高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區桂林市平樂縣平樂中學2022-2023學年高二下學期5月月考數學試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1.已知等比數列的公比，則等于（）A. B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗因為等比數列的公比，所以．故選：D.2.下列有關線性回歸分析的五個命題：①在回歸直線方程中，當增加1個單位時，預報變量平均減少0.5個單位②回歸直線就是散點圖中經過樣本數據點最多的那條直線③如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數就越接近于1④殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精確度越高⑤甲、乙兩個模型的相關指數分別約為0.88和0.80，則模型甲的擬合效果更好其中真命題的個數為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗B〖解析〗對于①，根據回歸系數的含義，可得回歸直線方程中，當增加1個單位時，預報變量平均減少0.5個單位，故①正確；對于②，回歸直線就是散點圖中經過樣本數據點最多的那條直線，不正確，回歸直線也可能不過任何一個點；故②不正確；對于③，如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數的絕對值就越接近于，故③不正確；對于④，殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精確度越低，故④不正確；對于⑤，甲、乙兩個模型的分別約為0.88和0.80則模型甲的擬合效果更好，故⑤正確；則正確的個數為2.故選：B.3.已知，下列說法正確的是（）A.無零點 B.單調遞增區間為C.的極大值為 D.的極小值點為〖答案〗C〖解析〗由函數，可得定義域為，所以B不正確；又由，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，函數取得極大值，極大值為，無極小值，所以C正確，D不正確；當時，；當時，；當時，，所以函數在定義域內有一個零點，所以A不正確.故選：C.4.一份新高考數學試卷中有8道單選題，小胡對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率是，沒有思路的題只能猜一個〖答案〗，猜對〖答案〗的概率為，則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設事件A表示“考生答對”，設事件表示“考生選到有思路的題”.則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為：故選：C.5.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若，則（）A. B.43 C. D.41〖答案〗A〖解析〗設，則，因為為等比數列，所以，，仍成等比數列．因為，所以，所以，故．故選：A.6.設函數在上可導，其導函數為，且函數在處取得極小值，則函數的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，而且當時，，此時，排除B、D；當時，，此時，，若，，所以函數的圖象可能是C．故選：C.7.等差數列的前項和為，若且，則()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設的公差為d，∵，∴，即{}為等差數列，公差為，由知，故﹒故選：A.8.設，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，令，則，所以在上單調遞減，所以，即，令，，則，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以，即，所以.由，得，，設，所以，所以函數在上單調遞減，所以，所以時，，所以，即，所以，所以.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分）9.5G技術的運營不僅提高了網絡傳輸速度，更拓寬了網絡資源的服務范圍，促進了5G手機的銷量.某手機商城統計了5個月的5G手機銷量，如下表所示：月份2021年7月2021年8月2021年9月2021年10月2021年11月月份編號銷量部若與線性相關，由上表數據求得線性回歸方程為，則下列說法正確的是（）A.5G手機的銷量逐月增加，平均每個月增加約臺 B.C.與正相關 D.預計2022年1月份該手機商城的5G手機銷量約為部〖答案〗BCD〖解析〗由線性回歸方程知，5G手機的銷量逐月增加，平均每個月增加約44臺，所以A錯誤；因為過樣本中心，而，代入回歸方程得：，則，得，所以B正確；因為，所以與正相關，故C正確；因為2022年1月份對應的月份編號，所以，故D正確,故選：BCD.10.已知隨機變量服從二項分布，其數學期望，隨機變量服從正態分布，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因為，所以，即A錯誤，B正確；易知，因為，所以，所以，即C錯誤，D正確.故選：BD.11.公差為d的等差數列，其前n項和為，，，下列說法正確的有（）A. B.C.中最大 D.〖答案〗ABD〖解析〗等差數列中，，，即，，∴，，，，所以AB正確，C錯誤；，由且，有，所以，D選項正確.故選：ABD.12.已知函數的定義域為，且，，則下列結論中正確的有（）A.為增函數 B.為增函數C.的解集為 D.的解集為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為，所以為增函數，故A正確；對于B，由，，所以為增函數，故B正確；對于C，，則等價于，又為增函數，所以，解得，所以的解集為，故C錯誤；對于D，等價于，即，又為增函數，所以，解得，所以的解集為，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.隨機變量的分布列如下表所示：12340.10.3則_____.〖答案〗0.3〖解析〗由分布列的性質得，，解得，所以.故〖答案〗為：0.3.14.某盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為_______．〖答案〗〖解析〗記第一次摸出新球為事件A，第二次取到新球為事件B，則.故〖答案〗為：.15.在數列中，，當，，則的值為__________．〖答案〗4951〖解析〗因為，所以，，將以上個式子相加得：，因為，所以，所以，故〖答案〗是：4951.16.若函數有且僅有一個極值點，則a的取值范圍是_____．〖答案〗〖解析〗若函數有且僅有一個極值點，只需有一個零點，且在此零點兩側，函數符號不同．當時，，所以在R上單調遞減，函數無極值點，所以，令，則，即．記，則，令，得，令，得或，所以上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，；當時，，且，又，，故的大致圖象如下圖所示：由圖可知，若有且僅有一個極值點，則，得．所以的取值范圍為．故〖答案〗為:.四、解答題（本大題共6題，17題10分，其余各題12分，共70分）要求寫出必要的解題過程．17.為降低霧霾等惡劣氣候對居民的影響，某公司研發了一種新型防霧霾產品．每一臺新產品在進入市場前都必須進行兩種不同的檢測，只有兩種檢測都合格才能進行銷售，否則不能銷售．已知該新型防霧霾產品第一種檢測不合格的概率為，第二種檢測不合格的概率為，兩種檢測是否合格相互獨立．（1）求每臺新型防霧霾產品不能銷售的概率；（2）如果產品可以銷售，則每臺產品可獲利40元；如果產品不能銷售，則每臺產品虧損80元（即獲利元）．現有該新型防霧霾產品3臺，隨機變量表示這3臺產品的獲利，求的分布列及數學期望．解：（1）設事件表示“每臺新型防霧霾產品不能銷售”，事件表示“每臺新型防霧霾產品能銷售”，所以，所以.（2）根據（1）可知，“每臺新型防霧霾產品能銷售”的概率為，“每臺新型防霧霾產品不能銷售”的概率為，所有的可能取值為：，，，，則，，，，所以的分布列為所以，則.18.已知等差數列的前項和為，，．（1）求及；（2）令，求數列的前項和．解：（1）由題意，設等差數列的公差為，則，整理得，解得，∴，．（2），∴．19.國際學生評估項目（PISA），是經濟合作與發展組織（OECD）舉辦的，該項目的內容是對15歲學生的閱讀、數學、科學能力進行評價研究．在2018年的79個參測國家（地區）的抽樣測試中，中國四省市（北京、上海、江蘇、浙江作為一個整體在所有參測國家（地區）取得全部3項科目中第一的好成績，某機構為了分析測試結果優劣的原因，從參加測試的中國學生中隨機抽取了200名參賽選手進行調研，得到如下統計數據：成績優秀成績一般總計家長高度重視學生教育90xy家長重視學生教育度一般30z總計12080200若從上表“家長高度重視學生教育”的參測選手中隨機抽取一人，則選到的是“成績一般”的選手的概率為．（1）判斷是否有99.9%的把握認為“學生取得的成績情況”與“家長對學生的教育重視程度”有關；（2）現從成績優秀的選手中按照分層抽樣的方法抽取20人．進行“家長對學生情感支持”的調查，再從這20人中抽取3人進行“學生家庭教育資源保障”的調查．記進行“學生家庭教育資源保障”調查中抽取到“家長高度重視學生教育”的人數為X，求X的分布列和數學期望．附，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由條件知，解得，所以，，，，所以有99.9%的把握認為“學生取得的成績情況”與“家長對學生的教育重視程度”有關．（2）從成績優秀的選手中按照分層抽樣的方法抽取20人，則“家長高度重視學生教育”的應抽取15人，“家長重視學生教育度一般”的應抽取5人．由題意，X的所有可能取值為0，1，2，3．，，，．所以X的分布列為X0123P數學期望．20.已知．（1）若2是函數的極值點，求a的值，并判斷2是的極大值點還是極小值點；（2）若關于x的方程在上有兩個不同的實數根，求實數a的取值范圍．參考數據：解：（1）因為，所以．因為2是的極值點，所以，解得．此時．令，解得或，令，解得，故上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．所以2是的極小值點．（2）由，得，令，則，令，解得，令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，故的極大值是，而且，故實數a的取值范圍是．21.給定數列，若滿足（，且），且對于任意的，都有，則稱為“指數型數列”．若數列滿足：，．（1）判斷數列是否為“指數型數列”，若是，給出證明，若不是，請說明理由；（2）若，求數列的前n項和．（1）證明：由得，，兩邊同時除以得：，易知有.因為，所以，故，所以是首項為2，公比為2的等比數列，所以，故，又，所以，所以數列為指數型數列.（2）解：由（1）知，，所以，故，所以.22.已知函數.（1）證明：曲線在點處的切線恒過定點；（2）若有兩個零點，，且，證明：.證明：（1）函數的定義域為，由，得，則，又，則曲線在點處的切線的方程為，即，顯然恒過定點.（2）若有兩個零點，，則，，得.因為，令，則，得，則，所以.令，則，令，則，則在上單調遞增，所以.所以，則在上單調遞增，所以，即，故.廣西壯族自治區桂林市平樂縣平樂中學2022-2023學年高二下學期5月月考數學試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1.已知等比數列的公比，則等于（）A. B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗因為等比數列的公比，所以．故選：D.2.下列有關線性回歸分析的五個命題：①在回歸直線方程中，當增加1個單位時，預報變量平均減少0.5個單位②回歸直線就是散點圖中經過樣本數據點最多的那條直線③如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數就越接近于1④殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精確度越高⑤甲、乙兩個模型的相關指數分別約為0.88和0.80，則模型甲的擬合效果更好其中真命題的個數為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗B〖解析〗對于①，根據回歸系數的含義，可得回歸直線方程中，當增加1個單位時，預報變量平均減少0.5個單位，故①正確；對于②，回歸直線就是散點圖中經過樣本數據點最多的那條直線，不正確，回歸直線也可能不過任何一個點；故②不正確；對于③，如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數的絕對值就越接近于，故③不正確；對于④，殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精確度越低，故④不正確；對于⑤，甲、乙兩個模型的分別約為0.88和0.80則模型甲的擬合效果更好，故⑤正確；則正確的個數為2.故選：B.3.已知，下列說法正確的是（）A.無零點 B.單調遞增區間為C.的極大值為 D.的極小值點為〖答案〗C〖解析〗由函數，可得定義域為，所以B不正確；又由，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，函數取得極大值，極大值為，無極小值，所以C正確，D不正確；當時，；當時，；當時，，所以函數在定義域內有一個零點，所以A不正確.故選：C.4.一份新高考數學試卷中有8道單選題，小胡對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率是，沒有思路的題只能猜一個〖答案〗，猜對〖答案〗的概率為，則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設事件A表示“考生答對”，設事件表示“考生選到有思路的題”.則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為：故選：C.5.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若，則（）A. B.43 C. D.41〖答案〗A〖解析〗設，則，因為為等比數列，所以，，仍成等比數列．因為，所以，所以，故．故選：A.6.設函數在上可導，其導函數為，且函數在處取得極小值，則函數的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，而且當時，，此時，排除B、D；當時，，此時，，若，，所以函數的圖象可能是C．故選：C.7.等差數列的前項和為，若且，則()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設的公差為d，∵，∴，即{}為等差數列，公差為，由知，故﹒故選：A.8.設，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，令，則，所以在上單調遞減，所以，即，令，，則，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以，即，所以.由，得，，設，所以，所以函數在上單調遞減，所以，所以時，，所以，即，所以，所以.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分）9.5G技術的運營不僅提高了網絡傳輸速度，更拓寬了網絡資源的服務范圍，促進了5G手機的銷量.某手機商城統計了5個月的5G手機銷量，如下表所示：月份2021年7月2021年8月2021年9月2021年10月2021年11月月份編號銷量部若與線性相關，由上表數據求得線性回歸方程為，則下列說法正確的是（）A.5G手機的銷量逐月增加，平均每個月增加約臺 B.C.與正相關 D.預計2022年1月份該手機商城的5G手機銷量約為部〖答案〗BCD〖解析〗由線性回歸方程知，5G手機的銷量逐月增加，平均每個月增加約44臺，所以A錯誤；因為過樣本中心，而，代入回歸方程得：，則，得，所以B正確；因為，所以與正相關，故C正確；因為2022年1月份對應的月份編號，所以，故D正確,故選：BCD.10.已知隨機變量服從二項分布，其數學期望，隨機變量服從正態分布，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因為，所以，即A錯誤，B正確；易知，因為，所以，所以，即C錯誤，D正確.故選：BD.11.公差為d的等差數列，其前n項和為，，，下列說法正確的有（）A. B.C.中最大 D.〖答案〗ABD〖解析〗等差數列中，，，即，，∴，，，，所以AB正確，C錯誤；，由且，有，所以，D選項正確.故選：ABD.12.已知函數的定義域為，且，，則下列結論中正確的有（）A.為增函數 B.為增函數C.的解集為 D.的解集為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為，所以為增函數，故A正確；對于B，由，，所以為增函數，故B正確；對于C，，則等價于，又為增函數，所以，解得，所以的解集為，故C錯誤；對于D，等價于，即，又為增函數，所以，解得，所以的解集為，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.隨機變量的分布列如下表所示：12340.10.3則_____.〖答案〗0.3〖解析〗由分布列的性質得，，解得，所以.故〖答案〗為：0.3.14.某盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為_______．〖答案〗〖解析〗記第一次摸出新球為事件A，第二次取到新球為事件B，則.故〖答案〗為：.15.在數列中，，當，，則的值為__________．〖答案〗4951〖解析〗因為，所以，，將以上個式子相加得：，因為，所以，所以，故〖答案〗是：4951.16.若函數有且僅有一個極值點，則a的取值范圍是_____．〖答案〗〖解析〗若函數有且僅有一個極值點，只需有一個零點，且在此零點兩側，函數符號不同．當時，，所以在R上單調遞減，函數無極值點，所以，令，則，即．記，則，令，得，令，得或，所以上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，；當時，，且，又，，故的大致圖象如下圖所示：由圖可知，若有且僅有一個極值點，則，得．所以的取值范圍為．故〖答案〗為:.四、解答題（本大題共6題，17題10分，其余各題12分，共70分）要求寫出必要的解題過程．17.為降低霧霾等惡劣氣候對居民的影響，某公司研發了一種新型防霧霾產品．每一臺新產品在進入市場前都必須進行兩種不同的檢測，只有兩種檢測都合格才能進行銷售，否則不能銷售．已知該新型防霧霾產品第一種檢測不合格的概率為，第二種檢測不合格的概率為，兩種檢測是否合格相互獨立．（1）求每臺新型防霧霾產品不能銷售的概率；（2）如果產品可以銷售，則每臺產品可獲利40元；如果產品不能銷售，則每臺產品虧損80元（即獲利元）．現有該新型防霧霾產品3臺，隨機變量表示這3臺產品的獲利，求的分布列及數學期望．解：（1）設事件表示“每臺新型防霧霾產品不能銷售”，事件表示“每臺新型防霧霾產品能銷售”，所以，所以.（2）根據（1）可知，“每臺新型防霧霾產品能銷售”的概率為，“每臺新型防霧霾產品不能銷售”的概率為，所有的可能取值為：，，，，則，，，，所以的分布列為所以，則.18.已知等差數列的前項和為，，．（1）求及；（2）令，求數列的前項和．解：（1）由題意，設等差數列的公差為，則，整理得，解得，∴，．（2），∴．19.國際學生評估項目（PISA），是經濟合作與發展組織（OECD）舉辦的，該項目的內容是對15歲學生的閱讀、數學、科學能力進行評價研究．在2018年的79個參測國家（地區）的抽樣測試中，中國四省市（北京、上海、江蘇、浙江作為一個整體在所有參測國家（地區）取得全部3項科目中第一的好成績，某機構為了分析測試結果優劣的原因，從參加測試的中國學生中隨機抽取了200名參賽選手進行調研，得到如下統計數據：成績優秀成績一般總計家長高度重視學生教育90xy家長重視學生教育度一般30z總計12080200若從上表“家長高度重視學生教育”的參測選手中隨機抽取一人，則選到的是“成績一般”的選手的概率為．（1）判斷是否有99.9%的把握認為“學生取得的成績情況”與“家長對學生的教育重視程度”有關；（2）現從成績優秀的選手中按照分層抽樣的方法抽取20人．進行“家長對學生情感支持”的調查，再從這2