第一單元函數與極限

一、填空題

X

1、已知/(sin—)=l+cos元，則/(cosx)=

2、

xex(l-x)

3、x—>0時，tanx-sinx是x的階無窮小。

4^lim，sin’=0成立的左為。

3x

5、limexarctanx=。

x-?—X

x+1r>0

6、f(x)=\e'在x=0處連續，則b=______。

x+b,x<0

r..In(3x+1)

7、lim-----_________o

io6x

8、設/(x)的定義域是［0J,則/(Inx)的定義域是一

9、函數y=l+ln(x+2)的反函數為-

r-I-/7

10、設。是非零常數，貝——r=o

18x-a

11>已知當天一>0時，(1+。/)?一1與cosx-1是等價無窮小，則常數。=o

3r

12、函數/(x)=arcsin----的定義域是?

1+x

13-.limJx~+2_dx~-2=?

“T+co

14、設lim(±3)，=8,則。=________。

XT8X-a

15>lim(VH+J〃+l)(J〃+2-Vn)=o

?|->+CC

二、選擇題

1、設f(x),g(x)是［-/用上的偶函數,力⑶是［TJ］上的奇函數,則中所給的

函數必為奇函數。

(A)f(x)+g(x)；(B)f(x)+h(x)；(C)f(x)［g(x)+h(x)］；(D)f(x)g(x)h(x)?

2、a(x)=4,0(x)=T-近c,則當xfl時有_______。

1+x

(A)a是比￡高階的無窮小：(B)a是比/低階的無窮小;

(C)a與〃是同階無窮小；(D)a~B。

3、函數/(x)=Ti+x_i'工片°(>2_1)在*=0處連續，則上=_______?

[kx=0

32

(A)一；(B)一；(C)1；(D)Oo

23

4、數列極限lim幾[ln(〃-1)-ln〃]=。

“TOO

(A)1；(B)-1；(C)oo；(D)不存在但非oo。

x

5、/(x)=<0x=0,則x=0是/(x)的o

1c

xcos—x〉()

.X

(A)連續點；(B)可去間斷點；(C)跳躍間斷點；(D)振蕩間斷點。

6、以下各項中/(x)和g(x)相同的是()

(A)f(x)=Igx2,g(x)=21gx；(B)/(x)=x,g(x)=VP"；

(C)/(x)=Vx4-x3,g(x)=xWx-l；(D)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x?

rsinx..

7、hm----=()

a。\x\

(A)1；(B)-1；(C)0；(D)不存在。

I

8、lim(l-x)x=()

x->0

(A)1；(B)-1；(C)e；(D)e~'o

9、/(x)在x0的某一去心鄰域內有界是lim/(x)存在的()

入f0

(A)充分必要條件；(B)充分條件；(C)必要條件；(D)既不充分也不必要條件.

10、vlim-x)=()

A—>00

(A)1；(B)2；?I(D)Oo

11、設{凡},{6“},{g}均為非負數列,且lim%=0,lim",=1,lime”=oo,則必有()

〃一>00M—>CO〃一>00

(A)an<bn對任意〃成立;(B)bn<cn對任意〃成立;

(C)極限lima”q,不存在；(D)極限limb,4不存在。

〃一>8M-KO

x2—11

12、當xf1時,函數^--e二1的極限()

x-1

(A)等于2；(B)等于0；(C)為00；(D)不存在但不為8。

三、計算解答

1、計算下列極限

x/c、vCSCx-cotX

(1)lim2nsin—r；(2)lim-----------

.r-?0X

hmx(ex-1)；(4)

x-^x)X-KCI2x-l

..8cos2x-2cosx-l“、1.Vl+xsinx-Vcosx

lim------------------；(6)lim-------------------

x->—2COSX+cosx-1XTOxtanx

3

111、⑻lim則匕口。

(7)lim-----------1--------------1-???H

H—>oc|1x22x3------〃(a+1),tarctanv4-x2

02+1

3、試確定a,b之值，使lim------ax-b

x+12

4、利用極限存在準則求極限

1+2+…11

+-

(l)lim23nn+1

n—>ocl+'l…1

23n

(2)設玉〉。>0,且Z+i=(〃=12…)，證明limx”存在，并求此極限值。

V“TOO

r-x

n—H

5、討論函數f(x)=lim---下---的連續性，若有間斷點，指出其類型。

6、設/(x)在［a,切上連續,且"f(x)〈b,證明在(a,b)內至少有一點&，使f8=自。

第一單元函數與極限測試題詳細解答

一、填空題

1、2sin2x。/(sin^)=1+(1-2sin2-^)=2-2sin2,

/./(x)=2-2x2/(cosx)=2-2cos2x=2sin2x。

2

QN..(4+3X)29X+24X+16N

2、0。lim------=lim---------------=0。

—xf8X(l-X-)xe-X+X

ctanx-sinxtanx(l-cosx)..、八

3、同階。?/lim----------=hm--------------=lim(l-cosx)=0,

A->01x->0xx->°

tanx-sinx是x的高階無窮小。

4、k>0o

???sin，為有界函數，所以要使lim/sin，=0,只要lim/=0,即女〉0。

xx->oXv->0

xx

5、0olimearctanx=0(vlime=0,arctanxGo

------X->-00X->-0022

x

6、b=2ovlim/(x)=lim(%+/?)=/?,vlim/(x)=lim(e+1)=2,

+

--10-XT。-x->0xf0+

fg)=b,:.b=2°

~1[.ln(3x+1)「3光1

7、—vlim--------=lim—=—o

2“fo6%io6X2

8、1<x<e根據題意要求0<Inx<1,所以

9、y=ex~x-2,/y=l+ln(x+2),.\(y-1)=ln(x+2),x+2=ey~],

x=-2,y=1+ln(x+2)的反函數為y=e"-1-2。

x

2u9/7.2a2a

10、e原式=1101(1+上上)2"1=eo

----------XT8X-a

31ii

11、a=-—由(1+Q/)3-1—ax?與cosx-l----x2,以及

232

10COSX-1D123

—X

2

3

可得=--

a2o

12、--<x<-由反三角函數的定義域要求可得

42

[<3x<]_1<v<l11

~l~解不等式組可得-4--2，=>/(x)的定義域為——<x<-o

+x42

1+xw0XH-1

13.0lim&+2-7X2-2=lim心+2―旺-2)呼+2

……&+2+G-2

r+2—(——2)

=lim]——]=0o

i&+2+&-2

0ox-a3ax

14、ln2=1而(1+^^)右二=e3。=8

xeX-ax-xcx-a

r…rln23,c

3〃=In8na=—In8o=----=In2。

33

15、2lim(Vn+J〃+l)(J.+2-Vn)=lim(五+""+上「

IP〃T+8(J〃+2+J〃)

二、選擇題

1、選(D)令尸a)=/a)ga=a),由/a),ga)是［—/用上的偶函數，力。)是［一/用

上的奇函數，，F(-x)=f(-x)g(-x)h(-x)=-f(x)g(x)h(x)=-F(x)。

。、出“、i-。⑴rITIT

2>選(C)vlim----=lim----------7=^=Rlim----------.

3隊x)(1+x)(l-Vx)”(14-x)[l-曠1-(1--)]

1-x3

=lim

(l+x).1(l-x)2

1

3、選(A)vlim/(x)=lim-/+X---=lim^—=—

xf0x—＞0必]+x—]x-＞。12

一X

3

4、選(B)limn[\n(n-1)-Inn]=lim-ln(l~-)~n=-1

XT8〃

5、選(C)/((F)=1,/(0+)=0,/(0)=0

6、選(C)在(A)中：/(x)=Inx2的定義域為xH0,而g(x)=21nx的定義域為x〉0,

.?./(x)Hg(x)故不正確

在(B)：/(X)=X的值域為(一8,+8),8。)=4^的值域為了＞0,故錯

在(C)中：/(x)=1的定義域為R,g(x)=sec?x—tanx的定義域為

7T

{x￡W攵)+耳},/(x)g(x),故錯

r、"/c、..sinx「sinx,「sinx「sinx,

7、選(D)vhm----=lim----=1,hm----=-hm----=-1

—o+IxI3o,xi。-IxIio-x

sinx

lim不存在

xf0TTT

--(-1)I

8、選(D)vlim(l-x)x=lim[l+(-x)]-x=e-，

.rf0A->0

9、選(C)由函數極限的局部有界性定理知，lim/(x)存在，則必有X。的某一去心

人fb

鄰域使/(x)有界，而/(x)在X。的某一去心鄰域有界不一定有lim/(X)存在，例如

x->*o

limsin—,函數一1Wsin’W1有界，但在工=0點極限不存在

XT。XX

10、選(C)

(vlimx(Vx2+1-x)=limx+1+"')=lim/工-----

3…Jx+1+XXT°°+[+1

11、選(D)(A)、(B)顯然不對，因為有數列極限的不等式性質只能得出數列“當〃

充分大時”的情況，不可能得出“對任意〃成立”的性質。

(C)也明顯不對，因為“無窮小?無窮大”是未定型，極限可能存在也可能不存在。

2

x-l,工

12、選(D)lim-----e*T=lim(x+=2-0=0

x—1

2

x-lL工

lim-----ex~'-lim(x+l)ex~'-oo

.v->i+%—1x->r

當Xfl時函數沒有極限，也不是8。

三、計算解答

1、計算下列極限：

XX

(1)解：lim2nsin—r=limT———=2xo

…2〃T22

1COSXX2

/c、力刀i-cscx=cotx..irir[.1-cosx..91

(2)解：lim----------=sn_21s1n1^=hm-------=hmg=-。

xxxsinx10x2

,-1

(3)解：limx(ex-1)=limx--=1<>

JC—>00x—>00X

2X+1a2a1x-l+-?,

(4)解：lim(-產=lim(l+-----產=lim[(l+——-)22]\

“T82%—1XB2x—lXT8I

x---

2

IJi1

=[liml+——-)2]3-[liml+——-)2]3=?

X-?oC1Xf001

/、8cos2x-2cosx-1「(2cosx-1)(4cosx+1)

⑸解：hm-----------------=hm--------------------

T2cosx+cosx-1Y(2cosx-l)(cosx+1)

/i4x』+l

4cosx+17-

lim--------=-——=2

cosx+l1,i

32+1

i.Vl+xsinx-Vcosx1+xsinx-cosx

(6)解：lim----l-i-m------------------------

XTOxtanxXTOxtanx(Jl+xsinx+Jcosx)

xsinx+1-cosxxsinx1-cosx113

----1----=一

=limlim2+lim

XTO2x2XT。2Xx->02x2244

111

(7)解：lim[--------1------+--…+]

X->81x22x3n{n+1)

[(1)+()+1

I)]

!^44+(廠7ZT

1

lim(l-)=1O

X—KOn+1

ln(l+y2—x)lim^^1

(8)解：lim)L

2=阿

XT2arctan^4-x?3234-x22+x

X2+1+1—cix~—(a+h)x—b

3、解:vlim(-ax-b)=lim

XT+8x+1x->+oox+1

(1—d)x~—(a+b)x+(1—b)2

lim

.t-H-Xx+\2

l-a=0a=1

,3。

"-(a+b)=-b=——

2

111

1+2++…+-+

1

4、(1).,.?1<3nZL±1<1+

1n+1

1+

rn

111

1++一+?.?+—+—

而lim」一+〃〃

1=1z.lim23+1lo

XT+cc+1XT+X

ni+3+.旱

23n

(2)先證有界(數學歸納法)

〃=1時，x2>?a=a

設〃=&時，xk>a,

數列｛4｝有下界,

再證｛x,J單調減,

x"+]<x”即｛x“｝單調減，；.limx“存在，設limx“=A,

n—>oon—>oo

則有A=y[aA=>A=0(舍)或A=a,/.limxn=a

ATOO

[1x>0

n2x-1

5、解：先求極限得了(x)=limr—=40x=0

,isn+1

—1x<0

而lim/(x)=llim/(x)=—1/(0)=0

io*XT(T

/(x)的連續區間為(—oo,0)U(0,+8)

》=0為跳躍間斷點.。

6、解：令F(x)=/(x)-x,則F(x)在[W切上連續

而尸(a)=/(a)-a>0

F(b)=f(b)-b<0

由零點定理，使尸?)=0

即fG)3=0，亦即fq)=3

第二單元導數與微分

一、填空題

1、已知:(3)=2,則lim/(3i)7(3)=0

e2h------------

2、/'(0)存在，有〃0)=0,則lim型?=。

3、y=TTX+x7"+arctan—,則刃日二。

71

4、/(x)二階可導，y=/(l+sinx),則y'=；y"=。

5、曲線y="在點處切線與連接曲線上兩點(0,1),(l,e)的弦平行。

6、y=ln[arctan(l-x)],則dy=。

7、y=sin2x4,貝U立二_________,—二_______。

dxdx~

8、若f(f)=limf(l+%"，則/'(f)=______o

x—x?x

9、曲線y=/+l于點處的切線斜率為2。

10、設y=xex,則y"(0)=。

11、設函數y=y(x)由方程+cos(盯)=0確定，則生=_________

dx

y=costdx

二、單項選擇

1o

1、設曲線y=—和y=x在它們交點處兩切線的夾角為夕，則tan。二()。

x

(A)-1；(B)1；(C)-2；(D)3c

?TT

3、函數=且八2)=e,則攵=()。

4

(A)1；(B)-1；(C)-；(D)2。

2

4、已知/(X)為可導的偶函數，且_/⑴7,則曲線y=/(x)在(—1,2)

處切線的方程是。

(A)y=4x+6；(B)y=-4x-2；(C)y=x+3；(D)y=-x4-1o

_,?_,,—rpaf"(X+A%)—f~(X)

5、設/(x)可導，則hm=------=______。

Ax

(A)0；(B)2/(x)；(C)2r(x)；(D)2/(x>/'(x)。

6、函數/(x)有任意階導數，且/'(x)="(x)f,則尸">(x)=o

(A)〃"(x)產;(B)〃!"(x)r”;(C)(〃+l)"(x)嚴;(D)(n+l)![/(x)]\

7、若/(x)=x2,則lim/(勺上2.)-/(/)=()

Ar->0

(A)2x0；(B)x0；(C)4九0；(D)4xo

8、設函數〃x)在點為處存在￡(x0)和月(%),則￡(%)=#(%)是導數/(%)存在

的()

(A)必要非充分條件；(B)充分非必要條件；

(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件。

9、設/(x)=x(x—l)(x—2)…(x—99)則/(0)=()

(A)99；(B)-99；(C)99!；(D)-99!。

10、若/(〃)可導，且y=/(—/)，則有力=()

(A)xf'(-x2)dx；(B)-2xf'(-x2)dx；(C)2f\-x2)dx；(D)2xf'(-x2)dx?

Ik設函數/(x)連續，且/'(0)>0,則存在3>0,使得()

(A)/(x)在(0@)內單調增加；(B)/(x)在(―夕0)內單調減少；

(C)對任意的xe(0/)有/(x)>/(0)；(D)對任意的xe(—瓦0)有/(x)>/(0)。

2.1

12、設/(x)=/Sin'x〉。在x=0處可導，貝IJ()

ax+bx<0

(A)a=l,b=0；(B)。=0/為任意常數；

(C)a=0,h=0；(C)為任意常數。

三、計算解答

1、計算下列各題

2

sin2-[x=In/Jy,

⑴y=e*,求辦；(2)<,求=弁=1；

[y=tdx21

d2y.

(3)x+arctany=yy―f；(4)y=sinxcosx,求)『助；

dx

(5)>=(/」『，求y'；

l+x

(6)/(x)=x(x+l)(x+2)?■■(x+2005),求廣(0)；

(7)f(x)=(x-a)(p(x),e(x)在x=a處有連續的一階導數，求/'(a)、/"(a)；

(8)設f(x)在x=l處有連續的一階導數,且尸(1)=2,求lim色/(cosGT)。

3*dx

~一*」,,匕(l+sinx)+a+2x>0

2、試確定常數a力之值，使函數/(x)=《心處處可導。

e-1x<0

3、證明曲線y2=。與盯=b(a/為常數)在交點處切線相互垂直。

4、一氣球從距離觀察員500米處離地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當此氣球上

升到500米空中時:問觀察員視角的傾角增加率為多少。

5、若函數“X)對任意實數x“X2有/(網+%)=/(*)/(々)，且/'(0)=1，證明

/'(x)=/(x)。

6、求曲線y=d+3x2一5上過點(―1,一3)處的切線方程和法線方程。

第二單元導數與微分測試題詳細解答

一、填空題

?.../(3-A)-/(3)../(3-/z)-/(3)11

1-1lim------------------=lim--------------------(—)=—j(3)=-1

—1。2h力TO—〃22

2、尸(0)lim=lim/(X)7(0)=/，(())

------XTOx10X-0

r

3、萬lnx+4y'="In)+女“7z.y\x=}=7r\nx+7r

4、/(1+sinx)?cosx,f"(]+sinx)-cos2x-fr(l+sinx)?sinx

y'=/'(I+sinx)?cosx,yN=/"(I+sinx)?cos2x一/'(I+sinx)?sinx

5、(ln(e-l),e-l)弦的斜率2=~~-=e-1

------------------1-0

/.yr=(ex)=ex=e-lx=ln(e-1),當x=ln(e-l)時，y=e-\a

「dx

6、------------------------

arctan(l-x)?[1+(1-x)2]

dy=------1—-t/[arctan(l-x)]=-------1一--—-1~^d(l-x)

arctan(l-x)arctan(l-x)1+(1-x)

dx

arctan(l-x)-[1+(1-x)2]

7、4x3sin2x4,2x2sin2x4—=2sinx4?cosx4?4x3=4x3sin2x4

------------------------------dx

%=4=2/加2/

dx2xdx

8、e2t-^-2te2tf(t)=limr(l+—)2a=te2t/.fr(t)=e2t-}-2te2t

---------------------------------------A—>00X

2

9、(1,2)y'=2x,由2x()=2=>x0=1,y0=I+1=2

：.y=x2+l在點(1,2)處的切線斜率為2

10、2y'=ex+xex,y"=ex+ex+xex

y"(0)=e°+e°=2

ef-ysin(xy)

11\~~方程兩邊對x求導得(l+y')-sin(xy)(y+孫')=0

ex+y-xsin(xy)

ex+y-ysin(xy)

解得

ex+y-xsin(xy)

丁由參數式求導公式得

再對X求導，由復合函數求導法得

d2y_d_(y/)/_1/cosf-sinr1_sinr-rcosr

kA*)=〒A=~%=°

二、選擇題

1＞選(D)由yn交點為(U),占=(與g=T，您，)]T=2

?2X

tan(p=1tan(°2一0)1=1----L1=3

1lk、k)

3、選(C)fr(x)=e^kx-ktan^-1x-sec2x

JII

由/，(￡)=e得e-k-2=enk=：

.,..fx)-f(1)[./(—1—x)-1)

4、選(A)由hm八-------=lim-----------..――-

so2xI。2x

=lim"———1-。?(-〈)=/'(T)?(-4)=-2n/(-1)=4

1。一x22

切線方程為：y—2=4(x+l)即y=4x+6

5、選(D)lim?J+，)一/2㈤=[尸(x)]，=2/(x).r(x)

AzoAX

6、選(B)f\x)={[/(x)]2}'=2/(x)?f'(x)=2f\x)

34

1r(x)=[2/(x)y=2x3產(x)./(x)=2x3/(X)

設/(B)(x)=n!/"+1(x)，則/(n+,)(x)=(M+1)!/(x)?/'(%)=(〃+l)!/n+2(x)

7、選(C)lim/(Xo+2Ax)7(Xo)=］而2.+2Ax)-=2八%)

AxfOAx2。2Ax

2

又f(x)=(xy=2x，,2f(x0)=4x0

8、選(C)???/(x)在玉)處可導的充分必要條件是/(x)在％點的左導數￡(x0)和

右導數/；(x0)都存在且相等。

9、選(D)

,/f'(x)-(x-l)(x-2)…(x-99)+x(x-2)…(x-99)+x(x-l)(x-3)???(x-99)

+,?,+x(x—l)(x—2)…(x—98)

f'(Q)=(o-1)(0-2)???(0-99)=(-1)"-99!=-99!

另解：山定義，/(0)=lim/一/10)=9蟲原一］)(x—2)…(x—99)

A->0x—0XT。

=(—1)"-99!=—99!

10、選(B)???"(—/)］，=/，(_/).(_x2)，=-2f'(-x2)

：.dy--2礦(-x2)dx

11>由導數定義知

/'(O)=lim一/⑼>0,

再由極限的保號性知mb>0,當xw(—b,再時/(x)一〃°)>0,

X

從而當工￡(一6,0)(1￡(0,5))時，/(x)-/(0)<0(>0),因此C成立，應選C。

12、由函數/(幻在x=0處可導，知函數在x=0處連續

01

lim/(x)=limx2sin—=0,limf(x)=lim(辦+b)-b,所以b=0。

x->0+x-+xx->0'x->0"

2.1

又以(。)=lim"x)r(°)=，匕=。,￡(。)=lim小)7(°)=:j,

XT°，x-0八"+x%"x-0X

所以。=0。應選c。

三、計算解答

1、計算下列各題

sin2-1sin2-11112s?n2-

(1)dy=exJ(sin?^—)=ex-2sin—cos—?(——^)dx=——z-sin—eXdx

XXXXXX

(3)兩邊對x求導：1H---r-yf=yr=>yr=y~2+1

i+r

2i

y=_2尸.y=_2婷.(廠2+°=(+1)

yy

(4)vy=sinxcosx=-sin2x

2

jrJTTT

：.yf=cos2x=sin(2x+—)yn=2cos(2x+—)=2sin(2x+2-—)

設/)=2“Tsin(2x+〃()

則/+i)=Tcos(2x+〃?鄉=2"sin(2x+(n+1)鄉

嚴°)=249sin(2x+50-1)=-249sinlx

(5)兩邊取對數：Iny=x[lnx-ln(l+x)]

iY

兩邊求導：=lnx-ln(l+x)+l--—

y1+x

YY

y'-(----)A[lnx-ln(l+x)+1-----]

1+x1+x

(6)利用定義：

/W-/(0)

r(0)=lim=lim(x+l)(x+2)(x+3)…(x+2005)=2005!

x->0X.v->0

(7)vf'(x)=(p{x}+(x-a)tp'(x)f\a)=(p{a}

又一"(a)=limr(xAF⑷=]而返。必止遜

—x-a—ax-a

=lim[^^~~(P^)_+“(x)]=(p'(a)+(p\a)=23(d)

fx-a

［注：因0（X）在X=Q處是否二階可導不知，故只能用定義求。］

(8)lim—/(cos7x-l)=lim[/z(cos7x-1)?(-sinVx-1)--/]

x+dxxM—1

=lim/"(cosVTH').lim-咒仆1=,⑴.(」=,j

i+11+2、/x-l2

2、易知當xwO時，f(x)均可導，要使/(1)在x=0處可導

則r(0)=尸(0)，且/⑴在X=0處連續。即limf(x)=limf(x)=f(0)

XT。-XT。*

limf(x)=b+a+2

而呼〃x)=0卜。+"2=0

又H(o)=iim0歿=iim(l+sinx)+a+2-=h

XT0+X-010+X

/，/八、1**—1—〃一a—2.eax—1..ax

j_(0)=lim--------------=l1im------=lim--a

XT。-X%—。-XA—>0'X

a=b[a=-1

由〈n〈

a+b+2=0b=-1

3、證明：設交點坐標為（如兒），則/―y；=axoyo=b

2

對x一丁=Q兩邊求導：2x—2y-y'=0=>y'='

y

r

???曲線尤2-y2=。在（/,打）處切線斜率kx=y\x_x=E

°%

又由xy=/?=>,=—=>y'=——-

xx

h

：.曲線孫=6在(而，咒)處切線斜率k2=y'I.%=-4

又；3=&.(_4=-=-i

■光玉)X。y。

兩切線相互垂直。

X

4、設f分鐘后氣球上升了x米，則tana=」一

500

兩邊對求導：sec2a?也=」一dx_140_7

dt500dt50025

da7

二——=---cos-2a

dt25

TT

?.?當x=500m時，a=—

4

7

.?.當x=500m時，-=——（弧度/分）

dt25250

5、證明：/,(x)=lim——''(~-lim-于(-力(~

h—0h2。h

=lim△土)二」(生一工⑴二￡9二lim一世二幽

h—>oh/?—>0h

=fW-ff(0)=f(x)

6、解：由于y'=3，+6x,于是所求切線斜率為

2

k[=3x+6x（=_]=一3,

從而所求切線方程為y+3=-3。+1）,即3x+y+6=0

又法線斜率為k=--=-

2L3

所以所求法線方程為y+3=g（x+l）,即3y—x+8=0

第三單元微分中值定理與導數應用

一、填空題

]、limxlnx=。

2、函數/(x)=2x-cosxiilxfa]單調增。

3、函數/(x)=4+8x3-3x4的極大值是。

4、曲線y=——6/+3x在區間是凸的。

5、函數/(x)=cosx在x=0處的2m+1階泰勒多項式是。

6、曲線y=xe-3,的拐點坐標是<,

7、若/(X)在含％的(。,①(其中a<b)內恒有二階負的導數，且，則/(%)是

/(x)在(a,b)上的最大值。

8、y=/+2x+l在(-oo,+8)內有個零點。

’ll、

9、hmcotx(-------)=_________。

10sinxx

八「/11、

10、lim(----------)=°

x-^xxtanx

11、曲線y=e-r的上凸區間是o

12、函數y=靖一%一1的單調增區間是o

二、單項選擇

1、函數/(x)有連續二階導數且/(0)=OJ'(O)=1,/〃(0)=-2,則—=()

XT。X

(A)不存在；(B)0；(0-1；(D)-2。

2、設/口)=。一1)(2；1+1),%€(-8,+00),則在己,1)內曲線/(幻()

(A)單調增凹的；(B)單調減凹的；

(C)單調增凸的：(D)單調減凸的。

3、/*)在(a,b)內連續，/e(a,b)，r(Xo)=/"(Xo)=O,則/(x)在尤=/處()

(A)取得極大值；(B)取得極小值；

(O一定有拐點(Xo，/(x0))；(D)可能取得極值，也可能有拐點。

4、設/(x)在卜,“上連續，在他,6)內可導，則1：在(。))內/'(X)三0與H：在(。力)

上/(尤)三/(a)之間關系是()

(A)I是H的充分但非必要條件；(B)I是H的必要但非充分條件；

(C)I是II的充分必要條件；