§3.7角動量力矩 角動量定理

角動量（動量矩angularmomentum）概念是在動量概念的基礎(chǔ)上建立起來的描述質(zhì)點相對某定點運動狀態(tài)的物理量。質(zhì)點的動量依賴于參考系的選擇，確定質(zhì)點的角動量還要再增加一個根據(jù)——在確定動量的參考系中選擇一個固定參考點。角動量反映轉(zhuǎn)動的特征。一、質(zhì)點的角動量

它的模

按矢量叉乘的規(guī)定它的方向：，，即垂直于和所決定的平面，且與和成右手螺旋。角動量與參考點的選擇有關(guān)。

在給定的參考系中，質(zhì)點的速度為，相對固定參考點（可以是坐標(biāo)原點，也可以是其它任意的固定點）的位置矢量為。定義質(zhì)點相對定點的角動量矢量

與和成右手螺旋二、力（對點之）矩

力作用于質(zhì)點，在給定參考系中，質(zhì)點相對固定參考點O的位置矢量為。定義力對定點O的力矩為力矩的模

是O到力作用線的垂直距離

力矩的方向：力矩垂直于和所決定的平面，且與，成右手螺旋。

力矩與參考點的選擇有關(guān)。

如果固定點位于力的作用線上，對這個參考點的力矩為零。

相對于圖中參考點兩個力的力矩如何？三、

質(zhì)點的角動量定理

——Newton第二定律的矩變形設(shè)o為選定慣性系中的固定參考點，質(zhì)點相對o的位置矢量為，速度為。

以表示作用于質(zhì)點的合外力，故用叉乘上式兩側(cè)

由于

角動量為力矩為立即得到——稱為質(zhì)點的角動量定理式中

是合外力相對慣性系中固定參考點的力矩。

是質(zhì)點相對于同一參考點的角動量。表明相對于同一參考點，質(zhì)點受到的合(外)力矩等于質(zhì)點角動量的時間變化率。這個定理把質(zhì)點所受的合外力矩和它角動量的瞬時變化率聯(lián)系起來了。即質(zhì)點相對某定點角動量守恒的條件是相對該點的合外力矩為零。顯然，若則常矢量——稱為質(zhì)點的角動量守恒注意在角動量守恒中，和應(yīng)該相對同一個參考點而言。常矢量[例題1]

質(zhì)量為的滑塊沿直線軌道，以速度 勻速滑動。求它相對于原點O和固定點A（0，b，0）的角動量解：在指定參考系中質(zhì)點動量以原點O為固定參考點質(zhì)點位置矢量質(zhì)點角動量以點A（0，b，0）為固定參考點質(zhì)點位置矢量質(zhì)點角動量[例題2]

質(zhì)點在平面內(nèi)以速率繞原點O逆時針勻速轉(zhuǎn)動。圓周軌道半徑為，求它相對于原點O的角動量。解：質(zhì)點的動量矢量隨時變化，但它相對于原點O的角動量卻是個常矢量。

這個例子表明，對于一個運動質(zhì)點，在指定參考系中，相對不同的固定參考點，有不同的角動量。質(zhì)點動量的方向不指向參考點時，它具有繞定點轉(zhuǎn)動的傾向，角動量不為零。如果質(zhì)點作慣性運動，質(zhì)點角動量是守恒量。[例題3]

我國第一顆人造地球衛(wèi)星近地點高度439km，遠(yuǎn)地點高度2384km，地球平均半徑6370km。求衛(wèi)星在近地點與遠(yuǎn)地點速率之比。解：以地球為參考系，地心O為固定參考點。衛(wèi)星在地球引力作用下做橢圓軌道運動，相對O點衛(wèi)星的角動量守恒。地心O在橢圓的一個焦點上，衛(wèi)星過近地點p，遠(yuǎn)地點a時，其速度垂直于位置矢量。由于力過圓心，因此相對圓心的力矩為零，角動量守恒。解：繩對小球的拉力沿繩方向，是個變矢量。如果取O為固定參考點，拉力的力矩始終為零。在小球軌道半徑與速率變化的過程中，它相對點的角動量守恒[例題4]光滑的水平桌面上開有一個小孔。穿過小孔的細(xì)繩，一端系著一個質(zhì)量為的小球，一端在桌面下被人用力拉住，如圖，小球在桌面上以速率沿半徑為的圓周運動。然后，向下拉繩，使小球軌道半徑減小到，求小球線速率及動能變化。小球只受徑向力的作用，橫向速率為什么增大？

在小球與點距離縮短的過程中，軌道是緩慢收縮的螺旋線，徑向拉力并不垂直于軌道切線，正是拉力的切向分量使小球有切向加速度，速率增加。小球動能變化

小球軌道半徑由收縮到的過程中，拉力所作的功§3.8 質(zhì)點系的角動量定理角動量守恒定律一、力矩矢量和研究質(zhì)點系統(tǒng)所受力矩的矢量和。

設(shè)質(zhì)點受到的合力為的力矩相對于定點的位矢為作用于系統(tǒng)的所有力對定點力矩的矢量和[例題6]

計算質(zhì)點系所受重力力矩解：重力是徹體力，作用于系統(tǒng)中每一個質(zhì)點。重力力矩其中及對于定點，系統(tǒng)所受重力矩等于集中了質(zhì)點系總質(zhì)量的質(zhì)點位于系統(tǒng)質(zhì)心時相對點所受重力力矩。或者說，物體所有質(zhì)量元受重力作用，就重力矩的整體效果而言，與總重力作用于物體質(zhì)心等效。[例題7]

力偶的力矩分別作用于兩個質(zhì)點上的大小相等，方向相反的一對力和稱為力偶。

但和不一定是一對作用力和反作用力。在一般情形下，和并不沿兩質(zhì)點的連線。以為參考點，力偶的力矩為所以力偶矩與參考點選擇無關(guān)。矢量由兩質(zhì)點連線決定，與參考點的選擇無關(guān)。不難看出：

一對作用力和反作用力相對任何參考點的力矩矢量和必然為零。系統(tǒng)內(nèi)力相對任何固定參考點的力矩矢量和恒為零。

顯然，作用于質(zhì)點系上的一切力的力矩矢量和只是外力矩的矢量和，即注意：外力矩與參考點的選擇有關(guān)。二、系統(tǒng)內(nèi)力性質(zhì)的小結(jié)⑴內(nèi)力成對出現(xiàn)，所有內(nèi)力的矢量和為零。⑵

一對內(nèi)力的功與參考系的選擇無關(guān)，一對保守內(nèi)力的功還與路徑無關(guān)且等于系統(tǒng)相關(guān)勢能的減少，非保守內(nèi)力的功是系統(tǒng)機(jī)械能和其它形式能量轉(zhuǎn)換的量度。⑶在任一過程中，所有內(nèi)力沖量的矢量和為零。⑷

內(nèi)力不影響系統(tǒng)質(zhì)心的運動狀態(tài)，不改變系統(tǒng)的總動量。內(nèi)力的沖量使總動量在系統(tǒng)內(nèi)部重新分配。⑸系統(tǒng)內(nèi)力相對任一固定參考點的力矩矢量和為零，內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的總角動量。三、質(zhì)點系的總角動量質(zhì)點系的總角動量是所有質(zhì)點相對同一固定參考點角動量的矢量和一般說來，系統(tǒng)總角動量是與參考系和固定參考點的選擇有關(guān)的。但是，如果在給定參考系中質(zhì)點系總動量為零（其實這個參考系就是系統(tǒng)的質(zhì)心系），那么系統(tǒng)總角動量與參考點的選擇無關(guān)。四、

質(zhì)點系的角動量定理讓我們對所有質(zhì)點取和，得設(shè)有質(zhì)點系統(tǒng)，取o為慣性系中的固定參考點。質(zhì)點受到的合外力矩與它的角動量滿足質(zhì)點的角動量定理左側(cè)為質(zhì)點系受到的所有內(nèi)力力矩與外力力矩之和，記為為系統(tǒng)所受外力矩的矢量和。上式要求被選用的參考系是慣性系，和應(yīng)相對于同一固定參考點計算。右側(cè)為質(zhì)點系的總角動量

由于相對于任意參考點，內(nèi)力力矩的矢量和為零，即，因此，有質(zhì)點系的角動量定理表明相對于慣性系中同一固定參考點，系統(tǒng)所受到的合外力矩等于系統(tǒng)總角動量的時間變化率。五、角動量守恒定律從質(zhì)點系角動量定理可知，若系統(tǒng)所受到的合外力矩為零，即，則系統(tǒng)的總角動量守恒反之，若質(zhì)點系統(tǒng)持續(xù)處于靜止?fàn)顟B(tài)，也可以根據(jù)系統(tǒng)角動量恒為零而認(rèn)定：相對任一固定參考點(同一慣性系中)外力矩矢量和為零。常矢量表明系統(tǒng)角動量守恒的條件是外力矩矢量和為零。應(yīng)該指出，研究角動量守恒首先需要關(guān)注參考點，要恰當(dāng)選擇參考點。⑵如果外力矩矢量在一個方向上的投影為零，角動量矢量在同一方向上的投影守恒。⑴確定外力矩矢量和為零的參考點與確定角動量守恒的參考點必須一致。注意：在物理學(xué)中，守恒定律是最強(qiáng)有力的分析手段。究其實質(zhì)是：在某一確定環(huán)境下，相互作用的物體無論發(fā)生什么樣的變化，仍然有這種或那種可量度的量(如質(zhì)量、能量、動量、角動量等)的總和在整個觀察期間保持不變。守恒定律能夠透過紛亂蕪雜的表面變化，令人信服地指出一種或幾種潛在的內(nèi)部穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性一旦被辨認(rèn)出來，事件就由一團(tuán)混沌立即變得井然有序。[例題7]宇宙飛船去考察一質(zhì)量為，半徑為的行星，當(dāng)飛船相對行星靜止且距離其中心為時，以速度發(fā)射角發(fā)射探測儀器，如圖所示。儀器質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量，要使儀器掠過行星表面，發(fā)射速度與發(fā)射角應(yīng)滿足什么條件？MRq0vmR5MRq0vmR5解：把行星作為慣性系。儀器發(fā)射后，只受行星引力作用，以行星中心為固定參考點，儀器角動量守恒。儀器發(fā)射角如圖，它將掠過行星表面，故MRq0vmR5MRq0vmR5儀器——行星系統(tǒng)機(jī)械能守恒

解⑵有，儀器掠過行星表面的速度為⑴⑵代入⑴式，則發(fā)射角應(yīng)滿足由上述關(guān)系，知道發(fā)射速度應(yīng)滿足MRq0vmR5MRq0vmR5第四章剛體的轉(zhuǎn)動一、剛體定軸轉(zhuǎn)動運動學(xué) 剛體是按物體實際形狀建立起來的理想模型。它既忽略物體在運動過程中的形變，又拒絕物體內(nèi)部存在質(zhì)量流動。我們把剛體看作質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系，而且是受到剛性約束的質(zhì)點系。剛體中各質(zhì)點之間的距離保持不變。剛體的最基本運動形式就是平動和定軸轉(zhuǎn)動以及定點運動(繞確定點運動)。1.

剛體的平動設(shè)為靜止的坐標(biāo)系，為固定在剛體上且與相應(yīng)軸平行的坐標(biāo)系。剛體運動時隨之運動，如果對應(yīng)軸和，和，和始終保持平行，則稱剛體作平動。

剛體平動時，剛體內(nèi)所有的質(zhì)點有相同的速度和加速度。所以平動剛體上任何一個質(zhì)點的運動狀態(tài)都具有代表性，都反映著剛體的平動，這個質(zhì)點的軌道，并不一定是直線，它可以是任意曲線。平動作為剛體的一種基本運動形式，完全排斥了轉(zhuǎn)動，排除了剛體內(nèi)質(zhì)點運動狀態(tài)的差異，排除了質(zhì)點相對剛體質(zhì)心系的運動。剛體作平動時它的：總動量總動能總角動量 研究剛體的平動時，可以將剛體看成質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點的運動。2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體運動時，如果有兩個質(zhì)點的位置始終不改變，那么，這兩個點的連線形成一條固定不動的軸線。其余質(zhì)點均繞此軸線作圓周運動。在指定參考系中，這個剛體作定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動軸線可能是剛體的對稱軸，也可能不是，可能在剛體上，也可能不在剛體上；轉(zhuǎn)動軸線也不一定是實在的機(jī)械軸。剛體定軸轉(zhuǎn)動時，每個質(zhì)點都在垂直于固定軸線的平面內(nèi)作圓周運動。通常將與轉(zhuǎn)動軸垂直的平面稱為轉(zhuǎn)動平面。轉(zhuǎn)動平面內(nèi)剛體截面的運動具有一定的代表性。研究截面的運動是個二維問題，但足以透視三維空間中的定軸轉(zhuǎn)動。將剛體的固定軸線取作軸，并取的正方向與剛體轉(zhuǎn)動正方向成右手螺旋。質(zhì)點在轉(zhuǎn)動平面中，以為圓心，為半徑作圓周運動。將矢徑作為剛體取向的標(biāo)志，用表示剛體的角位置角加速度

、、對剛體中的所有質(zhì)元都是一致的。剛體的角速度前面一直沒有涉及角速度的方向，實際上角速度也是有方向的，并且定義角速度的方向與剛體轉(zhuǎn)動的方向成右手螺旋關(guān)系，如圖所示。定義剛體的角速度矢量

是轉(zhuǎn)動軸線上的單位矢量，與轉(zhuǎn)動正方向成右手螺旋。規(guī)定了角速度的方向后，我們可以給出剛體上任一點的速度為其中速率速度

因此看作相對轉(zhuǎn)軸的“位矢”

剛體的平動與轉(zhuǎn)動二、剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué) 轉(zhuǎn)動慣量由于剛體可以看成是一個剛性質(zhì)點系，因此前面關(guān)于質(zhì)點系的角動量定理仍然適用于剛體，只是剛體要求系統(tǒng)內(nèi)任何兩點之間距離保持不變。剛體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律是質(zhì)點系角動量定理的直接推論如圖所示，剛體繞軸轉(zhuǎn)動，角速度為是剛體上的任一個質(zhì)元，它在平面(轉(zhuǎn)動平面)內(nèi)繞點作圓周運動，半徑為

1.

剛體總角動量在轉(zhuǎn)軸上的投影以固定軸上的原點為參考點剛體的總角動量為質(zhì)點的速度速率為則剛體角動量在軸上的投影為注：式中，由剛體質(zhì)量相對于轉(zhuǎn)軸的分布所唯一確定，稱為剛體繞指定軸的轉(zhuǎn)動慣量，記為因此，剛體的總角動量在轉(zhuǎn)軸上的投影為2.定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

與質(zhì)點動能相比較，轉(zhuǎn)動慣量在定軸轉(zhuǎn)動問題中起到的作用，類似于質(zhì)量在質(zhì)點問題中作為慣性量度起到的作用。按質(zhì)點系總動能的概念，剛體(剛性質(zhì)點系)的總動能應(yīng)為即3.剛體的轉(zhuǎn)動定理

——質(zhì)點系角動量定理在固定軸上的投影式

將質(zhì)點系角動量定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動時，可以得到剛體的定軸轉(zhuǎn)動定理。

取質(zhì)點系角動量定理 在轉(zhuǎn)軸上的投影為得

即這就是在慣性系中剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理。

此式不是矢量方程而是矢量方程的投影式

式中是外力矩在軸上的投影。

可看出

此外，根據(jù)

當(dāng)時，角動量在軸上的投影為常量，即

常量——稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒。表明剛體相對某固定軸所受到的合外力矩為零時，此剛體相對該軸的角動量將保持不變。

這意味著保持角速度不變是定軸剛體固有的屬性，稱之為轉(zhuǎn)動慣性。轉(zhuǎn)動慣量正是剛體繞指定軸轉(zhuǎn)動慣性的量度。

兩個剛體，如果受到相同的外力矩作用，轉(zhuǎn)動慣量大的，角加速度小，角速度變化慢；轉(zhuǎn)動慣量小的，角速度變化快。要使兩個剛體產(chǎn)生相同的角加速度，所需的外力矩將正比于它們的轉(zhuǎn)動慣量。角加速度為

在角動量守恒時，剛體的轉(zhuǎn)動慣量增加，則轉(zhuǎn)動角速度減小，反之增加。從轉(zhuǎn)動定律中可以看出，當(dāng)時，質(zhì)量元是到指定軸線距離等于的所有的點具有的微小質(zhì)量(這是選取質(zhì)量元的依據(jù))，積分對所有質(zhì)量元進(jìn)行。

4.剛體對指定軸線的轉(zhuǎn)動慣量

如果剛體由若干離散的質(zhì)點組成，其轉(zhuǎn)動慣量為質(zhì)點到指定軸線的距離。

質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，轉(zhuǎn)動慣量仍然是所有質(zhì)量元對指定軸線轉(zhuǎn)動慣量的積累，取和過渡到積分剛體相對于給定軸的轉(zhuǎn)動慣量取決于剛體本身質(zhì)量的大小和質(zhì)量相對指定軸線的分布。計算轉(zhuǎn)動慣量時不能認(rèn)為總質(zhì)量全部集中于質(zhì)心，遠(yuǎn)離軸線的質(zhì)量對轉(zhuǎn)動慣量的貢獻(xiàn)更大一些。⑴質(zhì)量分別為和的兩個質(zhì)點被長為的輕桿連接，求繞過質(zhì)心且垂直于桿軸的轉(zhuǎn)動慣量。由于點為質(zhì)心，故若軸過桿中點且垂直于桿，則這意味著什么？繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。⑵質(zhì)量為半徑為的薄圓柱殼繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量⑶質(zhì)量為半徑為的勻質(zhì)圓盤（柱）繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量。取以軸為中心，半徑為，厚度為的薄圓柱形環(huán)為質(zhì)量元。距軸為的點形成了以為半徑，厚度為，高為的一個薄圓柱殼，這樣一個質(zhì)量元的質(zhì)量為故⑷內(nèi)半徑為外半徑為質(zhì)量為的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量故⑸質(zhì)量為長為的勻質(zhì)細(xì)桿繞過質(zhì)心且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動慣量如圖，取質(zhì)元繞過桿一端且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動慣量⑹質(zhì)量為半徑為的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。如圖，在球面取一圓環(huán)帶，半徑⑺質(zhì)量為半徑為的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合[思考題]

兩個剛性板被一垂直于它們的軸穿過形成一個組合體。如圖改變兩板夾角，組合體相對這軸的轉(zhuǎn)動慣量是否改變，質(zhì)心相對組合體的位置是否改變。5.平行軸定理一個剛體繞不同的軸線有不同的轉(zhuǎn)動慣量。在一組彼此平行的軸線中，剛體繞各軸的轉(zhuǎn)動慣量之間存在簡單的聯(lián)系。若剛體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，那么剛體繞平行于該軸的任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量式中為剛體質(zhì)量，為質(zhì)心到任意軸的距離。[例題]

質(zhì)量為，長為的均勻細(xì)桿一端連接著一個質(zhì)量為直徑為的均勻球體，求該組合體繞過桿另一端且與桿垂直軸線的轉(zhuǎn)動慣量解：組合體的轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)是各部分相對同一軸線轉(zhuǎn)動慣量的和。[例題]

半徑為的勻質(zhì)圓盤，在互相垂直兩半徑中點各開一個半徑為的圓形透孔。所余部分質(zhì)量為，求它繞過O且垂直盤面軸線的轉(zhuǎn)動慣量，以及質(zhì)心位置。解：若將圓盤復(fù)原，每個園孔所需填充的質(zhì)量為被復(fù)原的勻質(zhì)圓盤質(zhì)心坐標(biāo)為(0,0),故三、力矩的功和功率轉(zhuǎn)動定理的空時積分作用于定軸剛體上的外力矩（矢量）只有轉(zhuǎn)軸方向的分量才可能作功,有效力矩僅與外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量和受力質(zhì)點相對轉(zhuǎn)動軸的“位矢”有關(guān)。

我們在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)計算力的元功

轉(zhuǎn)動平面是剛體的元角位移在定軸轉(zhuǎn)動中，力矩的元功

力矩的功率

即一般說來，功是廣義力在廣義位移上的積分。廣義力可以是力矩、壓強(qiáng)；廣義位移可以是角位移、體積增量，等等。1.剛體的轉(zhuǎn)動動能定理

——轉(zhuǎn)動定律的空間積分按力矩作功的概念，在剛體定軸轉(zhuǎn)動過程中，作用于剛體的合外力矩要作功，并且合外力矩的元功為

兩側(cè)對空間積分有

表明在一個過程中合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。即——稱為剛體的轉(zhuǎn)動動能定理可以給出合外力矩的時間效應(yīng)

取轉(zhuǎn)動定理的時間積分，有

2.剛體的沖量矩定理

——轉(zhuǎn)動定律的時間積分根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動定律表明在一個過程中剛體受到的合外力矩的沖量矩等于剛體角動量的增量。上式左側(cè)稱為剛體受到的合外力矩的沖量矩，右側(cè)為剛體定軸轉(zhuǎn)動時角動量的增量。[例題]被電機(jī)帶動的半徑為的圓輪A以恒定角速度繞軸轉(zhuǎn)動，將A輪放置在質(zhì)量為的勻質(zhì)圓輪B上，B輪是從動輪，可以繞過中心的水平軸自由轉(zhuǎn)動，開始是靜止的。已知兩輪間的滑動摩擦力為，求經(jīng)過多少時間兩輪之間沒有了相對滑動。BABA解：在B輪和A輪之間的相對滑動消失之前，切向接觸力（滑動摩擦力）對B輪的外力矩引起B(yǎng)輪的角加速度，使它從靜止開始加速。設(shè)B輪的半徑為，根據(jù)轉(zhuǎn)動定理設(shè)經(jīng)過時間相對滑動消失，兩輪接觸點有相同的線速度，即是B輪正常轉(zhuǎn)動的角速度。BA⑴過渡過程持續(xù)的時間反比于滑動摩擦力，正比于轉(zhuǎn)速。⑵在B輪達(dá)到正常轉(zhuǎn)速后，與A輪之間沒有相對滑動。但是，由于負(fù)載或阻力矩它與A輪可能出現(xiàn)相對滑動趨勢，這將在接觸點產(chǎn)生靜摩擦力，靜摩擦力矩與阻力矩平衡。A輪通過靜摩擦力力矩作功,向B輪傳遞功率。但是這個靜摩擦力不能超過最大靜摩擦力的限度。討論：兩側(cè)取積分，有[例題]半徑為,質(zhì)量為的勻質(zhì)圓輪可繞水平軸自由轉(zhuǎn)動，圓輪上沿恰與水平桌面持平，如圖所示。桌面上有一質(zhì)量為的長方體滑塊，左右移動滑塊可帶動圓輪轉(zhuǎn)動。假設(shè)滑塊與圓輪間的最大靜摩擦力足