吉林省長春市市第五十六中學高三數(shù)學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.橢圓短軸的一個端點看長軸的兩個端點的視角為120°，則這個橢圓的離心率是(

)

A.

B．

C．

D．參考答案：C2.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為（

）A.B.C.D.參考答案：D3.已知點，，若直線：與線段AB沒有交點，則的取值范圍是（）A.

B.

C.或

D.參考答案：C4.若實數(shù)滿足，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：D5.“數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列{an}是常數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}為常數(shù)列，且an≠0，則反之當an=0時，滿足數(shù)列{an}為常數(shù)列，但數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，即“數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列{an}是常數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A6.設A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，則滿足A?B的B的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2參考答案：B【分析】由題意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，則滿足A?B的B為：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故選：B．【點評】本題考查了集合之間的運算性質(zhì)、元素與集合之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．7.函數(shù)，則A．

B．

C．

D．

參考答案：B8.在，則△ABC的面積為

(A)

（B）

(C)6

(D)12．參考答案：C9.設函數(shù),則（）A．

B．3

C．

D．參考答案：D10.若兩個非零向量，滿足|+|=|﹣|=2||，則向量+與﹣的夾角是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到兩個向量的關系，利用向量的數(shù)量積公式求出兩向量的夾角．【解答】解：依題意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量與的夾角是，故選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域是．參考答案：（0，1]【考點】函數(shù)的定義域及其求法；對數(shù)函數(shù)的定義域．【專題】計算題．【分析】令被開方數(shù)大于等于0，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及真數(shù)大于0求出x的范圍，寫出集合區(qū)間形式即為函數(shù)的定義域．【解答】解：∴0＜x≤1∴函數(shù)的定義域為（0，1]故答案為：（0，1]【點評】求解析式已知的函數(shù)的定義域應該考慮：開偶次方根的被開方數(shù)大于等于0；對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0底數(shù)大于0小于1；分母非0．12.Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1=2，S3=12，則a6=

．參考答案：12【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1=2，S3=12，∴3×2+=12，解得d=2．則a6=2+5×2=12．故答案為：12．13.設復數(shù)為虛數(shù)單位,若為實數(shù),則的值為

．參考答案：2略14.設為非零實數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：15.已知實數(shù)滿足約束條件（為常數(shù)），若目標函數(shù)的最大值是，則實數(shù)的值是

▲

.參考答案：16.已知，為空間中一點，且，則直線與平面所成角的正弦值為___________．參考答案：解：由對稱性點在平面內(nèi)的射影必在的平分線上作于，連結(jié)則由三垂線定理，設，又,所以，因此直線與平面所成角的正弦值

17.幾何證明選講）如圖，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，則BE=

．參考答案：因為∠B=∠D，，所以與相似，所以，所以AE=2，所以.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講如圖，過圓O外一點P分別作圓O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，過點A作PC的平行線交圓O于點D，BD的延長線交直線PA于點Q．（1）求證：AB2=PB?AD；（2）若PA=2AQ，AD=，QD=2．求PC的長．

參考答案：（1）見解析（2）【知識點】與圓有關的比例線段．N1解析：（1）證明：∵PO是圓O的切線，AD∥PB，∴∠PAB=∠BDA，∠APB=∠QAD=∠DBA，∴△PAB∽△BDA．∴，∴AB2=PB?AD；（2）解：∵AD∥PB，PA=2AQ，∴=∵AD=，QD=2，∴PB=3，QB=6．∵PO是圓O的切線，PA=2AQ，∴PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，∴PC==．【思路點撥】（1）證明△PAB∽△BDA，可得AB2=PB?AD；（2）利用PO是圓O的切線，PA=2AQ，可得PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，結(jié)合AD=，QD=2，求PC的長．19.（本小題滿分10分）選修：不等式選講設函數(shù)（1）若的最小值為3，求的值；（2）求不等式的解集.參考答案：⑴因為因為,所以當且僅當時等號成立,故為所求.

4分⑵不等式即不等式，①當時，原不等式可化為即所以，當時，原不等式成立.②當時，原不等式可化為即所以，當時，原不等式成立.③當時，原不等式可化為即由于時所以，當時，原不等式成立.綜合①②③可知：不等式的解集為20.設函數(shù)f（x）=（x2﹣2x）lnx+（a﹣）x2+2（1﹣a）x+a．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：當a≥0時，f（x）＞0．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，0＜x＜1時，顯然成立，x≥1時，得到x（x﹣2）lnx＞0，（0＜x＜1），設h（x）=（a﹣）x2+2（1﹣a）x+a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=2（x﹣1）（lnx+a），（x＞0），①a=0時，f′（x）=2（x﹣1）lnx，0＜x＜1時，f′（x）＞0，x＞1時，f′（x）＞0，x=1時，f′（x）=0，故f（x）在（0，+∞）遞增；②a＞0時，令f′（x）=0，得x1=1，x2=e﹣a，此時e﹣a＜1，易知f（x）在（0，e﹣a）遞增，（e﹣a，1）遞減，在（1，+∞）遞增；③a＜0時，e﹣a＞0，易知f（x）在（0，1）遞增，（1，e﹣a）遞減，（e﹣a，+∞）遞增；（Ⅱ）證明：a=0時，f（x）=（x2﹣2x）lnx﹣x2+2x，①若0＜x＜1時，f（x）＞0，②x≥1時，由（Ⅰ）可知f（x）在[1，+∞）遞增，則有f（x）≥f（1）=＞0，故a=0時，對所有的x∈（0，+∞），f（x）＞0，a＞0時，由（Ⅰ）得f（x）在（0，e﹣a）遞增，（e﹣a，1）遞減，（1，+∞）遞增，且f（1）=＞0，故函數(shù)在（e﹣a，+∞）上f（x）＞0，下面考慮x∈（0，e﹣a）時，此時0＜x＜1，f（x）=x（x﹣2）lnx+（a﹣）x2+2（1﹣a）x+a，其中，x（x﹣2）lnx＞0，（0＜x＜1），設h（x）=（a﹣）x2+2（1﹣a）x+a，則h′（x）=（2a﹣1）（x﹣1）+1，若0＜a≤1，則0≤2a≤2，﹣1≤2a﹣1≤1，而﹣1＜x﹣1＜0，故﹣1＜（2a﹣1）（x﹣1）＜1，故（2a﹣1）（x﹣1）+1＞0，即h′（x）＞0，此時h（x）在（0，1）遞增，故h（x）＞h（0）=a＞0，若a＞1，則h（x）=（a﹣1）（x﹣1）2+x2+1＞0，綜上，二次函數(shù)h（x）＞0，（0＜x＜1），故x∈（0，e﹣a）?（0，1）時，總有f（x）＞0，綜上，當a≥0時，f（x）＞0．21.《中國好聲音（TheVoiceofChina）》是由浙江衛(wèi)視聯(lián)合星空傳媒旗下燦星制作強力打造的大型勵志專業(yè)音樂評論節(jié)目，于2012年7月13日在浙江衛(wèi)視播出．每期節(jié)目有四位導師參加．導師背對歌手，當每位參賽選手演唱完之前有導師為其轉(zhuǎn)身，則該選手可以選擇加入為其轉(zhuǎn)身的導師的團隊中接受指導訓練．已知某期《中國好聲音》中，6位選手唱完后，四位導師為其轉(zhuǎn)身的情況如下表所示：導師轉(zhuǎn)身人數(shù)（人）4321獲得相應導師轉(zhuǎn)身的選手人數(shù)（人）1221現(xiàn)從這6位選手中隨機抽取兩人考查他們演唱完后導師的轉(zhuǎn)身情況．（1）請列出所有的基本事件；（2）求兩人中恰好其中一位為其轉(zhuǎn)身的導師不少于3人，而另一人為其轉(zhuǎn)身的導師不多于2人的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）設6位選手中，A有4位導師為其轉(zhuǎn)身，B，C有3為導師為其轉(zhuǎn)身，D，E有2為導師為其轉(zhuǎn)身，F(xiàn)只有1位導師為其轉(zhuǎn)身，由此能求出所有的基本事件．（2）利用列舉法求出事件“兩人中恰好其中一位為其轉(zhuǎn)身的導師人數(shù)不少于3人，而另一人為其轉(zhuǎn)身的導師不多于2人”所包含的基本事件，由此能求出兩人中恰好其中一位為其轉(zhuǎn)身的導師不少于3人，而另一人為其轉(zhuǎn)身的導師不多于2人的概率．【解答】解：（1）設6位選手中，A有4位導師為其轉(zhuǎn)身，B，C有3為導師為其轉(zhuǎn)身，D，E有2為導師為其轉(zhuǎn)身，F(xiàn)只有1位導師為其轉(zhuǎn)身．…（3分）則所有的基本事件有：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15個；（6分）（2）事件“兩人中恰好其中一位為其轉(zhuǎn)身的導師人數(shù)不少于3人，而另一人為其轉(zhuǎn)身的導師不多于2人”所包含的基本事件有：AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF共9個，…（9分）故所求概率為．…（12分）【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法