解之間的聯(lián)系求解；（2）按和的大小分類討論．【詳解】（1）由題意的解集為，則方程的解為1和4，∴，解得；（2）不等式為，時(shí)，，此時(shí)不等式解集為，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，。綜上，原不等式的解集：時(shí)，解集為，時(shí)，解集為，時(shí)解集為．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，掌握三個(gè)二次的關(guān)系是解題關(guān)鍵，解題時(shí)注意對(duì)參數(shù)分類討論．19、或【解析】

由已知利用三角形的面積公式可得，可得或，然后分類討論利用余弦定理可求的值.【詳解】由題意得，即，或，又，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，故答案：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理等知識(shí)解三角形，屬于基礎(chǔ)題.20、或或【解析】

由倍角公式可將題目中的方程變形解出來(lái)【詳解】因?yàn)樗曰蛴傻糜傻盟运曰蛩曰蚓C上：或或【點(diǎn)睛】，我們?cè)诮忸}的時(shí)候要靈活選擇.21、（1）；（2）或.【解析】

（1）根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等列出直線方程，然后代入點(diǎn)即可求出直線方程；（2）首先根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)設(shè)出直線方程，然后列出三角形