2020-2021學年山西省呂梁市高一（下）期末數學試卷

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復數盒-的虛部為（）

.1.?1?2「2.

A.—IB.—C.--D.--I

5555

2.甲，乙兩人下棋，甲不輸的概率是0.7,兩人下成平局的概率是0.5,則甲勝的概率是（）

A.0.2B.0.5C.0.6D.0.7

3.設a,0是空間兩個不重合的平面，/,相是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的

是（）

A.若/J_a,/±p,則a〃BB.若/J_a,則/〃機

C.若/La,/〃0,貝D.若/La,a±p,則/〃0

4.圓錐的母線長是2,側面積是2ir,則該圓錐的高為（）

A.5y3B.yfsC.MD.2

5.“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州”出自唐朝詩人李白的《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》，

黃鶴樓位于今湖北武漢市，自古享有“天下江山第一樓”之稱.下面是黃鶴樓的示意圖,

某位游客（身高忽略不計）從地面。點看樓頂點A的仰角為30°,沿直線前進37.5米

到達E點，此時看樓頂點A的仰角為45°,則樓高AB約為（）

（參考數據：73^1,73）

D.73米

6.已知在一次射擊預選賽中，甲，乙兩人各射擊10次，兩人成績的條形統計圖如圖所示,

則下列四個選項中判斷正確的是（）

A.甲的成績的平均數大于乙的成績的平均數

B.甲的成績的中位數大于乙的成績的中位數

C.甲的成績的方差大于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

7.如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，E,尸分別是AB,BC的中點，將△AED,ABEF,

△DCE分別沿DE,EF,。尸折起，使A,B,C三點重合于點4,則四面體4-DEF的

外接球的表面積為（）

A.24nB.12TTC.6HD.3H

8.如圖，在△ABC中，。是BC的中點，￡在線段A3上，且BE=3EA,AD與CE交于點

O.設訪=x7E+y而則x+y=（）

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.盒子中裝有紅色，黃色和黑色小球各2個，一次取出2個小球，下列事件中，與事件“2

個小球都是紅色”互斥但不對立的事件是（）

A.2個小球都是黑色

B.2個小球恰有1個是紅色

C.2個小球都不是紅色

D.2個小球至多有1個是紅色

10.在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6=6,C=30°,則使得角B

有兩個解的c的值可以是（）

A.3B.3>/3C.5D.7

11.如圖，由Ai,4，4,4四個電子元件分別組成甲、乙兩種系統，設每個電子元件能

正常工作的概率均為P,則（）

A.甲、乙系統都正常工作的概率為*4

B.甲系統正常工作的概率為2P2-04

C.乙系統正常工作的概率為1-（1-/?）2

D.甲系統正常工作的概率小于乙系統正常工作的概率

12.如圖，正方體用4Qi的棱長為1,線段BQi上有兩個動點E,F（尸靠近3），

且EF］，則下列結論中正確的是（）

A.AC±BF

B.存在點E,尸使得AF,BE相交

C.三棱錐A-BEE的體積為定值

D.AF+BF的最小值為4

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.某公司對旗下的某門店1至9月份的營業額(單位：萬元)進行統計得到的數據為12,

18,24,21,25,32,28,23,30,則此門店1至9月份的營業額的第一四分位數是.

14.已知向量|彳|=2，b=(l,1)，且向量力與E的夾角為十，則|2+2三|等

于.

15.已知正三棱柱中4BC-4BC1中，AB=2,BBi=4,D,E分別是棱4G,3囪的中點，

則異面直線BiD與AE所成角的正切值為.

16.如圖，在△ABC中，COSZBAC=-4>AC=2,。是邊BC上的點，且BO=2OC,AD

=DC,則4B等于.

四、解答題(本大題共6小題，共70分)解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知平面向量彳=(3,-2),b=(l.-y)且E-Z與w=(2,1)共線.

(1)求y的值；

(2)若i=2；+E，n=a-c-求向量7與向量三所夾角的余弦值.

18.在中國扶貧志愿服務促進會的指導和地方政府的協助下，某平臺希望通過“萬村主播培

養計劃”建立起跨部門，跨行業，跨單位的多元主體扶貧工作體系，打造“新媒體+精準

扶貧”，“短視頻，直播+消費扶貧”等行業扶貧模式，發揮網絡視聽新媒體在產銷助農,

品牌強農等方面的積極作用.某村為蘋果種植基地，村播的加入給村民帶來了較好的收

益，該村決定從甲，乙兩個村播中評選一人作為年度優秀村播.現從觀看過甲，乙村播

的觀眾中隨機抽取200人，對甲，乙兩人進行評分，得到如下頻率分布直方圖和頻數分

布表：

乙村播所得分數頻數分布表

分數區間頻數

[4.5,5.5)20

[5.5,6.5)10

[6.5,7.5)46

L7.5,8.5)84

[8.5,9.5]60

(1)若以觀眾評分的平均分作為該村年度優秀村播的評選標準，試問甲，乙兩人誰能被

評為年度優秀村播？(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)

(2)對于(1)中被大家選中的年度優秀村播，為了進一步優化他的直播，決定對200

名觀眾中對其評分為[4.5,6.5)的觀眾進行走訪，先從這些觀眾中按評分用分層抽樣抽

取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行深入座談，求深入座談的觀眾中至少有1人評

分為[5.5,6.5)的概率.

甲村播所得分數頻率分布直方圖

而立

0.33............................

0.30......................

0.22.................................

010---1—

0.05--

0^---------------------------------

4.55.5657.58595得分

19.已知直三棱柱ABC-4SG中，側面為正方形.AB=BC=2,AF=3,E,F

分別為BC和CG的中點.

(1)求三棱錐P-ACE的體積；

(2)證明：AF±BiE.

20.隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經成為現代人“必考”證件之一.駕駛證考試，需要

通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在每一次報名中，每個學員有5次參加

科目二考試的機會(這5次考試機會中任何一次通過考試，就算通過，即進入下一科目

考試，如果5次都沒有通過，則需要重新報名)，其中前2次參加科目二考試免費，若

前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校通過

幾年的資料統計，得到如下結論：男性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為冷,

D

女性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為號3.現有一對夫妻報名參加駕駛證考試,

在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機

會為止.假設每個人科目二5次考試是否通過互不影響，且夫妻二人每次考試是否通過

也互不影響.

(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；

(2)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為200元的概率.

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面尸。UL平面ABC。，AD//BC,AD±DC,PD±PB,

AD^-BC=bCD=3,E是尸C的中點.

(1)證明：OE〃平面尸49；

(2)證明：尸￡＞，平面P2C；

(3)已知直線AB與平面PBC所成角的正弦值為柒，求尸。的長.

5

22.在銳角△ABC中，其內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,現有以下三個條件：

①。2+。2-序=(4c2-2Z?c)cosA；②b二acosC+^^csinA；③asin(A+B)=csin^^.請

從以上三個條件中選擇一個完成下列求解.

(1)求角A的大小；

(2)若△A2C的面積為2?,求邊。的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題列出的四個選項中,

只有一項是最符合題目要求的.請將正確選項的字母標號在答題卡相應位置涂黑.

1.復數盒-的虛部為（）

1.1廠2「2.

AA.—iBD.—C.--D.--i

5555

鏟??1_"iJ_2.

'l+2i-（l+2i）（l-2i）-5T1'

i2

，復數7*的虛部為-9

1+21t>

故選：C.

2.甲，乙兩人下棋，甲不輸的概率是0.7,兩人下成平局的概率是0.5,則甲勝的概率是（）

A.0.2B.0.5C.0.6D.0.7

解：甲、乙兩人下棋，甲不輸的概率是0.7,兩人下成平局的概率是0.5,

則甲勝的概率是P=0.7-0.5=02.

故選：A.

3.設a,0是空間兩個不重合的平面，I,m是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的

是（）

A.若/J_a,/±p,則a〃0B.若/J_a,貝U/〃加

C.若/La,/〃d則D.若/La,a±p,則/〃B

解：對于A,由面面平行的判定定理得A正確；

對于8,由直線與平面垂直的性質定理得B正確；

對于C,Z±a,/〃印則在日中一定0存在直線與/平行，由面面垂直的判定可得

故C正確；

對于，若La,a±p,則/〃0或/u0,故￡>正確；

故選：D.

4.圓錐的母線長是2,側面積是2m則該圓錐的高為（）

A.B.C.D.2

解：設圓錐的高為心底面圓的半徑為r,

由題意可知，母線長/=2,側面積是2m

則^'叩冗廣1=兀廣2=2兀，解得廠=1，

所以h=712-r2=V3-

故選：A.

5.“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州”出自唐朝詩人李白的《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》，

黃鶴樓位于今湖北武漢市，自古享有“天下江山第一樓”之稱.下面是黃鶴樓的示意圖,

某位游客（身高忽略不計）從地面。點看樓頂點A的仰角為30。，沿直線前進37.5米

到達E點，此時看樓頂點A的仰角為45°,則樓高48約為（）

（參考數據：^3^1.73）

A.45米B.51米C.62米D.73米

解：因為在△AED中，ZD=3Q°,ZEAD=45°-30°=15°,DE=3T.5

[5X]

由F核定理——匹——=杷?TH■得AE=DEFnD=37.5X—=_2

~sinz_EADsinDsinz_EAD.oV6V2

sinl1bR,

4

37-5xl加

7573+7575X1.73+75

在△ABE中，可得AB=AEcos45°=—r=LX”

44

4

51.

故選：B.

6.已知在一次射擊預選賽中，甲，乙兩人各射擊10次，兩人成績的條形統計圖如圖所示,

則下列四個選項中判斷正確的是（）

A.甲的成績的平均數大于乙的成績的平均數

B.甲的成績的中位數大于乙的成績的中位數

C.甲的成績的方差大于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

解：對于4甲的成績的平均數為：

一1

乂甲=啟(5+6X2+7X2+8X2+9X2+10X1)=7.5,

乙的成績的平均數為：

一1

X-=-^-(6+7X3+8X2+9X3+10X1)=8,

乙10

???甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數，故A錯誤；

對于8,甲的成績的中位數為等=7.5,

乙的成績的中位數為等=8.5,

.?.甲的成績的中位數小于乙的成績的中位數，故2錯誤；

對于C,由條形統計圖得甲的成績相對分散，乙的成績相對集中，

甲的成績的方差大于乙的成績的方差，故C正確；

對于。，甲的成績的極差為10-5=5,乙的成績的極差為10-6=4,

甲的成績的極差大于乙的成績的極差，故。錯誤.

故選：C.

7.如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，E,尸分別是AB,3c的中點，將/XBEF,

△DCF分別沿DE,EF,折起，使A,B,C三點重合于點4,則四面體A-D所的

外接球的表面積為()

B.12nC.6irD.3n

解：由題意可知AA'Eb是等腰直角三角形，且A'。，平面A'EF.

三棱錐的底面A，EF擴展為邊長為1的正方形，

然后擴展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，

正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，直徑為：V12+12+22=V6-

???球的半徑為陣，

2_

則四面體A'-DEF的外接球的表面積為4nX（半）2=6TT.

故選：C.

8.如圖，在AABC中，。是BC的中點，E在線段上，且BE=3EA,與CE交于點

0.設苗=乂族+7正，貝1Jx+y=（）

解：（1）△A2C中，。是BC的中點，BE=3EA,AD與CE交于點0.

.?.?..

則AO=xAB+yAC=4xAE+yAC，

因為E,O,C三點共線，

所以4x+y=l①，

因為A,0,。三點共線，

..[..*1...1.

所以A0=〉AD=5）（AB+AC）=51（4AE+AC）=2入AE+q入AC，

所以由平面向量的基本定理可得4x=2入，y=^X,

所以x=y②,

由①②組成方程組解得x=y=^,

D

2

所以x+y=—.

D

故選：D.

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.盒子中裝有紅色，黃色和黑色小球各2個，一次取出2個小球，下列事件中，與事件“2

個小球都是紅色”互斥但不對立的事件是（）

A.2個小球都是黑色

B.2個小球恰有1個是紅色

C.2個小球都不是紅色

D.2個小球至多有1個是紅色

解：盒子中裝有紅色，黃色和黑色小球各2個，一次取出2個小球，

總的基本事件有：“2個小球都是紅色”，“2個小球都是黃色”，“2個小球都是黑色”，

“2個小球分別為1紅1黑”，“2個小球分別為1紅1黃”，“2個小球分別為1黃1

里，，

選項A：“2個小球都是黑色”與“2個小球都是紅色”互斥不對立，故A正確，

選項B：“2個小球恰有1個紅色”包含“1紅1黑與1紅1黃”，與“2個小球都是紅

色”互斥不對立，故2正確，

選項C：“2個小球都不是紅色”與“2個小球都是紅色”互斥不對立，故C正確，

選項D：“2個小球至多有1個是紅色”的對立事件為“2個小球都是紅色”，故D錯誤，

故選：ABC.

10.在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=6,C=30°,則使得角B

有兩個解的c的值可以是（）

A.3B.3yC.5D.7

解：如圖，過A作垂足為，

CDB

?：b=6,C=30°,且使得角2有兩個解，

：.AD<c<AC,即3<c<6.

故選：BC.

11.如圖，由4,42,4,4四個電子元件分別組成甲、乙兩種系統，設每個電子元件能

正常工作的概率均為p(0<p<l),則()

A.甲、乙系統都正常工作的概率為8獷

B.甲系統正常工作的概率為2P2-p4

C.乙系統正常工作的概率為1-(1-p)2

D.甲系統正常工作的概率小于乙系統正常工作的概率

解：甲系統正常工作的對立事件是4,4中至少一個元件不能正常工作，

且4,4中至少一個元件不能正常工作，

甲系統正常工作的概率為：

P=1-(1-P2)(1-P2)=2p2-p4,

故A錯誤，B正確；

乙系統正常工作的情況為：

Ai,4中至少一個元件能正常工作，且A3,4中至少一個元件能正常工作，

乙系統正常工作的概率為：

P=[l-(1-p)2][1-(1-0)2]=p4-4p3+402,故C錯誤；

VO<P<1,

22

(2p2-p4)-(p4-4p3+4p2)=_2p(1-p)<0,

...甲系統正常工作的概率小于乙系統正常工作的概率，故。正確.

故選：BD.

12.如圖，正方體ABCO-AiBCOi的棱長為1,線段B01上有兩個動點E,F(尸靠近囪)，

且EF-"，則下列結論中正確的是()

A.AC±BF

B.存在點E,尸使得AF,BE相交

C.三棱錐A-BEE的體積為定值

D.AF+BF的最小值為4

解：對于A,連接B。，交AC于O,則ACLBD,又22」平面ABC。，則AC_LBBi,

則有AC_L平面BDD山i,BDDyBx,所以AC_LBR故A對；

對于3,由于BE是平面2D。出i內一直線，尸不在直線BE上，且尸在平面BDDIi內,

點A不在平面8DAB1內，由異面直線的判定可得，AF與BE為異面直線，故8錯；

對于C,由幾何體的性質及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DDiBiB的距

離為定值，故可得三棱錐A-BE尸的體積為定值，故C正確;

對于。，如圖建立空間直角坐標系，可得A(1,1,0),2(0,1,0),設廠(1-f,

1)哼WW1),

22+22=2+2

AF+BF=yjt+(t-l)+lV(1-t)+(t-l)+lV2<Vt-t+l^t-2t+y)，

令于G)=(Vt2-t+l+^t2-2t+-^-)=J。總)(t-1)2+(0-^^'

f⑺可以看作在平面直角坐標系內的點尸G,0)到點A(p亨)和點B(1,零)

的距離之和,

如圖8關于x軸的對稱點C(l,-乎)，連結AC交x軸于點尸(m0),顯然劭￡哼

1］，

G)的最小值為AC=

：.AF+BF的最小值為收壇,故。正確.

AB

\I

-------^-1----

O

?C

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.某公司對旗下的某門店1至9月份的營業額（單位：萬元）進行統計得到的數據為12,

18,24,21,25,32,28,23,30,則此門店1至9月份的營業額的第一四分位數是21.

9

解：：9X25%=子，

此門店1至9月份的營業額的第一四分位數是從小到大排序后的第3個數，

而此門店1至9月份的營業額從小到大排序的前三個數是12,18,21,

故此門店1至9月份的營業額的第一四分位數是21,

故答案為：21.

14.已知向量|a|=2,b=（l,1），且向量；與E的夾角為子，則|7+2三|等于_2泥_.

解:Ia+2bI=V|a|2+4|b|2+4a?b-^4+4X2+4X2X-\/2Xcos-^-=V20-

2后,

故答案為：2^/g-

15.已知正三棱柱中ABC-A/iG中，A8=2,BBi=4,D,石分別是棱4G,的中點，

則異面直線與AE所成角的正切值為率.

—3―

解:以C為原點，過C作3c的垂線為X軸，C3為y軸，CG為Z軸，建立空間直角坐

標系，

C(0,0,0),A(?,1,0),B(0,2,0),Al(遮，1,4),Bi(0,2,4),

Cl(0,0,4)

則D(半，y,4),￡(0,2,2),

所以彳=(除0),標=(-?,1,

2),

設異面直線BiD與AE所成角為0,

BjD'AE-3Lv'6

則COS0=|-iBpD|-|AEII,X2加~T

2=2/10

則正弦值sin?=

4

710

sin?

???異面直線BiD與AE所成角的正切值tan9=

cos8加3

T

-4,AC=2,。是邊BC上的點，1.BD=2DC,AD

o

=DC,則AB等于3

解：設AB=c,BD=2CD=2AD=2x,

在△ABC中，由余弦定理BC1=AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC,

、、、14.

可得9\2=。2+22-2*cX2X(--),BP9x2=c2+4+—c，"??"

oo

-*—?9—?1—?9—>

AD=AB號BC=與AB號AC，

.癡2嗎而尊）2,

整理可得：x24-c2-^-lf??…②，

yunf

聯立①②消去x可得c=3.

故答案為：3.

四、解答題（本大題共6小題，共70分）解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知平面向量短⑶-2），b=（l,-了）且石三與混（2,1）共線.

（1）求y的值；

（2）若三=2彳+石，n^-'c;求向量7與向量W所夾角的余弦值.

解：（1）由題意得：b-a=（~2,2~y）,c=（2,1）,

因為b-a與c共線,

所以（-2）XI-2（2-y）=0,

解得>=3.

（2）由（1）可知E=（l,-3），

于是m=2a+b=(7,-7)，n=a-c=(l>_3)>

設向量7與向量：夾角為0>

m，n_28

則cos9

Im||n|7企,V105

18.在中國扶貧志愿服務促進會的指導和地方政府的協助下，某平臺希望通過“萬村主播培

養計劃”建立起跨部門，跨行業，跨單位的多元主體扶貧工作體系，打造“新媒體+精準

扶貧”，“短視頻，直播+消費扶貧”等行業扶貧模式，發揮網絡視聽新媒體在產銷助農,

品牌強農等方面的積極作用.某村為蘋果種植基地，村播的加入給村民帶來了較好的收

益，該村決定從甲，乙兩個村播中評選一人作為年度優秀村播.現從觀看過甲，乙村播

的觀眾中隨機抽取200人，對甲，乙兩人進行評分，得到如下頻率分布直方圖和頻數分

布表：

乙村播所得分數頻數分布表

分數區間頻數

[4.5,5.5)20

[5.5,6.5)10

[6.5,7.5)46

[7.5,8.5)84

[8.5,9.5]60

（1）若以觀眾評分的平均分作為該村年度優秀村播的評選標準，試問甲，乙兩人誰能被

評為年度優秀村播？（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）

（2）對于（1）中被大家選中的年度優秀村播，為了進一步優化他的直播，決定對200

名觀眾中對其評分為［4.5,6.5）的觀眾進行走訪，先從這些觀眾中按評分用分層抽樣抽

取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行深入座談，求深入座談的觀眾中至少有1人評

分為［5.5,6.5）的概率.

甲忖播所得分致販率分布直方圖

解：（1）由甲村播所得分數頻率分布直方圖，得

x甲=0.05X5+0.10X6+0.30X7+0.33X8+0.22X9=7.5

；

由乙村播所得分數頻數分布表，得元=20X5+10X6+4^7+64X8+60X9=7.67

200

因為x甲＜x乙,

所以乙能被評為年度優秀村播

（2）因為乙能被評為年度優秀村播，200名觀眾中對乙評分為［4.5,6.5）的觀眾有30名,

其中評分為［4.5,5.5）有20名,評分為［5.5,6.5）有10名.

用分層抽樣從中抽取6人，則其中評分為［4.5,5.5）的有20琮6=4名,

oU

評分為［5.5,6.5)的有景X6=2名.

記評分為［4.5,5.5)的4名觀眾為4,A2,A3,A4,

評分為［5.5,6.5)的2名觀眾為Bi,B2,

從中隨機選取2人，結果可以是：

(Ai,4)，(Ai,A3),(Ai,4),(Ai,Bi),(Ai,&),

(A2,A3),(A2,A4),(A2,Bi),(A?,B2),(A3,4),

(A3,Bi),(A3,&),(A4,BI),(A4,B2),(Bi,&),共15種.

其中事件4=“至少有1人評分為［5.5,6.5)”包括的結果有：

(Ai,B\),(Ai,&),(A2,Bi),(A2,B2),(As,Bi),(A3,B?),

(A4,BI),(A4,B2),(Bi,B2)共9種.

所以深入座談的觀眾中至少有1人評分為［5.5,6.5)的概率為P(A)=3.

b

19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形.AB=BC=2,AF=3,E,F

分別為BC和CG的中點.

(1)求三棱錐F-ACE的體積；

(2)證明：AF_LBiE.

解：(1)為正方形，且AB=2,：.CCi=2,

又尸為CG的中點，，尸C=l,

則AC=7AF2-FC2=2V2-

又AB=BC=2,：.AB-+BC2=AC2,

.?.△ABC為等腰直角三角形.

是CB的中點,：.CE=1,

???VACE=yXCFxsAACE-xlX-^xIX2=4-；

r川匚OOO

證明：（2）連接BR

由（1）知ABLBB\,BCCBBi=B,CC\BiB,

又BiEu平面CCBB,C.AB^BiE.

BE1pc1

,.,tanZBBiE=g^-=y,tan/FBC嗡甘，且這兩個角都是銳角,

/BBiE=ZFBC,得BF±BiE.

y.AB_LBiE,ABCBF=B,平面ABP,

：AFu平面ABF,：.BiE±AF.

20.隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經成為現代人“必考”證件之一.駕駛證考試，需要

通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在每一次報名中，每個學員有5次參加

科目二考試的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算通過，即進入下一科目

考試，如果5次都沒有通過，則需要重新報名），其中前2次參加科目二考試免費，若

前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校通過

幾年的資料統計，得到如下結論：男性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為看，

5

2

女性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為等.現有一對夫妻報名參加駕駛證考試，

在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機

會為止.假設每個人科目二5次考試是否通過互不影響，且夫妻二人每次考試是否通過

也互不影響.

（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；

（2）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為200元的概率.

解：（1）設4=“丈夫在科目二考試中第i次通過"，Bi="妻子在科目二考試中第i

次通過”，

則P（A］）=4，

其中i=l,2,3,4,5.

設事件A="丈夫參加科目二考試不需要交補考費”，

事件2=”妻子參加科目二考試不需要交補考費”，

事件C="這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費”

——41494

則P(A)=P(A1+A1A2)=P(A1)+P(A1A2)-1-tyXy=^-，

——31315

，

P(B)=P(B1+B1B2)=P(B1)+P(B1B2)^4TX-=I^

P(O=P(AB)41xf4-

Q

因此，這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率為完

(2)設事件"丈夫參加科目二考試需交補考費200元”,

事件E="妻子參加科目二考試需交補考費200元”，

事件F="這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為200元”

--------1144--------1122

則P(D)=P(A]A2A3)=yX至X石下，P(E)=P(B1B2B3)=Tx-x-^,

D玲

P(F)=P(AE+BD)愛X弓虐X』條

/J4?lb5?4U

因此,這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為200元的概率為二.

40

21.如圖，在四棱錐尸-ABCL(中，平面PDC_L平面ABCD,AD//BC,AD±DC,PDLPB,

AD=yBC=bCD=3,E是PC的中點.

(1)證明：DE〃平面PAB；

(2)證明：尸。_L平面尸2C；

(3)已知直線AB與平面PBC所成角的正弦值為柒，求尸。的長.

5

【解答】(1)證明：取尸8中點E連接EF,AF.

Pi

因為E是尸。的中點，

所以E尸〃BC,且EF=^BC，

因為AO〃BC,AD-^BC，

所以EP〃A￡>,且￡F=AD,

所以ADEE為平行四邊形，DE//AF.

又DEC平面FABAFc^F?PAB,

所以〃平面PAB.

(2)證明：因為AO〃BC,AD±DC,

所以8CLLOC.

因為平面PDCJ_平面ABCD,平面PDCC1平面ABCD=OC,BCu平面ABCZ),

所以BC_L平面PDC.

因為PDu平面PDC,

所以BCL尸。.

XPDLPB,BCCPB=B,

所以PO_L平面PBC.

(3)解：過D作DG〃A2