重點難點重點：利用導數解決實際問題中的優化問題難點：如何建立數學模型，借助導數求最值知識歸納利用導數解決實際問題中的最值的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系，找出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系式y＝f(x)；(2)求函數的導數f

′(x)，解方程f

′(x)＝0；(3)比較函數在區間端點和極值點的函數值大小，最大(小)者為最大(小)值．誤區警示(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去．(2)在實際問題中，有時會遇到函數在區間內只有一個點使f

′(x)＝0的情形，如果函數在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值．(3)生活中，經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題．在解決實際優化問題中，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系式給予表示，還應確定函數關系式中自變量的定義區間．某工廠設計一個密閉容器，下部是圓柱體形，上部是半球形，容積為常數V，當圓柱的底半徑r與高h為何值時，制造這個容器的用料最省？[例2]某集團為了獲得更大的利益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經調查，每年投入廣告費t(百萬元)可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤5)(1)若該公司將當年的廣告費控制在三百萬元之內，則應投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？解析：(1)設投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4

(0≤t≤3)，∴當t＝2百萬元時，f(t)取得最大值4百萬元．即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大．故g(x)在[0,2]上是增函數，在[2,3]上是減函數．所以當x＝2時，g(x)取最大值，即將2百萬元用于技術改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．[例3]如圖所示，有一塊半橢圓形鋼板，長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD＝2x，梯形面積為S.(1)求面積S關于自變量x的函數式，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值．已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，則矩形的面積最大時，矩形的邊長為________．[例4]蘇南某城市在發展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關注．據有關統計數據顯示，從上午6點到中午12點，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之間的關系可近似地用如下函數給出：分析：如圖，設BC為海岸線，A為漁艇停泊處，設D為海岸線上一點，CD＝x，只需將時間T表示為x的函數，即可確定登岸的位置．[答案]

C[答案]

C(理)(2010·山東濟南市模考)直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(2,3)，則b的值為(

)A．－3 B．9C．－15 D．－7[答案]

C[解析]

將點(2,3)分別代入曲線y＝x3＋ax＋1和直線y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15，故選C.[答案]

B二、填空題4．某工廠要圍建一個面積為128m2的矩形堆料場，一邊可以用原有的墻壁，其它三邊要砌新的墻壁，要使砌墻所用的材料最省，堆料場的長、寬應分別為________．[答案]

16m

8m5．(文)在周長為l的矩形中，面積的最大值為________．(理)面積為S的矩形中，其周長最小的矩形邊長是______．三、解答題6．已知某廠生產x件產品的成本為c＝25000＋200x＋x2(元)．(1)要使平均成本最低，應生產多少件產品？(2)若產品以每件500元售出，要使利潤最大，應生產多少件產品？當在x＝1000附近左側時，y′<0；在x＝1000附近右側時，y′>0；故當x＝1000時，y取得極小值．由于函數只有一個極小值點，那么函數在該點取得最小值，因此要使平均成本最低，應生產1000件產品．由于函數只有一個使L′＝0的點，且函數在該點有極大值，那么函數在該點取得最大值．因此，要使利潤最大，應生產6000件產品．

請同學們認真完成課后強化作業[答案]

B2．某商品一件的成本為30元，在某段時間內若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，要使利潤最大每件定價為________元．[答案]

853．已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m、n∈[－1,1]，則f(m)＋f

′(n)的最小值是______．[答案]

－13[分析]

由f(x)在x＝2處取得極值，可知f

′(2)＝0，于是可求得a的值，∵m∈[－1,1]，∴可利用f(x)在[－1,1]上的單調性求得f(m)的最小值；由于y＝f

′(x)是二次函數，故可利用二次函數的性質，求得f

′(n)在[－1,1]上的最小值．[解析]

求導得f

′(x)＝－3x2＋2ax，由函數f(x)在x＝2處取得極值知f

′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f

′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，∴當m∈[－1,1]時，f(m)min＝f(0)＝－4.又f

′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對稱軸為x＝1，∴當n∈[－1,1]時，f

′(n)min＝f

′(－1)＝－9.故f(m)＋f

′(n)的最小值為－13.[點評]

所求的結論“f(m)＋f

′(n)的最小值”中的m、n互不關聯，故可分別求極值，再相加，如果問題是求f(m)＋f

′(m)在m∈[－1,1]上的最小值，就應先求出y＝f(m)＋f

′(m)的表達式，再利用單調性求之．4．(2010·東北三校二模)已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元．設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝

(1)寫出年利潤W(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式；(2)年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得年利潤最大．(注：年利潤＝年銷售收入－年總成本)5．(2010·山東日照一中)如圖，有一矩形鋼板ABCD缺損了一角(圖中陰影部分)，邊緣線OM上每一點到點D的距離都等于它到邊AB的距離．工人師傅要將缺損的一角切割下來，使剩余部分成一個五邊形，若AB＝1米，AD＝0.5米，問如何畫切割線EF可使剩余部分五邊形ABCEF的面積最大？[分析]

首先利用圓錐曲線的定義求出曲線OM的方程，寫出直線EF的參數方程，利用導數求出三角形DEF的最小面積，即可求出五邊形ABCEF的最大面積，即可求出參數的值，即E、F兩點的坐標可求．YnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%WkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ81z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2