重難點突破01數式.圖形與函數的規(guī)律探索問題

目錄

?題型特訓?精準提分

類型

數式

律

規(guī)

一

a-二

型

題

01記數類規(guī)律

型

題

02系數規(guī)律

型

題

03等式類規(guī)律

型

題

04數陣類規(guī)律

型

題

05末尾數字規(guī)律

型

題

06楊輝三角

型

題

07與實數運算有關的規(guī)律題

型

類

二圖形規(guī)律

型

題

01圖形固定累加型

型

題

02圖形漸變累加型

型

題

03圖形個數分區(qū)域累加型

型

題

圖形循環(huán)規(guī)律

型04

題

與幾何圖形有關的規(guī)律探索

型05

類

三函數規(guī)律

型

題

型函數圖象規(guī)律

題01

型函數上點的規(guī)律

題02

型函數象與幾何形的律

類03圖圖規(guī)

題型特訓-精準提分

記數類規(guī)律

系數規(guī)律

等式類規(guī)律

數陣類規(guī)律

數數式規(guī)律

末尾數字規(guī)律

式

楊輝三角

,與實數運算有關的規(guī)律題

圖

形

圖形固定累加型

與

圖形漸變累加型

函

圖形個數分區(qū)域累加型

數圖形規(guī)律

圖形循環(huán)規(guī)律

的

規(guī)與幾何圖形有關的規(guī)律探索

律

探函數圖象規(guī)律

索7魴函數上點的規(guī)律

函數規(guī)律----------------

問------------函數圖象與幾何圖形的規(guī)律

題

新定義類規(guī)律

類型一數式規(guī)律

關于數式規(guī)律性問題的一般解題思路：

(1)先對給出的特殊數式進行觀察、比較；

(2)根據觀察猜想、歸納出一般規(guī)律；

(3)用得到的規(guī)律去解決其他問題

1.數字猜想型:數字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎上發(fā)現題目中所蘊涵的數量關系，先猜想，然后通過

適當的計算回答問題。

2.數式規(guī)律型:數式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結論，以列代數式即函

數關系式為主要內容.

題型01記數類規(guī)律

1.（2023?浙江衢州?校考一模）觀察下列數據：0,3,8,15,24,它們是按一定規(guī)律排列的，依照此

規(guī)律，第201個數據是（）

A.40400B.40040C.4040D.404

【答案】A

【分析】觀察不難發(fā)現，各數據都等于完全平方數減1,然后列式計算即可得解.

【詳解】V0=12-1,

3=22-1,

8=32-1,

15=42-1,

24=52-1,

.?.第201個數據是:2012-1=40400,

故選：A.

【點睛】此題考查了數字變化規(guī)律，觀察出各數據都等于完全平方數減1是解題的關鍵.

2.（2022.內蒙古鄂爾多斯.統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數據依次為京p710按此規(guī)律排列,

1017

則第30個數是

【答案】新

3n-2

【分析】由所給的數,發(fā)現規(guī)律為第〃個數是,當〃=30時即可求解.

n2+l

710

【詳解】解：

I1017

第〃個數是3n-2

n2+l

當”=30時，竽=萼188

n2+l302+1901

故答案為：新

【點睛】本題考查數字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數，探索出數的一般規(guī)律是解題的關鍵.

3.（2020?西藏?統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數:

1,3,5,7,9,11,13,15,17,.

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究發(fā)現：第1個相同的數是1,第2個相同的數是7,…，若第n個相同的數是103,則n等于（）

A.18B.19C.20D.21

【答案】A

【分析】根據探究發(fā)現:第1個相同的數是1,第2個相同的數是7,第n個相同的數是6（n-l）+l=6n-5,

進而可得幾的值.

【詳解】解：第1個相同的數是1=0x6+1,

第2個相同的數是7=1x6+1,

第3個相同的數是13=2x6+1,

第4個相同的數是19=3x6+1,

…,

第九個相同的數是6（九-1）+1=6n-5,

所以6九一5=103,

解得九=18.

答：第71個相同的數是103,則九等于18.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了數字變化規(guī)律，確定出相同數的差值，從而得出相同數的通式是解題的關鍵.

4.（2022?湖南懷化?統(tǒng)考模擬預測）正偶數2,4,6,8,10,……,按如下規(guī)律排列，

2

46

81012

14161820

則第27行的第21個數是.

【答案】744

【分析】由圖可以看出，每行數字的個數與行數是一致的，即第一行有1個數，第二行有2個數，第三行

有3個數.....第n行有n個數，則前n行共有也羅個數，再根據偶數的特征確定第幾行第幾個數是幾.

【詳解】解：由圖可知，

第一行有1個數，

第二行有2個數,

第三行有3個數,

第〃行有〃個數.

，前n行共有1+2+3+…+〃=辿羅個數.

，前26行共有351個數，

，第27行第21個數是所有數中的第372個數.

???這些數都是正偶數，

...第372個數為372x2=744.

故答案為：744.

【點睛】本題考查了數字類的規(guī)律問題，解決這類問題的關鍵是先根據題目的已知條件找出其中的規(guī)律，

再結合其他已知條件求解.

題型02系數規(guī)律

5.（2023?四川成都?校考一模）探索規(guī)律：觀察下面的一列單項式:X、一2/、4/、-8x\16x\根

據其中的規(guī)律得出的第9個單項式是（）

A.—256/B.256/C.-512x9D.512/

【答案】B

【分析】根據已知的式子可以得到系數是以-2為底的幕，指數是式子的序號減1,x的指數是式子的序號.

【詳解】解：第9個單項式是（-2）9-59=256/.

故選：B.

【點睛】本題考查了單項式規(guī)律題，正確理解式子的符號、次數與式子的序號之間的關系是關鍵.

6.（2020?云南?統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項式：a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,第ri個單

項式是（）

A.（―2尸一%B.（-2）naC.2n-1aD.2na

【答案】A

【分析】先分析前面所給出的單項式，從三方面（符號、系數的絕對值、指數）總結規(guī)律，發(fā)現規(guī)律進行

概括即可得到答案.

【詳解】解:1■,a,-2a,4a,—8a,16a,—32a,

可記為：(-2)%,(-2)%,(~2)2a,(-2)3a,(~2)4a,(-2)%,…,

第？i項為：(-2嚴一%.

故選A.

【點睛】本題考查了單項式的知識，分別找出單項式的系數和次數的規(guī)律是解決此類問題的關鍵.

7.(2023?云南昆明?昆明八中校考三模)按一定規(guī)律排列的單項式：—x,3/,-5x3,7x4,-9x5,第

71個單項式是()

A.(2n—1)(—B.(2n+1)(—%)"C.(2n+l)xnD.(2n—l)xn

【答案】A

【分析】根據題目中的單項式，可以發(fā)現系數的絕對值是一些連續(xù)的奇數且第奇數個單項式的系數為負數，

比的指數是一些連續(xù)的正整數，從而可以寫出第n個單項式.

【詳解】解：A、當n=l時，第一個單項式為：—》符合題意；

B、當n=l時，第一個單項式為：-3x,不符合題意，排除；

C、當幾=1時，第一個單項式為：3x,不符合題意，排除；

D、當幾=1時，第一個單項式為：X,不符合題意，排除；

故選：A.

【點睛】此題考查了數字的變化規(guī)律，單項式的系數和指數，解此題的關鍵是明確題意，發(fā)現單項式系數

和字母指數的變化特點及規(guī)律.

題型03等式類規(guī)律

8.(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題)觀察下面的等式：32—12=8x1,52-32=8x2,72-52=8x3,92—

72=8X4,…

⑴寫出192-"2的結果.

(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論(用含〃的等式表示，〃為正整數)

(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的.

【答案】(1)8x9

(2)(2n+I)2-(2n-l)2=8n

(3)見解析

【分析】(1)根據題干的規(guī)律求解即可；

(2)根據題干的規(guī)律求解即可；

(3)將(2n+l)2-(2Tl-1)2因式分解，展開化簡求解即可.

【詳解】(1)192-"2=8X9；

(2)(2n+I)2-(2n-l)2=8n；

(3)(2n+l)2-(2n-l)2

=(2n+1+2n—l)(2n+1—2n+1)

=4nx2

=8n.

【點睛】此題考查數字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運算，解題關鍵是通過觀察，分析、歸納

發(fā)現其中的變化規(guī)律.

9.(2022.安徽.統(tǒng)考中考真題)觀察以下等式：

第1個等式：(2x1+1)2=(2x2+1)2-(2x2)2,

第2個等式：(2x2+1)2=(3x4+1產—(3x4)2,

第3個等式：(2x3+1)2=(4x6+1)2-(4x6)2,

第4個等式：(2x4+1)2=(5x8+1)2—(5x8)2,

按照以上規(guī)律.解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含〃的式子表示)，并證明.

【答案】(1)(2x5+=(6x10+I)2-(6x10)2

(2)(2n+I)2=[(n+1)-2n+l]2—[(n+1)-2n]2,證明見解析

【分析】(1)觀察第1至第4個等式中相同位置的數的變化規(guī)律即可解答；

(2)觀察相同位置的數變化規(guī)律可以得出第"個等式為(2n+1)2=[(n+l)-2n+l]2-[(n+l)-2n]2,

利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明.

【詳解】(1)解：觀察第1至第4個等式中相同位置數的變化規(guī)律，可知第5個等式為：(2X5+1)2=

(6x10+1)2—(6x10)2,

故答案為：(2x5+=(6x10+I)2-(6x10)2；

(2)解：第n個等式為(2n+I)2=[(n+1)-2n+I]2-[(n+1)-2n]2,

證明如下：

等式左邊：(2n+I)2=4n2+4n+1,

等式右邊：[(幾+1)-2n+l]2-[(n+1)-2n]2

=[(n+1)-2n+1+(n+1)-2n]?[(n+1)-2n+1—(n+1)-2n]

=[(n+1)-4n+1]x1

=4n2+4n+1,

故等式(2n+l)2=[(n+1)-2n+l]2—[(n+1)-2TIK成立.

【點睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現所給數據的規(guī)律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關

鍵.

10.(2022.安徽淮南.統(tǒng)考二模)(1)初步感知，在④的橫線上直接寫出計算結果：

①=1；②"3+23=3；③，1.3+23+3?=6；@V13+23+33+43=；...

(2)深入探究，觀察下列等式：

01+2=O+：)X2；②1+2+3=③1+2+3+4=a+7x4；

根據以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當內容：

1+2+3+?--+n+(n+1)=.

(3)拓展應用，通過以上初步感知與深入探究，計算：

①“3+23+33+…+993+1003；

②113+123+133+???+193+203.

n

【答案】(1)10；(2)(+2器1)；(3)①5050；②41075

【分析】(1)觀察可得，每個式子的結果都等于被開放數中所有加數的底數之和；

(2)所有自然數相加的和等于首項+尾項的和再乘以自然數的個數，最后除以2即可;

(3)利用(1)(2)中的規(guī)律綜合運用即可求解.

【詳解】解；⑴10；

⑵(葭+2)(英+2)

(3)①原式=1+2+3+4+5+???+99+100

(1+100)x1.00=5050；

2

②原式=13+23+33+…+183+193+203-(I3+23+33+…+103)

400X441_100X121=44100—3025=41075.

4444

【點睛】主要考查了二次根式的基本性質與化簡、探尋數列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個知識點的應用,

其中探求規(guī)律是解題關鍵

題型04數陣類規(guī)律

11.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數表（橫排為行，豎排為列），按數表中的規(guī)律，分數孤若

排在第a行b列，則a—b的值為（）

1

1

12

21

123

321

1234

4321

A.2003B.2004C.2022D.2023

【答案】C

【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現，分數的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數，分母與其所在行數

一致.

【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現，分數的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數，分母與其所在行數

一致，故照在第20歹U,即b=20；向前遞推到第1列時，分數為《黑白=總，故分數總與分數總在

同一行.即在第2042行，則a=2042.

.,.a-b=2042-20=2022.

故選：C.

【點睛】本題考查了數字類規(guī)律探索的知識點，解題的關鍵善于發(fā)現數字遞變的周期性和趨向性.

12.（2018.湖北十堰.中考真題）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數陣，按圖中數陣的排列規(guī)律，第9行

從左至右第5個數是（）

1

V2V3

2V5V6

V72V23V10

A.2710B.V41C.5V2D.V51

【答案】B

【分析】由圖形可知，第n行最后一個數為-1+2+3+…n=產密，據此可得答案.

【詳解】由圖形可知，第n行最后一個數為+2+3+…丁=平^，

:.第8行最后一個數為杉=V36=6,

.?.第9行從左至右第5個數是=V41,

故選B.

【點睛】本題主要考查數字的變化類，解題的關鍵是根據題意得出第n行最后一個數為

13.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）將從1開始的連續(xù)自然數按以下規(guī)律排列:

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

請根據上述規(guī)律解答下面的問題：

⑴第6行有個數；第〃行有個數（用含〃的式子表示）；

⑵若有序數對（九，血）表示第〃行，從左到右第小個數，如（3,2）表示6.

①求（11,20）表示的數；②求表示2023的有序數對.

【答案】⑴11;2n-l；

（2）①120；②（45,87）

【分析】（1）觀察前5行發(fā)現：后一行數字的個數比前一行多2個，以此規(guī)律解答即可；

（2）①先求第11行最后一個數，然后判斷（11,20）為第11行倒數第二個數即可解答；

②先根據442v<452判斷2023為第45行的數字,然后根據2023比第45行最后一個數字2025小2,

2O23

即可判斷.

【詳解】（1）解：第1行有1個數，

第2行有3=1+2個數，

第3行有5=1+2x2個數，

第4行有7=1+2x3個數，

第5行有9=1+2x4個數，

，第6行有1+2x5=11個數,

第n行有1+2(n-l)=(2n-1)個數；

(2)解：①?..第11行有2X11-1=21個數，且最末尾的數是=121,

而(11,20)表示第11行的第20個數，

(11,20)表示的數是121-1=120：

②:442=1936,452=2025,

A442<2023<452,

.".2023位于第45行,

?.?第45行有45X2-1=89個數，而2023與2025相差2個數，

.".2023位于第45行的第87個數，

表示2023的有序數對是(45,87).

【點睛】本題考查了數字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關鍵.

題型05末尾數字規(guī)律

14.(2022.湖北鄂州.統(tǒng)考中考真題)生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模

型.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示.即:

2』2,22=4,23=8,24=16,25=32,……，請你推算22<磔的個位數字是()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】利用已知得出數字個位數的變化規(guī)律進而得出答案.

【詳解】解：?；2i=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

尾數每4個一循環(huán)，

：2022+4=505...2,

...22022的個位數字應該是：4.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了尾數特征，根據題意得出數字變化規(guī)律是解題關鍵.

15.(2023?河南南陽?統(tǒng)考一模)觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

根據其中的規(guī)律可得7。+71+72+.??+72。23的結果的個位數字是（）

A.0B.1C.7D.8

【答案】A

【分析】由已知可得尾數1,7,9,3的規(guī)律是4個數一循環(huán)，則7。+7】+72+…+72023的結果的個位數

字與7。+7】+72+73的個位數字相同，即可求解.

【詳解】解：V70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

尾數1,7,9,3的規(guī)律是4個數一循環(huán)，

；1+7+9+3=20,

Z.7°+71+72+73的個位數字是0,

又「2024+4=506,

.,.7°+71+72+…+72。23的結果的個位數字與%+71+72+7?的個位數字相同,

...7。+71+72+…+72023的結果的個位數字是0.

故選：A.

【點睛】本題考查數的尾數特征，能夠通過所給數的特點，確定尾數的循環(huán)規(guī)律是解題的關鍵.

16.（2022?湖南湘西?校考模擬預測）觀察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,

…，根據這個規(guī)律，則21+22+23+24+…+22022的末尾數字是（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】D

【分析】通過觀察發(fā)現2〃的個位數字是2、4、8、6四個數字依次不斷循環(huán)，直接填空即可；

【詳解】解：通過觀察發(fā)現2"的個位數字是2、4、8、6四個數字依次不斷循環(huán)，且2+4+8+6=20,尾數為

0

2022-4=500...2,

則尾數為2+4=6,

故選D.

【點睛】此題考查幕的乘方末尾的數字規(guī)律，注意觀察循環(huán)的數字規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

題型06楊輝三角

17.（2023.四川成都.模擬預測）我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出如圖，此表揭示

了（a+b￥（"為非負整數）展開式的各項系數的規(guī)律，例如：

（a+6）1=a+b,展開式有兩項，系數分別為1,1;

（a+b}2=a2+lab+b2,展開式有三項，系數分別為1,2,1；

（a+&）3=a3+3a2b+3ab2+b3,展開式有四項，系數分別為1,3,3,1；

根據以上規(guī)律，（〃+。）4展開式共有五項，系數分別為.

I$BI

【答案】1、4、6、4、1

【分析】此題考查完全平方公式，多項式展開式，數字的變化規(guī)律，正確觀察已知的式子與對應的三角形

之間的關系是關鍵.

觀察可得（a+b）71（w為非負整數）展開式的各項系數的規(guī)律：首尾兩項系數都是1,中間各項系數等于

（a+by1-1相鄰兩項的系數和.

【詳解】解：根據題意知，（a+b）4的各項系數分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1,

即：1、4、6、4,1；

（a+b），=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

故答案為：1、4、6、4、1.

18.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了

如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”.

11（a+b）i=a+b

121（a+bypKZa加

13313a〃+乂

14641

（。+6）4=,4+4東護+6a*+4a"+"

???

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規(guī)律，（a+b）7展開的多項式中各項系數之和為—.

【答案】128

【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結果.

【詳解】根據題意得：(a+6)5展開后系數為：1510,10,5,1,

系數和：1+5+10+10+5+1=32=25,

(a+b)6展開后系數為：1,6,15,20,15,6,1,

系數和：1+6+15+20+15+6+1=64=26,

(a+展開后系數為：1,7,21,35,35,21,7,1,

系數和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27,

故答案為：128.

【點睛】此題考查了多項式的乘法運算，以及規(guī)律型：數字的變化類，解題的關鍵是弄清系數中的規(guī)律.

19.(2022下?重慶?九年級重慶巴蜀中學校考階段練習)我國古代數學的許多發(fā)現都曾位于世界前列，其中

楊輝三角(如圖)就是一例.這個三角形給出了(a+b)"(幾=1,2,3,456...)的展開式(按a的次數由大到

小順序排列)的系數規(guī)律.例如在三角形中第三行的三個數1,2,1,恰好對應(口+匕)2=(12+2仍+62展

44

開式中各項的系數；第四行的五個數1,4,6,4,1,恰好對應著(a+b)=a+4a3b+6a2b2+4ab3+匕4展

開式中各項的系數等等.有如下結論：①“楊輝三角”中第9行所有數之和1024；②“楊輝三角”中第20行

第3個數為190；③(a+b)3=a3—3a2b-3仍2+〃；④993+3x99?+3x99+1的結果是1。6；⑤當代

數式￡14+8口3+24￡12+32￡1+16的值是1時，a的值是—1或—3.上述結論中，正確的有()

o行

1

1行

11

行

“2

弓

3行121

4行1331

5行14641

15101051

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】根據每一行的數字，找到其和的規(guī)律為124,8,16,25,…可得每一行的數字和為2%進而可以判斷①，

根據從第2行起，每一行的第三個數字分別為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4…找到規(guī)律第九行的的第3個

數字為變產，即可判斷②，根據第三行的數字可得(a+b)3=a3+3a2b+3aF+b3,即可判③④，根據

(a+2)4=a4+Sa3+24a2+32a+16=1,因式分解一元二次方程即可求得a的值，即可判斷⑤

【詳解】解：???每一行的數字，其和的規(guī)律為1,2,4,8,16,25,…

???第n行的數字和為2%

則“楊輝三角”中第9行所有數之和29=512

故①不正確；

???從第2行起，每一行的第3個數字分別為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4…

???第九行的第3個數字為彎國，

???“楊輝三角”中第20行第3個數為迎羅2=190；

故②正確；

第三行的數字為1,3,3,1可得，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

故③不正確，

???993+3X992+3X99+1=(99+I)3=(102)3=IO6

故④正確

(a+2)4=a4+8a3+24a2+32a+16=1,

(a+2尸=1

(a+2)2=1

解得a=—1或a=-3

a的值是一1或-3.

故⑤正確

故正確的有3個，

故選B

【點睛】本題考查了因式分解解一元二次方程，數字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關鍵.

20.(2022?重慶巴南?統(tǒng)考模擬預測)“楊輝三角”給出了(a+匕產展開式的系數規(guī)律(其中，為正整數，展開

式的項按a的次數降幕排列)，它的構造規(guī)則是：兩腰上都是數字1,而其余的數則是等于它肩上的兩個數

之和.例如：(a+b)2=a?+2例+爐展開式的項的系數1,2,1與“楊輝三角”第三排對應：(a+b)3=a3+

3a2b+3ab2+b3展開式的項的系數i,3)3)b與“楊輝三角，，第四排對應；依此類推……判斷下列說法正

確的是()

1

11

\Z

121(a+b)2

i￥Y

1?g+z>)3

Vv\z

146411?…(。+與‘

①“楊輝三角”第六排數字依次是：1,5,10,10,5,1；

②當a=2,b=—1時，代數式+3a2。+3ab2+產的值為—1；

③(a+b)2022展開式中所有系數之和為22022；

④當代數式a4-8a3+24a2-32a+16的值為1時，a=1或3.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】運用楊輝三角形的排列規(guī)律，及展開式的系數規(guī)律采用賦值法逐一驗證即可求解.

【詳解】如圖，依次規(guī)律可得“楊輝三角”第六排數字依次是：1,5,10,10,5,1,故說法①正確;

當a=2,b=—1時，a3+3a2b+3ab2+b3—(a+b)3=(2-I)3=1,故②說法錯誤；

令a=l,b=l,則(a+b)2022=(1+1)2022=22022,故說法③正確；

當代數式a”-8a3+24a2-32a+16的值為1時，

即a，-8a3+24a2-32a+16=1,

Aa4+4x(-2)%3+6x(-2)2a2+4x(-2)3a+(-2)4=(a-2)4=1,

(a—2)2=1或(a-2>=-1(不合題意，舍去),

a—2=±1,

解得a=3或1,

故說法④正確,

1

11..................................(a+b)l

V

121..................................(a+bp

v\/

(a+b)3

1331

VW

(a+b>

..(a+b)5

15101051.............................

綜上可得，說法正確的有①③④，

故選：C

【點睛】本題考查了楊輝三角的規(guī)律與展開式的系數規(guī)律,正確把握其中的關系以及合理使用賦值法是解

題的關鍵.

題型07與實數運算有關的規(guī)律題

21.(2022?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題)觀察下列一組數：2,|,....它們按一定規(guī)律排列，第〃個數記為廝，

且滿足-=■貝！J%=________，。2022=__________?

anan+2an+l

【答案】1蠢

【分析】由題意推導可得吟即可求解?

【詳解】解:由題意可得：aj=2=|,"2=瀉,哈

..1.12

?-----1-----=一，

a2a4a3

1

???2-7,

?_1_2

??a4=-=一，

510

..1,12

a4

同理可求〃6=：=/,…

816

?.an=—-------

3(71-1)4-1

?_21

??42022=670767473032’

11

故答案為:

5’3032

【點睛】本題考查了數字的變化類，找出數字的變化規(guī)律是解題的關鍵.

22.（2021?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）已知的為實數，規(guī)定運算：=1—<=1—工=1—工，=

1--,.......，a=1———.按上述方法計算：當的=3時，。2021的值等于（）

。4nan-l

A.--B.-C.--D.-

3323

【答案】D

【分析】當生=3時，計算出@2=|,%=—”4=3,……，會發(fā)現呈周期性出現，即可得到02021的值.

【詳解】解：當。1=3時，計算出=|,。3=—”4=3,

會發(fā)現是以：3,|,-5循環(huán)出現的規(guī)律,

???2021=3x673+2,

a2021=="

故選：D.

【點睛】本題考查了實數運算規(guī)律的問題，解題的關鍵是：通過條件，先計算出部分數的值，從中找到相

應的規(guī)律，利用其規(guī)律來解答.

23.（2020?浙江金華?統(tǒng)考一模）求1+2+22+23+...+2202。的值，可令S=1+2+22+23+...+22。2。，則2s

=2+22+23+24+...+22021,因此2S—S=2202i—l.仿照以上推理，計算出1+2020+20202+20203+...十

20202020的值為（）

.2020202°-12O2O2021-!。2O2O2021-!、20202o2o-l

A.------------B.------------C.------------D.------------

2020202020192019

【答案】C

【分析】由題意可知S=1+2020+20202+20203+...+20202020①，可得到2020S=2020+20202+20203+...

+20202M+20202021②，然后由②一①，就可求出S的值.

【詳解】解：設$=1+2020+20202+20203+...+20202。20①

則2020S=2020+20202+20203+...+2O2O2020+202()202i②

由②一①得：

2019s=20202021—1

?c20202O21-l

.?3--?

2019

故答案為：C.

【點晴】本題主要考查探索數與式的規(guī)律，有理數的加減混合運算.

24.（2023?浙江?統(tǒng)考一模）有一列數，記為的,a2,an,記其前〃項和為%=%++…+以，定義

&+Sz：…+S"

Tn=為這列數的，，亞運和，，,現有99個數的，a2,a99,其“亞運和”為1000,則1,a1,a2,

（299這100個數的“亞運和”為（）

A.791B.891C.991D.1001

【答案】C

【分析】根據“亞運和”的定義分析可得99個數的，a2,....a9g,其“亞運和”為1000,,即1+S?+…+S99=

99x1000.同理根據定義求新數列1,%,a2,....&99這100個數的“亞運和”.

【詳解】解：^=1000,

?'.Si+S2+…+S99=99X1000,

1,alfQ2，…，的9這10。個數的"亞運和''為

1+1+S1+I+S2+,0,+1+S99

100

1X100+S]+512+…+S99

=100

_lx100+99X1000

二100

=1+990

=991.

故選：C.

【點睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經常出現.對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分

發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.關鍵是找到S1+S2+-+S99=99x1000.

25.（2022?四川達州.統(tǒng)考中考真題）人們把粵。0.618這個數叫做黃金比，著名數學家華羅庚優(yōu)選法中的

“0.618法”就應用了黃金比?設a=第＞b=記S1=書+捻，$2=總？+號P…，Sioo=二+

100

則S]+S2+—FS=

1+b100100

【答案】5050

【分析】利用分式的加減法則分別可求S/=l,S=2,Soo=lOO,…，利用規(guī)律求解即可.

Vs—1Vs+i

【詳解】解:a—,b7=

2-------2

1A

???ab=-/-5--1x-V-5-+-1=11,

22

2+a+b2+a+by

T=1，

'.'S1=而+G=1+a+b+ab2+a+b

2222

2,2-2+a+b仁2+a+b

---7-I---77=2X---1--；--;~~=2X；~-

1+a21+b2l+a2+b2+a2b22+a2+b2

_1001001+a100+1+bwo_

+100100

S100=1+aloo1+*00=義i+aioo+bioo+aioobioo=

***S]+S2+…+Si。。=1+2+……+100=5050

故答案為：5050

【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，求得ab=l,找出的規(guī)律是本題的關鍵.

26.（202L湖南懷化.統(tǒng)考中考真題）觀察等式：2+22=23—2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=

25—2,……，已知按一定規(guī)律排列的一組數：2】。。，2101,2]。2,……，2199,若21。。=加，用含血的代數

式表示這組數的和是.

【答案】m2-m

【分析】根據規(guī)律將21。°,2101,2]。2,……，2】99用含力的代數式表示，再計算2。+21+…+299的和，即

可計算21°°+2101+2101+???+2】99的和.

【詳解】由題意規(guī)律可得：2+22+23+…+2"=2100-2.

V2100=m

；?2+22+23+…+299+2=2ioo=m=2om,

V2+22+22+…+2"+2100=2101-2,

2101=2+22+23+—F2"+2100+2=m+m=2m=21m.

2102=2+22+23+—F2"+2100+2101+2=m+m+2m=4m=22m.

2103=2+22+23+—F2"+2100+2101+2102+2=m+m+2m+4m=8m=23m.

.?.2199=299m.

故21°°+2101+2101+—F2199=2°m+21m+—F299nl.

令2°+2】+22+…+2"=S①

21+22+23+???+2100=2s②

②-①，得21°°-1=5

2100+2101+2101+—F2199=2°m+2rm+—F2"m=(2100—l)m=m2-m

故答案為：m2-m.

【點睛】本題考查規(guī)律問題，用含有字母的式子表示數、靈活計算數列的和是解題的關鍵.

27.(2021?四川眉山?統(tǒng)考中考真題)觀察下列等式：均=11+^+^=|=1+^-；

AlJ.ZZJ.XZ

根據以上規(guī)律，計算％1+%2+%3+…+%2020-2021=

【分析】根據題意，找到第〃個等式的左邊為1+吃+』，等式右邊為1與的和；利用這個結論

?Jnz(n+l)2n(n+l)

得到原式=1工+1工+12+...+1----------------2021,然后把工化為1-工，工化為工-三，--------化為1-1,再進

26122020X2021226232020x202120152016

行分數的加減運算即可.

【詳解】解：由題意可知，-+白+』=1

71(71+1)'"2U20—1?2020X2021

、nz(n+1)2

+%2+%3--------H%2020—2021

1111

=1i+1-+1—+...+1——-——-2021

26122020X2021

=2020+1-V-i+...+-^------------2021

22320202021

=2020+1---2021

2021

_1

2021,

故答案為：一嘉?

【點睛】本題考查了二次根式的化簡和找規(guī)律,解題關鍵是根據算式找的規(guī)律，根據數字的特征進行簡便

運算.

28.（2023?內蒙古?統(tǒng)考中考真題）觀察下列各式:

Si=小+1+1=1+力$2==1+六'$3=J1+/+[=1+曰一

利用你所的律，算：

請發(fā)現規(guī)計Si+S2+…+S50=.

【答案】50拳等

【分析】直接根據已知數據變化規(guī)律進而將原式變形求出答案.

【詳解】S1+$2+…+S50

111

1++1++???+1+

1x22x350x51

11111

50+(1-2+2-3+，，，+50-51

5唱

故答案為：50g.

【點睛】本題考查數字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題的關鍵.

類型二圖形規(guī)律

方法總結：解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前

一個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，找出數量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結論.

題型01圖形固定累加型

解題技巧：對于圖形固定累加首先要確定基礎圖形中含所求圖形的個數a,在確定出后一個圖形在前一個圖

形的基礎上累加的所求圖形的個數b（即固定累加圖形個數），再根據固定累加的圖形規(guī)律推導出與序數n有

關的關系式為a+b（n-l）.

29.（2023.重慶.統(tǒng)考中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個

圖案中有5