2023-2024學年貴州省貴陽市高三上學期一輪模擬卷

學校:.姓名:.班級:考號:

題號一二三四總分

得分

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題

I.已知集合[={—1,0,1,2,3,4},3={x|x<3},則/口2=(

A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{x|x<3}

已知sina=±ae(0,—),貝!]sin(a-巴)=()

2.

524

A*V207V27VI

B.V/.------D.

而10*To-

3.若無窮等差數列｛??｝的公差為d，貝『以>0”是“土eN,,4>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

實數滿足睨-指=2

4.a,6,cl,a=c+log5fx-x+3eR),則a,b,c的大小關系是()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

5.在平行四邊形/BCD中，4B=36,4D=2j^=麗，NB4D=三，則就.反=()

4

A.2B.272C.273D.4

6.設，，8為兩個事件，已知尸(4)=0.5,P(B)=Q3,尸⑷N)=0.2,則尸(8⑷=()

A.0.3B.0.4

C.0.5D.0.6

7.如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸NC為圓柱的軸截面對角線,

短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側面沿母線展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為

一個周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數y=2sinox(o>0)圖像的一部分，且其對

應的橢圓曲線的離心率為則。的值為()

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A.苴B.立C.V3D.2

63

8.設體積相等的正方體、正四面體和球的表面積分別為小邑,名,則（）

(S2^S3(

A.Si<S*2<S3B.c.s3<s,<s2D.S3<S*2<Si

二、多選題

9.若a,6eR,則下列命題正確的是（）

A.若a6Ho且a<6,則B.若a<b,則/〈N

ab

C.若a>6>0,則----<—D.若a|a|<6回，則a<b

10.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數關系y=e"+6

（e=2.718…為自然對數的底數，k,8為常數）.若該食品在0℃的保鮮時間是192小

時，在14℃的保鮮時間是48小時，則下列說法正確的是（）

參考數據：2.8$右172,2.76*387

A.be（5,6）

B.若該食品儲藏溫度是21℃,則它的保鮮時間是16小時

C.左<0

D.若該食品保鮮時間超過96小時，則它的儲藏溫度不高于7℃

11.歐拉函數。（小（〃eN*）的函數值等于所有不超過正整數"，且與〃互質的正整數的

個數（公約數只有1的兩個正整數稱為互質整數），例如：。（3）=2,0（4）=2,則（）

A.磯4）夕（6）=。⑻B.當“為奇數時，<p（n）=n-l

C.數列加（叫｝為等比數列D.數列］的前〃項和小于|

12.如圖，在棱長為2的正方體/BCD中，已知跖N,P分別是棱G2,

3c的中點，。為平面PMV上的動點，且直線04與直線。片的夾角為30。，則（）

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A.D81J_平面PAW

B.平面H小截正方體所得的截面面積為決后

C.點0的軌跡長度為兀

D.能放入由平面尸兒W分割該正方體所成的兩個空間幾何體內部(厚度忽略不計)

的球的半徑的最大值為三

三、填空題

13.(2/+》-?5的展開式中無5/的系數為(用數字作答).

14.某市統計高中生身體素質的狀況，規定身體素質指標值不小于60就認為身體素質

合格.現從全市隨機抽取100名高中生的身體素質指標值占。=1,2,3,…,100),經計算

100100

]>,=7200,=100x(722+36).若該市高中生的身體素質指標值服從正態分布

Z=1Z=1

則估計該市高中生身體素質的合格率為.(用百分數作答，精確到0.1%)

參考數據：若隨機變量X服從正態分布N(〃Q2),則尸0.6827,

-2crWX4〃+2o?卜0.9545,P(〃一3。WX4〃+3o?卜0.9973.

15.已知函數/(x)=e2，-2a(x-2戶-宜，(。>0)恰有兩個零點,則”,

16.在1,2,…,50中隨機選取三個數，能構成公差不小于5的等差數列的概率

為.

四、解答題

17.已知數列｛。“｝的前〃項和S"滿足2S,,+%-1=0.

(1)求｛。”｝的通項公式；

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1

(2)設2=1。827。"，求數列的前”項和。

姑"+1

18.已知某公司生產的風干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質量M(單位：g)服

從正態分布N(250,CT2),且尸"<248)=0.1.

(1)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質量不小于248g的概

率；

(2)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取K(K為正整數)包，記質量在248g?252g內的

包數為X,且。(X)>320,求K的最小值.

19.在“3C中，內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,°=3尬，asinB=6sin]4+方

⑴求角A；

⑵作角/的平分線與3C交于點。，且ND=6，求6+c.

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20.如圖，在四棱錐尸-N3CD中，底面48co為矩形，平面/3C。，垂足為O,

E為尸C的中點，。￡7/平面P/D.

(2)若4。=248=4,OC1OD,PC與平面/BCD所成的角為60。，求平面尸6C與平面

尸CD夾角的余弦值.

21.已知雙曲線C：W-5=1(?>0,b>0)的離心率為這，且其焦點到漸近線的距離為

ab6

I.

(1)求。的方程；

(2)若動直線/與。恰有1個公共點，且與C的兩條漸近線分別交于2。兩點，。為坐標

原點，證明：△OP。的面積為定值.

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22.已知函數〃x）=蛆上q，X6[1,4W）,

⑴討論了（X）的單調性.

⑵是否存在兩個正整數X],X〉,使得當王＞馬時，（王-苫2）.=x）說？若存在，求出

所有滿足條件的X1,巧的值；若不存在，請說明理由.

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參考答案：

1.A

【分析】由集合的交運算即可求交集.

【詳解】/n5={T04,2,3,4}nX<3}={-1,0,1,2}.

故選:A.

2.A

【分析】根據同角三角函數關系求出cosa,再根據兩角差的正弦公式求解即可.

47T

【詳解】因為sina=1,ce(0，T),

所以cosa=J1，H=g,

皿?./兀、.兀.兀收4萬3

貝1Jsin(a)=sinacos——cosasin—=——x--------xy.

444252510

故選：A.

3.A

[分析】利用等差數列的通項公式和存在量詞的性質即可判斷.

【詳解】等差數列的通項公式%=，,當d>0時，3A;GN*,ak=ax+(k-V)d>Q,

真命題，即充分行成立；

若％=—2〃+3,則〃1=1>0,但d<0,所以，當三左EN*,為〉0時d>0,假命題，必要

性不成立.

故選：A.

4.D

【分析】由雙>&,結合幕函數單調性知c〉b；利用對數復合函數的性質推得。>。，從

而得解.

【詳解】由證—探=1,得我—孤>0,即丘〉蠣，所以。>6；

22

由a=c+log5(X-X+3)(XGR),得Q-C=log5(x-x+3),

因為)=12-1+3=卜一:]+,

所以log5(x2_%+3"log5t〉logs1=0,即a>c；

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綜上，a>c>b.

故選：D.

5.A

【分析】根據題意，將衣與瓦都用刀與表示，再求數量積即可.

【詳解】在平行四邊形45CQ中，如圖所示：

C

因為冠=而，所以E是的中點，即/￡=

DE=AE-AD=-4D,AC=AB+AD,

因為/8=3V￡AD=2,ZBAD=,所以您.通=|而|所卜os/BAD=3后x2x曰=6,

-----------?----->-----?1-----?-----.1----->21----->-----?----->2

因止匕，ACDE=(AB+AD)(-AB-AD)=-AB-^4BAD-AD=9—3—4=2.

故選：A.

6.B

【分析】根據題意，由全概率公式P(8)=尸⑷/同，)+2彳)尸(同團，代入數據計算可得答

案.

【詳解】根據題意，尸(/)=0.5,則尸(彳)=1-0.5=0.5,

則p(B)=尸(Z)P(B\A)+P(A)P(B\A)=0.5xP(B\A)+0.5x0.2=0.3,

解可得：P(B\A)=0.4.

故選：B.

7.A

【分析】根據題意，結合正弦型函數的性質，以及橢圓的幾何性質，利用勾股定理列出方程,

即可求解.

【詳解】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數歹=2sinox(0>O)圖像的一部分，

可得45=4,且丁=」2TI，所以圓2柱的底面直徑2-=—,

CDCD

設橢圓長軸長為2a,短軸長為26,因為離心率為:，可得2=21=在，

2aAC2

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4r4416A

所以/C=F=K，由勾股定理得i6+r=m，解得0=出.

7373①0)JCO6

故選：A.

8.C

【分析】令體積為1,求出正方體、正四面體的棱長，球的半徑，再求出表面積作答.

【詳解】令正方體、正四面體和球的體積為1,

設正方體的棱長為則/=1,解得。=1,表面積S[=6Q2=6,

設正四面體的棱長為b，則正四面體底面正三角形的外接圓半徑2x41b=旦,

323

正四面體的高h=Jb2-(^-b)2巫b，體積x&b=$3=\,

V3334312

/?.—7

解得6=后為，表面積S?=4x爭2=2岳密,

設球半徑為「，貝！解得表面積S3=4兀廠2=^蒜<6,

所以邑<d<S2.

故選：C

9.BD

【分析】取特殊值或利用作差法，以及根據函數的單調性，即可判斷選項.

【詳解】對選項A,取。=-1,6=1,滿足a6Ko且。<6,則』<《，故A錯誤；

ab

對選項B,因為函數>=/單調遞增，當時，a3<b\故B正確；

對選項C,因為a>b>0,所以工―一=—7一—>0,即卡>■，故c錯誤；

a+1a+a+\a

(2>0

對選項D,因為函數、=力|=｛x；x-是增函數，當。問<同可，則a<6,故D正確.

[-%,%<0

故選：BD.

10.ACD

【分析】利用條件若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在14℃的保鮮時間是48小時，

得出關于人和6的關系，然后依次判定各個選項.

【詳解】在函數了=/+'中，當x=0時，e〃=192,由2.85~172,2.7屋387知，be(5,6),

故A正確;

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當x=14時，eltt+ft=48,所以9"=里=,，貝

19242

21t+Aw3A

當x=21時，e=(e).e=^xl92=24,故B不正確;

由e7/=L,得4=工比,<0,故C正確；

272

由yN96,得9646死d=192&『，所以xW7,故D正確.

故選：ACD.

11.ACD

【分析】根據函數新定義即可知夕（4）=2,夕（6）=2"⑻=4,可得A正確,由"（9）=6/8

可得B錯誤；易知小于2"的所有正奇數與2"均互質，共有2力個，可得C正確；同理可得

。（3"）=2x3"-,利用等比數列前"項和公式即可求得D正確.

【詳解】對于A,因為0（4）=2,0⑹=2,0⑻=4,所以0（4）少（6）=/⑻,故A正確;

對于B,由于姒9）=648,故B錯誤;

對于C,因為小于2"的所有正奇數與2”均互質，且小于2"的所有正奇數有2"T個，

所以°（2"）=2"T,因此數列加（2"）｝為等比數列，故C正確；

對于D,同理小于3"的所有3的倍數與3"均不互質，共有3"一個，

因此小于3"的所有與3"互質的數共有2x37個，即。（3"）=2x3””,

所以而=裊414-r-

I令％

3.,

貝U=ai+a2-\----\-an3,故D正確，

故選：ACD.

12.ABD

【分析】A選項，建立空間直角坐標系，求出平面f的法向量，得到線面垂直；B選項,

作出輔助線，找到平面尸截正方體所得的截面，求出面積；C選項，作出輔助線，得到

點。的軌跡，并求出軌跡長度；D選項，由對稱性得到平面尸分割該正方體所成的兩個

第10頁共21頁

空間幾何體對稱，由對稱性可知，球心在耳。上，設球心為R(w),由|麗卜/得到方程,

求出半徑的最大值.

【詳解】A選項，以。為坐標原點，〃所在直線分別為X,y,z軸，建立空間直角

坐標系，

P(l,2,O),M(O,1,2)^(2,0,1),1)(0,0,0),^(2,2,2),

故函=(2,2,2),或=(-1,-1,2),麗=(1,-2,j).

設平面的法向量為機=(x),z),

rJ沅.尸M=(x/,z).(-l,-l,2)=-x-y+2z=0

則<--k/\/\，

m-PN==x-2y+z=0

令z=l得,x=y=l,故加=(1,1,1),

因為璃=2正，故。q_L平面PUN,A正確；

B選項，取4R,4?,CG的中點瓦尸，。，連接MQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP，AB,CR,

因為M,N,尸分別是棱G2，441,3C的中點，

所以NF///0MQ//CD,,又CDJIEP//A.B,

所以NFUMQUEP,所以平面PMN截正方體所得的截面為正六邊形FPQMEN,

其中邊長為亞，故面積為6x@x(立)2=36,B正確；

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C選項，0為平面PMN上的動點，直線。4與直線。目的夾角為30。,

又。呂，平面RWN,設垂足為S,以S為圓心，r=口用S為半徑作圓,

3

即為點。的軌跡，

其中BQ=|麗卜J4+4+4=26,由對稱性可知，B\S=；B1D=6,

故半徑r=-^-xV3=1，

3

故點0的軌跡長度為如，C錯誤；

D選項，因為M,N,P分別是棱GA，8c的中點，

所以平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，

不妨求能放入含有頂點D的空間幾何體的球的半徑最大值，

該球與平面PMN切與點S,與平面4DA4，平面NDC3,平面。CCQ1相切,

由對稱性可知，球心在耳。上，設球心為及(W),則半徑為乙

5(1,1,1),故網=，，即百(17)=/,解得好±

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故球的半徑的最大值為Y，D正確.

2

故選：ABD

【點睛】立體幾何中截面的處理思路：

(1)直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線,

找截面就是找交線的過程；

(2)作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，

可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；

(3)作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現，可通過作延長線的方法先找

到交點，然后借助交點找到截面形成的交線；

(4)輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔

助平面.

13.120

【分析】根據二項式展開式有關知識求得正確答案.

【詳解】由于/了2=卜2)2,尸了2,

所以(2/+x-y)5的展開式中含xT的項為c；(2x2丫xC,xC；(-y)2=120X5J2,

所以(2/+x-y)5的展開式中//的系數為120.

故答案為：120

14.97.7%

【分析】計算樣本的平均數和方差，由此估計〃,再結合參考數據求尸(X260).

1100

【詳解】因為100個數據X],4，W，…，國00的平均值三=右￡%=72,

1UU/=1

方差S'二春夕,一引二擊-100x2>^100>(722+36)-100x72]=36,

1100,100

所以〃的估計值為〃=72,。的估計值為。=6.

設該市高中生的身體素質指標值為X,

由尸(〃一2。■3XV〃+2cr)田0.9545,得P(72-12<X<72+12)=P(60VXV84)20.9545,

，(1-0,9545

P(,X>84、)=P(X>〃+2(r、)=尸(/X(〃一2(r、)=——}-PU---2-<-T-<-X--<--U-+--2-CT}Lx---

所以尸(X>60)=尸(60<y<84)+P(X>84)?0.9545+|<(1-0.9545)=0.97725-97.7%.

第13頁共21頁

故答案為：97.7%.

【分析】利用導數，求出/(x)的單調區間，由函數/(無)恰有兩個零點即函數/(x)與x軸

有兩個不同的交點，從而建立等量關系求解可得.

【詳解】因為/'(x)=e2,一2a(無一2)e，一a2x2(a>0),

所以f\x)=2e2x-2<2[?+(x-2)e1-2a2x=2(ex—")佇+a)

令y=-ax,則j/=e*-a,令y'>0,

故當x>lna時V>0,函數y=e*-ax為增函數，

當x<lna時y'<0,函數y=e*-ax為減函數，

即當x=lna時函數y=ex-亦有最小值a(l-lna),

若a(l-lna"O,即0<aVe時/'(x)?0,此時函數〃x)在R上為增函數，與題意不符，

且當。=e時，/'(x)的零點為1；

若a(l-lna)<0,即a>e時，此時函數〉=e*-ax,(a>0)與x軸有兩個不同交點，

設交點為a，o),(三,0),且0<%<1<聲，即ax>,

2

[e=ax2

所以當或X>超時y>0,即/'(無)>0,此時函數“X)為增函數，

當再<x<三時y<0,即/■'(x)<0,此時函數為減函數，

依題意，函數/(x)恰有兩個零點即函數“X)與x軸有兩個不同的交點，即/(占)=0或

/(無2)=。，

2xir222x22

所以e-2a(公-2)e'-ax；=0或e"-2a(x2-2)e=-ax2=0,

x22

所以再<1<%=2,所以。=——=—,

x22

2

故答案為：e

2

【點睛】根據函數零點個數求解參數范圍的問題的一般方法：

第14頁共21頁

設尸（x）=/（x）-g（x）

方法一：轉化為函數尸（X）與X軸交點個數問題，通過求解尸（尤）單調性構造不等式求解；

方法二：轉化為函數y=/（x）,j=g（x）的交點個數問題求解.

16.A

140

【分析】先求出在1,2,…,50中隨機選取三個數的方法總數，再求能構成公差不小于5的等

差數列的方法總數，由古典概率的公式求解即可.

【詳解】在1,2,…,50中隨機選取三個數有：C；0=二19600,

3x2x1

公差為5的等差數列有：（1,6,11）,（2,7,12）,……，（40,45,50）,共40個;

公差為6的等差數列有：（1,7,13）,（2,8,14）,……，（38,44,50）,共38個;

.......,

公差為24的等差數列有：（1,25,49）,（2,26,50）,共2個；

所以共有：2+4+6+…+40=2°（2+4°）=420,

所以能構成公差不小于5的等差數列的概率為：——

19600140

一,3

故答案為：——.

140

17.⑴見吧"

9〃

（2）7；,-—

n+1

【分析】（1）根據條件，利用。"與5”間的關系，得到從而得出數列｛%｝為等比

數列，即可求出結果；

（2）由（1）得出a=-g,從而得出工d=9[工一一]],再利用裂項相消法即可求出結

果.

【詳解】（1）因為2s“+與一1=0,所以當〃=1時，

當7?22時，2Sn_x+an_x-1=0,兩式相減得3%=a“_],又％=；*（）,

第15頁共21頁

所以數列｛〃"｝是以;為首項，;為公比的等比數列,

[n

(2)因為"=10g27%=10g27(§)"=一]，

19

所以

所以北=9、111119n

22334〃+1

18.(1)0.243

(2)2001

【分析】(1)根據正態分布的性質求出產(M2248)的值，再結合二項分布的概率計算，即

可得答案；

(2)根據正態分布的對稱性求出尸(248252)的值，確定X?8(K,0.8),結合正態分

布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.

【詳解】(1)由題意知每包牛肉干的質量M(單位：g)服從正態分布N(250Q2),且

<248)=0.1,

所以P(N2248)=1-0.1=0.9,

則這3包中恰有2包質量不小于248g的概率為C；x0.9?x0.1=0.243.

(2)因為尸(M<248)=0.1,所以尸(248cM<252)=(0.5-0.1)x2=0.8,

依題意可得X?B(K,0.8),所以D(X)=Kx0.8x(1-0.8)=0.16K,

因為。(X)>320,所以0.16K>320,K>2000,

又K為正整數，所以K的最小值為2001.

,、兀

以⑴3

⑵6

【分析】(1)由正弦定理邊角互化，化簡后利用正切值求角即得；

(2)充分利用三角形的角平分線將三角形面積進行分割化簡得b+c=cb,再運用余弦定理

解方程即得.

第16頁共21頁

【詳解】(1)因asinB=6sin/+三，由正弦定理可得:

sinB—sin/d-----cosA一sin/sinB=O

122J

BPsinBIcos__sinI=0.

因g￡（0,兀）,故sinBwO,則有3^cosZ=」sinZ,即tanZ=8,

22

因4c（0,兀），故力..

（2）因為4。為角平分線，所以邑"8+'"。=5“8。，

所以,N8sinNDAB+-AC-ADsinZDAC=X-AB-ACsinABAC.

222

因N8/C=W，ZDAB=ZDAC=-,AD=B則@48+左/C=4/"/C,

36444

即+=所以6+c=cb.

又由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos^=（6+C）2—36C,

把a=3收，6+c="分別代入化簡得：（He）。一3（6+c）-18=0,

解得：6+c=6或b+c=-3（舍去），所以6+c=6.

20.(1)證明見解析

⑵；■

【分析】(1)根據線線平行可得面面平行，進而根據面面平行的性質可得。尸///。，線線

垂直可求證線面垂直，進而根據線面垂直的性質即可求證，

(2)建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.

【詳解】⑴證明：取CD的中點尸，連接防，尸尸，。尸，因為E為尸C的中點，所以跖//尸D.

又EF(Z平面尸4D,PDu平面P4D,所以跖〃平面4PZ).

因為OE//平面尸4D,OE^\EF=E,O￡,E尸u平面O￡/，

所以平面OEF//平面PAD.

因為平面48C￡>c平面O￡F=OF,平面48coe平面尸4。=4。，所以OF//4D.

因為/Z)_LCZ),所以OF_LCD.

由PO」平面48CZ),CDu平面/8C。，可得PO_LCD.

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又POcOF=O,尸0,0尸u平面尸。尸，所以C0_L平面尸。尸，PPu平面尸。尸,

從而PFLCD.

因為P廠是CD的中垂線，所以尸C=PD.

（2）因為尸。［平面4BCD,所以尸C與平面N3CD所成的角為/尸CO=60。，

又。C_LOD,OC=OD,AB=CD=2,所以OC=OD=C，,PO=CcO=?>.

作。G_LBC,垂足為G,分別以南，OF.麗的方向為尤，y,z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，則。（TL0）,5（1,-3,0）,C（l,l,0）,P（0,0,V6）,

芯=（0,4,0）,75C=（1,1,-V6）,DC=（2,0,0）.

設平面尸8c的法向量為加=zj,

則1一,「令馬=1,得加

7

m-PC=xl+yi-y/6zi=0,、

設平面尸CD的法向量為〃=（%2，%/2）,

則一廠令力=布，得〃=0,孤,1.

H-PC=X2+J2-Vfe2=0,、）

/---\m-n111

所以cos（%,〃）=同口=萬短萬=-,即平面PBC與平面尸CD夾角的余弦值為,.

丫2

21.（吟——

⑵證明見解析

【分析】（1）由點到直線的距離公式、離心率公式以及平方關系再結合已知即可求解.

（2）當直線/的斜率存在時，不妨設/:>=履+俏，且發*±逅.動直線/與C相切可得A=0

6

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即6/=加+1,再由弦長公式、點到直線的距離公式表示出三角形面積，結合6左2=/+1即

可得解.

【詳解】(1)設右焦點為廠(c,0),一條漸近線方程為樂-ay=0,

所以該焦點到漸近線的距離為/1、=6=1

yja+b

2

因為e=￡=?c="+d，所以。=V6,C=J7.

a6

當直線/的斜率不存在時，/的方程為x=±指，此時|尸。|=2,邑op°=；x2xC=痛.

當直線/的斜率存在時，不妨設/：＞=履+冽，且左逅.

6

y=kx+m,

2）

聯立方程組x2得（1一6左2%2一12冽米一6冽2—6=0

丁—y=1,

o

22

由A=144小/+4（l-6^）（6m+6）=0,得6廿=,^+1,

y=kx+m