2021-2022高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2.過雙曲線］=0力〉0）的左焦點作傾斜角為30。的直線/,若/與V軸的交點坐標為（0力），則該雙曲

線的標準方程可能為（）

X22_1X22_1「爐2_1n%2y2

AA.------y=1B?-------y-1C.-------y—1D.-------------1

23432

3.若集合A={xeN|x=a=2框,則下列結論正確的是（）

A.{a}口AB.a^AC.{a}eAD.a^A

4.已知i是虛數單位，則一?一=（）

□丁?口

A.-j+jCB.卜:匚C.j+jCD.j-jE

5.已知命題P：若Q<1,則片<1,則下列說法正確的是（）

A.命題，是真命題

B.命題P的逆命題是真命題

C.命題。的否命題是“若a<1,則

D.命題0的逆否命題是“若/21,則

6.在復平面內，復數，(2+i)對應的點的坐標為()

A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,-1)

8.設等差數列｛4｝的前幾項和為S,,,若S?=3,S4=10,則$6=()

A.21B.22C.11D.12

9.在ABC中，。為邊上的中點，且|A5|=l,AC|=2,N84C=120。，貝U|AD|=()

10.已知函數的導函數為廣(%),記工(力=/'(力，力(力=/'(%)，…,力+G)=力'(x)(〃cN*).若

f(x)=xsinx,貝"oi9(x)+力(m(x)=()

A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sin%

11.已知隨機變量。滿足「信=左)=或(1—p,廣p>i=l,2,左=0,1,2.若;<2]<0<1，則()

A.E信)<E催)，。閭<*)B.E⑼<E閭,D㈤>叫)

C.E信)〉E體)，。信)但)D.E信)〉E催)，。信)>。仁)

12.已知角a的終邊經過點(3,T),則sina+」一=

cosa

137

A.—B.—

515

3713

C.—D.——

2015

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.若雙曲線c：l—當=1（。〉0力〉o）的離心率為W，則雙曲線。的漸近線方程為

a2b2

14.等差數列｛0｝（公差不為0）,其中體,出，每成等比數列，則這個等比數列的公比為1

x>0

y>0

15.設羽V滿足約束條件卜-y+l〉0,則z=2x—y的取值范圍為.

x+y-3<0

16.拋物線丁=4x上到其焦點的距離為1的點的個數為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在多面體A3CD所中，四邊形ABC。是正方形，C/，平面ABC。，CFDE,AB=CF=2DE=2,

G為8尸的中點.

（1）求證：CG±AF；

（2）求平面8b與平面A防所成角的正弦值.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-A5CZ）中，底面ABC。是矩形，ABCD,且R4=AD,E,尸分別是棱A5,

PC的中點.求證：

(1)EF〃平面Ri。；

(2)平面PCE_L平面PCD.

19.（12分）在AABC中，內角A瓦。所對的邊分別為a,"c,已知出b,且

cos2A-cos2B=sinAcosA-y/3sinBcosB.

（I）求角。的大小；

（II）若°=石，求AABC面積的取值范圍.

20.（12分）自湖北武漢爆發新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來，武漢醫護人員和醫療、生活物資嚴重缺乏，全國各

地紛紛馳援.截至1月30日12時，湖北省累計接收捐贈物資615.43萬件，包括醫用防護服2.6萬套N95口罩47.9萬

個，醫用一次性口罩172.87萬個，護目鏡3.93萬個等.中某運輸隊接到給武漢運送物資的任務，該運輸隊有8輛載重

為6f的A型卡車，6輛載重為10f的5型卡車，10名駕駛員，要求此運輸隊每天至少運送720f物資.已知每輛卡車每

天往返的次數：A型卡車16次，3型卡車12次；每輛卡車每天往返的成本：A型卡車240元，5型卡車378元.求每

天派出A型卡車與3型卡車各多少輛，運輸隊所花的成本最低？

21.（12分）某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班

隨機抽取50人，得到各班抽取的人數和其中本科上線人數，并將抽取數據制成下面的條形統計圖.

（1）根據條形統計圖，估計本屆高三學生本科上線率.

(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數為4萬，假設以(1)中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.

(i)若從甲市隨機抽取10名高三學生，求恰有8名學生達到本科線的概率(結果精確到0.01)；

(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數為3.6萬，假設該市每個考生本科上線率均為“(0<p<l),若2020屆高考

本科上線人數乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.

可能用到的參考數據：取0.364=0.0168，0.164=0,0007.

22.(10分)已知橢圓C：—+/=1,不與坐標軸垂直的直線/與橢圓C交于4，N兩點.

4-

(I)若線段的中點坐標為求直線/的方程;

(II)若直線/過點(4,0),點P(/,0)滿足七M+女網=0%v分別為直線PM，PN的斜率)，求/的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

首先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可利用排除法解得；

【詳解】

解：依題意，=+I)?cos(r)=皿+/cosx=/⑶,故函數/(九)為偶函數，圖象關于y軸

-x20x20

對稱，排除C；

22

而/(〃)=—會<0,排除B；/(2〃)=^-〉0,排除D.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數圖象的識別，函數的奇偶性的應用，屬于基礎題.

2.A

【解析】

直線/的方程為〉==§(%+°),令％=0,得y=#c，得到a,b的關系，結合選項求解即可

【詳解】

直線/的方程為y=g(x+c),令x=0,得y=gc.因為gc=b,所以4=02—82=3〃2—82=2尸，只有選

項A滿足條件.

故選：A

【點睛】

本題考查直線與雙曲線的位置關系以及雙曲線的標準方程，考查運算求解能力.

3.D

【解析】

由題意A={xeN|x=J2O2O}=0,分析即得解

【詳解】

由題意A={xeN[x=)2020}=。,故Ac{a}

故選:D

【點睛】

本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數學運算能力，屬于基礎題.

4.D

【解析】

利用復數的運算法則即可化簡得出結果

【詳解】

/十匚二-zu+Z)二u-n_二一二；

Z】十二-z-(/+□)(/-Z)1-T：

=-；二+.+三+:=7-；二1

故選

【點睛】

本題考查了復數代數形式的乘除運算，屬于基礎題。

5.B

【解析】

解不等式，可判斷A選項的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項的正誤；利用原命題與否命題、

逆否命題的關系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.

【詳解】

解不等式/<1,解得-則命題。為假命題，A選項錯誤；

命題P的逆命題是“若a?<1,則。<1"，該命題為真命題，B選項正確；

命題P的否命題是“若a21,則/Nl”，C選項錯誤；

命題P的逆否命題是“若/21,則a21"，D選項錯誤.

故選:B.

【點睛】

本題考查四種命題的關系，考查推理能力，屬于基礎題.

6.C

【解析】

利用復數的運算法則、幾何意義即可得出.

【詳解】

解：復數i(2+i)=2i-l對應的點的坐標為(-1,2),

故選：C

【點睛】

本題考查了復數的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

7.A

【解析】

確定函數在定義域內的單調性，計算x=l時的函數值可排除三個選項.

【詳解】

x>0時，函數為減函數，排除B,T<x<0時，函數也是減函數，排除D,又x=l時，y=l-ln2>0,排除C,

只有A可滿足.

故選：A.

【點睛】

本題考查由函數解析式選擇函數圖象，可通過解析式研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等等排除，可通過

特殊的函數值，函數值的正負，函數值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項.

8.A

【解析】

由題意知$2,S’-$2,》-S4成等差數列，結合等差中項，列出方程，即可求出其的值.

【詳解】

解：由｛?｝為等差數列，可知52,54-52,56-54也成等差數列，

所以2（S「S2）=S2+S6—，即2*（10-3）=3+2-10,解得§6=21.

故選:A.

【點睛】

本題考查了等差數列的性質，考查了等差中項.對于等差數列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和

公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結合等差數列性質，可使得計算量大大減少.

9.A

【解析】

由。為邊上的中點，表示出AD=g（AB+AC）,然后用向量模的計算公式求模.

【詳解】

解：。為邊上的中點，

AD=^AB+AC）,

|AD|=1（A5+AC）=A（AB+AC『

=+AC+2AB-AC）

=J1（l2+22+2xlx2xCOS1200）

~2

故選：A

【點睛】

在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎題.

10.D

【解析】

通過計算工（X）,力（X）,力（X）,力（X）/（X）,可得京T（%），啟一2（%），力1（X），Q（X），最后計算可得結果.

【詳解】

由題可知：/（x）=xsinx

所以工(x)=sin%+xcosx,f2(x)=2cosx-xsinx

y3(x)=-3sinx-xcosx,y4(x)=-^l-cosx+xsinx

f5(%)=5sinx+xcos羽…

所以猜想可知：f4k_3(%)=(4^-3)sinx+xcosx

九一2(x)=(4k—2)cosx-xsinx

于Ag(%)=一(4左一1)sinx—％cosx

于4k(x)=Tkcosjr+xsinx

由2019=4x505—1,2021=4x506—3

所以力oi9(%)=一2019sinX—xcosx

于2021(犬)=202lsinx+xcosx

所以力109(x)+/021(x)=2sinx

故選:D

【點睛】

本題考查導數的計算以及不完全歸納法的應用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔

題.

11.B

【解析】

根據二項分布的性質可得：E(0)=p.,D(0)=p.(1-p.),再根據；<Pl<p]<1和二次函數的性質求解.

【詳解】

因為隨機變量。滿足尸(《=左)=四(一己廣萬,)=1,2,左=0,1,2.

所以。服從二項分布，

由二項分布的性質可得：E低)=P1,D低)=p.(1-0,),

因為g<Pl<<1，

所以E侑)<E值),

由二次函數的性質可得：/（力=x（l—X）,在上單調遞減，

所以。信）＞。（切.

故選：B

【點睛】

本題主要考查二項分布的性質及二次函數的性質的應用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

12.D

【解析】

因為角a的終邊經過點（3,T），所以r=喬+（-4）?=5，則sin?=-j,cos?=|,

113

即sin。+-----=—?故選D.

cosa15

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.y=±3x

【解析】

利用=10,得到的關系式，然后代入雙曲線c的漸近線方程y=±：x即可求解.

【詳解】

因為雙曲線C的離心率為6=￡=麗,°2=/+/,

a

所以。2=10/=〃2+/,即5=3小

b

因為雙曲線C的漸近線方程為y=土一X,

a

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±3x.

故答案為:y=±3%

【點睛】

本題考查雙曲線的幾何性質;考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質是求解本題的關鍵;屬于基礎題.

14.4

【解析】

根據等差數列關系，用首項和公差表示出=64,解出首項和公差的關系，即可得解.

【詳解】

設等差數列｛%,｝的公差為d,

由題意得：生、/4，則(％+d)2=%(。|+5d)整理得d=3q,a2-a1+d-4a1,所以；'=4

故答案為：4

【點睛】

此題考查等差數列基本量的計算，涉及等比中項，考查基本計算能力.

15.(-1,6)

【解析】

由題意畫出可行域，轉化目標函數z=2x-y為y=2x-z,數形結合即可得到z的最值，即可得解.

【詳解】

由題意畫出可行域，如圖：

轉化目標函數z=2x-y為y=2x-z,

通過平移直線y=2x-z,數形結合可知：當直線y=2x-z過點A時，直線截距最大，z最小；當直線y=2x-z過

點C時，直線截距最小，z最大.

x=Q..y—0,.

由Ic可得4(0,1),由.。c可得C(3,o),

x-y+l=0、'[x+y-3=0、'

當直線過點4(0,1)時，z=—1；當直線過點。(3,0)時，z=6,

所以—l<z<6.

故答案為：(—1,6).

【點睛】

本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合思想，屬于基礎題.

16.1

【解析】

設拋物線上任意一點的坐標為(毛,%),根據拋物線的定義求得修，并求出對應的治，即可得出結果.

【詳解】

設拋物線上任意一點的坐標為(九0,%)，

拋物線y2=4x的準線方程為I=—1,由拋物線的定義得%+1=1,解得%=0,此時為=0.

因此，拋物線/=4x上到其焦點的距離為1的點的個數為1.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查利用拋物線的定義求點的坐標，考查計算能力，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)叵

6

【解析】

(1)首先證明CG_LA5,CG±BF,ABM=3,二CGL平面AB廠?即可得到Mu平面AB尸，CG±AF.

(2)以。為坐標原點，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、y軸、二軸建立空間直角坐標系，分別求出平面

和平面尸的法向量，帶入公式求解即可.

【詳解】

(1)/，平面ABC。，ABI平面ABC。，：.CF±AB.

又,:四邊形ABC。是正方形，???AB±BC.

VBCCb=C,...平面

；CGu平面尸，ACG±AB.

又,：BC=CF=2,G為BE的中點，???CGL3尸.

,：ABBF=B,...CG，平面AB廠.

；AFu平面AB產，CG.

(2)???。/，平面ABC。，CFDE,：.DEl^ABCD.

以。為坐標原點，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

如圖所示:

則。（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,￡（0,0,1）F（0,2,2）.

Z.AE=（-2,0,1）,EF=（0,2,1）,￡>C=（0,2,0）.

設“=（九,y,z）為平面AEF的法向量,

n-AE=0,-2x+z=0

則,得《

n-EF=02y+z=0

令x=l,則〃=（1,-1,2）.

由題意知DC=（0,2,0）為平面BCF的一個法向量,

n-DC-2A/6

\n\\DCT46X2~6

平面BCF與平面AEF所成角的正弦值為

【點睛】

本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時解題關鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標系是解題關鍵，屬于中

檔題.

18.（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）取PD的中點G構造平行四邊形但6,得到所//AG,從而證出所//平面上4D；

（2）先證平面PC。，再利用面面垂直的判定定理得到平面PC。，平面PCE.

【詳解】

證明：（1）如圖，取的中點G,連接AG,FG,

一E是棱A5的中點，底面ABC。是矩形，

:.AE//CD,且AE」CD,

2

又F,G分別是棱PC,的中點,

：.FG//CD,且PG=」AC,

2

.-.AE//FG,且AE=FG,

四邊形AEFG為平行四邊形，

:.EFHAG,

又EF仁平面R4￡),AGu平面上4。，

:.EF//平面PAD；

(2)PA=AD,點G是棱P￡)的中點，

:.AG±PD,

又EF//AG,:.EF±PD,

平面ABC。，COu平面ABC。，

:.PA±CD,

底面ABC。是矩形，.?.A。，CD,

PAu平面ABCD,ADu平面ABCD,且取AD=A,

\CDA平面PAD,

又AGu平面PAD,..CDLAG,

FEIIAG,:.CDLEF,

又CDu平面PCD,PDu平面PC。，且CD「=

.?.EFL平面PCD,

又EFu平面PCE,

???平面PC。，平面PCE.

【點睛】

本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的判定，首選判定定理，是中檔題.

19.(I)C=|；(II)S…(0,苧

【解析】

(I)根據cos?A-cos?5=GsinAcosA-QsinBcos8，利用二倍角公式得到

1+cos2A1+cos2BJ3J3一,4⑴人八一加門?(小一3一―

-------------------------=——sin2A------sinIB,再由輔助角公式得到sin24A--=sin2B--,然后根據正

2222I6；<6；

弦函數的性質求解.

(II)根據⑴由余弦定理得到3=〃+/-"，再利用重要不等式得到腐3,然后由［擊僦求解.

【詳解】

(I)因為cos?A-cos2B=A/3sinAcosA-A/3sinBeosB，

1+cos2A1+cos2BJ3J3

所以--------------------=—sin2A--sin2B,

2222

A/3COS2AA/3.cos2B

——sin2A----------=——sin2B----------,

2222

sin^ZA-^=sin^2B-^,

2A-2=23-2或2A-2+23-工=?,

6666

27r

A=6或A+3造，

因為a】b,

27r

所以A+8=q

TT

所以c=§；

(II)由余弦定理得：c?=〃2+)22abeosC，

所以〃2+/=2+ab>2ab>

所以當且僅當〃=〃取等號,

又因為a】b9

所以＜3,

所以S.BC=—absinc=

2日…羊）

【點睛】

本題主要考查二倍角公式，輔助角公式以及余弦定理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

20.每天派出A型卡車8輛，派出3型卡車0輛,運輸隊所花成本最低

【解析】

設每天派出A型卡車X輛，則派出5型卡車y輛,由題意列出約束條件，作出可行域，求出使目標函數取最小值的整

數解，即可得解.

【詳解】

設每天派出A型卡車X輛，則派出5型卡車y輛,運輸隊所花成本為Z元,

x<8

y<6

由題意可知，＜x+j<10

16.6x+12-10y>720

x,yeN

x<8

y<6

整理得x+y<10

4x+5y>30

x,yeN

目標函數Z=240x+378y,

由圖可知，當直線z=240x+378y經過點A時,Z最小,

4x+5y=30x—7.5,、

解方程組八，解得八，A（7.5,0）,

b=o[y=0

然而％yeN,故點A（7.5,0）不是最優解.

因此在可行域的整點中，點（8,0）使得z取最小值,

BPzmin=240x8+378x0=1920,

故每天派出A型卡車8輛，派出3型卡車0輛，運輸隊所花成本最低.

【點睛】

本題考查了線性規劃問題中的最優整數解問題，考查了數形結合的思想，解題關鍵在于列出不等式組(方程組)尋求

約束條件，并就題目所述找出目標函數，同時注意整點的選取，屬于中檔題.

「2八

21.(1)60%；(2)(i)0.12(ii)-,1I

【解析】

(1)利用上線人數除以總人數求解；

(2)(i)利用二項分布求解；(ii)甲、乙兩市上線人數分別記為X,Y,得X~6(40000,0.6),F~3(36000,。).,

利用期望公式列不等式求解

【詳解】

(1)估計本科上線率為4+6+7+8+S=60%.

50

(2)(i)記“恰有8名學生達到本科線”為事件A,由圖可知，甲市每個考生本科上線的概率為0.6,

824

則P(A)=Cfox0.6x(1-0.6)=QQx0.36x0.16=45x0.0168x0.16?0.12.

(ii)