上海市崇明區(qū)2024屆高三一模數(shù)學試題

一、填空題

i.不等式歸一z<i的解集為.

k答^2(1,3)

K解析X由|無—2|<1得—l<x—2<1,解得

故不等式|尤—2]<1的解集為(1,3).

故K答案H為：(1,3).

2

2.雙曲線V—21=1的焦距為.

4

K答案1275

k解析X由已知。2=1,人2=4,所以02=5,所以焦距為2遍，故K答案》為2百.

3.若復數(shù)2=相2_4+(m+2)1(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實數(shù)加的值為

口答案》2

—4—0

K解析】由于復數(shù)z=W-4+O+2)i(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，所以〈，

m+2^0

解得根=2,

故K答案』為：2.

4.已知等比數(shù)列｛/｝首項q=l,公比q=2,則邑=.

R答案H31

(解析]=

「q

故￡=32-1=31,

故K答案為為：31.

5.+的展開式中/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

[[答案』10

K解析》由（x+W］的展開式的通項公式為Ck%5-=C>23%5-3尢，

左=0,1,-,5,

令5—3k=2,得％=1,

所以展開式中/的系數(shù)為C；x2i=10.

故［答案》為：10.

6.已知圓錐的母線與底面所成角為45。，高為1,則該圓錐的母線長為

K答案XV2

（解析》已知圓錐的母線與底面所成角為45。，高為1,

因為圓錐底面半徑、高、母線長構(gòu)成一個直角三角形，

所以底面圓半徑為1,所以母線長等于=

故（答案X為：72.

7.在空間直角坐標系中，點/1,-2,3）到X0y平面的距離為.

1答案X3

K解析》在空間直角坐標系中，點尸（L-2,3）到x0y平面的距離為豎坐標的絕對值，即為

3.

故（答案》為：3

8.如圖是小王同學在籃球賽中得分記錄的莖葉圖，則他平均每場得分.

03578

1012004

（答案』9

3+5+7+8+10+11+12+10+10+14

K解析》平均數(shù)為=9.

10

故［答案》為：9

9.己知事件A與事件8相互獨立，如果P（A）=0.4,P（8）=0.7,則p（XB）=

K答案H0.42

K解析』由事件A與事件B相互獨立，則事件了與事件B相互獨立，

又P(A)=0.4,P(3)=0.7,

則P(AnB)=P(A)P(B)=(1-P(A))P(B)=(1-0.4)x0.7=0.42

故K答案』為：0.42.

10.用易拉罐包裝的飲料是超市和自動售賣機里的常見商品.如圖，是某品牌的易拉罐包裝

的飲料.在滿足容積要求的情況下，飲料生產(chǎn)商總希望包裝材料的成本最低，也就是易拉罐

本身的質(zhì)量最小.某數(shù)學興趣小組對此想法通過數(shù)學建模進行驗證.為了建立數(shù)學模型，他

們提出以下3個假設(shè)：(1)易拉罐容積相同；(2)易拉罐是一個上下封閉的空心圓柱體；(3)

易拉罐的罐頂、罐體和罐底的厚度和材質(zhì)都相同.

你認為以此3個假設(shè)所建立的數(shù)學模型與實際情況相符嗎？若相符，請在以下橫線上填寫

“相符”；若不相符，請選擇其中的一個假設(shè)給出你的修改意見，并將修改意見填入橫線.

(答案》假設(shè)2中，易拉罐的頂部類似于圓臺；假設(shè)3中，易拉罐的罐頂和罐底材質(zhì)比罐

體的材質(zhì)厚

K解析》由題意知，某品牌的易拉罐包裝的飲料，在滿足容積要求的情況下，飲料生產(chǎn)商

總希望包裝材料的成本最低，也就是易拉罐本身的質(zhì)量最小，

所以假設(shè)2不合理，應為“易拉罐的頂部類似于圓臺”；

假設(shè)3不合理，應為“易拉罐的罐頂和罐底材質(zhì)比罐體的材質(zhì)厚”.

故［答案》為：假設(shè)2中，易拉罐的頂部類似于圓臺；假設(shè)3中，易拉罐的罐頂和罐底材

質(zhì)比罐體的材質(zhì)厚.

11.已知不平行的兩個向量■滿足k|=1,=6.若對任意的teR,都有"回22

成立，則”的最小值等于.

(答案X幣

K解析』依題意，設(shè)行與〃的夾角為。(0＜。＜兀)，忖=%(切＞0),

因為|Q|=1,(2,b=5/3,所以|《忖cos。,即加＜056=1^，

則cos0='^=［-1,1］，所以加

m

因為對任意的，￡R,都有卜一口22成立，

所以（人一秘『24,即『_2加力+?JN4，即r—2四+/—420對于rwR恒成立，

故A=（2石）-4（m2-4）<0,又m>0,解得m之，

綜上，加2夕，則慟的最小值為J7.

故K答案》為：幣.

12.已知正實數(shù)a,4c,d滿足°2一歷+1=0,c~+d2^\,則當（〃-。>+仍-^^取得最小值

時，ab=.

［答案》正+i

2

K解析》可將（a—cy+S—益轉(zhuǎn)化為（a,。）與（c,d）兩點間距離的平方，

由a?—ab+1=0,得b=aT，

a

而/+12=1表示以（0,0）為圓心，1為半徑的圓，（C,d）為圓上一點，

則（。泊）與圓心（0,0）的距離為：

，/+/=J+'+J=J2a2+±+2>^2^2a2-^+2=120+2，

當且僅當2/=3，即。=±：1時等號成立，

a2V2

此時（a,。）與圓心（0,0）距離最小，即（。力）與（c,d）兩點間距離的平方最小,

即（a-c）2+（b-di取得最小值.

當a=3口時，ab=a2+1=+1,

V22

故［答案X為：交+1.

2

二、選擇題

13.己知集合A={R—2KxV3},B={x\x>0],則AD5=()

A.[-2,3]B,[0,3]C.(0,+“)D.[-2,+oo)

K答案XD

K解析工因為集合4=卜卜2<x<3},B={x|x>0},因此，AuJB=[-2,+oo).

故選：D.

14.若x>y>0,則下列不等式正確的是（)

11

A.pt<yB.x2<y1C.-<-D.

%y

（答案』C

k解析》對A,若x=2,y=l,則x>y>0,但|x|>|y|,A錯誤;

對B,若％=2,y=l,則y>。，但V>y2,B錯誤

若％=2,y=l,則x>y>0,2=受>而=后，D錯誤;

對D,

結(jié)合反比例函數(shù)y=」知其在（0,+8）單調(diào)遞減，則x>y>0,11

對C,有一<一,C正確.

%y

故選:c

15.已知點〃為正方體ABC。-451G2內(nèi)部（不包含表面）的一點.給出下列兩個命題:

/：過點〃有且只有一個平面與AA和與G都平行；

%：過點M至少可以作兩條直線與M和與G所在的直線都相交.

則以下說法正確的是（）

A.命題價真命題，命題必是假命題B.命題夕1是假命題，命題必是真命題

C.命題名,%都是真命題D.命題山，火都是假命題

K答案1A

K解析』已知點M為正方體ABC。—44G。內(nèi)（不包含表面）的一點，過點M的平面

為a,

如圖所示:

對于分，在平面A41Ao與平面BBgC之間與平面A41Ao與平面BBXCXC平行的平面均與

AA和耳G平行，如平面a,當點M為正方體ABC。—A4G。內(nèi)(不包含表面)的一點，

滿足要求的平面有且只有一個，故命題分是真命題;

對于％，A4〃平面8片CC，所以如果M點在面B4GC上時,

過M的直線如果跟瓦G相交，則與A&異面，不會相交，所以命題%是假命題.

故選：A.

16.若存在實數(shù)對任意實數(shù)xe［0,l］,使得不等式V一根<以+6<彳3+小恒成立,

則實數(shù)機的取值范圍是(

、

A「6，1.迪,+8

A.——，+8B.

99

7

飛*)

——,+00

3

7

(答案］A

K解析U不等式—加工依+人4%3+加等價于—根<—］3+公+人工加即

|-%3+av+Z?|<m,

原命題等價于存在實數(shù)a,b,對任意實數(shù)xe［0,l］不等式卜丁+6+可〈根恒成立,

等價于存在實數(shù)a,b,不等式卜爐+改+司Gm成立,

IImax

t己/(元)=一九3+QX+/?,則/'(%)=—3元2+〃，

(1)當〃<0時，對任意］￡［0』］,/(X)<0恒成立，即/⑺在［0,1］上單調(diào)遞減

a+b-l</(%)<b

①當。+/?—1+人20,即時，l/ool3=/?,

②當Q+Z?—1+Z?VO,即時，|/(x)1m^=—〃-6+1,

\b，一2

從而當a?O時，g(b)=<

—Cl—/?+171—61

【,b<-----

2

1—a1-a]

則g(b)在(-00,方-)上單調(diào)遞減，在行一,+8上單調(diào)遞增,

LLrt/J\1—Cl1—Cl1

所以g3)nun=g(Z三一)=三一25;

(2)當0<a<3時，令尸(x)=0,解得

了(無)在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

/

2a

f@=b,f+人，/(I)=ci+b—l,

①當。<〃<1時a+b-l<b,止匕時a+b-l</(x)V1，+/?,

a)當a+b—l+g《+8<(Wb<H—時，|/(刈儂=-a-Z?+l,

,)當a+b—1+網(wǎng)即62，—時，i/a)i=—J-+^,

3V3223V31lmax3V3

-2a-b+8h<—~

L2

從而當0<Q?1時,g⑸=<2ala,

—Ai—b1

3\3,b>——

2

11a[a

則g3)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間大一彳“一彳\/彳，+8上單調(diào)遞

223V3]

增,

/

11a1aaa

所以g3)min=g------ci—

(2262~233

a則0＜叱《，gS）而n|3oa13oa

令t=--------1+1,記/z(，)=-----1+t,

2222

則/z'?)=3/-3/)=3r?—1),

當時，"?）＜°恒成立，

、

即丸⑺在區(qū)間0,J；j上單調(diào)遞減，即丸⑺V|

,min=h=

~~9~

■7

即g（叫n*；

②當l<a<3時a+b—1>/?,此時+

a)當6+次』@+6<0即b<—時,

l/（x）L=一乩

3\33V3

0當6+即武一A三時,

aaaV（x）L

33

aa

-b,b<——

33

從而當1＜QV3時,g(6)=<2a

(+乙>0a

T3'F

/

-1上單調(diào)遞減，在區(qū)間a

則g（8）在區(qū)間j,+?上單調(diào)遞增,

所以gS)mm=g

（3）當aN3時，對任意xe[O,l],尸（%）2。恒成立，即/（尤）在[0,1]上單調(diào)遞增,

b</(x)<a+b-l

—d

①當〃+/?—1+b20,即b2----時

2"/(BLL+A-L

②當Q+Z?-l+Z?<0,即時，|/(X)lmax二一匕，

,b>

2。+6-8F

從而當QN3時,gS)=<

-b1-a

,b<

F

則g(?在(-8,9)上單調(diào)遞減，在一,+s］上單調(diào)遞增,

1—aCL—1

所以gS)mm=g(〒)=丁之1；

綜上所述，g3)min=*，

所以加

9

故選：A.

三、解答題

17.如圖，四棱錐P—A6CD中，上4,平面ABC。，AB//CD,PA=AB=AD=2,

CD=1,ZADC=90°,E,尸分別為AB的中點.

(1)求證：CE〃平面BLD；

(2)求點8到平面PC廠的距離.

(1)證明：取中點G,連接GE、GD,

由于E是PB的中點，則GE〃A3,GE=-AB,

2

由于CD〃AB,CD=-AB=1,所以GE//CD,GE=CD,

2

所以四邊形CDGE是平行四邊形，所以CE〃GD,

由于CE<ZQA。上，DGu平面QA。，

所以CE〃平面BLD.

(2)解：設(shè)點B到平面PCV的距離為"

因為上4J_平面A5CD,CEu平面ABCD,所以？A，CF\

由于CEV/Ab,CD=AF,所以四邊形A0CR是平行四邊形,

由于/4DC=90°,所以CF1AB,

由于A3cPA=A,AB,R4u平面Q4B,

所以CE，平面R45,

又尸尸u平面P43，所以CFLPE,

在Rtz\R4F中，PF=d展+f=B所以S^PFC=gcF-PF=布,又

SZ人A…oCr=-2CF-BF=1.

由心BCF=VB-PCF得;SA

BCFPCF'h，

SBCF.以=1x22石

即/z=

r

S.PCF小

所以/=正,即點8到平面PCF的距離為地.

18.在一ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為。、b、c,a=5,b=6.

4

(1)若cos3=-不，求A和」RC外接圓半徑R的值；

(2)若三角形的面積=”也，求C.

△4

4兀)，且sin3二,1一cos?：

解:(1)因為cos5=,貝許B=.

dh-----=——二

由正弦定理，得一^=—^=27?,即sinA3

sinAsmB—

即sinA=—,R=59

2

因為a<b,所以Ae[o,]],因此A=6，R=5；

(2)由S4=!仍sinC得.「2sA幣,

2sine=——=--------=——

ab5x64

于是cosC=±71-sin2C=±-.

4

3,3

當cosC=一時，由余弦定理，c=5_+62-2x5x6x—=16.

44

當cosC=-|時，由余弦定理，得=5?+6?-2x5x6x1-■|)=106.

所以，。=4或C=V106.

19.交通擁堵指數(shù)(TPI)是表征交通擁堵程度的客觀指標，用TPI表示，TPI越大代表擁堵

實際行程時間

程度越高.某平臺計算TPI的公式為:并按TPI的大小將城市道路

暢通行程時間

擁堵程度劃分如下表所示的4個等級:

TPI[1.1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級暢通緩行擁堵嚴重擁堵

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下圖：

(1)從2022年元旦及前后共7天中任取1天,求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁

堵”的概率；

（2）從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022

年同日TPI高的天數(shù)記為X,求所有X的可能值及其發(fā)生的概率.

解：（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路

擁堵程度為“擁堵”；

設(shè)7天中任取1天，這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為P=~.

7

（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI比2022年

同日TPI高的天數(shù)共有2天，

所以X的所有可能值為0」,2,

「3102

p(x=o)=百

357心|）=個＜4

P（X=加設(shè)1

7

20已知拋物線「i：/=4x,「2：/=2x,直線/交拋物線和于點A、D,交拋物線上于點

B、C,其中點A、B位于第一象限.

ky

（1）若點A到拋物線口焦點距離為2,求點A的坐標；

（2）若點A的坐標為（4,4）,且線段AC的中點在x軸上，求原點。到直線/的距離;

（3）若A3=2CD，求△49。與3OC的面積之比.

解：（1）拋物線：/=4x的準線為x=—1,

因為點A到拋物線I；焦點的距離為2,

所以點A到拋物線J準線的距離為2,

所以點A的橫坐標為1,

代入方程的/=4,解得y=±2,

因為點A位于第一象限，

故點A的坐標為(1,2).

(2)設(shè)。(后,為)，則線段AC的中點坐標為(士黃，三%)

因為線段AC的中點在無軸上，

所以三比=0,故為=—4,

代入方程得(-4)2=2%，解得%=8,所以C(8,-4),

"v—4x—4

所以直線/的方程為：上一=——，整理得：2x+y—12=0

-4-48-4

所以原點。到直線I的距離d=,12=中好

V22+l25

(3)由題意，直線/的斜率左顯然存在且左W0,

設(shè)直線/的方程為>=區(qū)+6,

設(shè)A(xp%),D(X2,y2),B(X3,y3),C(x4,y4)

由AB=2CD，得%-X=2(乃-V4)-①，

2

由<y—4x,得:-y-y+b=Q,

y=kx+b4

因為直線/與拋物線「i交于點A、D,

44b

所以/=1一的>0,即如<1,且/+%=—,yy=—,

kx2k

“22b

同理，%+%=「%%=不，

kk

所以X+%=2(%+為)②，③，

由①，②得：％=-%，代入③得%=一2%，代入②得3%=4%

設(shè)原點。到直線/的距離為d，

。4