課題：12.1全等三角形

教學目標:1了解全等形及全等三角形的的概念；

2理解全等三角形的性質

3在圖形變換以及實際操作的過程中發(fā)展學生的空間觀念，培

養(yǎng)學生的幾何直覺，

4學生通過觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形與實際操作中獲得全等三角形的體

驗在探索與運用全等三角形性質的過程中感受到數(shù)學的樂趣

重點:探究全等三角形的性質

難點:掌握兩個全等三角形的對應邊,對應角

教學方法:采用啟發(fā)誘導,實例探究,講練結合，小組合作等方法。

學情分析:這節(jié)課就是學了三角形的基本知識后的一節(jié)課、只要實際操作不

出錯、學生一定能學好。

課前準備：全等三角形紙片

【教學教程】

一、創(chuàng)設情境，引入新課

1、問題:各組圖形的形狀與大小有什么特點？

一般學生都能發(fā)現(xiàn)這兩個圖形就是完全重合的。

歸納:能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

2.學生動手操作

3.⑴在紙板上任意畫一個三角形ABC,并剪下,然后說出三角形的三個角、

三條邊與每個角的對邊、每個邊的對角。

⑵問題:如何在另一張紙板再剪一個三角形DEF,使它與4ABC全等？

3、板書課題:全等三角形

定義:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形

“全等,，用“名”表示，讀著“全等于”

如圖中的兩個三角形全等,記作:△ABCgZXDEF

二、探究

全等三角形中的對應元素

1、問題:您手中的兩個三角形就是全等的，但就是如果任意擺放能重合不？

該怎樣做它們才能重合呢？

2.學生討論、交流、歸納得出:

⑴、兩個全等三角形任意擺放時,并不一定能完全重合,只有當把相同的角重

合到一起（或相同的邊重合到一起）時它們才能完全重合。這時我們把重合在一起

的頂點、角、邊分別稱為對應頂點、對應角、對應邊。

⑵、表示兩個全等三角形時,通常把表示對應頂點字母寫在對應的位置上,

這樣便于確定兩個三角形的對應關系。

全等三角形的性質

I)

1、觀察與思考:A

尋找甲圖中兩三角形的對應元素,它們的對應邊

EF

有什么關系？對應角呢？

全等三角形的性質:

全等三角形的對應邊相等.

全等三角形的對應角相等.

2、用幾何語言表示全等三角形的性質

如圖：?.?AAB3ADEF

.,.AB=DE,AC=DF,BC=EF（全等三角形對應邊相等）

ZA=ZD,ZB=ZE,NC=NF（全等三角形對應角相等）

探求全等三角形對應元素的找法

1、動畫（幾何畫板）演示

⑴圖中的各對三角形就是全等三角形,怎樣改變其中一個三角形的位置,

使它能與另一個三角形完全重合?

歸納:兩個全等的三角形經(jīng)過一定的轉換可以重合.一般就是平移、翻折、旋

轉的方法.

⑵說出每個圖中各對全等三角形的對應邊、對應角

歸納:從運動角度可以很輕松解決找對應元素的問題.可見圖形轉換的奇妙.

2、動畫（幾何畫板）演示

圖中的兩個三角形通過怎樣的變換才能重合？用式子表示全等關系、并說出

其中的對應關系、

BC

C

A

//、、⑵⑶

3、歸筑城做吃素的常用方法有兩種：

(1)從運動角度瞧

a.翻折法:一個三角形沿某條直線翻折與另一個三角形重合,從而發(fā)現(xiàn)

對應元素.

b.旋轉法:三角形繞某一點旋轉一定角度能與另一三角形重合,從而發(fā)

現(xiàn)對應元素.

c.平移法:沿某一方向推移使兩三角形重合來找對應元素.

(2)根據(jù)位置元素來推理

a、有公共邊的,公共邊就是對應邊；

b、有公共角的,公共角就是對應角；

c、有對頂角的,對頂角就是對應角；

d、兩個全等三角形最大的邊就是對應邊,最小的邊也就是對應人

邊；-

e^兩個全等三角形最大的角就是對應角，最小的角也就是對應O

角；BC

三、課堂練習

練習1、△ABD^^ACE,若NB=25°,BD=6cm,AD=4cm,

您能得出AACE中哪些角的大小，哪些邊的長度不？為什么？

練習2、AABC^AFED

⑴寫出圖中相等的線段,相等的角；八、

n,B/

⑵圖中線段除相等外，還有什么關系不？請與同伴交

流并寫出來、F

四、課堂小結

通過本節(jié)課學習，我們了解了全等的概念,發(fā)現(xiàn)了全等三角形的性質，探索了

找兩個全等三角形對應元素的方法,并且利用性質解決簡單的問題。

找對應元素的常用方法有三種：

(一)從運動角度瞧

1.平移法:沿某一方向推移使兩三角形重合來找對應元素.

2.翻轉法:找到中心線,沿中心線翻折后能相互重合,從而發(fā)現(xiàn)對應元素.

3.旋轉法:三角形繞某一點旋轉一定角度能與另一三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對

應元素.

（二）根據(jù)位置元素來推理

1.全等三角形對應角所對的邊就是對應邊；兩個對應角所夾的邊就是對應

邊.

2.全等三角形對應邊所對的角就是對應角；兩條對應邊所夾的角就是對應

角.

（三）根據(jù)經(jīng)驗來判斷

1、大邊對應大邊，大角對應大角

2、公共邊就是對應邊，公共角就是對應角

五、課堂作業(yè)

必做題:課本第38頁1、2、選做題:第3題

六、板書設計12.1全等三角形

一、概念二、全等三角形的性質三、性質應用例題

四、小結:找對應元素的方法

運動法:翻折、旋轉、平移.

位置法切?應角一對應邊,對應邊對應角.

經(jīng)驗:大邊一大邊,大角一大角.公共邊就是對應邊,公共角就是對應角。

【教學反思】

教學目標:1了解全等形及全等三角形的的概念；

2理解全等三角形的性質

3在圖形變換以及實際操作的過程中發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生

的幾何直覺，

4學生通過觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形與實際操作中獲得全等三角形

的體驗在探索與運用全等三角形性質的過程中感受到數(shù)學的樂趣

重點:探究全等三角形的性質

難點:掌握兩個全等三角形的對應邊,對應角

教學過程：

觀察下列圖案，指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形

問題:您還能舉出生活中一些實際例子不？

這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個圖形叫

做全等形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形

一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即

平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。

“全等”用三表示，讀作“全等于”

兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如

AABCf口全等時，點A與點D,點B與點E,點C與點F就是對應頂點，記作

\ABC=\DEF

把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊,

重合

的角叫做對應角

思考:如上圖,13。1-1A4BC豈ADEF,對應邊有什么關系？對應角呢？

全等三角形性質：

全等三角形的對應邊相等；

全等三角形的對應角相等。

思考：

⑴下面就是兩個全等的三角形，按下列圖形的位置擺放，指出它們的對應頂點、對

應邊、對應角

⑵將AA5C沿直線BC平移，得到ADE凡說出您得到的結論，說明理由？

(3)如圖,AABEMAACZ),AB與AC,AD與AE就是對應邊，已知:44=43°,=30°,

求NAOC的大小。

小結:通過本節(jié)課學習，我們了解了全等的概念,發(fā)現(xiàn)了全等三角形的性質，

并且利用性質可以找到兩個全等三角形的對應元素.這也就是這節(jié)課大家要重點

掌握的.

作業(yè):P4—1,2,3

11.2三角形全等的判定(1)

教學目標

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程,體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結論的過程.

②掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，了解三角形的穩(wěn)定性.

③通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學生的協(xié)作精神.

教學難點

三角形全等條件的探索過程.

一、復習過程，引入新知

多媒體顯示,帶領學生復習全等三角形的定義及其性質，從而得出結論:全等

三角形三條邊對應相等，三個角分別對應相等.反之,這六個元素分別相等,這樣

的兩個三角形一定全等.

二、創(chuàng)設情境，提出問題

根據(jù)上面的結論,提出問題：兩個三角形全等,就是否一定需要六個條件呢？

如果只滿足上述六個條件中的一部分，就是否也能保證兩個三角形全等呢？

組織學生進行討論交流,經(jīng)過學生逐步分析，各種情況逐漸明朗，進行交流予

以匯總歸納.

三、建立模型，探索發(fā)現(xiàn)

出示探究1,先任意畫一個△ABC,再畫一個△A'B'C',使4ABC與△A'B'C',滿足

上述條件中的一個或兩個.您畫出的AA'B'C'與4ABC一定全等不？

讓學生按照下面給出的條件作出三角形.

(1)三角形的兩個角分別就是30°、50°.

(2)三角形的兩條邊分別就是4cm,6cm.

(3)三角形的一個角為30°，—條邊為3cm.

再通過畫一畫,剪一剪，比一比的方式,得出結論:只給出一個或兩個條件時,

都不能保證所畫出的三角形一定全等.

出示探究2,先任意畫出一個AA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把

畫好的4A'B'C'剪下,放到AABC上,它們?nèi)炔唬?/p>

讓學生充分交流后,在教師的引導下作出4A'B'C',并通過比較得出結論:三

邊對應相等的兩個三角形全等.

四、應用新知，體驗成功

實物演示：由三根木條釘成的一個三角形的框架,它的大小與形狀就是固定

不變的.

鼓勵學生舉出生活中的實例.

給出例1,如下圖AABC就是一個鋼架,AB=AC,AD就是連接點A與BC中點D

的支架，求證4ABD之4ACD.

BDC

讓學生獨立思考后口頭表達理由，由教師板演推理過程.

例2如圖就是用圓規(guī)與直尺畫已知角的平分線的示意圖，作法如下:

A

①以A為圓心畫弧,分別交角的兩邊于點B與點C;

②分別以點B、C為圓心,相同長度為半徑畫兩條弧,兩弧交于點D;

③畫射線AD.

AD就就是NBAC的平分線.您能說明該畫法正確的理由不？

例3如圖四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,您能把四邊形ABCD分成兩個相互全

等的三角形不?您有幾種方法?您能證明您的方法不?試一試.

:口:

五、鞏固練習

教科書第8頁的練習.

六、反思小結

回顧反思本節(jié)課對知識的研究探索過程、小結方法及結論,提煉數(shù)學思想,

掌握數(shù)學規(guī)律.

七、布置作業(yè)

1.必做題:教科書第15頁習題11.2中的第1、2題.

2.選做題:教科書第16頁第9題.

11、2三角形全等的判定（2）

教學目標

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，培養(yǎng)學生觀察分析圖形能力、動手能力.

②在探索三角形全等條件及其運用的過程中，能夠進行有條理的思考并進行簡單

的推理.

③通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學生的協(xié)作精神.

教學難點

指導學后分析問題,尋找判定三角形全等的條件.

知識重點

應用“邊角邊”證明兩個三角形全等，進而得出線段或角相等.

教學過程（師生活動）

一、創(chuàng)設情境，引入課題

多媒體出示探究3:已知任意AABC,畫B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,Z

A'=NA.

教帥點撥，學生邊學邊畫圖，再讓學生把畫好的△ABC,剪下放在AABC上，觀

察這兩個三角形就是否全等.

二、交流對話，探求新知

根據(jù)前面的操作,鼓勵學生用自己的語言來總結規(guī)律：

兩邊與它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.（SAS）

補充強調：角必須就是兩條相等的對應邊的夾角，邊必須就是夾相等角的兩

對邊.

三、應用新知，體驗成功

出示例2,如圖,有一池塘,要測池塘兩端A、B的距離,可先在平地上取一個可以

直接到達A與B的點C,連接AC并延長到D,使CD=CA,連接BC并延長到E,使CE

=CB.連接DE,那么量出DE的長就就是A、B的距離,為什么？

讓學生充分思考后，書寫推理過程,并說明每一步的依據(jù).

（若學生不能順利得到證明思路，教師也可作如下分析：

要想證AB=DE,

只需證△ABCg/XDEC

△ABC與4DEC全等的條件現(xiàn)有……還需要……）

明確證明分別屬于兩個三角形的線段相等或者角相等的問題,常常通過證明

這兩個三角形全等來解決.

補充例題：

1、已知：如圖AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE

求證：△ABDgAACE

證明：???NBAC=NDAE（已知）

ZBAC+ZCAD=ZDAE+Z

.*.ZBAD=ZCAE

在AABD與AACE

AB=AC（已知）

ZBAD=ZCAE（已證）

AD=AE（已知）

/.△ABD^AACE（SAS）

思考：

求證：1、BD=CE

2、ZB=ZC

3、ZADB=ZAEC

變式1:已知：如圖,ABJ_AC,ADJ_AE,AB=AC,AD=AE、

求證:⑴ADAC^^EAB

1.BE=DC

2.ZB=ZC

3.ZD=ZE

4.BE±CD

四、再次探究，釋解疑惑

E

出示探究4,我們知道,兩邊與它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.由“兩邊

及其中一邊的對角對應相等”的條件能判定兩個三角形全等不?為什么？

讓學生模仿前面的探究方法，得出結論:兩邊及其中一邊的對角對應相等的

兩個三角形不一定全等.

教師演示:方法（一）教科書98頁圖13、2-7.

方法（二）通過畫圖,讓學生更直觀地獲得結論.

五、鞏固練習

教科書第99頁,練習⑴(2).

六、小結提高

1.判定三角形全等的方法；

2.證明線段、角相等常見的方法有哪些?讓學生自由表述,其她學生補充,讓

學生自己將知識系統(tǒng)化，以自己的方式進行建構.

七、布置作業(yè)

1.必做題:教科書第15頁，習題11.2第3、4題.

2.選做題:教科書第16頁第10題.

3.備選題：

⑴小明做了一個如圖所示的風箏,測得DE=DF,EH=FH,您能發(fā)現(xiàn)哪些結淪?并說

明理由.

⑵如圖,Z1=Z2,AB=AD,AE=AC,求證BC=DE.

11、2三角形全等的判定(3)

教學目標

①探索并掌握兩個三角形全等的條件：“ASA”“AAS”，并能應用它們判別兩個三

角形就是否全等.

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理

等能力;并通過對知識方法的總結，培養(yǎng)反思的習慣，培養(yǎng)理性思維.

③敢于面對教學活動中的困難,能通過合作交流解決遇到的困難.

教學重點

理解,掌握三角形全等的條件：“ASA”“AAS”.

教學難點

探究出“ASA”“AAS”以及它們的應用.

教學過程(師生活動)

創(chuàng)設情境

復習：

師:我們已經(jīng)知道,三角形全等的判定條件有哪些？

生：“SSS”“SAS”

師:那除了這兩個條件，滿足另一些條件的兩個三角形就是否

也可能全等呢?今天我們就來探究三角形全等的另一些條件。

探究新知：

一張教學用的三角形硬紙板不小心

被撕壞了，如圖,您能制作一張與原來

同樣大小的新教具？能恢復原來三角形

的原貌不？

1.師:我們先來探究第一種情況.（課件出示“探究5……”）

⑴探究5

先任意畫出一個aABC,再畫一個△A'B'C',使A'B'=AB,NA'=ZA,ZB'=

NB（即使兩角與它們的夾邊對應相等）.把畫好的AA'B'C'剪下,放到AABC上,它

們?nèi)炔唬?/p>

師:怎樣畫出AA'B'C'?先自己獨立思考,動手畫一畫。

在畫的過程中若遇到不能解決的問題.可小組合作交流解決.

生:獨立探究，試著畫AA'B'C',（有問題的,可以小組內(nèi)交流解決……）……

（2）全班討論交流

師:畫好之后,我們瞧這兒有一種畫法：（課件出示畫法，出現(xiàn)一步，畫一步）

您就是這樣畫的不？

師:把畫好的AA'B'C'剪下,放到AABC上,瞧瞧它們就是否全等.

生：（剪^A'B'C',與aABC作比較...）

師:全等不？

生:全等.

師:這個探究結果反映了什么規(guī)律?試著說說您的發(fā)現(xiàn).

生1:我發(fā)現(xiàn)……

生2:...

生3：兩角與它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.AA'

師:這條件可以簡寫成“角邊角”或“ASA”.至此，/\1\

我們又增加了一種判別三角形全等的方法.特別應/\/\

注意，“邊”必須就是“兩角的夾邊”./\/\

練習：已知：如圖,AB=A'C,NA=NA',NB=NC/\

求證：Z^ABE絲AA;CDc

例L已知：點D在AB上，點E在AC上,BE與CD%

相交于點O,AB=AC,NB=NC。求證:BD=CE

2探究6D、上

師:我們再瞧瞧下面的條件：

在AABC與ADEF中，NA=ND,NB=NE,BC=EF,

△ABC與4DEF全等不?能利用角邊角條件證明您的結嗡c

論不？

師:瞧已知條什,能否用“角邊角”條件證明.

生獨立思考,探究……再小組合作完成.

師:您就是怎么證明的？（讓小組派代表上臺匯報）

小組1:….

小組2:……投影儀展示學生證明過程

（根據(jù)學生的不同探究結果，進行不同的引導）

師:從這可以瞧此從這些已知條件中能得出兩個三角形全等.這又反映了一個什

么規(guī)律？

生1:兩個角與其中一條邊對應相等的兩個三角形全等.

生2:在“ASA”中，“邊”必須就是“兩角的夾邊”，而這里，“邊”可以就是

“其中一個角的對邊”.

師:非常好,這里的“邊”就是“其中一個角的對邊”.那怎樣更完整的表述

這一規(guī)律？

生1：兩個角與其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.

師:生1很好,這條件我們可以簡寫成“角角邊”或“AAS”，又增加了判定兩

個三角形全等的一個條件.

強調“AAS”中的邊就是“其中一個角的對邊”.

多讓幾個學生描述，進一步培養(yǎng)歸納、表達的能力.

例2.教材101頁1題。

師:從這道例題中，我們又得出了證明線段相等的又一方法,先證兩線段所在

的三角形全等,這樣,對應邊也就相等了.

探究7:

(1)三角對應相等的兩個三角形全等不？(課件出示題目)

師:想想,怎樣來探究這個問題？

生1:...

生2:….

引導學生通過“畫兩個三角對應相等的三角形”，瞧就是否一定全等,或“用兩個

同一形狀但大小不同的三角板”等等方法來探究說明.

師:這一規(guī)律我們可以怎樣表達？

生1:….

生2:三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

(2)師：說得非常好.現(xiàn)在我們來小結一下；判定兩個三角形全等我們已有了

哪些方法？

生:SSSSASASAAAS

師:這節(jié)課通過對兩個三角形全等條件的進一步探究，您有什么收獲？

鞏固練習

教科書第13頁，練習2.

布置作業(yè)

1?必做題:教科書第15頁習題11、2第6、11題

2.如圖，小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊,她就是否可以只帶其中的一塊

碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具呢?如果可以,帶哪塊去合適?

為什么？

11、2三角形全等的判定(4)

教學目標

①探索并掌握兩個直角三角形全等的條件:HL,并能應用它判別兩個直角三角形

就是否全等.

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理

等能力;并通過對知識方法的總結，培養(yǎng)反思的習慣,培養(yǎng)理性思維.

③提高應用數(shù)學的意識.

教學重點

理解,掌握三角形全等的條件:HL.

教學過程：

提問：

1、判定兩個三角形全等方法有:,,,。

創(chuàng)設情境：

(顯示圖片)，舞臺背景的形狀就是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角

三角形就是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量、

(1)您能幫她想個辦法不？

方法一:測量斜邊與一個對應的銳角、(AAS)

方法二:測量沒遮住的一條直角邊與一個對應的銳角、(ASA)或(AAS)

⑵如果她只帶了一個卷尺,能完成這個任務不？

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊與斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應相等,

于就是她就肯定“兩個直角三角形就是全等的“、您相信她的結論不？

下面讓我們一起來驗證這個結論。

新課：

已知線段a、c(a<c)與一個直角a,利用尺規(guī)作一個Rt^ABC,使/C=Z

a,CB=a,AB=c、

想一想，怎樣畫呢？

按照下面的步驟做一做：

(1)作NMCN=/a=90°;

⑵在射線CM上截取線段CB=a

⑶以B為圓心,C為半徑畫弧,交射線CN于點A;

(4)連接AB、

⑴AABC就就是所求作的三角形不？

⑵剪下這個三角形,與其她同學所作的三角形進行比較,它們能重合不？

直角三角形全等的條件

斜邊與一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等、

簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”、

想一想

您能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等？

直角三角形就是特殊的三角形,所以不僅有一般

三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS,

還

百例如圖，AC1BC,BD1AD,AC=BD

三求證：BC=AD,角形特殊的判定方法

——“HL"、

練一練：

1.如圖,兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上,

另一端分別固定在地面兩個木樁上,兩個木樁離旗

桿底部的距離相等不？請說明您的理由。

2、如圖，有兩個長度相同的滑梯,左邊滑梯的高度AC

與右邊滑梯水平方向的長度DF相等,兩個滑梯的傾

斜角NABC與NDFE的大小有什么關系？

解:NABC+NDFE=90°、理由如下：

在RtZ\ABC與RtZXDEF中，

則

BC=EF,

AC=DF、

RtAABC^RtADEF（HL）、

/.ZABC=ZDEF

（全等三角形對應角相等）、

又ZDEF+ZDFE=90°,

...NABC+NDFE=90°、

小結:這節(jié)課您有什么收獲呢？與您的同伴進行交流

作業(yè):教科書第16頁7、80

11.3角的平分線的性質

11.3.1角的平分線的性質（一）

教學目標

（一）教學知識點

角平分線的畫法.

（二）能力訓練要求

1.應用三角形全等的知識,解釋角平分線的原理.

2.會用尺規(guī)作一個已知角的平分線.

（三）情感與價值觀要求

在利用尺規(guī)作圖的過程中，培養(yǎng)學生動手操作能力與探索精神.

教學重點

利用尺規(guī)作已知角的平分線.

教學難點

角的平分線的作圖方法的提煉.

教學方法

講練結合法.

教具準備

多媒體課件（或投影）.

教學過程

I.提出問題，創(chuàng)設情境

問題1：三角形中有哪些重要線段.

問題2:您能作出這些線段不？

［生甲］三角形中有三條重要線段,它們分別就是:三角形的高，三角形的中線,

三角形的角的平分線.

過三角形的頂點作這個頂點的對邊的垂線，交對邊于一點，頂點與垂足的連

線就就是這個三角形的高.

取三角形一邊的中點，此中點與這個邊對應頂點的連線就就是這條邊的中

線.

用量角器量出三角形的角的大小,量角器零度線與這個角的一邊重合,這個

角一半所對應的線就就是這個角的角平分線.

［生乙］我不同意您對角平分線的描述，三角形的角平分線就是一條線段，而

一個已知角的平分線就是一條射線，這兩個概念就是有區(qū)別的.

［師］您補充得很好.數(shù)學就是一門嚴密性很強的學科,您的這種精神值得我

們學習.

如果老師手里只有直尺與圓規(guī)，您能幫我設計一個作角的平分線的操作方案

不？

II.導入新課

［生］我記得在學直角三角形全等的條件時做過這樣一夕

個題：

在NAOB的兩邊0A與0B上分別取OM=ON,MC10A,NC1\

OB.MC與NC交于C點.04-------\

求證：NMOC=NNOC.。

通過證明RtAMOC^RtANOC,即可證明ZMOC=ZNOC,所

以射線0C就就是NAOB的平分線.>

受這個題的啟示,我們能不能這樣做：

在已知NAOB的兩邊上分別截取OM=ON,再分別過M、N作MC±OA,NC1OB,MC

與NC交于C點,連接0C,那么0C就就是NAOB的平分線了.

［師］她這個方案可行不？

(學生思考、討論后，統(tǒng)一思想，認為可行)

［師］這位同學不僅給了操作方法，而且還講明了操作原理.這種學以致用，

聯(lián)想遷移的學習方法值得大家借鑒.

議一議:下圖就是一個平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂

點,AB與AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就就是角平分線.您能說

明它的道理不？

教師活動：

播放多媒體課件,演示角平分儀器的操作過程，使學生出

直觀了解得到射線AC的方法.

學生活動：/、

觀瞧多媒體課件，討論操作原理.Jf\

［生1］要說明AC就是NDAC的平分線,其實就就是證和

明NCAD=NCAB./

［生2］NCAD與NCAB分別在ACAD與4CAB中，那么證、今

明這兩個三角形全等就可以了.伊

［生3］我們瞧瞧條件夠不夠.

AB=AD

<BC=DC

AC=AC

所以△ABC^^ADC(SSS).

所以/CAD=NCAB.

即射線AC就就是NDAB的平分線.

［生4］原來用三角形全等,就可以解決角相等.線段相等的一些問題.瞧來溫

故就是可以知新的.

老師再提出問題：

通過上述探究，能否總結出尺規(guī)作已知角的平分線的一般方法.自己動手做

做瞧.然后與同伴交流操作心得.

(分小組完成這項活動，教師可參與到學生活動中，及時發(fā)現(xiàn)問題，給予啟發(fā)

與指導，使講評更具有針對性)

討論結果展示：

作已知角的平分線的方法：

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分線.

作法：

(1)以0為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA、0B于M、N.

(2)分別以M、N為圓心,大于‘MN的長為半徑作弧.兩弧在NAOB內(nèi)部交于點

2

C.

(3)作射線0C,射線0C即為所求.

(教師根據(jù)學生的敘述，作多媒體課件演示，使學生能更直觀地理解畫法,提

高學習數(shù)學的興趣).

議一議：

1.在上面作法的第二步中，去掉“大于LMN的長”這個條件行不？

2

2.第二步中所作的兩弧交點一定在/AOB的內(nèi)部不？

(設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學嚴

密性的良好學習習慣)

學生討論結果總結：

1.去掉“大于LMN的長”這個條件，所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不

2

到角的平分線.

2.若分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫兩弧,兩弧的交點可能在N

2

AOB的內(nèi)部,也可能在NAOB的外部,而我們要找的就是NAOB內(nèi)部的交點，否則

兩弧交點與頂點連線得到的射線就不就是NAOB的平分線了.

3.角的平分線就是一條射線.它不就是線段,也不就是直線，所以第二步中

的兩個限制缺一不可.

4.這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明.

練一練：

任意畫一角NAOB,作它的平分線.

m.隨堂練習

課本練習.

練后總結：

平角NAOB的平分線0C與直線AB垂直.將0C反向延長得到直線CD,直線CD

與AB也垂直.

IV.課時小結

本節(jié)課中我們利用已學過的三角形全等的知識，探究得到了角平分線儀器

的操作原理，由此歸納出角的平分線的尺規(guī)畫法,進一步體會溫故而知新就是一

種很好的學習方法.

V.課后作業(yè)

課本P22習題11.3—1、2.

§13.3.2角的平分線的性質（二）

教學目標

（一）教學知識點

角的平分線的性質

（二）能力訓練要求

1.會敘述角向平分線的性質及“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”.

2.能應用這兩個性質解決一些簡單的實際問題.

（三）情感與價值觀要求

通過折紙、畫圖、文字一符號的翻譯活動，培養(yǎng)學生的聯(lián)想、探索、概括歸

納的能力,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

教學重點

角平分爰的性質及其應用.

教學難點

靈活應用兩個性質解決問題.

教學方法

探索、歸納的方法.

教具準備

剪刀、折紙、投影片.

教學過程

I.創(chuàng)設情境,引入新課

［師］請同學們拿出準備好的折紙與剪刀，自己動手,剪一個角，把剪好的角對

折，使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開，您瞧到了什么？把對折的紙片再任意

折一次,然后把紙片展開,又瞧到了什么？

［生］我發(fā)現(xiàn)第一次對折后的折痕就是這個角的平分線；再折一次，又會出現(xiàn)

兩條折痕,而且這兩條折痕就是等長的.這種方法可以做無數(shù)次,所以這種等長的

折痕可以折出無數(shù)對.

［師］您的敘述太精彩了.這說明角的平分線除了有平分角的性質，還有其她

性質,今天我們就來研究這個問題.

II.導入新課

角平分線的性質即已知角的平分線，能推出什么樣的結論.

操作：

1.折出如圖所示的折痕PD、PE.

A

2

C

0----------------BN,?！?-EB

名您三同伴用三角板檢測您們所折的折痕就是否符合圖示要求.

畫一■畫：

按照折紙的順序畫出一個角的三條折痕,并度量所畫PD、PE就是否等長？

拿出兩名同學的畫圖,放在投影下,請大家評一評，以達明確概念的目的.

［生］同學乙的畫法就是正確的.同學甲畫的就是過角平分線上一點畫角平分

線的垂線，而不就是過角平分線上一點畫兩邊的垂線段，所以同學甲的畫法不符

合要求.

［生甲］噢，對于，我知道了.

［師］同學甲，您再做一遍加深一下印象.

問題1：您能用文字語言敘述所畫圖形的性質不？

［生］角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

問題2:（出示投影片）

能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這句話.

請?zhí)钕卤恚?/p>

學生通過討論作出下列概括：

己知事項：0C平分NAOB,PD±OA,PE_LOB,D、E為垂足.

由己知事項推出的事項:PD=PE.

于就是我們得角的平分線的性質：

在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

［師］那么到角的兩邊距離相等的點就是否在角的平分線上呢？（出示投影）

問題3:根據(jù)下表中的圖形與已知事項,猜想由已知事項可推出的事項，并用

由已知事

圖形已知事項項推出的

事項

PDA_OB,

PE_LOA,

垂足為

D、E

PD=PE

符號語言填寫下表:

［生討論］已知事項符合直角三角形全等的條件,所以RtAPEO^APDO（HL）.

于就是可得NPDE=NPOD.

由已知推出的事項:點P在NA0B的平分線上.

［師］這樣的話，我們又可以得到一個性質：到角的兩邊距離相等的點在角的

平分線上.同學們思考一下,這兩個性質有什么聯(lián)系不？

［生］這兩個性質已知條件與所推出的結論可以互換.

［師］對，這就是自己的語言，這一點在數(shù)學上叫“互逆性”.

下面請同學們思考一個問題.

思考：

如圖所示,要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場,使它到公路、鐵路距離相等，離公路與

鐵路交叉處500m,這個集貿(mào)市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為

1:20000）?

1.集貿(mào)市場建于何處,與本節(jié)學的角平分線性質有關不？用哪一個性質可以

解決這個問題？

2.比例尺為1:20000就是什么意思?

（學生以小組為單位討論,教師可深入到學生中，及時引導）

討論結果展示：

1.應該就是用第二個性質.這個集貿(mào)市場應該建在公路與鐵路形成的角的

平分線上,并且要求離角的頂點500米處.

2.在紙上畫圖時，我們經(jīng)常在厘米為單位，而題中距離又就是以米為單位，

這就涉及一個單位換算問題了.lm=100cm,所以比例尺為1:20000,其實就就是圖

中1cm表示實際距離200m的意思.作圖如下：

0

B

第一步:尺規(guī)作圖法作出NAOB的平分線0P.

第二步:在射線0P上截取0C=2、5cm,確定C點,C點就就是集貿(mào)市場所建地

了.

總結:應用角平分線的性質，就可以省去證明三角形全等的步驟，使問題簡

單化.所以若遇到有關角平分線，又要證線段相等的問題，我們可以直接利用性

質解決問題.

［例］如圖，4ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

［師生共析］點P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就就是P點到三邊

的距離，也就就是說要證:PD=PE=PF.而BM、CN分別就是NB、NC的平分線，根

據(jù)角平分線性質與等式的傳遞性可以解決這個問題.

證明：過點P作PD，AB,PE_LBC,PFLAC,垂足為D、E、F.

因為BM就是4ABC的角平分線，點P在BM上.

所以PD=PE.

同理PE=PF.

所以PD=PE=PF.

即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

m.隨堂練習

課本P22練習.

在這里要提醒學生直接利用角平分線的性質，無須再證三角形全等.

IV.課時小結

今天,我們學習了關于角平分線的兩個性質：①角平分線上的點到角的兩邊

的距離相等;②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.它們具有互逆性,可以

瞧出，隨著研究的深入,解決問題越來越簡便了.像與角平分線有關的求證線段相

等、角相等問題,我們可以直接利用角平分線的性質，而不必再去證明三角形全等

而得出線段相等.

V.課后作業(yè)：課本習題11.3—3、4、5題.

小結與復習

教學設計思想

以小組討論的形式通過學生的合作交流總結出本章的知識結構，然后回答出

回顧與反思中的幾個問題。最后通過一些配套練習鞏固所學的知識點。

教學目標

知識與技能

總結出三角形全等的條件及性質；

能靈活地運用三角形全等的條件及性質，進行有條理的思考與簡單的推理，

并能利用三角形的全等解決實際問題；

會作已知角的平分線，總結出角平分線的性質及判定，能運用角平分線的性

質及判定證明兩個角相等或兩條線段相等。

過程與方法

以小組討論的形式對本章的知識進行系統(tǒng)梳理，總結出本章的知識點。

情感態(tài)度價值觀

體會數(shù)學與實際生活的聯(lián)系。

教學重點與難點

重點就是①三角形全等的條件、角的平分線的性質：②能利用①中的知識點

解題。

難點就是能靈活運用三角形全等的條件及角的平分線的性質解題。

教學方法

小組討論法

以小組為單位,在總結討論的基礎上，使學生掌握本章的內(nèi)容。

教學過程設計

一、知識結構

二、回顧與思考

1、舉一些全等形的實際例子。全等三角形的對應邊有什么關系？對應角呢？

2、一個三角形有三條邊，三個角。從中任選三個來判定兩個三角形全等，哪

些就是能夠判定的？哪些就是不能夠判定的？

3、學習本章內(nèi)容,可以解決一些實際問題，例如長度與角度的度量問題,就就

是從全等三角形對應邊相等,對應角相等出發(fā),設法形成滿足全等條件的兩個三

角形,從而得到結果。

4、學了本章，您對角的平分線有了哪些新的認識？您能用全等三角形證明角

的平分線的性質不？

5、您能結合本章的有關問題,說一說證明一個結論的過程不？

三、例題

1、如圖13—1,AF=CE,DF=BE,DF〃BE,E、F在AC上。

求證：NDCF=NBAE。

圖131

解析因為ZBAE與ZDCF分別在aBAE與4DCF中，所以只需證明aDCF會△

BAEo

答案因為DF〃BE,所以NDFA=NBEC。所以NDFC=NBEA（等角的補角相等）。

因為CE=AF,所以CE-FE=AF-FE,即CF=AE。

在ADCF與ABAE中，

DF=BE

<ZDFC=ZBEA

CF=AE

所以4DCF之△BAE（SAS）。

所以/DCF=NBAE（全等三角形的對應角相等）。

方法規(guī)律:全等三角形就是證明角相等的重要方法。

2、如圖13—3,RtABC中AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE±BD,且交BD的延

長線于E,則BD與2CE有何關系？說明理由。

B

：