第一章軸對稱與軸對稱圖形

1.1我們身邊的軸對稱圖形

教學目標：

1、觀察、感受生活中的軸對稱圖形，認識軸對稱圖形。

2、能判斷一個圖形是否是軸對稱圖形。

3、理解兩個圖形關于某條直線成軸對稱的意義。

4、正確區分軸對稱圖形與兩個圖形關于某條直線成軸對稱。

5、理解并能應用軸對稱的有關性質。

教學重點：

1、能判斷一個圖形是否是軸對稱圖形。

2、軸對稱的有關性質。

難點：

1、判斷一個圖形是否是軸對稱圖形。

2、正確區分軸對稱圖形與兩個圖形關于某條直線成軸對稱。

教學過程：

一、情境導入

教師展示圖片：五角星、臉譜、正方形、禁行標志、山水倒映等。

學生欣賞，思考：這些圖形有什么特點？

二、探究新知

1、生活中有許多奇妙的對稱，如從鏡子里看到自己的像;把手掌蓋在

鏡子上，鏡子里的手與自己的手完全重合在i起；這些都是對稱,

你還能舉出例子嗎？

學生分組思考、討論、交流，選代表發言。

教師巡回指導、點評。

2、動手做-做：用直尺和圓規在紙上作出一個梯形，并把紙上的梯

形剪下來，沿上底和下底的中點的連線對折，直線兩旁的部分能

完全重合嗎？

學生活動：觀察、小結特點。

3、教師給出軸對稱圖形的定義。

問題：

⑴“完全重合”是什么意思？

⑵這條直線可能不經過這個圖形本身嗎？

⑶圓的直徑是圓的對稱軸嗎？

學生分組思考、討論、交流，選代表發言，教師點評。

⑴指形狀相同，大小相等。

⑵不能，因為這條直線必須把這個圖形分成能充分重合的兩部分，則

必然經過這個圖形的本身。

⑶不是，因為圓的直徑是線段，而不是直線，應說直徑所在的直線或

經過圓心的直線。

4、猜想歸納：

正三角形有幾條對稱軸？正方形呢？正五邊形呢？正六邊形呢？從

中可以得到什么結論？

學生思考、討論、交流。

5、你還能舉出生活中軸對稱圖形的例子嗎？

6、教科書第五頁圖1-6⑴⑵兩個圖，問題：想一想，每組圖形中，左

邊圖形沿虛線對折后與右邊的圖形有著怎樣的關系？

7、教師給出兩個圖形關于某條直線成軸對稱的定義。

8、你還能舉出生活中兩個圖形關于某條直線成軸對稱的例子嗎？

思考：軸對稱圖形與兩個圖形關于某條直線成軸對稱有什么異同？

學生思考、分組討論、交流。

教師引導小結。

三、鞏固反饋

1、26個英文大寫字母中，是軸對稱圖形的是

2、中華民族是一個有著五千年文明歷史的古老民族，在她燦爛的文

化中，漢字是其中一朵瑰麗的奇葩，請寫出兒個是軸對稱的漢字-

3、關于奧運會五環圖案有下列各說法：①它不是軸對稱圖形；②它

是軸對稱圖形，只有…條對稱軸③它是軸對稱圖形，有無數條對稱軸,

其中正確的是0

從軸對稱的角度，你覺得哪些圖形比較獨特？簡要說明你的理由。

5、畫出一個只有三條對稱軸的軸對稱圖形。

6、上面哪一個選項的右邊圖形與左邊圖形成軸對稱？

四、課堂小結

學完本節，你有什么收獲？

五、作業設計

1、必做題：教科書第6頁練習題1-4題。

2、選做題：

K

C

B

H

F

把長方形紙片折疊，使邊CD落在EF處，折痕為KH,則與梯形

CDGH成軸對稱的圖形是（）。

A、梯形ABHGB、梯形ABKGC、梯形EFGHD、梯形EFKH

1.2線段的垂直平分線

教學目標：

1、通過折疊的方式認識線段的軸對稱性。

2、理解并能運用線段垂直平分線的性質。

教學重點：引導學生了解有關線段垂直平分線的知識。

難點：運用線段垂直平分線的性質解決問題。

教學過程:

一、自主探索

iN

在紙上畫一條線段AB,通過對折使點A與點B重合，獨立解決以下問

題：

1、將紙展開后鋪平，記折痕所在的直線為MN,直線MN與線段AB的

交點為0,線段A0與B0的長度有什么關系？

2、直線MN與線段AB有怎樣的位置關系？

3、由以上1、2,直線MN叫做線段AB的.

4、線段AB是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸是什么？

5、在直線MN上任取一點P,連接PA與PB,如果把這張紙沿直線MN

對折，PA與PB重合嗎？

6、在直線MN上再取另一點Q,連接QA與QB,把這張紙沿直線MN對

折，QA與QB重合嗎？

7、由以上5、6,你有什么結論?

8、嘗試用尺規作圖的方法作出線段AB的垂直平分線。

二、小組合作

任意畫一個三角形，用圓規和直尺作出它的三條邊的垂直平分線，有

什么發現？

三、學以致用

1、點P、C、D是線段AB的垂直平分線上的三點，分別連接PA、PB,

AC、BC,AD、BD,指出圖中所有相等的線段。

2、任意畫一條線段，用直尺和圓規把它四等分。

3、AB要在A、B、C三個村莊之間修一座變電站，使它

到三個村

莊的距離

相等,你能在圖中找出點0的位置嗎?

C

四、達標反饋,當堂訓練

1、如上左圖，直線MN和DE分別是線段AB、BC的垂直平分線，它們

交于點P,請問：PA和PC相等嗎？

2、如上右圖，AB=AC,MN垂直平分AB,若AB=6,BC=4,求aDBC的周

長。

A

AE

C

3、如上左圖，在直線上求作一點P,使PA=PB.

4、如上右圖，ZBAC=120°,NC=30°,DE是線段AC的垂直平分線,

求NBAD的度數。

五、課堂小結

本節課主要學習了：

1、線段垂直平分線的知識。

2、線段的垂直平分線的點到線段兩短點的距離相等。

3、利用線段的垂直平分線的點到線段兩短點的距離相等解決實際問

題。

六、作業設計

3、必做題：教科書第10頁習題A組1-2題,B1-2題。

4、選做題:

5BC的垂直平分線;

C

B

b）你有什么發現？

1.3角的平分線

教學目標：

1、通過折疊的方式認識角的軸對稱性。

2、理解并能運用角的平分線的性質。

3、會畫已知角的平分線。

教學重點：引導學生了解有關線角平分線的知識。

難點：運用角平分線的性質解決問題。：

教學過程：

一、自主探索

A

C

在紙上畫NBAC,把它剪下來并對折，使角的兩邊重合，然后把紙鋪

平，獨立解決以下問題：

1、角是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸是什么？

2、嘗試用尺規作圖的方法作出NBAC的平分線AD。

3、在AD上任取一點P,作出點P到NBAC兩邊的垂線段PM與PN,

垂足分別為點M和點N,如果把NBAC沿AD折疊，線段PM與PN重合

嗎？由此，你能得出什么結論？

4、在AD上另取另一點Q,重復上述操作，你還能得出同樣的結論嗎?

二、小組合作

1、任意作一個銳角三角形，用直尺和圓規作出它的三條角平分線,

你有什么發現？

2、任意作一個直角三角形，用直尺和圓規作出它的三條角平分線,

你有什么發現

3、任意作一個鈍角三角形，用直尺和圓規作出它的三條角平分線,

你有什么發現？

猜想結論:

三、學以致用

天泉農副產品集散地M位于三個村莊A、B、C之間，其位置到三條公

路AB、AC、BC的距離相等，你能找到M的位置嗎？

四、達標反饋，當堂訓練

N

a）如上左圖，在直角坐標系中，AD是RtaOAB的角平分線，點

D至UAB的距離是2,求點D的坐標。

b）如上右圖，若點M在NANB的角平分線上，NA=NB=90°,那

么你有怎樣的結論？

若點N在NAMB的角平分線上，ZA=ZB=90°,那么你有怎樣

的結論？

3、如上左圖，AABC中，ZA=90°,BD平分

ZABC,AD=3cm,BC=10cm,求ABDC的面積。

4、如上右圖，已知NAOB和C、D兩點，是否能找到一點P,使得點P

到OA、0B的距離相等，而且P點到C、D兩點的距離相等。

五、課堂小結

這節課你有哪些收獲？

六、作業設置

1、必做題：教科書第12頁A組、B組。

2、選做題：

公路

§1.4等腰三角形導學案

（泰山版八年級上冊）

一、學習目標

1、經歷探索等腰三角形的性質的過程，掌握等腰三角形的軸

對稱性、等腰三角形“三線合一”、等腰三角形的兩個底角

相等等性質。

2、經歷探索等邊三角形的軸對稱性和內角性質的過程，掌握

這個性質，并會作出合理的說明。

3、掌握已知底邊和底邊上的高用尺規作等腰三角形的方法。

二、學習重點、難點

重點：等腰三角形與等邊三角形的性質

難點：等腰三角形的性質的運用

三、學習過程

（―）情境導入

瓦工師傅蓋房時，看房梁是否水平，有時就用一塊等腰三

角板放在梁上，從頂點系一重物，如果系重物的繩子正好

經過三角板底邊的中點，房梁就是水平的。為什么？你想

知道其中的奧秘嗎？學了本節后你將恍然大悟。

（-）自主學習

自學課本％—"挑戰自我”，解答下列問題:

1.我們知道等腰三角形是軸對稱圖形,它底邊上的高線所

在的直線式它的對稱軸，那么沿著對稱軸將等腰三角形

對折，對稱軸兩旁的部分能重合，如下圖,

你能得到哪些結論？說說你的想法.

B：DC

2.等邊三角形是軸對稱圖形嗎？它有兒條對稱軸？等邊

三角形是等腰三角形嗎？它與等腰三角形相比有何特

別之處？

3.如圖，ZB=ZC,AB=3.6cm,則AC=_____________

A

（三）合作探究

探究點一：等腰三角形的性質

例1等腰三角形中有一個角為80°.求另外兩個角的度

數.

總結：

探究點二：等邊三角形的性質

例2試說明“等邊三角形的每個內角都等于60°”

小組合作：用一張正方形的紙折出一個等邊三角形.

探究點三：尺規作等腰三角形

例3已知一個等腰三角形的底邊和腰，你能作出這個三

角形嗎？如果一直底邊和底邊上的高呢？

（四）練習達標

1.等腰三角形的兩邊長分別是6cm、3cm,則該等腰三角

形的周長是（）

A.9cmB.12cm

C.12cm或15cmD.15cm

2.等腰三角形的一個角為30°,則它的底角為（）

A.30°B.75°

C.30°或75°D.15°

3如圖，在AABC中，D、E是BC邊上的兩點，且

AD=BD=DE=AE=CE,求NB、NBAC的度數.

BDEC

（五）課堂小結

這一節你學會了什么？

（六）拓展提升

1.如圖所示，ZB=ZC,AD平分NBAC交BC于D,AABC

的周長為36cm,△ADC的周長為30cm,那么AD的長

為cm.

2、如圖，AABC為等邊三角形，Z1=Z2=Z3,試說明

△DEF為等邊三角形.

A

四.作業

§1.5成軸對稱圖形的性質導學案

（泰山版八年級上冊）

一、學習目標

1、經歷探索軸對稱圖形的性質的過程，理解連接對應點的線

被對稱軸平分、對應線段相等、對應角相等的性質.

2、會畫出與已知圖形關于某條直線對稱的圖形.

二、學習重點、難點

重點：軸對稱圖形的性質

難點：利用軸對稱圖形的性質作對稱圖形

三、學習過程

(一)情景導入

同學們，今年的10月1日是我們偉大的祖國60周歲的生日，

全國上下正洋溢在一片歡歌笑語的海洋里，都在為母親的生日

積極地做準備，你做了什么準備呢？不如我們現在來疊五角星

吧。你還記得怎么疊嗎？跟老師一起做……好了，五角星疊好

了.請同學們想一想，這種折紙疊正五角星的方法，其中隱含著

什么數學道理？

(-)自主學習

自學課本%一一P19例二，完成下列問題：

1-----------的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

2.成軸對稱的兩個圖形，在大小和形狀方面有怎樣的關

系？你是怎么知道的？

4.軸對稱圖形的對應線段、對應角有怎樣的關系？

（三）合作探究

探究點一：成軸對稱圖形的性質

要求：明確成軸對稱圖形的對應點連線被對稱軸垂直平分,

對應線段相等，對應角相等.

同桌合作解決課本PM列1.

探究點二：運用軸對稱的性質作一個圖形關于某條直線的

軸對稱圖形.

（四）練習達標

利用10分鐘的時間完成課本練習和P"練習

（五）課堂小結

談談你的收獲.

（六）拓展提升

1.課本P2。習題A組

2.將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形,

已知NCED'=80°,則NAED的大小是（）

A40°B50°C60°D80°

3.如圖是由三個小正方形組成的圖形，請你在圖中補畫一個

小正方形，是補畫后的圖形為軸對稱圖形.

四、作業

§1.6鏡面對稱導學案

（泰山版八年級上冊）

一、學習目標

1、結合現實生活中的實例，了解鏡面對稱及其應用，欣賞鏡面

對稱圖形；

2、思考并探索鏡面對稱下圖形的變化.

二、學習重點、難點

重點：鏡面對稱及其應用

難點：鏡面對稱下圖形的變化

三、學習過程

（-）情景導入

自遠古以來，對稱的形式被認為是和諧、美麗并且真實的.

不論在自然界里還是在建筑中，不論在藝術中還是在科學

中，甚至最普通的日常生活用品中，對稱的形式都隨處可見.

山倒影在湖中，這是多么令人難忘的對稱景象.

學好對稱，對我們認識圖形來說是很重要.（此處建議老

師們適當準備一些相關的圖片，以激發學生的學習興趣。）

（-）自主學習

自學課本取——p22.解決下列問題：

1、物體與它在鏡子里的像成鏡面對稱，它們的大小、形

狀相同嗎？

2、一次晚會上，主持人出了一道題目：“如何把式子

2+3=8變成一個真正的等式？"你能嗎？

（三）合作探究

探究點：鏡面對稱的原理及判斷方法

認真閱讀課本的“小資料”、“實驗與探究”，結合自己的

生活經歷，同桌互助總結鏡面對稱的原理.

（四）練習達標

1、課本“挑戰自我”.

2、Pw練習與習題A組

（五）課堂小結

說說鏡而對稱的原理及判別方法

（六）拓展提升

1、課本P22習題B組

2、宋代理學家邵康寫有一首五言絕句：“一去二三里，煙

村四五家，樓臺七八座，八九十枝花.”把這首詩寫在一張

紙上，并將寫字的一面平行對折鏡面.在這首詩的所有字中

中，鏡子中的像與原字一樣的是.

四、作業

§1.7簡單的圖案設計導學案

（泰山版八年級上冊）

一、學習目標

1、欣賞生活中的軸對稱圖案，能分析它是由哪些簡單幾何圖形

組成的.

2、能利用簡單兒何圖形設計軸對稱圖案，體驗數學活動的樂趣,

培養學生的創新意識.

二、學習重點、難點

設計圖案

三、學習過程

（一）情境導入

同學們都知道，我們濰坊是一個風箏之都。同學們你放過嗎？

回想一下你玩的風箏的樣子，在于其他同學交流一下，你會有更多的

發現。其實，這些美麗的風箏你都能設計出來，甚至有可能還要美。

怎么樣，想不想自己做一個風箏？想，那就來好好的學習一下本節知

識吧。

（二）自主學習

看課本P25----------P26,依次解決相關問題.

（三）合作探究

利用軸對稱進行簡單的圖案設計

（四）練習達標

課本P25-------------P26練習和習題.

（五）拓展提升

練習冊5、6兩題

（六）作業

第一章綜合檢測

一、選擇題（每題3',共30'）

1、下列圖形中一定是軸對稱的圖形是（）。

A、梯形B、直角三角形C、角D、平行四邊形

2、等腰三角形的一個內角是50°,則另外兩個角的度數分別是

（）o

A、65°65°B、50°80°C、65°65°或50°80°D、50°50°

3、如果等腰三角形的兩邊長是6和3,那么它的周長是（）。

A、9B、12C、12或15D、15

4、到三角形的三個頂點距離相等的點是（）□

A、三條角平分線的交點B、三條中線的交點C、三條高的交點D、三

條邊的垂直平分線的交點

5、等腰三角形的一個外角等于100°,則與它不相鄰的兩個內角的度

數分別為（）。

A、40°40°B、80°20°C、50°50°D、50°50°或80°20°

6、ZA0B的平分線上一點P到0A的距離為5,Q是0B上任一點，則

（）。

A、PQ>5B、PQ25C、PQ<5D、PQW5

7、下列軸對稱的圖形中，對稱軸最少的是（)0

A、等邊三角形B、等腰梯形C、正方形D、圓

8、已知等腰aAOB的底邊=8cm,且|AC-BC|=5cm,則腰AC的長為

（）。

A、13cm或3cmB、3cmC、13cmD、8cm或6cm

9、如圖,在4ABC中，AB=AC,ZA=36°,BD、CE分別是NABC、ZACB

的角平分線，且相交于點F,則圖中的等腰三角形有（）。

A、6個B、7個C、8個D、9個

10、下列說法錯誤的是（）

A、等腰三角形底邊上的高所在的直線是它的對稱軸

B、等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸

C、等腰三角形頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸

D、等腰三角形定有三條對稱軸

二、填空題（每題3',共30'）

1、Z\ABC中，DE垂直平分AC,與AC交于點E，與BC交于點D,NC=15,

ZBAD=60,則aABC是三角形。

2、ZA0B內部有一點P,分別作出點P關于0A、0B的對稱點P2,

連接PR,分別交0A、0B、于點M、N,若PR=5cm,則aPMN的周長

為。

3、已知點P至UX軸Y軸的距離分別是2和3,且點P關于X軸對稱

的點在第四象限，則點P的坐標是。

4、等腰三角形的一腰上的高與另一腰的夾角為45°,則這個三角形

的底角為-

5、數軸上表示1和3的點分別為點A和點B,點B關于點A的對稱

點為點C,則點C所表示的數是。

6、已知點P、Q關于直線x=l對稱，點P的橫坐標為-2,點Q的縱坐

標是-3,則點P的縱坐標為，點Q的橫坐標是（）,

PQ=o

7、如圖，已知，D是BC邊上的一點，若AD=BD,AB=AC=CD,則N

A

D

BAC=.

8、如果AABC和AA'B'C'關于直線1成軸對稱，且NA=50°,Z

B,=70°，那么NC=o

9、AABC中，AD為角平分線，DE±AB于E,DF±AC于F,AB=10厘米,

AC=8厘米，AABC的面積為45平方厘米，則DE的長為。

10、AABC中，D為AB的中點，且CD=AD=BD,則NACB=。

三、解答題（每題10',共40'）

1、如下左圖，在aABC中，BC邊的垂直平分線交AC于點D,連接BD.

⑴如果CE=4,ABDC的周長為18,求BD的長。

⑵如果NADM=50°,ZABD=20°,求NA的度數。

2、如上右圖，APAB中，MN是AB的垂直平分線，比較PA、PB。

3、如左上圖，在△ABC中，AB=AC,E在CA的延長線上，ZAEF=ZAFE,

AD是高，是說明EF與BC的位置關系，并說明理由。

4女口彳j*1.以￡AAL上AC邊上的中點CE=CD,試確定

EB和DE\A

A

—D

D

C

B

參考答案

1.1

鞏固反饋答案：

1、略。2、田、山、串、王等3、CDo4、第5、9、10個不是軸對稱

圖形。5、略。6、Bo

作業設計答案:

1、略。2、Co

1.2

達標反饋，當堂訓練答案：

1、PA=PCo2、10o3、90°o

作業設計答案：2、PA=PC

1.3

達標反饋，當堂訓練答案：

1、D(2,0)o2、AM=BM；NA=NB。3、15cm2o4、略。

1.4"自主學習|”第3題AC=3.6cm

“練習達標"LD2.C3.ZB=30°ZBAC=120°

“拓展提升"l.AD=12cm2.提示：利用三角形的外角性質

1.5“拓展提升”2.B3.開放題，答案不唯一.

1.6“拓展提升”2.一，二，三，十

第一章綜合檢測答案部分

一、1、C2、C3>D4、A5、D6、B7>B8、C9、C10>D

二、1、直角2、53、P(3,2)4、62、5°或22、5°5、T6、

-3,2,47、108°8、60°9、510、90°

三、1、⑴、BD=5⑵80°2、PA>PB3、EF±BC4、EB=DE

第二章乘法公式與因式分解

2.1平方差公式

【教學內容】：17.1平方差公式

【學習目標】：

1.記住平方差公式并會進行運用。

2.能用兒何拼圖的方式驗證平方差公式。

【學習重點和難點工

重點：平方差公式，平方差公式的兒何拼圖驗證及其應用。

難點：平方差公式的兒何拼圖驗證及其應用

【教學方法】：創設情境一自主探究一合作交流一拓展提高.

【教學準備】：多媒體課件+導學案

【導學流程工

一、創設問題情境，引入新課。

請同學們與我一起觀看這幅圖片，它是有一些美麗的長方形

花壇組成，如果每幅圖案的長方形的長為(a+b)米，寬為(a-b)

米，它的面積為多少呢？

同學們會很快地回答為：(a+b)(a-b),那么如何計算呢？

這是初一我們學習的內容，多項式乘以多項式。為了更好

地鞏固以前學過的內容，同學們拿出我們剛發的導學案，做一下

導學案上的題目。

【溫故知新】請同學們用3分鐘的時間獨立完成下列問題。通過計算,

你能發現它們的規律嗎？

(1)(x+1)(x-l)=

(2)(m+2)(m-2)=

(3)(2x+l)(2xT)=

根據大家作出的結果，你能猜想(a+b)(a—b)的結果是多

少嗎？小組討論交流，大膽猜測。

為了驗證大家猜想的結果，我們再計算：

(a+b)Qa—b)-a2—ab+ab—Z>2=a2—Z>2.

得出平方差公式

(a+b)Qa—b)=舌一K.

即兩數和與這兩數差的積等于這兩個數的平方差.

引出本節課的學習內容2.1平方差公式

明確本節的學習目標。

二、自主學習一：

自學任務：

1、學生自學課本34頁。

2、通過自學，能通過所計算的式子總結規律，推導公式，進而找出

公式的結構特點。

3、能夠通過圖形驗證公式。

在學習過程中，學生互相之間探索交流，教師精講點撥。

平方差公式：（a+b）（a—b）=a2—b2

兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差。

平方差公式結構特征：（引導學生探索歸納，大膽發言）

教師歸納概括：

①左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一

項互為相反數。

②右邊是乘式中兩項的平方差。即相同的平方與相反項的平方的差。

為了更好地證明該定理的正確性，設計用動畫的形式直觀地說明

平方差公式的正確性。（見多媒體課件）

你能根據下圖中的面積說明平方差公式嗎?

(a-b)(a+b)—a2-b2

學生觀察圖形，計算陰影部分的面積.經過思考可以發現：

左邊圖形的面積：（K力）（a—b）.

右邊旋轉以后的圖形的面積為：（才一力?）.

這兩部分面積應該是相等的，即（於6）=才一次

教師活動：

引導學生細心觀察，自主探索，發現規律，進行歸納，初步感受

平方差公式.

在本活動中教師主要關注:

(1)學生能否自己主動參與探索過程；

(2)學生在交流中所投入的情感和態度.

學生活動：

為了讓學生進一步理解該公式，能更好地運用該公式，我又設計

了下面的練習。(見多媒體課件)

會填會選我最棒：

1.參照平方差公式“(a+b)(a—b)=填空

(1)(t+s)(t-s)=(2)(3m+2n)(3m-2n)=

(3)(1+n)(l-n)=(4)(10+5)(10-5)=

2、判斷下列式子是否可用平方差公式。

(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)

(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

三、自主學習二：

請同學們用5分鐘的時間看課本35頁的例1和例2.要求如下：

(1)記住利用平方差公式進行計算的方法和步驟。

(2)理解只有符合公式要求的乘法才能運用公式簡化運算。其

余的運算仍按乘法法則計算。

(3)看完后，用8分鐘的時間獨立完成導學案上的1和2兩題。

L下列多項式乘法中，能用平方差公式計算的是()

A.(廣1)(1+x)；B.(2x-5)(2x+5)

C.(-a+b)(a—b)；D.(/—y)(A+/)；

2.運用平方差公式進行計算:

(1)(3x+4)(3x-4)

(2)(3a+2b)(2b-3a)

(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

(4)51X49

(5)(a+1)(4a-l)-(2a+l)(2a-l)

學生活動：

【合作交流】：先小組內交流，由組長公布解題步驟和答案，小組內

解決不了的問題由組長提交班內交流，如再有疑問由老

師點撥精講。

【歸納總結】：由學生總結本節學習內容，并歸納出知識要點。以便于

同學在做題時能正確運用平方差公式.

四、知識應用

【題組訓練工(學生用8分鐘時間獨立完成下列題目)：

1.下面各式的計算對不對，如果不對，應當怎樣改正?

(1)(x+2)(x-2)=x-2()

(2)(-3a-2)(3a-2)=9a-4()

2.運用平方差公式進行計算：

(1)(a+3b)(a-3b)

(2)(3+2a)(-3+2a)

(3)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

(4)58X62

(5)(m+3)(m-3)(m2+9)

五、歸納總結：

通過本節課的學習我有哪些收獲？由學生總結解題步驟，不全

面的老師點撥。進一步加深對平方差公式的記憶和理解。

【達標測評】：學生用5分鐘獨立完成，然后同位互改試卷。

運用平方差公式計算下列公式：

1.(2x-3y)(2x+3y)

2.(-2m-5)(2m-5)

3.105X95

4.(ab+1)(ab-l)

六、應用提高、拓展創新：

【拓展提高】：運用平方差公式計算：

(2+1)(22+1)(2'+1)(28+1)

七、布置作業:

1、課本35頁練習1題。

2、課本36頁習題A組。

3、課本36頁習題B組。（選作）

2.2完全平方公式（一）

【學習目標】

1、記住完全平方公式并會靈活應用。

2、能用兒何拼圖的形式驗證完全平方公式。

【學習重點】

完全平方公式的靈活應用。

【學習難點】

理解完全平方公式的結構特征并能靈活應用公式進行計算.

【學習準備】

多媒體課件

【教學方法】

創設情境一自主探究一合作交流一拓展提高

【導學流程】

一、提出問題，創設情境

［師］請同學們探究下列問題：

一位老人非常喜歡孩子.每當有孩子到他家做客時，老人都要拿

出糖果招待他們.來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩

子，老人就給每個孩子兩塊塘，…

(1)第一天有a個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多

少塊糖？

(2)第二天有b個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多

少塊糖？

(3)第三天這(a+b)個孩子一起去看老人，老人一共給了這些

孩子多少塊糖？

(4)這些孩子第三天得到的糖果數與前兩天他們得到的糖果總

數哪個多？多多少？為什么？

學生互相討論交流。

［生］(1)第一天老人一共給了這些孩子a?糖.

(2)第二天老人一共給了這些孩子b?糖.

(3)第三天老人一共給了這些孩子(a+b)之糖.

(4)孩子們第三天得到的糖塊總數與前兩天他們得到的糖塊總

數比較，應用減法.即:

(a+b)2-(a2+b2)

我們上一節學了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2,現在遇到了

兩個數的和的平方，這正是我們這節課要研究的問題。

明確本節的學習目標。

計算下列各式,你能發現什么規律?

(1)(p+1)2=(P+1)(P+1)

(2)(m+2)

(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)

(4)(m-2)

(5)(a+b)

(6)(a~b)2_

學生獨立嘗試,大膽猜測。

二、獨立探究，探索交流

自學任務：

1、自學課本36頁。

2、通過自學，掌握完全平方公式的推導過程、結構特點。

3、會用兒何圖形解釋完全平方公式。

學生自學，自學過程中小組之間互相交流。6分鐘后檢查自學效果。

自學檢測:

1、完全平方公式文字敘述:

兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們

的積的2倍.

符號敘述：（a+b）J=a2+2ab+b'（a_b）2=a'!_2ab+bJ

2、從幾何角度去解釋完全平方差公式.

你能根據圖（1）和圖（2）中的面積說明完全平方公式嗎？

圖⑴圖⑵

小組討論交流，積極發言。

三、精講點撥，提高升華

請同學們總結完全平方公式的結構特征。

公式的左邊是一個二項式的完全平方；右邊是三項，其中有兩項

是左邊二項式中每一項的平方.而另一項是左邊二項式中兩項乘積的

2倍。

我們還要正確理解公式中字母的廣泛含義：它可以是數字、字母

或其他代數式，只要符合公式的結構特征，就可以運用這一公式。

四、達標檢測：

1、下列式子符合完全平方公式形式的是()

A^a"+ab+b~B、a'+2a+2C>a3-2b+b2D、a'+2a+l

五、自主學習二：

1、自學課本37頁、38頁。

2、通過自學，會靈活應用完全平方公式進行計算。

達標檢測：：

1、判斷下列各式是否正確，如果錯誤并加以改正：

(1)(2a-l)2=2a2-2a+l;

(2)(2/1)2=43+1；

(3)(—3—1)2——^—2a—1.

2、應用完全平方公式計算：

(1)(4m+n)2(2)(y--)2

2

(3)(-a-b)2(4)(b-a)2

3、運用完全平方公式計算：

(1)1022(2)992

六、課堂總結：

你學會了什么？完全平方公式與平方差公式有什么區別？討

論交流。

完全平方公式和平方差公式不同：

1、形式不同

2、結果不同：

完全平方公式的結果是三項，

即(a±b)2=a2±2ab+b2;

平方差公式的結果是兩項，

即(a+b)(a—b)=a2—b".

七、拓展應用：

1、計算(Za+b+c)?

2、要使x?+6x+a成為形如(x-bF的完全平方公式，求a,b.

八、作業：

1、課本38頁練習1、2、3題。

2、習題40頁A組。

3、習題40頁B組3、4題。(選作)

2.2乘法公式復習課

【學習目標】

1、熟記平方差公式和完全平方公式。

2、綜合應用平方差公式和完全平方公式進行多項式的運算。

【重點】乘法公式的綜合應用

【難點】乘法公式的綜合應用

【學習準備】多媒體課件

【學習方法】自主探究學習法

【導學流程】

一、創設情境，復習引入

回顧與思考：

1、平方差公式及結構特征，應用平方差公式應注意什么問題？

2、完全平方公式及結構特征，在什么情況下可以應用？

3、練一練：

(1)+—

1,

(2)(-x+2y)2

(3)(-;x+2y)(一；x-2y)

(4)(n+1)2-n2

(5)(2m-5nf

(6)(x+4y-6z)(x-4y+6z)

3

(7)(2m-3n)(m+—n)

(8)(-2p-3q)2

本節課繼續乘法公式的學習，引出課題，明確本節的學習目標。

二、學生自學：

自學任務：

1、自學課本38頁。

2、通過自學明確平方差公式和完全平方公式的選擇應用及綜合應

用。

自學檢測：

1、想一想：（a+b+c）J

2、想-—想：（a+b+c）（a+b-c）=

根據自學情況，互相討論交流，大膽嘗試。

三、展示反饋:

展示經過學生探索交流后的結果，不同小組的學生分別展示。

(a+b+c)J[(a+b)+c]~=(a+b)2+c2+2(a+b)c=a2+bJ+2ab+c2+2ac+2bc

(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=a2+b3+2ab-c2

四、精講點撥：

1、平方差公式的結構特點：左邊是兩個二項式的積，兩個二項式中,

一項相同，另一項互為相反數；右邊是兩個因式中相同項的平方減去

互為相反數的項的平方。

2、完全平方公式的結構特點：左邊是兩數和或差的平方，右邊是兩

個數的平方和加上(或減去)這兩數乘積的2倍。

3.運用公式計算時;先將要計算的代數式寫成公式的原始形式，然后

再一步步計算.

4.解題時，要認真分析題目的結構特點，合理安排運算順序，靈活運

用公式，可使解題時快速、簡潔。

五、達標測評：

1、下列等式是否成立？說明理由.

22

(1)(-4a+l)=(l-4a);

(2)(-4a-l)2=(4a+l)2；

(3)(4a—1)(1—4a)=(4a—1)(4a—1)=(4a—1)S

(4)(4a-1)(-l-4a)=(4a-1)(4a+l).

2、指出下列各式中的錯誤，并加以改正：

(1)(2a-l)2=2a2-2a+l;

(2)(2>1)2=4才+1；

(3)(—a-1)a2-2a—1.

3、計算：

(1)98X102

(2)2004-2003X2005

(3)若x2-y2=12,x+y=6,求x,y的值。

六、課堂小結：引導學生對本節知識進行總結。

七、拓展提高：

1、回答下列問題：

(1)a?+b?加上什么式子可以得到(a+b)2?

(2)a2+b?加上什么式子可以得到(a-b)”

⑶a?+ab+b2加上什么式子可以得到(a-bW

2、已知(a+b)Ji,(a-b)2=25,求l+b'+ab的值.

八、布置作業：

1、課本40頁練習1、2題。

2、課本40頁習題B組1、2題。(選作)

2.3用提公因式法進行因式分解

【學習目標】

1、掌握因式分解、公因式的定義，能夠透徹理解。

2、會用提公因式法分解因式。

3、在探索提公因式法分解因式的過程中學會逆向思維，滲透化

歸的思想方法.

【學習重點】

會用提公因式法分解因式

【學習難點】

如何確定公因式以及提出公因式后的另外一個因式

【教學準備】

多媒體課件

【學習方法】自主探究學習法

【導學流程】

一、提出問題，創設情境

［師］請同學們完成下列計算，看誰算得又準又快。

(1)20X(-3)2+60X(-3)

(2)101-992

(3)572+2X57X43+432

(學生在運算與交流中積累解題經驗，復習乘法公式)

［師］在上述運算中，大家或將數字分解成兩個數的乘積，或者

逆用乘法公式使運算變得簡單易行，類似地，在式的變形中，有時

也需要將一個多項式寫成兒個整式的乘積形式，這就是我們從今天

開始要探究的內容——因式分解。引入新課，同時明確本節的學習

目標。

二、自主學習：

自學任務：

1、學生自學課本41頁。

2、通過自學，明確因式分解的定義，公因式的定義。

學生自學，分析討論，探究新知.

把下列多項式寫成整式的乘積的形式

(1)x2+x=_________

(2)x2-l=_________

(3)am+bm+cm=

［生］根據整式乘法和逆向思維原理，可以做如下計算：

(1)x2+x=x(x+1)

(2)x2-l=(x+1)(x-l)

(3)am+bm+cm=m(a+b+c)

三、精講點撥：

教師精講點撥因式分解的定義。

像這種把一個多項式化成兒個整式的積的形式的變形叫做把這個

多項式因式分解，也叫把這個多項式分解因式.

可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的變形，所以需要逆向

思維.

再觀察上面的第(1)題和第(3)題，你能發現什么特點.

［生］我發現(1)中各項都有一個公共的因式x,(2)中各項都有

一個公共因式m,是不是可以叫這些公共因式為各自多項式的公因式

呢？

［師］你分析得合情合理.

因為ma+mb+mc=m(a+b+c).

于是就把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式，其中一?個因式

是各項的公因式m,另一個因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，

像這種分解因式的方法叫做提公因式法.

四、應用檢測：

1、把8a3bJ12ab%分解因式.

2、把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.

3、把3x26xy+x分解因式.

4、把-4a3+16a?T8a分解因式.

5、把6(x-2)+x(2-x)分解因式.

(讓學生利用提公因式法的定義嘗試獨立完成，然后與同伴交流

解題心得，教師深入到學生中去發現問題，并對有困難的學生進行

適時的引導和啟發，最后師生共同評析、總結)

1、解：8a3b2+12ab2c=4ab2?2a2+4ab2?3bc=4ab2(2a2+3bc).

總結：提取公因式后，要滿足另一個因式不再有公因式才行.可

以概括為一句話：括號里面分到“底”，這里的底是不能再分解為止.

2、解：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).

總結：公因式可以是單項式，也可以是多項式，是多項式時應整體考

慮直接提出.

3、解:3x2-6xy+x=x?3x-x?6y+x,l=x(3x-6y+l).

總結：1作為項的系數，通常可以省略，但如果單獨成一項時,

它在因式分解時不能漏掉，可以概括為：某項提出莫漏1.

4、解：-4a3+16a-18a

=-(4a3-16a2+18a)

=-2a(2a-8a+9)

注意：如果多項式的第一項的系數是負的，--般要提出“一”號,

使括號內的第一項的系數是正的.在提出"一”號時，多項式的各項

都要變號.可以用?句話概括：首項有負常提負.

5、解：6(x-2)+x(2-x)

=6(x-2)-x(x-2)

=(x-2)(6-x).

總結：有時多項式的各項從表面上看沒有公因式，但將其中一些

項變形后，但可以發現公因式，然后再提取公因式.

五、課堂小結：

今天我們學習了提公因式法分解因式.同學們在理解的基礎上，

可以用四句順口溜來總結記憶用提公因式法分解因式的技巧.

各項有“公”先提“公”，

首項有負常提負.

某項提出莫漏1.

括號里面分到“底”.引導學生歸納。

六、拓展提高：

3200-4X3199+10X3198^7的倍數嗎？為什么？

七、布置作業：

1、課本42頁練習。

2、課本42頁習題A組1、2、3題。(3題選作)

2.4用公式法進行因式分解（一）

【學習目標】

1.能說出平方差公式的特點。

2.能較熟練地應用平方差公式分解因式。

【重點】

應用平方差公式分解因式。

【難點】

靈活應用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求.

【教學準備】多媒體課件

【教學方法】自主探究學習法

【導學流程】

一、提出問題，創設情境

出示投影片，讓學生思考下列問題.

問題1：你能敘述多項式因式分解的定義嗎？

問題2：運用提公因式法分解因式的步驟是什么？

問題3：你能將a2-b?分解因式嗎？你是如何思考的？

二、學生自學，嘗試探究

自學任務：

1、自學課本43頁和44頁的例1.

2、通過自學，掌握因式分解的平方差公式的結構特點。

3、會應用平方差公式進行多項式的因式分解。

結合提出的問題，學生自學。教師進行適當的點撥指導。

說明：

1.多項式的因式分解其實是整式乘法的逆用，也就是把一個多

項式化成了兒個整式的積的形式.

2.提公因式法的第一步是觀察多項式各項是否有公因式，如果

沒有公因式，就不能使用提公因式法對該多項式進行因式分解.

3.對不能使用提公因式法分解因式的多項式，不能說不能進行

因式分解.

4、要將a2-b?進行因式分解，可以發現它沒有公因式，不能用

提公因式法分解因式，但我們還可以發現這個多項式是兩個數的平方

差形式，所以用平方差公式可以寫成如下形式：

a2-b2=(a+b)(a-b).

多項式的乘法公式的逆向應用，就是多項式的因式分解公式，如

果被分解的多項式符合公式的條件，就可以直接寫出因式分解的結

果，這種分解因式的方法稱為運用公式法。今天我們就來學習利用平

方差公式分解因式，明確本節的學習目標。

自學檢測，展示反饋：

1、觀察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的項、指數、符號有什么

特點？

(讓學生分析、討論、總結，最后得出下列結論)

2、填空：

(1)4a2=()>

(2)-b2=()②；

9

(3)0.16a'=(V；

(4)1.21a2b2=()，

(5)2-x'=()I

4

(6)5-x'y2=()2.

9

［做以上填空題的作用在于訓練學生迅速地把一-個單項式寫成平

方的形式.也可以對積的乘方、幕的乘方運算法則給予一定時間的

復習，避免出現4a?=(4a)2這一類錯誤］

3、分解因式

(1)4X2-9(2)(x+p)2-(x+q)

三、教師精講，達標檢測

因式分解的平方差公式的結構特點：

(1)左邊是二項式，每項都是平方的形式，兩項的符號相反.

(2)右邊是兩個多項式的積，一個因式是兩數的和，另一個因式

是這兩數的差.

在乘法公式中，“平方差”是計算結果，而在分解因式，“平方

差”是得分解因式的多項式.

由此可知如果多項式是兩數差的形式，并且這兩個數又都可以寫

成平方的形式，那么這個多項式可以運用平方差公式分解因式.

達標檢測：

1、把下列各式分解因式

(1)36(x+y)2-49(x-y)2

(2)(x-1)+b2(l-x)

(3)(x2+x+l)-1

(4)_*+?

144

2、分解因式

(1)x4-y4(2)a3b-ab

解:(1)X4-/

=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x+y)(x-y).X

(2)a3b-ab=ab(a2-l)=ab(a+1)(a-l).

學生解題中可能發生如下錯誤：

(1)系數變形時計算錯誤；

(2)結果不化簡；

(3)化簡時去括號發生符號錯誤.

最后教師歸納：

(1)多項式分解因式的結果要化簡：

(2)在化簡過程中要正確應用去括號法則，并注意合并同類項。

四、課堂小結：

引導學生總結本節的學習內容，強調注意的問題。

1.如果多項式各項含有公因式，則第一步是提出這個公因式。

2.如果多項式各項沒有公因式，則第一步考慮用公式分解因式。

3.第一步分解因式以后，所含的多項式還可以繼續分解，則需

要進?步分解因式，直到每個多項式因式都不能分解為止。

五、拓展提高：

給出下列算式,

3-12=8X1,52-32=16=8X2,7-52=24=8X3,92-72=32=8X4,-

（1）觀察上面一系列式子你能發現什么規律？用含n的式子表示出