圓周運動模型中臨界問題和功與能-2024年高考

物理二輪熱點模型

國扇威I模整電臨界問題曲功與能

目顯

1.圓周運動的三種臨界情況

2.常見的圓周運動及臨界條件

3.豎直面內圓周運動常見問題與二級結論

模型講解

1.圓周運動的三種臨界情況

⑴接觸面滑動臨界：耳=小。

(2)接觸面分離臨界：琮=0。

(3)繩恰好繃緊：身=0；繩恰好斷裂：瑪達到繩子可承受的最大拉力。

2.常見的圓周運動及臨界條件

⑴水平面內的圓周運動

水平面內動力學方程臨界情況示例

水平轉盤上的物體

1

!

,干口,Ff=mct^r恰好發生滑動

1__________:__________1

1

1

1

1

圓錐擺模型

7ngtan9—mrat2恰好離開接觸面

\、、一—」/

(2)豎直面及傾斜面內的圓周運動

輕繩模型

/，一一、

//、\2恰好通過最高點，繩的拉力

1\

/\最高點：弓+mg=m—

I,?;r

\1恰好為0

\1

\/

\/

輕桿模型

一一、、

/\2

/\恰好通過最高點，桿對小球

1\

1\最高點：mg+F—m—

1(.1

1'，1r

\1的力等于小球的重力

\/

\\//

!>J

帶電小球在疊加場中的圓周運動

關注六個位置的動力學方程，最高

恰好通過等效最高點，恰好

點、最低點、等效最高點、等效最低

做完整的圓周運動

點,最左邊和最右邊位置

等效法

傾斜轉盤上的物體

最高點：mgsin9±耳=mco2r

恰好通過最低點

最低點Ff—mgsin9—ma^r

/

//

3.豎直面內圓周運動常見問題與二級結論

【問題1】一個小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內側做完整的圓周運動，軌道的最高點記為人和最低點記為

。，與原點等高的位置記為B。圓周的半徑為R

要使小球做完整的圓周運動，當在最高點A的向心力恰好等于重力時，由mg=m*可得u=的互①

對應。點的速度有機械能守恒

mg2A=fmv^_得vc=j5gR②

當小球在。點時給小球一個水平向左的速度若小球恰能到達與。點等高的。位置則由機械能守恒

mgR=-^mvi得vc=12gR③

小結：(1).當觀〉〃硒時小球能通過最高點A小球在A點受軌道向內的支持力

由牛頓第二定律K+mg=m等④

(2).當Vc=招漉時小球恰能通過最高點A小球在A點受軌道的支持力為0

由牛頓第二定律mg=772曾。⑤

rt

(3).當J硒<vc<J硒時小球不能通過最高點A小球在A點，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運動

離開圓周，且。越大離開的位置越高，離開時軌道的支持力為0

在LL4段射重力與半徑方向的夾角為。則mgcos。=m*、cos3=與

(4).當0<%</礪時小球不能通過最高點A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上

升的最高點為。永不脫離軌道

［問題2］常見幾種情況下物體受軌道的作用力

(1)從最高點人點靜止釋放的小球到達最低點C：由機械能守恒mg2R=■癰

在。點由牛頓運動定律：FN-mg=m當得6=5mg@

(2)從與O等高的。點(四分之一圓弧)處靜止釋放到達最低點C：由機械能守恒mgR=^mvl

在。點由牛頓運動定律：FN-mg=m號得瑪=3mg⑦

(3)從人點以初速度心=4gR釋放小球到達最低點

由機械能守恒mg2J?=-^-mvc一~

在。點由牛頓運動定律：圖—mg=m*

得FN=6mg⑧

案例剖析

.

til（2023上?安徽?高三校聯考期中）“旋轉秋千”是游樂園里常見的游樂項目，如圖甲所示，其基本裝置是將

繩子上端固定在轉盤的邊上,繩子下端連接座椅,游客坐在座椅上隨轉盤旋轉而在空中飛旋。若將“旋轉

秋千”簡化為如圖乙所示的模型，人和座椅看作質點，總質量約為館=80kg,圓盤的半徑為R=2.5m,繩

長L=仞2,圓盤以恒定的角速度轉動時，繩子與豎直方向的夾角為0=45°,若圓盤到達最高位置時離地

面的高度為九=22.5館,重力加速度g取lOm/s??在游玩過程中，游客的手機不慎從手中自由滑落。忽略空

氣阻力的影響，求：

（1）手機滑落瞬間的速度大??；

（2）手機落地點距離中心轉軸的距離。

圖甲圖乙

血］2（2023上?黑龍江佳木斯?高三校聯考期中）如圖，在豎直平面內，一半徑為R的光滑圓弧軌道和水平

軌道P4在A點相切，BC為圓弧軌道的直徑，O為圓心，04和OB之間的夾角為％sina=，一質量

5

為m的小球沿水平軌道向右運動，經A點沿圓弧軌道通過C點，落至水平軌道;在整個過程中，除受到重

力及軌道作用力外,小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在。點所受合力的方向指向圓心，且此

時小球對軌道的壓力恰好為零。重力加速度大小為g。（提示:可以嘗試把小球所受合力看作新的重力）

求：

（1）水平恒力的大小和小球到達。點時速度的大??；

（2）小球到達A點時動量的大小；

吼且（2023?北京市海淀區一模）如圖所示，輕桿的一端固定在通過。點的水平轉軸上，另一端固定一小球，輕

桿繞。點在豎直平面內沿順時針方向做勻速圓周運動，其中A點為最高點，。點為最低點，B點與。點

等高，下列說法正確的是（）

A.小球經過A點時，所受桿的作用力一定豎直向下

B.小球經過B點時,所受桿的作用力沿著30方向

C.從A點到。點的過程，小球重力的功率保持不變

D.從A點到。點的過程，桿對小球的作用力做負功

【提煉總結】解決豎直面內圓周運動的三點注意

1.豎直面內的圓周運動通常為變速圓周運動，合外力沿半徑方向的分力提供向心力，在軌跡上某點對物體進

行受力分析，根據牛頓第二定律列出向心力方程。

2.注意臨界問題:物體與軌道脫離的臨界條件是夙=0或瑪=00

3.求物體在某一位置的速度,可根據動能定理或機械能守恒定律，將初、末狀態的速度聯系起來。

題￡（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，被鎖定在墻邊的壓縮彈簧右端與質量為0.2kg、靜止于A點的滑

塊P接觸但不粘連,滑塊P所在光滑水平軌道與半徑為0.8m的光滑半圓軌道平滑連接于B點,壓縮的彈

簧儲存的彈性勢能為2.8J,重力加速度取lOm/sz,現將彈簧解除鎖定，滑塊P被彈簧彈出，脫離彈簧后沖

上半圓軌道的過程中（）

D

AB

A.可以到達半圓軌道最高點O

B.經過B點時對半圓軌道的壓力大小為9N

C.不能到達最高點。，滑塊P能到達的最大高度為1.35小

D.可以通過。點且在CD之間某位置脫離軌道,脫離時的速度大小為2.2m/s

綜合應用

題目工（2023?山東濰坊?統考模擬預測）如圖所示,質量為小的小物塊開始靜止在一半徑為R的球殼內，它

和球心。的連線與豎直方向的夾角為30°。現讓球殼隨轉臺繞轉軸一起轉動,物塊在球殼內始終未

滑動，重力加速度大小為。,則（）

A.靜止時物塊受到的摩擦力大小為猙mg

B.若轉臺的角速度為J嚕,小物塊不受摩擦力作用

C.若轉臺的角速度為藍，小物塊受到的摩擦力沿球面向下

D.若轉臺的角速度為2丫^,小物塊受到的摩擦力沿球面向下

題目囪（2023上?山西忻州?高三校聯考階段練習）如圖所示,長度為Z的輕繩一端固定在。點,另一端系著一

個質量為m的小球，當小球在最低點時，獲得一個水平向右的初速度2四,重力加速度為g,不計空氣

阻力。在此后的運動過程中，下列說法正確的是（）

T。

O—>vo

A.小球恰好能到達豎直面內的最高點

B.當小球運動到最右端時，小球所受的合力大小為2mg

C.輕繩第一次剛好松弛時,輕繩與豎直方向夾角的余弦值為4

D.初狀態在最低點時，細繩對小球的拉力大小為4mg

題目叵〕（2023?寧夏石嘴山?高三?？茧A段練習）如圖所示，小球m在豎直放置的光滑圓形

管道內做圓周運動,下列說法中正確的有（）

A.小球通過最高點的最小速度為］g（R+r）

B.小球通過最高點的最小速度為零

C.小球在水平線ab以上管道中運動時，內側管壁對小球一定無作用力

D.小球在水平線就以下管道中運動時，外側管壁對小球可能無作用力

題目④（2023上?山東德州?高三統考期中）如圖所示，一半徑為R的圓環處于豎直平面內，A是與圓心等高

點，圓環上套著一個可視為質點的、質量為m的小球。現使圓環繞其豎直直徑轉動，小球和圓環圓心。的

連線與豎直方向的夾角記為。，轉速不同，小球靜止在圓環上的位置可能不同。當圓環以角速度0勻速轉

動且小球與圓環相對靜止時（）

C.若小球與圓環間的摩擦因數為〃，且小球位于A點，則角速度。可能等3=，詈

D.若小球與圓環間的摩擦因數為〃，且小球位于A點，則角速度。可能等于。=J1

題目回（2023上?重慶梁平?高三統考階段練習）如圖甲所示的陀螺可在圓軌道的外側旋轉而不脫落,好像軌

道對它施加了魔法一樣,被稱為“魔力陀螺”。其物理原理可等效為如圖乙所示的模型:半徑為R的磁性圓

軌道豎直固定，質量為小的小鐵球視為質點在軌道外側轉動，兩點分別為軌道上的最高、最低點，鐵

球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變,重力加速度為g,不計摩擦和空氣阻力，下列說法正確的是

A.鐵球可能做勻速圓周運動

B.鐵球繞軌道轉動時機械能不守恒

C.鐵球在A點的速度一定大于或等于癡反

D.要使鐵球不脫軌，軌道對鐵球的磁性引力至少為5mg

【題目回（多選）（2024?四川成都??？家荒＃┤鐖D所示,傾角為30°的斜面體置于粗糙的水平地面上,斜面上有

一質量為4m的滑塊，通過輕繩繞過光滑的滑輪與質量為m的帶正電的小球（可視為質點）相連，滑輪下方

有一個光滑的小孔，輕繩與斜面平行。小球在水平面內做圓周運動,輕繩與豎直方向的夾角也為30°。斜面

體和滑塊始終靜止，滑塊與斜面的動摩擦因數為乎，小球與小孔之間的繩長為乙,重力加速度為9,下列說

法正確的是（）

A.斜面體所受到地面的摩擦力大小為mg

B.若增大小球的轉速，繩子對小孔的作用力減小

C.若增大小球的轉速,小球能達到的最大轉速為上、序

D.若此時在空間加上豎直向下的電場，要使小球的轉速不變，則小球到轉動中心的距離增大

額目叵〕（多選）.（2023上?陜西咸陽?高三統考期中）如圖所示,在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體人和

mA—4kg,mB—1kg,它們分居在圓心兩側，與圓心距離為rA—0.1m,rB—0.2m,中間用細線相連，4B與

盤間的動摩擦因數均為〃=0.2,設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，若圓盤從靜止開始繞中心轉軸非常緩慢

地加速轉動，g=10m/s2,以下說法正確的是（）

A.B的摩擦力先達到最大

B.當s=2A/5rad/s時,繩子出現張力

C.當。=，期rad/s時，兩物體出現相對滑動

D.當。=52rad/s時，兩物體出現相對滑動

題目瓦（多選）（2024?湖南株洲?統考一模）如圖，質量為機的電動遙控玩具車在豎直面內沿圓周軌道內壁以

恒定速率級運動，已知圓軌道的半徑為五,玩具車所受的摩擦阻力為玩具車對軌道壓力的k倍,重力加速度

為g,P、Q為圓軌道上同一豎直方向上的兩點，不計空氣阻力，運動過程中，玩具車（）

A.在最低點與最高點對軌道的壓力大小之差為6mg

B.通過P、Q兩點時對軌道的壓力大小之和為圓管

C.由最低點到最高點克服摩擦力做功為如mid

D.由最低點到最高點電動機做功為2k7imv2+2mgR

題目⑥侈選）（2023上?四川綿陽?高三綿陽中學?？茧A段練習）在X星球表面宇航員做了一個實驗:如圖甲

所示,輕桿一端固定在。點，另一端固定一小球,現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，小球運動

到最高點時,受到的彈力為F,速度大小為“，其F-d圖像如圖乙所示。已知X星球的半徑為耳）,引力常

A.X星球的第一宇宙速度g=

B.X星球的密度p=,九

4兀G%

。*星球的質量河=桀

Gr/t

D.環繞X星球的軌道離星球表面高度為凡的衛星周期T=4兀

［題目I（多選）（2023上?安徽?高三校聯考階段練習）如圖所示,在豎直平面內固定有半徑為R的光滑圓弧

軌道ABC,其圓心為。，B點在0的正上方，4、。點關于OB對稱，AAOB=a.可看成質點的物塊自A

點以初速度。。沿著軌道切線方向向上運動,并且能沿軌道運動到B點。已知重力加速度為g,sin37°=

0.6,下列說法正確的有（）

B

>C

6*

A.若&=37°,則物塊在人點初速度可能為

B.若4=37°,則物塊在人點初速度可能為

C.若2=53°,則物塊在人點初速度可能為

D.若&=53°,則物塊在人點初速度可能為

題目Q1（多選）（2023上?湖南?高三校聯考期中）如圖所示,半圓豎直軌道與水平面平滑連接于B點,半圓軌

道的圓心為O,半徑為五，。為其最高點。BD段為雙軌道，。點以上只有內軌道，。點與圓心的連線與水

平方向夾角為仇一小球從水平面上的A點以一定的初速度向右運動，能沿圓弧軌道恰好到達。點。不計

一切摩擦。則（）

c

D

A.小球到達。點時速度為0

B.小球到達C點后做平拋運動落在地面上

C.小球在A點的初速度為J硒

D.若小球到達。點時對內外軌道均無彈力，則sin。=

題目衛1（多選）（2023上?四川綿陽?高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）如圖，固定在豎直面內的光滑

軌道ABC由直線段和圓弧段BC組成，兩段相切于B點，段與水平面夾角為。，BC段圓心為O,

最高點為。、人與。的高度差等于圓弧軌道的直徑2R。小球從A點以初速度加上軌道，能沿軌道運動恰

好到達。點，下列說法正確的是（）

A.小球從B到。的過程中，對軌道的壓力逐漸增大

B.小球A從到C的過程中，重力的功率先增大后減小

C.小球的初速度2=J硒

D.若小球初速度g增大,小球有可能從B點脫離軌道

題目J3（2023上?湖北?高三荊門市校聯考階段練習）生產流水線可以提高勞動效率，下圖是某工

廠生產流水線的水平傳輸裝置的俯視圖，它由同一水平面的傳送帶和轉盤組成，每間隔0.2秒在A處無初

速放一個物品到傳送帶上，物品（可視為質點）運動到B處后進入勻速轉動的轉盤表面，隨其做半徑R=

2.0m的圓運動（與轉盤無相對滑動）,到。處被取走裝箱，已知A、B的距離L=6.4機，物品與傳送帶間的

動摩擦因數〃尸0.5,傳送帶的傳輸速度和轉盤上與轉軸°相距為△處的線速度均為v=2.0m/s，取9=

10m/s2，問：

（1）物品從A處運動到5處的時間t多大？

（2）若物品在轉盤上的最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，則物品與轉盤間的動摩擦因數〃2至少為多大？

題目工（2023上?江蘇鹽城?高三校聯考階段練習）如圖所示,質量為m的茶杯（視為質點）放在水平餐桌的

轉盤上，茶杯到轉軸的距離為r,轉盤勻速轉動，每秒鐘轉n周，茶杯與轉盤保持相對靜止。求：

（1）茶杯所受的摩擦力大小八

（2）每轉半周茶杯的動量變化量大小幽。

題目J5（2024?四川自貢?統考一模）如圖，在豎直平面內，固定有半徑品=1機和半徑上=0.3巾的光滑圓形

軌道,他們軌道弧長分別占圓周的J和;，圓軌道與水平軌道分別相切于B點和。點,且平滑連接。某時

亥U,讓質量為mi=0.1kg,不帶電的絕緣小滑塊P從A點靜止釋放，經圓軌道滑至B點，從B點進入水平軌

道,與靜止在C點、的帶電小滑塊Q發生彈性碰撞，滑塊Q的質量為巾2=0.1kg,電荷量為q=+lC=整個過

程中滑塊Q的電荷量始終保持不變，滑塊P、Q均可視為質點，與水平軌道間的動摩擦因數均為〃=

0.LBC間距±=2巾，CD段光滑?；瑝KQ從。點進入光滑軌道DMN時，此時加入水平向右范圍足夠大

的勻強電場，場強大小E=V^N/C。已知重力加速度9=lOm/s?。求：

（1）小滑塊P剛到j滑道最低點B時對圓軌道的壓力；

（2）小滑塊P與小滑塊Q碰撞后Q的速度大小為多少？

（3）通過計算判斷當Q進入光滑絕緣半圓軌道后是否會脫離軌道？若不會，則求經過N點的速度大

小;若會，試求Q離開半圓軌道時的速度大小為多少？（計算結果可用根式表示）

題|豆,（2023上?內蒙古呼和浩特?高三呼和浩特市回民中學校考階段練習）如圖所示,質量為m的小球通

過長度為五的輕繩懸掛于固定點現將其拉到某一高處A點（讓繃直）并由靜止釋放，當小球擺動到

O點正下方B點時,繩恰好斷掉,之后小球恰好垂直落到斜面CD上，已知斜面傾角為個=30°,OBC三點

在同一豎直線上，繩能承受的最大拉力為工mg,不計空氣阻力，重力加速度為g。求：

5

（1）小球到達B點時的速度%及釋放點距離B點的高度%;

（2）小球落到CD上的位置與。的距離s

10

o

、題目叵〕（2023上?江西?高三校聯考階段練習）有一款彈球游戲的裝置如圖所示。平臺離地面的高為一

半徑為R、下端有一小缺口的豎直光滑圓軌道固定在平臺上，圓軌道的最低點與平臺邊緣重合。地面上的

彈射裝置將質量為m的小球A以一定的速度斜射出，到最高點恰好射入平臺,與放在圓軌道最低點的半徑

等大的小球B相撞。已知小球入與B碰撞前的速度大小為=2j硒，其中g為重力加速度。忽略空氣阻

力、小球的大小以及彈射裝置的高度。

（1）求彈射裝置與平臺邊緣的水平距離s；

（2）若在B上附著橡皮泥，球和泥總質量為6,兩球碰撞后共同運動，求碰撞過程中損失的機械能E；

（3）若小球B的質量為m”4、B的碰撞為彈性碰撞，碰撞后立即撤去球將小缺口補上，變成完整的圓軌

道，要使球B被碰后始終沿圓道運動，求神。的范圍。

題目［＞1（2023上?遼寧丹東?高三統考期中）粗糙水平地面AB與半徑7?=0.2m的光滑半圓軌道BCD平滑

連接,且在同一豎直平面內，。是BCD的圓心。質量m=0.1kg的小物塊在2.5N的水平恒力F的作用下,

從A點由靜止開始做勻加速直線運動。在運動到半圓軌道上的B點時撤去恒力F。（小物塊與水平地面

間的動摩擦因數〃=0.5,g=lOm/s,）求：

（1）若xAB=0.5小,小物塊運動到半圓軌道上的B點時，軌道對它的支持力的大?。?/p>

（2）若小物塊恰好能運動到半圓軌道上的。點，則間的距離此1s多大。

建目山（2023上?陜西西安?高三校考期中）如圖所示,水平粗糙軌道OB與處于豎直平面內的半圓形光滑軌

道平滑連接，半圓的直徑與地面垂直,半圓形光滑軌道半徑R=0.5mo一質量m=1kg的小物塊（可

視為質點）將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，小物塊恰好通過。點，并落回至A點，小物塊與地面間的動摩

???

擦因數〃=0.1,重力加速度g=10m/s2o

⑴求A、B兩點間的距離；

（2）求彈簧被壓縮至A點時的彈性勢能；

（3）若改變半圓形光滑軌道的半徑,小物塊從。點飛出后做平拋運動的水平距離也將改變,則R為多少時,

水平距離有最大值？最大值為多少？

題目回（2023上?四川綿陽?高三統考階段練習）如圖所示，不可伸長、長為L的輕質細繩一端固定在P點，

另一端系一質量為小的小球?，F將小球拉至細繩沿水平方向繃緊的狀態后，由靜止釋放，小球在豎直平面

內運動，經過某位置Q點，已知P、Q連線與水平面的夾角為心不計空氣阻力，重力加速度大小為g。求：

（1）求小球在位置Q點時細繩對小球拉力T的大小；

（2）若小球在位置Q點時小球豎直分速度最大，求sin0的值。

題目叵（2023上?陜西商洛?高三校聯考期中）一豎直平面內半徑為R的光滑圓軌道如圖所示，一質量為m

的小球（可視為質點）在大小恒定、方向始終指向圓心的外力的作用下，在圓軌道外側沿著軌道做圓周運

動，當小球通過最低點B時，小球的速度大小外=J硒（9為重力加速度大?。?，軌道對小球的彈力大小為

2mg,求：

（1）外力的大??；

（2）小球運動到最高點時所受的彈力大小。

題目［22（2023?四川德陽?統考一模）為助力2025年全運會，2023年11月25日-26日，粵港澳大灣區滑板公

開賽在廣州大學城體育中心滑板場順利舉辦,為大灣區市民群眾帶來了一場精彩紛呈的極限運動盛會。如

圖所示為一質量機=50kg的運動員，從離水平地面高h=7m的斜坡上靜止滑下,滑過一段水平距離后無

碰撞進入半徑為五=5小、圓心角為。=53°的圓弧軌道BC,從。點沖出軌道后，在空中做出各種優美動作

后落于水平地面的。點。已知圓弧軌道的3點切線水平,運動員在運動過程中不計一切摩擦，同時將其視

為質點，重力加速度大小為10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6.求：

（1）運動員運動到B點時,地面對運動員的支持力大小；

(2)運動員從。點離開軌道至落地的過程，在空中運動的時間。X1)

6—■

77777777777

BD

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國國運前模整申臨界問題曲功與能

國顯

1.圓周運動的三種臨界情況

2.常見的圓周運動及臨界條件

3.豎直面內圓周運動常見問題與二級結論

______________W

模型講解

1.圓周運動的三種臨界情況

⑴接觸面滑動臨界：吁=冗3

(2)接觸面分離臨界：琮=0。

(3)繩恰好繃緊：身=0；繩恰好斷裂：瑪達到繩子可承受的最大拉力。

2.常見的圓周運動及臨界條件

⑴水平面內的圓周運動

水平面內動力學方程臨界情況示例

水平轉盤上的物體

1

,干口,Ff=mct^r恰好發生滑動

1__________:__________1

1

1

1

1

圓錐擺模型

7ngtan9—mrat2恰好離開接觸面

\、、一—」/

(2)豎直面及傾斜面內的圓周運動

輕繩模型

/，一一、

//、\2恰好通過最高點，繩的拉力

1\

/\最高點：弓+mg=m—

I,?;r

\1恰好為0

\1

\/

\/

輕桿模型

一一、、

/\2

/\恰好通過最高點，桿對小球

1\

1\最高點：mg+F—m—

1(.1

1'，1r

\1的力等于小球的重力

\/

\\//

!>J?M

帶電小球在疊加場中的圓周運動

關注六個位置的動力學方程，最高

恰好通過等效最高點，恰好

點、最低點、等效最高點、等效最低

做完整的圓周運動

點,最左邊和最右邊位置

等效法

傾斜轉盤上的物體

最高點：mgsin9±耳=mco'r

恰好通過最低點

最低點F)—mgsin9—ma^r

/

//

3.豎直面內圓周運動常見問題與二級結論

【問題1】一個小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內側做完整的圓周運動，軌道的最高點記為人和最低點記為

。，與原點等高的位置記為B。圓周的半徑為R

要使小球做完整的圓周運動，當在最高點A的向心力恰好等于重力時，由mg=m*可得u=的互①

對應。點的速度有機械能守恒

mg2A=fmv^_得vc=j5gR②

當小球在。點時給小球一個水平向左的速度若小球恰能到達與。點等高的。位置則由機械能守恒

mgR=-^mvi得vc=12gR③

小結：(1).當觀〉〃硒時小球能通過最高點A小球在A點受軌道向內的支持力

由牛頓第二定律K+mg=m等④

(2).當Vc=招漉時小球恰能通過最高點A小球在A點受軌道的支持力為0

由牛頓第二定律mg=772曾。⑤

rt

(3).當J硒<vc<J硒時小球不能通過最高點A小球在A點，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運動

離開圓周，且。越大離開的位置越高，離開時軌道的支持力為0

在LL4段射重力與半徑方向的夾角為。則mgcos。=m*、cos3=與

(4).當0<%</礪時小球不能通過最高點A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上

升的最高點為。永不脫離軌道

［問題2］常見幾種情況下物體受軌道的作用力

(1)從最高點人點靜止釋放的小球到達最低點C：由機械能守恒mg2R=■癰

在。點由牛頓運動定律：FN-mg=m當得6=5mg@

(2)從與O等高的。點(四分之一圓弧)處靜止釋放到達最低點C：由機械能守恒mgR=^mvl

在。點由牛頓運動定律：FN-mg=m號得瑪=3mg⑦

(3)從人點以初速度心=4gR釋放小球到達最低點

由機械能守恒mg2J?=-^-mvc一~

在。點由牛頓運動定律：圖—mg=m*

得FN=6mg⑧

案例剖析

.

til（2023上?安徽?高三校聯考期中）“旋轉秋千”是游樂園里常見的游樂項目，如圖甲所示，其基本裝置是將

繩子上端固定在轉盤的邊上,繩子下端連接座椅,游客坐在座椅上隨轉盤旋轉而在空中飛旋。若將“旋轉

秋千”簡化為如圖乙所示的模型，人和座椅看作質點，總質量約為館=80kg,圓盤的半徑為R=2.5m,繩

長L=仞2,圓盤以恒定的角速度轉動時，繩子與豎直方向的夾角為0=45°,若圓盤到達最高位置時離地

面的高度為九=22.5館,重力加速度g取lOm/s??在游玩過程中，游客的手機不慎從手中自由滑落。忽略空

氣阻力的影響，求：

（1）手機滑落瞬間的速度大??；

（2）手機落地點距離中心轉軸的距離。

圖甲圖乙

【答案】（l）5，^m/s;（2）15nz

【詳解】（1）設乘客和座椅的總質量為m,繩子拉力為馬,對乘客和座椅整體進行分析，有

Frcos3=mg,瑪sin。=+Esin。）

聯立，解得

co—V2rad/s

手機滑落瞬間的速度

v=+Lsin0）

解得

v=5V2m/s

（2）手機滑落后做平拋運動，豎直方向有

h—Leos3=

解得

t=2s

則平拋運動的水平位移為

x=vt=10V2m

手機落地點距離中心轉軸的距離

s=J（R+Z/sin-y

解得

s=15m

血］2（2023上?黑龍江佳木斯?高三校聯考期中）如圖，在豎直平面內，一半徑為R的光滑圓弧軌道ABC和水平

軌道P4在人點相切，BC為圓弧軌道的直徑，。為圓心，。4和OB之間的夾角為sina=9一質量

5

為小的小球沿水平軌道向右運動，經A點沿圓弧軌道通過。點，落至水平軌道;在整個過程中，除受到重

力及軌道作用力外,小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C點所受合力的方向指向圓心，且此

時小球對軌道的壓力恰好為零。重力加速度大小為g。(提示:可以嘗試把小球所受合力看作新的重力)

求：

(1)水平恒力的大小和小球到達。點時速度的大小；

(2)小球到達A點時動量的大?。?/p>

【答案】⑴告mg,⑵叱跡

【詳解】(1)設水平恒力的大小為耳，小球到達。點時所受合力的大小為Fo由力的合成法則有

=tan。①

mg

F2=(mgy+片②

設小球到達。點時的速度大小為以由牛頓第二定律得

2

F=m4③

rt

由①②③式聯立解得

用=-|-mg④

懺⑤

(2)設小球到達4點的速度大小為上，作CD，P4,交P4于。點，由幾何關系得

DA=_Rsina@

CD=22(1+cosa)⑦

由動能定理有

—mg-CD—號DA=-^-mv2-

由④⑤⑥⑦⑧式解得，小球在人點的動量大小為

my/23gR向

p=mVi=---------(9)

【總結提升】解決圓周運動問題的基本思路

I分析物體受力情況，畫出受力示意圖，確定向心力來源T

|利用平行四邊形定則、正交分解法等表示出徑向合力|

一根據牛頓第二定律及向心力公式列方程

@18（2023?北京市海淀區一模）如圖所示，輕桿的一端固定在通過。點的水平轉軸上，另一端固定一小球，輕

桿繞O點在豎直平面內沿順時針方向做勻速圓周運動，其中A點為最高點，。點為最低點，B點與。點

等高，下列說法正確的是（）

A

/、、

//\\

//\\

------]

'\------------!/I

\\/'

\、?/

、?/

C

A.小球經過A點時，所受桿的作用力一定豎直向下

B.小球經過B點時,所受桿的作用力沿著80方向

C.從A點到。點的過程，小球重力的功率保持不變

D.從A點到。點的過程，桿對小球的作用力做負功

【答案】。

2

【解析】小球經過4點時，合外力提供向心力，則當小球速度較小時有m號Vmg,則所受桿的作用力豎直

22

向上；當小球速度較大時有叫■>mg,則所受桿的作用力豎直向下；當小球速度滿足=mg時，則桿

對小球無作用力，故A錯誤；

小球重力和桿的作用力的合力提供向心力，則小球在B點所受桿的作用力斜向右上方，故3錯誤；

人點和。點處重力與速度方向垂直，則小球重力的功率為0,B點處重力與速度共線，故重力功率不為0,

則從4點到。點的過程，小球重力的功率先增大再減小，故。錯誤；

A到C的過程中，重力做正功，根據動能定理可知叫什用產△瓦=0,故桿對小球的作用力做負功，故。

正確。

【提煉總結】解決豎直面內圓周運動的三點注意

1.豎直面內的圓周運動通常為變速圓周運動，合外力沿半徑方向的分力提供向心力，在軌跡上某點對物體進

行受力分析，根據牛頓第二定律列出向心力方程。

2.注意臨界問題:物體與軌道脫離的臨界條件是0=0或瑪=0。

3.求物體在某一位置的速度，可根據動能定理或機械能守恒定律，將初、末狀態的速度聯系起來。

皿￡（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，被鎖定在墻邊的壓縮彈簧右端與質量為0.2kg、靜止于A點的滑

塊P接觸但不粘連，滑塊P所在光滑水平軌道與半徑為0.8m的光滑半圓軌道平滑連接于B點，壓縮的彈

簧儲存的彈性勢能為2.8J，重力加速度取10m/s2，現將彈簧解除鎖定,滑塊P被彈簧彈出，脫離彈簧后沖

上半圓軌道的過程中（）

A.可以到達半圓軌道最高點。

B.經過B點時對半圓軌道的壓力大小為9N

C.不能到達最高點。，滑塊P能到達的最大高度為1.35小

D.可以通過。點且在CD之間某位置脫離軌道,脫離時的速度大小為2.2m/s

【答案】BC

【詳解】設滑塊P恰能通過最高點。，則有

mg=m—vl

it

解得

vD—2V2m/s

則滑塊P從B點到D點,根據動能定理有

V/Q7~）__121，2

—mgX2R——mvD---mvB

解得滑塊在B點的動能為

f

EkB=4J>2.8J

所以滑塊不能到達半圓軌道最高點O,故A錯誤；

石.滑塊經過6點時的速度大小為。以根據功能關系可得

j-i_12

E彈簧一%TTIVB

在B點根據牛頓第二定律可得

FN-mg=m^

聯立解得

FN=9N

根據牛頓第三定律可知對半圓軌道的壓力大小為9N,故B正確；

CD.滑塊在。點的重力勢能為

Ep'—mgR—0.2X10X0.8J=1.6J<2.8J

則滑塊可以通過。點且在CD之間某位置脫離軌道，此時的速度大小為0

E彈簧=3md+mgR（l+cos。）

根據牛頓第二定律可得

mgcosd^m^

K

聯立解得

9=60°,v=2m/s

滑塊離開軌道后做斜上拋運動

v=ncos30°=2x=V3m/s