2022-2023學年黑龍江省哈爾濱市華文中學高一數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數恒過定點（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.下面給出四種說法，其中正確的個數是(

)①對于實數m和向量a、b，恒有m(a-b)=ma-mb；②對于實數m、n和向量a，恒有(m-n)a=ma-na；③若ma=mb(m∈R)，則a=b；④若ma=na(a≠0)，則m=n.A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C3.已知x，y滿足，則的最小值為（

）A. B. C. D.參考答案：A(x－1)2＋(y－1)2表示點P(x，y)到點Q(1,1)的距離的平方．由已知可得點P在直線l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值為點Q到直線l的距離，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值為d2＝.故選A.4.給出下列函數:①;②;③;④.其中與函數相同的是（

）(A)

①（B）

②(C)③

(D)

④參考答案：C5.若函數f（x）=的定義域為（）A．[0，1） B．（0，1） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）參考答案：A【考點】函數的定義域及其求法．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據函數成立的條件即可求函數的定義域．【解答】解：要使函數有意義，則，即，解得0≤x＜1，即函數的定義域為[0，1），故選：A【點評】本題主要考查函數的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數成立的條件．6.當x＞1時，不等式x+≥a恒成立，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]參考答案：D【考點】基本不等式．【分析】由題意當x＞1時，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，從而求得答案．【解答】解：∵當x＞1時，不等式x+恒成立，∴a≤x+對一切非零實數x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，當且僅當x=2時取等號，故x+的最小值等于3，∴a≤3，則實數a的取值范圍是（﹣∞，3]．故選D．【點評】本題考查查基本不等式的應用以及函數的恒成立問題，求出x+的最小值是解題的關鍵．7.執行下面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的y的范圍是(A)[0,1]

(B).(1,2]

(C)[0,3]

(D)[1,3]參考答案：C8.在邊長為的等邊三角形中，，則等于（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略9.下列函數中,在區間上是增函數的是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于(

)A．

B．C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設f(x)是定義在R上的增函數,且對于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果實數m、n滿足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2的取值范圍是___________．參考答案：

(9,49)

12._________．參考答案：2313.求值：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=

．參考答案：0【考點】兩角和與差的余弦函數．【分析】根據題意，利用余弦的和差公式可得cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°，利用特殊角的三角函數值可得答案．【解答】解：根據題意，原式=cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°=0，故答案為：0．14.函數的單調遞增區間是

.

參考答案：[-1，1）略15.已知函數f（x）=x2﹣3x+lnx，則f（x）在區間[，2]上的最小值為；當f（x）取到最小值時，x=．參考答案：﹣2，1．【考點】利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】求出函數的導數，求出函數的單調區間，求得函數的最小值．【解答】解：=（x＞0），令f′（x）=0，得x=，1，當x時，f′（x）＜0，x∈（1，2）時，f′（x）＞0，∴f（x）在區間[，1]上單調遞減，在區間[1，2]上單調遞增，∴當x=1時，f（x）在區間[，2]上的最小值為f（1）=﹣2，故答案為：﹣2，1．16.某班有學生人，其中體育愛好者人，音樂愛好者人，還有人既不愛好體育也不愛好音樂，則該班既愛好體育又愛好音樂的人數為

人參考答案：2617.已知函數，若，則的值為

.參考答案：2或略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.【本題滿分16分】

已知二次函數f(x)滿足f(－1)＝0，且x≤f(x)≤(x2＋1)對一切實數x恒成立．

（1）求f(1)；

（2）求f(x)的解析表達式；

（3）證明：＋＋…＋＞2．參考答案：解：（1）取x＝1，由1≤f(1)≤(1＋1)，所以f(1)＝1

（2）設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)因f(－1)＝0，f(1)＝1，∴a＋c＝b＝，∵f(x)≥x，對x∈R恒成立，∴ax2＋(b－1)x＋c≥0對x∈R恒成立，∴△≤0Ta＞0，ac≥∵a＞0，ac≥＞0，∴c＞0．∵a＋c≥2≥2＝當且僅當a＝c＝時，等式成立∴f(x)＝＝(x＋1)2

（3）證明：∵＝＞＝4(－)

∴＋＋…＋＞4(－)＞2．19.（12分）已知空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點，F是BD的中點，（1）求證：BC∥平面AFE；（2）平面ABE⊥平面ACD．參考答案：考點： 平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題： 計算題；證明題．分析： （1）由已知中E是CD的中點，F是BD的中點，根據三角形中位線定理，我們可得到FE∥BC，再由線面平行的判定定理，即可得到∥平面AFE；（2）由已知中空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點，F是BD的中點，根據等腰三角形三線合一，我們易得到AE⊥DC，BE⊥CD，結合線面垂直判定定理，可得CD⊥平面AEB，結合面面垂直判定定理，即可得到平面ABE⊥平面ACD．解答： 證明：（1）∵E，F分別是CD與BD的中點∴FE∥BC∵EF?平面AFE，BC?平面AFE∴BC∥平面AFE．（6分）（2）∵AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點，F是BD的中點∴AE⊥DC，BE⊥CD∵EB∩EA=E∴CD⊥平面AEB∵CD?平面ACD∴平面ABE⊥平面ACD．（12分）點評： 本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握平面與平面垂直的判定定理及直線與平面平行的判定定理及證明思路，是解答本題的關鍵．20.已知函數，且.（1）求常數a及f(x)的最大值；（2）當時，求f(x)的單調遞增區間.參考答案：（1），（2）遞增區間為.【分析】（1）由二倍角公式降冪，再由求出，然后由兩角和的余弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，結合余弦函數單調性可得最大值；（2）由（1）結合余弦函數性質可得增區間．【詳解】（1），由得，，即.∴，當時，即時，.（2）由，得，又，所以，所以遞增區間為.【點睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的余弦公式，考查余弦函數的性質．三角函數問題一般都要由三角恒等變換化為一個角的一個三角函數形式，然后利用正弦函數或余弦函數性質求解．21.已知數列{an}滿足.（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設，求數列{bn}的前n項和Tn.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（1）利用遞推關系即可得出.（2）將代入得出，利用”裂項相消法”與前n項和公式即可得出.【詳解】解：（Ⅰ）∵當時，；當，∴，可得，又∵當時也成立，∴．（Ⅱ）∵∴，∴．22.已知等比數列{an}中，，是和的等差中項．(1)求數列{an}的通項公式；(2)記，求數列{bn}的前n項和.參考答案：（1）（2）【分析