專題01二項分布(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍1、伯努利試驗與二項分布重伯努利試驗的定義①我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.②將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.2、二項分布一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為()，用表示事件發生的次數，則的分布列為（）如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布（binomialdistribution），記作。二、典型題型題型一：利用二項分布求分布列1．（2024·陜西榆林·統考一模）某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將個樣本數據按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)請通過頻率分布直方圖估計這份樣本數據的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.(2)以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于分，則被認定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取人，用表示成績合格的人數，求的分布列及數學期望.2．（2024·廣東中山·中山一中校考模擬預測）杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶”的三個吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊含獨特的城市元素．本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動的熱情．某體能訓練營為了激勵參訓隊員，在訓練之余組織了一個“玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一處訓練場地，恰有20步臺階，現有一枚質地均勻的骰子，游戲規則如下：擲一次骰子，出現3的倍數，則往上爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復以上步驟，當隊員到達第7或第8步臺階時，游戲結束．規定：到達第7步臺階，認定失敗；到達第8步臺階可贏得一組吉祥物．假設平地記為第0步臺階．記隊員到達第步臺階的概率為（），記．(1)投擲4次后，隊員站在的臺階數為第階，求的分布列；(2)①求證：數列（）是等比數列；②求隊員贏得吉祥物的概率．3．（2024·全國·模擬預測）網球運動是一項激烈且耗時的運動，對于力量的消耗是很大的，這就需要網球運動員提高自己的耐力．耐力訓練分為無氧和有氧兩種訓練方式．某網球俱樂部的運動員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓，在封閉集訓期間每名運動員每天選擇一種方式進行耐力訓練．由訓練計劃知，在封閉集訓期間，若運動員第天進行有氧訓練，則第天進行有氧訓練的概率為，第天進行無氧訓練的概率為；若運動員第天進行無氧訓練，則第天進行有氧訓練的概率為，第天進行無氧訓練的概率為．若運動員封閉集訓的第1天進行有氧訓練與無氧訓練的概率相等．(1)封閉集訓期間，記3名運動員中第2天進行有氧訓練的人數為，求的分布列與數學期望；(2)封閉集訓期間，記某運動員第天進行有氧訓練的概率為，求．4．（2024·四川綿陽·統考二模）綿陽市37家A級旅游景區，在2023年國慶中秋雙節期間，接待人數和門票收入大幅增長．綿陽某旅行社隨機調查了市區100位市民平時外出旅游情況，得到的數據如下表：喜歡旅游不喜歡旅游總計男性203050女性302050總計5050100(1)能否有的把握認為喜歡旅游與性別有關？(2)將頻率視為概率，從全市男性市民中隨機抽取2人進行訪談，記這2人中喜歡旅游的人數為，求的分布列與數學期望．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828題型二：服從二項分布的隨機變量概率最大問題1．（2024·云南昆明·統考一模）聊天機器人（chatterbot）是一個經由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%，若出現語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為10%.(1)求一個問題的應答被采納的概率；(2)在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數為，事件（）的概率為，求當最大時的值.2．（2024·江西·校聯考模擬預測）近年來，隨著智能手機的普及，網絡購物、直播帶貨、網上買菜等新業態迅速進入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現將一周網上買菜次數超過3次的市民認定為“喜歡網上買菜”，不超過3次甚至從不在網上買菜的市民認定為"不喜歡網上買菜".某市社區為了解該社區市民網上買菜情況，隨機抽取了該社區100名市民，得到的統計數據如下表所示：喜歡網上買菜不喜歡網上買菜合計年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計6040100(1)是否有99.9%的把握認為社區的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關?(2)社區的市民李華周一、周二均在網上買菜，且周一從，兩個買菜平臺隨機選擇其中一個下單買菜.如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為；如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，求李華周二選擇平臺買菜的概率；(3)用頻率估計概率，現從社區市民中隨機抽取20名市民，記其中喜歡網上買菜的市民人數為，事件“”的概率為，求使取得最大值時的的值.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8283．（2023·貴州貴陽·校聯考三模）為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學習活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據得分情況獲得相應名次，從而得到相應的學習積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學習積分.經統計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數學期望；(2)若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？4．（2023·廣東廣州·統考模擬預測）某款自營生活平臺以及提供配送服務的生活類軟件主要提供的產品有水產海鮮，水果，蔬菜，食品，日常用品等．某機構為調查顧客對該軟件的使用情況，在某地區隨機訪問了100人，訪問結果如下表所示．使用人數未使用人數女性顧客4020男性顧客2020(1)從被訪問的100人中隨機抽取2名，求所抽取的都是女性顧客且使用該軟件的概率；(2)用隨機抽樣的方法從該地區抽取10名市民，這10名市民中使用該軟件的人數記為，問為何值時，的值最大？題型三：建立二項分布模型解決實際問題1．（2023·全國·模擬預測）5G技術是未來信息技術的核心，而芯片是5G通信技術的關鍵之一.我國某科創企業要用新技術對一種芯片進行試生產.現對這種芯片進行自動智能檢測，已知自動智能檢測顯示該種芯片的次品率為1.5%，且每個芯片是否為次品相互獨立.該企業現有試生產的芯片10000個，給出下面兩種檢測方法：方法1：對10000個芯片逐一進行檢測.方法2：將10000個芯片分為1000組，每組10個，把每組10個芯片串聯起來組成一個芯片組，對該芯片組進行一次檢測，如果檢測通過，那么可斷定該組10個芯片均為正品，如果不通過，那么再逐一進行檢測.(1)按方法2，求一組芯片中恰有1個次品的概率（結果保留四位有效數字）；(2)從平均檢測次數的角度分析，哪種方法較好？請說明理由.參考數據：，，.2．（2023·山東煙臺·統考二模）某企業擁有甲、乙兩條零件生產線，為了解零件質量情況，采用隨機抽樣方法從兩條生產線共抽取180個零件，測量其尺寸（單位：）得到如下統計表，其中尺寸位于的零件為一等品，位于和的零件為二等品，否則零件為三等品．生產線甲49232824102乙214151716151(1)完成列聯表，依據的獨立性檢驗能否認為零件為一等品與生產線有關聯？一等品非一等品甲乙(2)將樣本頻率視為概率，從甲、乙兩條生產線中分別隨機抽取2個零件，每次抽取零件互不影響，以表示這4個零件中一等品的數量，求的分布列和數學期望；(3)已知該企業生產的零件隨機裝箱出售，每箱60個．產品出廠前，該企業可自愿選擇是否對每箱零件進行檢驗．若執行檢驗，則每個零件的檢驗費用為5元，并將檢驗出的三等品更換為一等品或二等品；若不執行檢驗，則對賣出的每個三等品零件支付120元賠償費用．現對一箱零件隨機檢驗了10個，檢出了1個三等品．將從兩條生產線抽取的所有樣本數據的頻率視為概率，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望作為決策依據，是否需要對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由．附，其中；．3．（2023·河北張家口·統考一模）某醫療用品生產商用新舊兩臺設備生產防護口罩，產品成箱包裝，每箱500個．(1)若從新舊兩臺設備生產的產品中分別隨機抽取100箱作為樣本，其中新設備生產的100箱樣本中有10箱存在不合格品，舊設備生產的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數據，填寫完成列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“有不合格品”與“設備"有關聯？單位：箱是否有不合格品設備無不合格品有不合格品合計新舊合計(2)若每箱口罩在出廠前都要做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱口罩中任取20個做檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有口罩做檢驗．設每個口罩為不合格品的概率都為，且各口罩是否為不合格品相互獨立．記20個口罩中恰有3件不合格品的概率為，求最大時的值．(3)現對一箱產品檢驗了20個，結果恰有3個不合格品，以（2）中確定的作為的值．已知每個口罩的檢驗費用為0.2元，若有不合格品進入用戶手中，則生產商要為每個不合格品支付5元的賠償費用．以檢驗費用與賠償費用之和的期望為決策依據，是否要對這箱產品余下的480個口罩做檢驗？附表：0.1000.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．4．（2023·全國·東北師大附中校聯考模擬預測）調查問卷中常常涉及到個人隱私或本人不愿正面回答的問題，被訪人可能拒絕回答，即使回答，也不能期望答案是真實的.某小區要調查業主對物業工作是否滿意的真實情況，現利用“隨機化選答抽樣”方法制作了具體調查方案，其操作流程如下：在一個箱子里放3個紅球和2個白球，被調查者在摸到球后記住顏色并立即將球放回，如果抽到的是紅球，則回答“你的性別是否為男性？”如果抽到的是白球，則回答“你對物業工作現狀是否滿意？”兩個問題均用“是”或“否”回答.(1)共收取調查問卷100份，其中答案為“是”的問卷為60份，求一個業主對物業工作表示滿意的概率，已知該小區共有業主500人，估計該小區業主對物業工作滿意的人數；(2)現為了提高對物業工作滿意的業主比例，對小區業主進行隨機訪談，請表示不滿意的業主在訪談中提出兩個有待改進的問題.（i）若物業對每一個待改進的問題均提出一個相應的解決方案，該方案需要由5名業主委員會代表投票決定是否可行.每位代表投贊同票的概率均為，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，并最終解決該問題，求某個問題能夠被解決的概率；（ii）假設業主所提問題各不相同，每一個問題能夠被解決的概率都為，并且都相互獨立.物業每解決一個問題，業主滿意的比例將提高一個百分點.為了讓業主滿意的比例提高到80%，試估計至少要訪談多少位業主？三、專項訓練1．（2023·湖南永州·統考二模）在某網絡平臺組織的禁毒知識挑戰賽中，挑戰賽規則如下：每局回答3道題，若回答正確的次數不低于2次，該局得3分，否則得1分，每次回答的結果相互獨立．已知甲、乙兩人參加挑戰賽，兩人答對每道題的概率均為．(1)若甲參加了3局禁毒知識挑戰賽，設甲得分為隨機變量，求的分布列與期望；(2)若甲參加了局禁毒知識挑戰賽，乙參加了局禁毒知識挑戰賽，記甲在禁毒知識挑戰賽中獲得的總分大于的概率為，乙在禁毒知識挑戰賽中獲得的總分大于的概率為，證明：．2．（2024·廣東廣州·廣州市培正中學校考二模）某校高二（1）班的元旦聯歡會設計了一項抽獎游戲：準備了張相同的卡片，其中只在張卡片上印有“獎”字.(1)采取放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求抽到印有“獎”字卡片張數的分布列、數學期望及方差；(2)采取不放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求第一次抽到印有“獎”字卡片的條件下，第三次抽到未印有“獎”字卡片的概率.3．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的比例正在以驚人的速度增長.在工業社會以前，鳥類平均每年滅絕一種，獸類平均每年滅絕一種，但是自工業社會以來，地球物種滅絕的速度已經超出自然滅絕率的倍.所以保護動物刻不容緩，全世界都在號召保護動物，動物保護的核心內容是禁止虐待、殘害任何動物，禁止獵殺和捕食野生動物，某動物保護機構為了調查研究人們“保護動物意識的強弱與性別是否有關聯”，從某市市民中隨機抽取名進行調查，得到統計數據如下表：保護動物意識強保護動物意識弱合計男性女性合計(1)根據以上數據，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為人們保護動物意識的強弱與性別有關聯？(2)將頻率視為概率，現從該市女性的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取人，共抽取次.記被抽取的人中“保護動物意識強”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列和數學期望.參考公式：，其中.附：4．（2024·全國·模擬預測）某地文旅部門為了增強游客對本地旅游景區的了解，提高旅游景區的知名度和吸引力，促進旅游業的發展，在2023年中秋國慶雙節之際舉辦“十佳旅游景區”評選活動，在堅持“公平、公正公開”的前提下，經過景區介紹、景區參觀、評選投票、結果發布、頒發獎牌等環節，當地的6個“自然景觀類景區”和4個“人文景觀類景區”榮獲“十佳旅游景區”的稱號．評選活動結束后，文旅部門為了進一步提升“十佳旅游景區”的影響力和美譽度，擬從這10個景區中選取部分景區進行重點推介.(1)若文旅部門從這10個景區中先隨機選取1個景區面向本地的大學生群體進行重點推介、再選取另一個景區面向本地的中學生群體進行重點推介，記面向大學生群體重點推介的景區是“自然景觀類景區”為事件A，面向中學生群體重點推介的景區是“人文景觀類景區”為事件B，求，；(2)現需要從“十佳旅游景區”中選4個景區，且每次選1個景區（可以重復），分別向北京、上海、廣州、深圳這四個一線城市進行重點推介，記選取的景區中“人文景觀類景區”的個數為X，求X的分布列和數學期望．5．（2023·全國·模擬預測）為慶祝中國共產黨成立周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學生中隨機抽取了名學生的競賽成績作為樣本，數據整理后，統計結果如表所示．成績區間頻數假設用樣本頻率估計總體概率，且每個學生的競賽成績相互獨立．(1)為了激勵學生學習黨史的熱情，決定對競賽成績優異的學生進行表彰，如果獲得表彰的學生占樣本總人數的，試估計獲獎分數線；(2)該市決定從全市成績不低于分的學生中隨機抽取人參加省級黨史知識競賽，成績在的人數為，求的分布列和數學期望．6．（2023·全國·模擬預測）某國衛生與公共服務部門數據顯示，在近兩周里，該國某州新冠肺炎確診病例數新增．在對確診病例的密切接觸者進行醫學觀察后發現，其中未接種過新冠疫苗者感染病毒的比例較大．對該州120個密切接觸者樣本的醫學觀察結束后，統計了其疫苗接種與感染病毒情況，得到下面的列聯表（單位：人）．接種疫苗情況感染病毒情況感染未感染未接種2030已接種1060(1)是否有的把握認為密切接觸者感染病毒與未接種新冠疫苗有關？(2)以樣本中結束醫學觀察的密切接觸者感染病毒的頻率估計概率，現從該地區結束醫學觀察的密切接觸者中隨機抽取4人統計感染病毒的人數，求其中至少有2人感染病毒的概率．(3)該國現有一個中風險村莊，當地政府決定對村莊內所有住戶進行排查．在排查期間，發現一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫護人員要對其家庭成員逐一進行病毒檢測，每名成員進行檢測后即告知結果，若檢測結果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p（）且相互獨立，記該家庭至少檢測了2名成員才被確定為“感染高危家庭”的概率為，求當p為何值時，最大．附：，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8287．（2023·貴州·清華中學校聯考模擬預測）某工廠的質檢部門對擬購買的一批原料進行抽樣檢驗，以判定是接收還是拒收這批原料.現有如下兩種抽樣檢驗方案：方案一：隨機抽取一個容量為10的樣本，并全部檢驗，若樣本中不合格數不超過1個，則認為這批原料合格，予以接收；方案二：先隨機抽取一個容量為5的樣本，全部檢驗，若都合格，則予以接收；若樣本中不合格數超過1個，則拒收；若樣本中不合格數為1個，則再抽取一個容量為5的樣本，并全部檢驗，且只有第二批樣本全部合格才予以接收.假設擬購進的這批原料的合格率為，并用作為原料中每件產品是合格品的概率.若每件產品所需的檢驗費用為3元，且費用由工廠承擔.(1)若，即方案二中所需的檢驗費用為隨機變量，求的分布列與期望；(2)分別計算兩種方案中這批原料通過檢驗的概率，若你是原料供應商，你希望質檢部門采取哪種檢驗方案?說明理由.8．（2023·廣東汕頭·校考一模）西梅以“梅”為名