2022年上海市嘉定區高考數學二模試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考生應在答題

紙的相應位置直接填寫結果.

1.已知集合力=（1,3）,B=（2,+8）,則NC8=.

x—1

2.不等式一；V0的解為

x+2----------

3.若等差數列｛斯｝滿足硝+。5=16,則“4=.

4.已知函數y（x）=l+log2Jc,它的反函數為G）,則/I（3）=.

5.在（2x+l）6展開式中，的系數為（結果用數值表示）.

y>0

6.若實數無、y滿足x-y>0,則z=2x+y的最大值為.

.2x-y<2

7.《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該

“塹堵”的體積為.

［，］*Hn

主視圖左視圖

俯視圖

8.若數列｛斯｝是首項為:公比為a-粉的無窮等比數列,且數列｛斯｝各項的和為a,則實數a的值為

9.從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數中任取5個不同的數，則這5個不同的數的中位數為6的

概率為（結果用最簡分數表示）.

第1頁（共18頁）

10.已知函數歹=/（x）是定義域為R的奇函數，且當％<0時，/（%）=%+§+1.若函數y=/（x）在[3,

+°°）上的最小值為3,則實數。的值為.

11.已知橢圓后二；需（。為參數，a>0,b>0）的焦點分別為（-2,0）、F2（2,0）,點/為橢

圓「的上頂點，直線/尸2與橢圓「的另一個交點為2.若出尸1|=3|2尸2],則橢圓「的普通方程為.

12.已知函數/（x）=sin（3x+（p）,其中o）>0,0<（p<n,/（%）W/?）恒成立，且y=/G）在區間（0,

普）上恰有3個零點，則3的取值范圍是.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的

相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.已知復數2=（2sina-1）+i（7?為虛數單位），則“z為純虛數”是“a=3’的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

_41

14.若。>0、b>0,且一+一=1,則的最小值為（）

ab

11

A.16B.4C.——D.-

164

—?T—>—?—?

15.在△A8C中，AB=AC=3,BD=2DC.若4D-BC=4,貝必B?4C=(

A.3B.-3C.2D.-2

16.在正方體力中，￡、尸分別是線段瓦力上的動點，且直線防與441所成的角為

arctanV?.,則下列直線中與￡方所成的角必為arcta九告的是（)

A.CDB.BDC.BC\D.DCi

第2頁（共18頁）

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

17.（14分）如圖，圓錐的底面半徑04=2,高尸。=6,點C是底面直徑48所對弧的中點，點。是母線

PA的中點.求：

（1）該圓錐的表面積；

（2）直線CD與平面以8所成角的大小（結果用反三角函數值表示）.

第3頁（共18頁）

18.(14分)設常數a&R,函數/(x)=2*+i+吳

(1)若函數y=/G)是偶函數，求實數。的值；

(2)若對任意xe[l,+8),/(x)>3,求實數a的取值范圍.

第4頁(共18頁)

19.（14分）某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱N8與地面垂直，燈桿8C與燈柱所在

的平面與道路走向垂直，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線與平面/5C的部分截面如圖中陰影部分所示.已

知ZACD=路寬/。=24米.設（-<0<

3364

（1）當。4時，求△/8C的面積；

（2）求燈桿8C與燈柱長度之和工（米）關于。的函數解析式，并求當。為何值時，乙取得最小值.

第5頁（共18頁）

20.(16分)已知雙曲線C：4-4=1(〃>°，b>0)的一條漸近線的方程為:1|=0,它的右頂點

於b1V13I

與拋物線r：y2=4百%的焦點重合，經過點/(-9,0)且不垂直于無軸的直線與雙曲線C交于M、N兩

點.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)若點M是線段NN的中點，求點N的坐標；

(3)設P、0是直線x=-9上關于x軸對稱的兩點，求證：直線尸M與。N的交點必在直線x=-/上.

第6頁(共18頁)

21.(18分)若項數為左(去N*且無力3)的有窮數列｛%滿足:|ai-。2岡02-的|這…1-闔,則稱數

列｛斯｝具有“性質M”.

(1)判斷下列數列是否具有“性質M”，并說明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

(2)設冊=%-a”,+i|(俄=1,2,?■■,k-1),若數列｛*具有''性質”)且各項互不相同.求證：“數

列｛斯｝為等差數列”的充要條件是“數列出鬲為常數列”；

(3)已知數列｛“〃｝具有‘'性質若存在數列｛斯｝,使得數列｛即｝是連續左個正整數1,2,后的一

個排列,且-。2什|。2-fl3|+--+|^-1-ak\=k+2,求k的所有可能的值.

第7頁C共18頁)

2022年上海市嘉定區高考數學二模試卷

參考答案與試題解析

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)考生應在答題

紙的相應位置直接填寫結果.

1.已知集合/=(1,3),B=(2,+8),則/C8=(2,3).

解：:集合/=(1,3),B=(2,+8),

(2,3).

故答案為：(2,3).

x~l

2.不等式--<0的解為(-2,1).

%+2

x~l

解：不等式----<0等價于(x-1)(x+2)<0,

x+2

所以-2<x<l,

所以不等式的解集為(-2,1).

故答案為：(-2,1).

3.若等差數列｛“"｝滿足的+。5=16,則。4=8.

解：：｛斯｝是等差數列，

??。3+。5=2〃4=16,

??Q4=8.

故答案為：8.

4.已知函數y(x)=l+log2x,它的反函數為y=ri(x),則/I(3)=4.

解：由題意令l+log2X=3,解得元=4,

根據反函數的定義可得，1(3)=4,

故答案為：4.

5.在(2x+l)6展開式中，7的系數為60(結果用數值表示).

解：展開式中含，的項為。筑2尤)2=607,

所以7的系數為60,

故答案為：60.

y>0

6.若實數x、y滿足k—y20，則z=2x+v的最大值為6.

.2%—y<2

解：由約束條件作出可行域如圖,

第8頁(共18頁)

y

聯立解得N(2,2),

(zx—y=2

由z=2x+y,得＞=-2x+z,

由圖可知，當直線y=-2x+z過/時，直線在歹軸上的截距最大，2有最小值為2X2+2=6.

故答案為：6.

7.《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該

“塹堵”的體積為2.

；2

?

1***1**

主視圖左視圖

俯視圖

解：根據題意知，直三棱柱的底面三角形是底面邊長為2,高為1的直角三角形，底面面積為S=3x2

Xl=l,

且直三棱柱的高為2,所以該“塹堵”的體積為k=577=1X2=2.

故答案為：2.

8.若數列｛斯｝是首項為點公比為a-粉的無窮等比數歹U，且數列缶〃｝各項的和為0,則實數。的值為1.

1

解：由題意得——=—-~r=a,

l—q1—a+-

解得a=l或Q=

當Q=*時，a—*=0顯然不符合題意，

故Q=1.

故答案為：1.

9.從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數中任取5個不同的數，則這5個不同的數的中位數為6的

第9頁(共18頁)

概率為三(結果用最簡分數表示).

解：根據題意，從10個數中任取5個數，則基本事件總數為Cfo=252,

而這5個數的中位數是6的基本事件數為鬣武=45,

455

故這5個不同的數的中位數為6的概率為"=—.

25228

故答案為：皋.

28

10.已知函數歹=/(x)是定義域為R的奇函數，且當x〈0時，/(%)=%+^+1.若函數y=/(x)在［3,

+8)上的最小值為3,則實數〃的值為3.

解：因為歹=/(%)是定義域為R的奇函數，且當xVO時，/(%)=x+^+l.

當x>Q時，-x<0,

則/(-x)=-+1=-f(x),

所以/(尤)=x+7—1,

因為函數>=/(x)在［3,+8)上的最小值為3,

當aWO時，/(x)在［3,+8)上單調遞增，當x=3時，函數取得最小值/(3)=2+1=3,

解得。=3(舍)，

當0<aW9時，函數在［3,+8)上單調遞增，當x=3時，函數取得最小值/(3)=2+1=3,

解得。=3,

當。>9時，根據對勾函數的性質可知，當x=VH時，函數取得最小值2份+1=3,

解得a=l(舍)，

綜上，a=3.

故答案為：3.

11.已知橢圓心?仁：七鬻(。為參數，a>0,b>0)的焦點分別尸i(-2,0)、尸2(2,0),點/為橢

—DSITlU

圓「的上頂點，直線/尸2與橢圓「的另一個交點為從若內人|=3田尸2|，則橢圓「的普通方程為麥+

y2.

-=1.

-8

解：根據題意，橢圓(。為參數，”>0,6>0),其普通方程為馬+［=1,

(y=osintfazbz

若其焦點分別B(-2,0)、尸2(2,0),則c=2,則有/=y+4,①

點A為橢圓r的上頂點，則A的坐標為(0,b),

第10頁(共18頁)

又由防|=30五2|,而防|+師2|=20,貝I］防|=羊，田尸2|=今

b

又由恒尸2|=0，且/、B、尸2三點共線，則8的坐標為(3,

2

又由幽|=當,則有(3+2)2+"=*2,②

聯立①②，解可得：a2=n,廿=8；

、X2V2

故橢圓的方程為二；+—=1;

128

12.已知函數/(x)=sin(3x+(p),其中3>0,0<(p<n,/(%)</(與)恒成立，且歹=/(x)在區間(0,

詈)上恰有3個零點，則3的取值范圍是(6,10)

解：二?函數/(x)=sin(3x+(p),其中o)>0,0<(p<ii,/(%)</?)恒成立,

TC37TIT

/./(")=1,+0=2版+],蛇Z,

._?兀37r,?

??(p2111+2-~~.

結合<p的范圍，可得左=0或左=1.

①當左=0時，(p=3一竿,

L41

由3>0,且(pE(0,K),可得coE(0,2).

'：y=f(x)在區間(0,等)上恰有3個零點，3x+<pC(隼，—+(p),

3n〈蔡冗+叩W4TG即3n券—竿<4n,

ooZ4

“57Tam77r

即—V—<—，即20Vo)W28.

282

綜合可得，0)60.

第11頁(共18頁)

/S\il4[n-4-c,兀3兀57T0）71

②當左7=1時，（p=2h+2—4=-^------

由3>0,且<p€（0,ii）,可得coE（6,10）.

?：y=f（x）在區間（0,學）上恰有3個零點，o）x+q）GC（p,-a）Ti+（p）,

?—^--3.art-^35TT（I）TC.

??3TCV"GCO1T+（PW：4IT,B|J3IT<TGCOTTHQ—W4TT,

ooZ4

即4<3W12.

綜合可得，此時，?e（6,10）.

綜上，結合①②可得，coe（6,10）,

故答案為：（6,10）.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的

相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.已知復數2=（2sina-1）+7,4為虛數單位），則“z為純虛數”是“a="的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

解：當。=1時，z=（2sina-1）+i=（2x；—l）+i=z?為純虛數，

反之，若z為純虛數，則2sina-l,解得a=[+2而或a=些+2而，住Z.

6o

???“z為純虛數”是“a=[”的必要非充分條件，

O

故選：B.

41

14.若a>0、b>0,且一+-=1,則ab的最小值為（）

ab

11

A.16B.4C.—D.-

164

解：〈a>。，b>0,

???1.+人4瑞,當且僅當[J即6=2,a=8時取等號，

...解得。6216,當且僅當“=8,6=2時等號成立，

：.ab的最小值為16.

故選：A.

—>T—>—>—>一

15.在△/3C中，AB=AC=3,BD=2DC.若4D-BC=4,則4B?AC=（）

A.3B.-3C.2D.-2

解：△ABC中，AB=AC=3,BD=2DC,

第12頁（共18頁）

T2T

所以BD=，C,

所以AD=AB+BD=AB+jBC=XB+|(AC-AB)=^AB+冢C,

T—?

因為4。-BC=4,

1T2TTTn—>[T—[Tn>T[

所以(-AB+-ac)?(ac—a8)=^AC2-^AB-AC-^AB2=x32-^AB'AC-x32=4,

333333DD

—>T

解得AB?AC=-3.

故選：B.

16.在正方體48CO-NL8ICLDI中，E、尸分別是線段/8、上的動點，且直線跖與441所成的角為

arctany/2,則下列直線中與E尸所成的角必為arctcm學的是（）

A.CDB.BDC.BCiD.DCi

解：連接小。交/Di于N,過/作交3。1于〃，過N作2W_LN，于

:E、廠分別是線段/2、2D1上的動點，.?.斯在平面ABD1內，

易證小。1_平面ABO1，：.A\D±AH,又4OC4M=Ni，所以平面/iMW,

：.AH±AiM,

則N44H■為直線即與44i所成的角，又直線EF與AAi所成的角為arctma,

.".tanZAiAH==V2,設正方體的棱長為1,貝。可得4/1/=學，A\M=

在RtA/AfiV中，tan/MAN=^=+=*,

T

又ADi//BC\,故直線BCi與EF所成的角必為arctcm號，

故選：C.

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

17.（14分）如圖，圓錐的底面半徑。4=2,高產0=6,點C是底面直徑所對弧的中點，點。是母線

第13頁（共18頁）

PA的中點.求:

（1）該圓錐的表面積;

（2）直線。）與平面為8所成角的大小（結果用反三角函數值表示）.

解：（1）?.?圓錐的底面半徑04=2,高尸。=6,

圓錐的母線長PA=7P。2+。序=〃+36=2710,

,該圓錐的表面積為:

1__

S=71r2-j--xPAx2TIxOA=(4+4V10)n.

（2）由題意OC,OB,。尸兩兩垂直,

以。為坐標原點，以OC,OB,0P所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

P(0,0,6),D(0-1,3),

CD=(-2,-1,3),平面以3的法向量為￡=(1,0,0),

設直線CD與平面PAB所成角為

TT,——

則sme=3=*=孚

\CD\-\n\/

V14

直線CD與平面PAB所成角的大小為arcsin—.

18.(14分)設常數a€R,函數f(x)=2*+i+方.

（1）若函數》=/（無）是偶函數，求實數。的值;

第14頁（共18頁）

(2)若對任意x€[l,+8),/(x)>3,求實數a的取值范圍.

解：⑴因為函數〃久)=2支+1+去為偶函數，

所以/(-x)=f(X),

即21+x+^,

整理得a(4X-1)=2(4X-1),

所以a=2：

(2)對任意x€[l,+8),fQ)=2丫+1+愛〉3,

整理得a>-2?22斗3?2匕

因為所以2*22,

根據二次函數的性質可知，當》=2時，-2”2x+3?2x取得最大值-2,

所以a>-2,

所以。的取值范圍為(-2,+8).

19.(14分)某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱N5與地面垂直，燈桿2C與燈柱43所在

的平面與道路走向垂直，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線與平面N8C的部分截面如圖中陰影部分所

示.已知乙12C=",ZACD=路寬40=24米.設(-<0<-).

3364

(1)當e屋時，求△/BC的面積；

(2)求燈桿2C與燈柱長度之和工(米)關于e的函數解析式，并求當e為何值時，工取得最小

值.

解：⑴當時，ZACB=ZBAC==

o3366

TTTT

：.ZCAD=J-LBAC=J,

TT

XVZACD=J,4)=24,

AACD為邊長為24的等邊三角形，

第15頁(共18頁)

ABACRnAB24

△Z5C中,―—77?即=~n=-；―27r>

sinZ-ACBsinZ-Bsin—sin—

63

解得AB=8班,

?SC的面積為S^XACXABXs嗚另x24x4=48百平方米.

(2)在△40中，ZACD=AD=24,ZADC=2n-=

,TO”口ADAC24s譏6―8)L

由正弦定理得，—^=-一兀.、，解得4。=——殍'=16^cose,

sin-sm(--0)sin^

在△/8C中，ZABC=ZBAC=^-6,ZBCA=Q,NC=168cos。，

ABBCAC

由正弦定理得,

Sind~sin(-0)-s譏竽

..AB=32sin9cos0,BC—16y/3cos23-16cos0sin0,

L=BC+AB=16V3cos29—16cos0sin9+32sin0cos0=16V3cos29+16cos0sin0=8V3(l+cos20)+8sin20

1,—TT,—TCTC

=16sin29+—cos26)+8V3=16sin(20+勿+8V3(-<0<-),

22364

TC7TTT27r57r

643L36」

.?.當20+卷=孚，即。=￡時，/取得最小值16sin曰+8舊=8+8W.

3646

20.(16分)已知雙曲線C：鳥—鳥=1(40,6>0)的一條漸近線的方程為:11=0,它的右頂點

azb1V13I

與拋物線r：y2=48萬的焦點重合，經過點A(-9,0)且不垂直于X軸的直線與雙曲線C交于M、

N兩點.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）若點M是線段NN的中點，求點N的坐標；

（3）設P、。是直線x=-9上關于x軸對稱的兩點，求證：直線尸河與。N的交點必在直線工=-

上.

'b__

解：（1）由題意得公=g，解得/=2，

L=V316=回

所以雙曲線C的標準方程為二-±=1；

339

（2）設N（xo,則），因為M是線段/N的中點，所以也審，學）,

則得顯一遺=1,業=L

3393X439X4

解得xo=4,/=±13,

所以所求點N的坐標為（4,13）或（4,-13）；

第16頁（共18頁）

（3）證明：由題意可設直線MN的方程為>=左G+9）,

X2yl

聯立方程組至一而Ml,消去力并整理得

y=k（x+9）

（13-必）x2-18必x-3（27廬+13）=0（13-必W0）,

設AfCxi,yi),N(尤2,了2),

由一元二次方程根與系數的關系，得X1+*2=，%1X2=—乳也已箸，

13-/13-fc2

又設P（-9,力，Q（-9,-力GW0）,則得直線尸初的方程為y—t=^^（%+9）,

X-￡I>

直線QN的方程為y+t=號（x+9）,兩個方程相減得

久2十V

2t=(關:-衿$0+9)①，

Ao?>

國石g+tYi-tk(x+9)+tk(%+9)-tt(%1+%2+18)

因為---二一---二=----2-------------—

X2+9久I+9)X2+9%i+9%i、2+9g+%2)+81'

%1+%2+18

把它代入①得2?(x+9),

4％2+9(無1+%2)+81

2型2+9&+X2)2XL唔舞+9(霽)

所以％=

%1+%2+18鳥+18

13-々/

因此直線尸〃與QN的交點在直線x=-1±.

21.（18分）若項數為左（陡N*且欄3）的有窮數列｛即｝滿足:⑶52匹也-。3反…W*i-砒則稱數

列｛斯｝具有“性質M".

（1）判斷下列數列是否具有“性質M”，并說明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

（2）設狐=%-。加+1|（加=1,2,???,左-1）,