吉林省長春八中2025屆數學高一下期末質量跟蹤監視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數解析式是A． B． C． D．2．已知函數的值域為，且圖像在同一周期內過兩點，則的值分別為（）A． B．C． D．3．半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值是（）A．2 B．0 C．-2 D．44．圖1是我國古代數學家趙爽創制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.受其啟發，某同學設計了一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形與中間一個小正三角形拼成一個大正三角形，如圖2所示，若，，則線段的長為（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.55．在邊長為2的菱形中，，是的中點，則A． B． C． D．6．若兩個正實數，滿足，且不等式有解，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．7．圓關于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．8．在中，，，，點P是內（包括邊界）的一動點，且（），則的最大值為（）A．6 B． C． D．69．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．10．在中，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數列，的前項和分別為，，若，則______.12．把一枚質地均勻的硬幣先后拋擲兩次，兩次都是正面向上的概率為________.13．設,則的值是____.14．設數列滿足,,,，______.15．如圖，，分別為的中線和角平分線，點P是與的交點，若，，則的面積為______.16．已知函數，該函數零點的個數為_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知正項數列的前項和為，對任意，點都在函數的圖象上.（1）求數列的通項公式；（2）若數列，求數列的前項和；（3）已知數列滿足，若對任意，存在使得成立，求實數的取值范圍.18．已知角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上一點的坐標是.（1）求；（2）求；19．已知函數，且.（1）求的值；（2）若在上有且只有一個零點，，求的取值范圍.20．在平面直角坐標系中，直線截以坐標原點為圓心的圓所得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標軸交于點，，當時，求直線的方程；（3）設，是圓上任意兩點，點關于軸的對稱點為，若直線，分別交軸于點和，問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.21．如圖，四面體中，，，為的中點.（1）證明：；（2）已知是邊長為2正三角形.（Ⅰ）若為棱的中點，求的大??；（Ⅱ）若為線段上的點，且，求四面體的體積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用三角函數圖像平移原則，結合誘導公式，即可求解.【詳解】函數的圖象向右平移個單位長度得到．故選B．【點睛】本題考查三角圖像變換，誘導公式，熟記變換原則，準確計算是關鍵，是基礎題.2、C【解析】

先利用可求出的值，再利用、兩點橫坐標之差的絕對值為周期的一半，計算出周期，再由可計算出的值，從而可得出答案．【詳解】由題意可知，，、兩點橫坐標之差的絕對值為周期的一半，則，，因此，，，故選C．【點睛】本題考查三角函數的解析式的求解，求解步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據題中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；（3）求：將對稱中心點和最高、最低點的坐標代入函數解析式，若選擇對稱中心點，還要注意函數在該點附近的單調性．3、C【解析】

將轉化為，利用向量數量積運算化簡，然后利用基本不等式求得表達式的最小值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，,等號在，即為的中點時成立.故選C.【點睛】本小題主要考查平面向量加法運算，考查平面向量的數量積運算，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.4、A【解析】

設，可得，求得，在中，運用余弦定理，解方程可得所求值．【詳解】設，可得，且，在中，可得，即為，化為，解得舍去），故選．【點睛】本題考查三角形的余弦定理，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．5、D【解析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計算．【詳解】由題意，，．故選D．【點睛】本題考查向量的數量積，平面向量的線性運算，解題關鍵是選取基底，把向量用基底表示．6、D【解析】

利用基本不等式求得的最小值，根據不等式存在性問題，解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】由于，而不等式有解，所以，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性問題的求解，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.7、B【解析】

設圓心關于直線對稱的圓的圓心為，則由，求出的值，可得對稱圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑，則不妨設圓關于直線對稱的圓的圓心為，半徑為，則由，解得，故所求圓的方程為.故選：B【點睛】本題考查了圓的標準方程、中點坐標公式，需熟記圓的標準形式，屬于基礎題.8、B【解析】

利用余弦定理和勾股定理可證得；取，作，根據平面向量平行四邊形法則可知點軌跡為線段，由此可確定，利用勾股定理可求得結果.【詳解】由余弦定理得：如圖，取，作，交于在內（包含邊界）點軌跡為線段當與重合時，最大，即故選：【點睛】本題考查向量模長最值的求解問題，涉及到余弦定理解三角形的應用；解題關鍵是能夠根據平面向量線性運算確定動點軌跡，根據軌跡確定最值點.9、D【解析】

利用夾角公式計算出兩個向量夾角的余弦值，進而求得兩個向量的夾角.【詳解】設兩個向量的夾角為，則，故.故選：D.【點睛】本小題主要考查兩個向量夾角的計算，考查向量數量積和模的坐標表示，屬于基礎題.10、B【解析】

根據向量的三角形法則進行轉化求解即可．【詳解】∵，∴，又則故選：B【點睛】本題考查向量加減混合運算及其幾何意義，靈活應用向量運算的三角形法則即可求解，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用等差數列的性質以及等差數列奇數項之和與中間項的關系進行化簡求解.【詳解】因為是等差數列，所以，又因為為等差數列，所以，故．【點睛】（1）在等差數列中，若，則有；（2）在等差數列.12、【解析】

把一枚質地均勻的硬幣先后拋擲兩次，利用列舉法求出基本事件有4個，由此能求出兩次都是正面向上的概率．【詳解】把一枚質地均勻的硬幣先后拋擲兩次，基本事件有4個，分別為：正正，正反，反正，反反，兩次都是正面向上的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型的概率計算，求解時注意列舉法的應用，即列舉出所有等可能結果.13、【解析】

根據二倍角公式得出，再根據誘導公式即可得解．【詳解】解：由題意知：故，即．故答案為.【點睛】本題考查了二倍角公式和誘導公式的應用，屬于基礎題．14、8073【解析】

對分奇偶討論求解即可【詳解】當為偶數時，當為奇數時，故當為奇數時，故故答案為8073【點睛】本題考查數列遞推關系，考查分析推理能力，對分奇偶討論發現規律是解決本題的關鍵，是難題15、【解析】

設,,求點的坐標，運用換元法，求直線方程，再解出交點的坐標，再利用向量數量積運算求出，最后結合三角形面積公式求解即可.【詳解】解：由，可設,,則，設，則，直線的方程為，直線的方程為，聯立直線、方程解得，則，，可得，解得：，即，即，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數量積運算，重點考查了兩直線的交點坐標及三角形面積公式，屬中檔題.16、3【解析】

令，可得或；當時，可解得為函數一個零點；當時，可知，根據的范圍可求得零點；綜合兩種情況可得零點總個數.【詳解】令，可得：或當時，或（舍）為函數的一個零點當時，，，為函數的零點綜上所述，該函數的零點個數為：個本題正確結果：【點睛】本題考查函數零點個數的求解，關鍵是能夠將問題轉化為方程根的個數的求解，涉及到余弦函數零點的求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）將點代入函數的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，兩式相減得出數列為等比數列，確定該數列的公比，利用等比數列的通項公式可求出數列的通項公式；（2）求出數列的通項公式，利用錯位相減法求出數列的前項和；（3）利用分組求和法與裂項法求出數列的前項和，由題意得出，判斷出數列各項的符號，得出數列的最大值為，利用函數的單調性得出該函數在區間上的最大值為，然后解不等式可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）將點代入函數的解析式得到.當時，，即，解得；當時，由得，上述兩式相減得，得，即.所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此，；（2），，因此，①，②由①②得，所以；（3）．令為的前項和，則.因為，，，，當時，，令，，令，則，當時，，此時，數列為單調遞減數列，，則，即，那么當時，數列為單調遞減數列，此時，則.因此，數列的最大值為.又，函數單調遞增，此時，函數的最大值為．因為對任意的，存在，.所以，解得，因此，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查利用等比數列前項和求數列通項，同時也考查了錯位相減法求和以及數列不等式恒成立問題，解題時要充分利用數列的單調性求出數列的最大項或最小項的值，考查化歸與轉化思想的應用，屬于難題.18、（1），（2）【解析】

（1）求得點到原點的距離，根據三角函數的定義求值；（2）同（1）可求出，然后用誘導公式化簡，再代入值計算．【詳解】（1）（2），為第四象限，【點睛】本題考查三角函數的定義，考查誘導公式，屬于基礎題．19、（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、輔助角公式化簡表達式，利用求得的值.（2）令，結合的取值范圍以及三角函數的零點列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1），，，即.（2）令，則，，，在上有且只有一個零點，，，的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數零點問題，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.20、（1）；（2）；（3）見解析【解析】

（1）利用點到直線距離公式，可以求出弦心距，根據垂徑定理結合勾股定理，可以求出圓的半徑，進而可以求出圓的方程；（2）設出直線的截距式方程，利用圓的切線性質，得到一個方程，結合已知，又得到一個方程，兩個方程聯立，解方程組，即可求出直線直線的方程；（3）設，，則，，，分別求出直線與軸交點坐標、直線與軸交點坐標，求出的表達式，通過計算可得.【詳解】（1）因為點到直線的距離為，所以圓的半徑為，故圓的方程為.（2）設直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，①.②由①②解得，此時直線的方程為.（3）設，，則，，，直線與軸交點坐標為，，直線與軸交點坐標為，，，為定值2.【點睛】本題考查了圓的垂徑定理、圓的切線性質、勾股定理，考查了求直線方程，考查了數學運算能力.21、（1）證明見解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（1）取中點，連接，通過證明，證得平面，由此證得.（2）（I）通過證明，證得平面，由此證得,利用“直斜邊的中線等于斜邊的一半”這個定理及其逆定理，證得.（II）