黑龍江省雙鴨山市第三十一中學2024年高考數學二模試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數據：，，，，下列函數模型中擬合較好的是（）A． B． C． D．2．若雙曲線：的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．3．已知數列為等比數列，若，且，則（）A． B．或 C． D．4．《易經》包含著很多哲理，在信息學、天文學中都有廣泛的應用，《易經》的博大精深，對今天的幾何學和其它學科仍有深刻的影響．下圖就是易經中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．5．已知函數，且的圖象經過第一、二、四象限，則，，的大小關系為()A． B．C． D．6．是平面上的一定點，是平面上不共線的三點，動點滿足，，則動點的軌跡一定經過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內心7．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影為，則等于（）A．2 B．1 C． D．08．定義運算，則函數的圖象是（）．A． B．C． D．9．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．10．執行程序框圖，則輸出的數值為（）A． B． C． D．11．如圖是國家統計局于2020年1月9日發布的2018年12月到2019年12月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖.（注：同比是指本期與同期作對比；環比是指本期與上期作對比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019年2月與2019年1月相比較稱環比）根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）A．2019年12月份，全國居民消費價格環比持平B．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格環比均上漲C．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格同比均上漲D．2018年11月的全國居民消費價格高于2017年12月的全國居民消費價格12．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數.若在區間上恒成立.則實數的取值范圍是__________．14．已知點P是直線y=x+1上的動點，點Q是拋物線y=x2上的動點.設點M為線段PQ的中點，O為原點，則15．已知雙曲線的一條漸近線經過點，則該雙曲線的離心率為_______.16．如圖所示，直角坐標系中網格小正方形的邊長為1，若向量、、滿足，則實數的值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若正數滿足，求的最小值.18．（12分）在四邊形中，，；如圖，將沿邊折起，連結，使，求證：（1）平面平面；（2）若為棱上一點，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.19．（12分）已知函數.（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個實數根，且，證明：.20．（12分）已知函數.（1）當時，求函數的值域.（2）設函數，若，且的最小值為，求實數的取值范圍.21．（12分）如圖，設A是由個實數組成的n行n列的數表，其中aij(i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的實數，且aij{1，-1}.記S(n，n)為所有這樣的數表構成的集合．對于，記ri(A)為A的第i行各數之積，cj(A)為A的第j列各數之積．令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann（Ⅰ）請寫出一個AS(4，4)，使得l(A)=0；（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？說明理由；（Ⅲ）給定正整數n，對于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．22．（10分）已知，均為正數，且.證明：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

作出四個函數的圖象及給出的四個點，觀察這四個點在靠近哪個曲線．【詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個函數圖象，同時描出題中的四個點，它們在曲線的兩側，與其他三個曲線都離得很遠，因此D是正確選項，故選：D．【點睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數據的點越多，說明擬合效果好．2、A【解析】

根據雙曲線的漸近線列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，可化為，則，解得.故選：A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎題.3、A【解析】

根據等比數列的性質可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數列為等比數列，則，又，即，所以，，.故選：A.【點睛】本題考查了等比數列的性質，考查了推理能力與運算能力，屬于基礎題.4、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個等腰三角形，頂角為，設三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎題.5、C【解析】

根據題意，得，，則為減函數，從而得出函數的單調性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因為，且的圖象經過第一、二、四象限，所以，，所以函數為減函數，函數在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用函數的單調性比較大小，還考查化簡能力和轉化思想.6、B【解析】

解出，計算并化簡可得出結論．【詳解】λ（），∴，∴，即點P在BC邊的高上，即點P的軌跡經過△ABC的垂心．故選B．【點睛】本題考查了平面向量的數量積運算在幾何中的應用，根據條件中的角計算是關鍵．7、B【解析】

先求出，再利用投影公式求解即可.【詳解】解：由已知得，由在方向上的投影為，得，則.故答案為：B.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應用，是基礎題.8、A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數，只有選項中的圖象符合要求，故選A.9、D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數學運算能力，屬于基礎題.10、C【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環結構計算并輸出變量的值，計算程序框圖的運行結果即可得到答案.【詳解】，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，不滿足條件，輸出.故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環結構，屬于簡單題.11、D【解析】

先對圖表數據的分析處理，再結簡單的合情推理一一檢驗即可【詳解】由折線圖易知A、C正確；2019年3月份及6月份的全國居民消費價格環比是負的，所以B錯誤；設2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全國居民消費價格分別為，由題意可知，，，則有，所以D正確.故選：D【點睛】此題考查了對圖表數據的分析處理能力及進行簡單的合情推理，屬于中檔題.12、D【解析】

作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合即可得到結論．【詳解】作出不等式組表示的平面區域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當直線經過點時最大，所以，故選D．【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先解不等式，再由在區間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【詳解】解：且，即解得，即因為在區間上恒成立，解得即故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式及函數的綜合問題，屬于基礎題.14、3【解析】

過點Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，當直線相切時距離最小，計算得到答案.【詳解】如圖所示：過點Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，y=x2，則y'=2x=1，x=1點M為線段PQ的中點，故M在直線y=x+38時距離最小，故故答案為：32【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，轉化為切線問題是解題的關鍵.15、【解析】

根據雙曲線方程，可得漸近線方程，結合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關系表示，最后結合雙曲線離心率公式計算得答案.【詳解】因為雙曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因為其一條漸近線經過點，即，則，由此可得.故答案為：.【點睛】本題考查由雙曲線的漸近線構建方程表示系數關系進而求離心率，屬于基礎題.16、【解析】

根據圖示分析出、、的坐標表示，然后根據坐標形式下向量的數量積為零計算出的取值.【詳解】由圖可知：，所以，又因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查向量的坐標表示以及坐標形式下向量的數量積運算，難度較易.已知，若，則有.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】試題分析：由柯西不等式得，所以試題解析：因為均為正數，且，所以．于是由均值不等式可知，當且僅當時，上式等號成立．從而．故的最小值為．此時．考點：柯西不等式18、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）由題可知，等腰直角三角形與等邊三角形，在其公共邊AC上取中點O，連接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可證得，結合，可證明平面.再根據面面垂直的判定定理，可證平面平面.（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由點F在線段上，設，得出的坐標，進而求出平面的一個法向量.用向量法表示出與平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再結合為平面的一個法向量，用向量法即可求出與的夾角，結合圖形，寫出二面角的大小.【詳解】證明：（1）在中，為正三角形，且在中，為等腰直角三角形，且取的中點，連接，，，平面平面平面..平面平面（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設.則設平面的一個法向量為.則，令，解得與平面所成角的正弦值為，整理得解得或(含去)又為平面的一個法向量，二面角的大小為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解決線面角、二面角的問題，屬于中檔題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義求解即可.（Ⅱ）求導分析函數的單調性,并構造函數根據單調性分析可得只能在處取得最小值求解即可.（Ⅲ）根據（Ⅰ）（Ⅱ）的結論可知,在上恒成立,再分別設的解為、.再根據不等式的性質證明即可.【詳解】（Ⅰ）由題,故.且.故在點處的切線方程為.（Ⅱ）設恒成立,故.設函數則,故在上單調遞減且,又在上單調遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當時，此時,且在上,單調遞減.在上,單調遞增.故,滿足題意；當時，此時有解,且在上單調遞減,與矛盾；當時，此時有解,且在上單調遞減,與矛盾；故（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上單調遞減且,又在上單調遞增,故最多一根.又因為,,故設的解為,因為,故.所以在遞減,在遞增.因為方程有兩個實數根,故.結合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.設的解為,則；設的解為,則.故,.故,得證.【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義以及根據函數的單調性與最值求解參數值的問題.同時也考查了構造函數結合前問的結論證明不等式的方法.屬于難題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）令，求出的范圍，再由指數函數的單調性，即可求出結論；（2）對分類討論，分別求出以及的最小值或范圍，與的最小值建立方程關系，求出的值，進而求出的取值關系.【詳解】（1）當時，，令，∵∴，而是增函數，∴，∴函數的值域是.（2）當時，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，在上單調遞增，最小值為，而的最小值為，所以這種情況不可能.當時，則在上單調遞減且沒有最小值，在上單調遞增最小值為，所以的最小值為，解得（滿足題意），所以，解得.所以實數的取值范圍是.【點睛】本題考查復合函數的值域與分段函數的最值，熟練掌握二次函數圖像和性質是解題的關鍵，屬于中檔題.21、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）不存在，理由見解析；（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）可取第一行都為-1，其余的都取1，即滿足題意；（Ⅱ）用反證法證明：假設存在，得出矛盾，從而證明結論；（Ⅲ）通過分析正確得出l(A)的表達式，以及從A0如何得到A1，A2……，以此類推可得到Ak．【詳解】（Ⅰ）答案不唯一，如圖所示數表符合要求.（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，證明如下:假如存在，使得.因為，，所以，，...，，，，...，這18個數中有9個1，9個-1.令.一方面，由于這18個數中有9個1，9個-1，從而①，另一方面，表示數表中所有元素之積（記這81個實數之積為m）；也表示m，從而②，①，②相矛盾，從而不存在，使得.（Ⅲ）記這個實數之積為p.一方面，從“行”的角度看，有；另一方面，從“列”的角度看，有；從而有③，注意到，，下面考慮，，...，，，，...，中-1的個數，由③知，上述2n個實數中，-1的個數一定為偶數，該偶數記為，則1的個數為2n-2k，所以，對數表，顯然.將數表中的由1變為-1，得到數表，顯然，將數表中的由1變