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矩陣的標準形

西安電子科技大學張鵬鴿矩陣的標準形線性代數中涉及矩陣的標準形有三種，分別是等價標準形、相似標準形和合同標準形.雖然各種矩陣的標準形不同，但它們有一個不變量——秩不變.(1)等價標準形與是同型矩陣，若經過一系列初等變換化為，則稱與等價.若，則又由于對作一次初等行（列）變換相當于左（右）乘一個初等矩陣，而初等矩陣的乘積是可逆陣，從而對階矩陣而言，存在階可逆方陣和階可逆方陣，使其中標準形的非負整數由原矩陣唯一確定.易見，矩陣的等價標準形唯一.(2)矩陣的相似標準形設均為階方陣，若存在可逆矩陣，則稱矩陣與相似.為什么要討論這一類標準形，是起源于實對稱陣如何化為對角陣，進而通過對角陣研究原矩陣.使得是的特征值.對角陣，其中設是實對稱陣，能否找到可逆陣（甚至正交陣）使得7將按列分塊，記，則有即易見可逆矩陣的第列是實對稱陣的特征值所對應的特征向量，這一表達式也正是方陣的特征值與特征向量的定義起源.事實上，如何求矩陣的相似標準形，首先求矩陣的全部特征值，進而求所有特征值所對應的特征向量.教材中有結論：實對稱陣必存在相似標準形.問題一般階方陣是否也存在相似標準形？幾何重數代數重數只有兩者相等時，原矩陣才可對角化.當然，這涉及到某個重特征值是否會對應個線性無關的特征向量，即幾何重數與代數重數之間恒有關系式：(3)合同標準形使，則稱與合同.對于同階方陣與，若存在可逆陣，使雖然合同的定義是針對一般階方陣定義的，但在實際應用中是用來研究二次型的主軸問題.因此，重點是以實對稱矩陣為研究對象，而矩陣的相似標準形中有結論：逆且）使得實對稱陣必存在正交陣（正交陣一定可

是的全部特征值.即與合同。其中，關鍵是要找一正交變換，使顯然，欲求二次型的標準形，這樣就化二次型為標準形了.有同學自然要問：矩陣的等價標準形唯一.實對稱矩陣的相

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