專題23解直角三角形問題一、基礎(chǔ)知識1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。

3.角的正弦、余弦、正切、余切定義：Rt△ABC中（1）∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對邊,斜邊)（2）∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)（3）∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)（4）∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作cota＝EQ\f(∠A的鄰邊,∠A的對邊)4.特殊值的三角函數(shù)：asinacosatanacota30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)EQ\r(3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)1160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)EQ\f(\r(3),3)5.解直角三角形應(yīng)用題中的常見概念（1）坡角：坡面與水平面的夾角，用字母表示。坡度（坡比）：坡面的鉛直高度和水平寬度的比，用字母表示，則（2）方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向所成的小于90°的角叫做方向角。目標(biāo)方向線OA，OB，OC分別表示北偏東60°，南偏東30°，北偏西70°．特別地，若目標(biāo)方向線與指北或指南的方向線成45°的角，如圖的目標(biāo)方向線OD與正南方向成45°角，通常稱為西南方向．（3）方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角。例如目標(biāo)方向線PA，PB，PC的方位角分別是40°，135°，225°．（4）俯角與仰角當(dāng)我們進(jìn)行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．二、本專題典型例題考法與解析【例題1】如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30°，然后向山腳直行100米到達(dá)C處，再測得山頂A的仰角為45°，那么山高AD為米（結(jié)果保留整數(shù)，測角儀忽略不計，≈1.414，，1.732）【答案】137．【解析】根據(jù)仰角和俯角的定義得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，設(shè)AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，則BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再進(jìn)行近似計算即可．如圖，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，設(shè)AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴x=（x+100），∴x=50（+1）≈137，即山高AD為137米．【例題2】如圖，建筑物AB后有一座假山，其坡度為i=1：，山坡上E點處有一涼亭，測得假山坡腳C與建筑物水平距離BC=25米，與涼亭距離CE=20米，某人從建筑物頂端測得E點的俯角為45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）【答案】建筑物AB的高為（35+10）m．【解析】考點有解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．首先過點E作EF⊥BC于點F，過點E作EN⊥AB于點N，再利用坡度的定義以及勾股定理得出EF、FC的長，求出AB的長即可．過點E作EF⊥BC于點F，過點E作EN⊥AB于點N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度為i=1：，∴設(shè)EF=x，則FC=x，∵CE=20米，∴x2+（x）2=400，解得：x=10，則FC=10m，∵BC=25m，∴BF=NE=（25+10）m，∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10=（35+10）m【例題3】如圖，一艘輪船航行到B處時，測得小島A在船的北偏東60°的方向，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行200海里到達(dá)C處時，測得小島A在船的北偏東30°的方向．己知在小島周圍170海里內(nèi)有暗礁，若輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛，試問輪船有無觸礁的危險？（≈1.732）【答案】見解析。【解析】如圖，直角△ACD和直角△ABD有公共邊AD，在兩個直角三角形中，利用三角函數(shù)即可用AD表示出CD與BD，根據(jù)CB=BD﹣CD即可列方程，從而求得AD的長，與170海里比較，確定輪船繼續(xù)向前行駛，有無觸礁危險．該輪船不改變航向繼續(xù)前行，沒有觸礁危險理由如下：如圖所示．則有∠ABD=30°，∠ACD=60°．∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=200海里．在Rt△ACD中，設(shè)CD=x海里，則AC=2x，AD===x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，BD===3x，又∵BD=BC+CD，∴3x=200+x，∴x=100．∴AD=x=100≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴輪船不改變航向繼續(xù)向前行使，輪船無觸礁的危險．三、解直角三角形問題訓(xùn)練題及其答案和解析1．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，4【答案】B【解析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．A.（）2+（）2≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤；B.12+（）2=（）2，能構(gòu)成直角三角形，故正確；C.62+72≠82，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤；D.22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤．2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于點D，若CD=1，則BD=．【答案】2【解析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AD即可得BD．∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=23．為保護(hù)漁民的生命財產(chǎn)安全，我國政府在南海海域新建了一批觀測點和避風(fēng)港．某日在觀測點A處發(fā)現(xiàn)在其北偏西36.9°的C處有一艘漁船正在作業(yè)，同時檢測到在漁船的正西B處有一股強(qiáng)臺風(fēng)正以每小時40海里的速度向正東方向移動，于是馬上通知漁船到位于其正東方向的避風(fēng)港D處進(jìn)行躲避．已知避風(fēng)港D在觀測點A的正北方向，臺風(fēng)中心B在觀測點A的北偏西67.5°的方向，漁船C與觀測點A相距350海里，臺風(fēng)中心的影響半徑為200海里，漁船的速度為每小時18海里，問漁船能否順利躲避本次臺風(fēng)的影響？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）【答案】看解析。【解析】先解Rt△ADC，求出CD=AC?sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里，那么漁船到的避風(fēng)港D處所用時間：210÷18=11小時．再解Rt△ADB，求出BD=AD?tan∠BAD≈280×2.4=672海里，那么BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．設(shè)強(qiáng)臺風(fēng)移動到漁船C后面200海里時所需時間為x小時，根據(jù)追及問題的等量關(guān)系列出方程（40﹣18）x=462﹣200，解方程求出x=11，由于11＜11，所以漁船能順利躲避本次臺風(fēng)的影響．由題意可知∠BAD=67.5°，∠CAD=36.9°，AC=350海里．在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠DAC=36.9°，AC=350海里，∴CD=AC?sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里．∴漁船到的避風(fēng)港D處所用時間：210÷18=11小時．在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=67.5°，∴BD=AD?tan∠BAD≈280×2.4=672海里，∴BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．設(shè)強(qiáng)臺風(fēng)移動到漁船C后面200海里時所需時間為x小時，根據(jù)題意得（40﹣18）x=462﹣200，解得x=11，∵11＜11，∴漁船能順利躲避本次臺風(fēng)的影響．4．如圖為測量某建筑物BC上旗桿AB的高度，小明在距離建筑物BC底部11.4米的點F處，測得視線與水平線夾角∠AED=60°，∠BED=45°．小明的觀測點與地面的距離EF為1.6米．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗桿AB的高度（結(jié)果精確到0.1米）．參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73．【答案】見解析【解析】考點有解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．.（1）先過點E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角為45°得BD=ED=FC=11.4，DC=EF=1.6，從而求出BC；過點E作ED⊥BC于D，根據(jù)題意得：EF⊥FC，ED∥FC，∴四邊形CDEF是矩形，已知底部B的仰角為45°即∠BED=45°，∴∠EBD=45°，∴BD=ED=FC=11.4，∴BC=BD+DC=BD+EF=11.4+1.6=13，答：建筑物BC的高度為13m；（2）由已知由E點觀測到旗桿頂部A的仰角為60°可求出AD，則AB=AD﹣BD．已知由E點觀測到旗桿頂部A的仰角為60°，即∠AED=60°，∴AD=ED?tan60°≈11.4×1.73≈19.7，∴AB=AD﹣BD=19.7﹣11.4=8.3，答：旗桿AB的高度約為8.3m．5．如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為（）A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里【答案】D【解析】考點有勾股定理的應(yīng)用；方向角．根據(jù)題意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的長，求出答案．由題意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為：BP==30（海里）6．如圖，∠ACB=9O°，D為AB中點，連接DC并延長到點E，使CE=CD，過點B作BF∥DE交AE的延長線于點F．若BF=10，則AB的長為．【答案】8【解析】先根據(jù)點D是AB的中點，BF∥DE可知DE是△ABF的中位線，故可得出DE的長，根據(jù)CE=CD可得出CD的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．∵點D是AB的中點，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位線．∵BF=10，∴DE=BF=5．∵CE=CD，∴CD=5，解得CD=4．∵△ABC是直角三角形，∴AB=2CD=8．7．某區(qū)域平面示意圖如圖，點O在河的一側(cè)，AC和BC表示兩條互相垂直的公路．甲勘測員在A處測得點O位于北偏東45°，乙勘測員在B處測得點O位于南偏西73.7°，測得AC=840m，BC=500m．請求出點O到BC的距離．參考數(shù)據(jù)：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【答案】點O到BC的距離為480m．【解析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，設(shè)OM=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)用x表示出OM、MC，根據(jù)正切的定義用x表示出BM，根據(jù)題意列式計算即可．作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，則四邊形ONCM為矩形，∴ON=MC，OM=NC，設(shè)OM=x，則NC=x，AN=840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN=45°，∴ON=AN=840﹣x，則MC=ON=840﹣x，在Rt△BOM中，BM==x，由題意得，840﹣x+x=500，解得，x=480，答：點O到BC的距離為480m．8．一艘輪船在小島A的北偏東60°方向距小島80海里的B處，沿正西方向航行3小時后到達(dá)小島的北偏西45°的C處，則該船行駛的速度為海里/小時．【答案】【解析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問題、等腰直角三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；通過解直角三角形得出方程是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)該船行駛的速度為x海里/時，由已知可得BC=3