天津北辰區天辰高級中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知x、y滿足約束條件，則z=2x+4y的最小值為(

) A．﹣6 B．5 C．10 D．﹣10參考答案：A考點：簡單線性規劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義，利用數形結合即可得到結論．解答： 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直線y=﹣x+，由圖象可知當直線y=﹣x+經過點A時，直線y=﹣x+的截距最小，此時z最小，由，解得，即A（3，﹣3），此時z=2×3+4×（﹣3）=﹣6，故選：A點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵．2.某地舉辦科技博覽會，有3個場館，現將24個志愿者名額分配給這3個場館，要求每個場館至少有一個名額且各場館名額互不相同的分配方法共有（

）種A．222

B．253

C．276

D．284參考答案：A3.已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數列，若a1=1，Sn是數列{an}前n項的和，則（n∈N+）的最小值為（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．參考答案：A【考點】等差數列的性質．【分析】由題意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到數列{an}的通項公式，前n項和，從而可得，換元，利用基本不等式，即可求出函數的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13成等比數列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴an=2n﹣1，∴Sn==n2，∴=．令t=n+1，則=t+﹣2≥6﹣2=4當且僅當t=3，即n=2時，∴的最小值為4．故選：A．4.設不等式組，表示平面區域為D，在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.函數f(x)的定義域為D，若對于任意，當時，都有，則稱函數在D上為非減函數.

設函數f(x)在0，1上為非減函數，且滿足以下三個條件：①；②；③，則等（）A．

B．

C．1

D．

參考答案：D6.若（為實常數）在區間上的最小值為-4，則a的值為（A）4

(B)-3

(C)-4

(D)-6

參考答案：答案：C7.若雙曲線的兩個焦點到一條準線的距離之比為3：2，則雙曲線的離心率是

（A）3

（B）5

（C）

（D）參考答案：【解析】D解析：本小題主要考查雙曲線的性質及離心率問題。依題不妨取雙曲線的右準線，則左焦點到右準線的距離為，左焦點到右準線的距離為，依題即，∴雙曲線的離心率8.已知球為棱長為1的正方體的內切球，則平面截球的截面面積為（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C9.函數是偶函數，且時，，若，則a的取值范圍是（

）A．(－∞,0)∪(2,+∞)

B．(－∞,0)∪(1,2)

C．(－∞,0)

D．(－∞,0)∪(3,+∞)參考答案：A10.如圖是函數f（x）=x2+ax+b的部分圖象，則函數g（x）=lnx+f′（x）的零點所在的區間是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）參考答案：考點： 函數零點的判定定理．分析： 由二次函數圖象的對稱軸確定a的范圍，據g（x）的表達式計算g（）和g（1）的值的符號，從而確定零點所在的區間．解答： 解：由函數f（x）=x2+ax+b的部分圖象得0＜b＜1，f（1）=0，從而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定義域內單調遞增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函數g（x）=lnx+f′（x）的零點所在的區間是（，1）；故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設,則二項式展開式中的第4項為_______.參考答案：-128012.已知點A（﹣2，3）在拋物線C：y2=2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則|BF|=．參考答案：10【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】由題意先求出準線方程x=﹣2，再求出p，從而得到拋物線方程，寫出第一象限的拋物線方程，設出切點，并求導，得到切線AB的斜率，再由兩點的斜率公式得到方程，解出方程求出切點，再由兩點的距離公式可求得．【解答】解：∵點A（﹣2，3）在拋物線C：y2=2px的準線上，即準線方程為：x=﹣2，∴p＞0，﹣=﹣2即p=4，∴拋物線C：y2=8x，在第一象限的方程為y=2，設切點B（m，n），則n=2，又導數y′=2，則在切點處的斜率為，∴=，即m+2=2﹣3，解得：=2或（舍去），∴切點B（8，8），又F（2，0），∴|BF|==10．故答案為：10．13.定義在R上的函數f（x），對任意x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四個式子：①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②；③n（n+1）；④n（n+1）f（1）．其中與f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）相等的是．參考答案：①②③【考點】抽象函數及其應用．【分析】由已知，定義在R上的函數f（x），對任意x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，依次對下面四個結論進行判斷，【解答】解：由定義知f（1）+f（2）+…+f（n）=f（1）+2f（1）+…+nf（1）==f（1）=n（n+1）；故①②③正確，④不正確；故應填①②③．14.設數列前項和，且，為常數列，則

.參考答案：考點：1.數列遞推式；2.裂項相消求和．【方法點睛】裂項相消在使用過程中有一個很重要得特征，就是能把一個數列的每一項裂為兩項的差，其本質就是兩大類型類型一:型，通過拼湊法裂解成；類型二：通過有理化、對數的運算法則、階乘和組合數公式直接裂項型；該類型的特點是需要熟悉無理型的特征，對數的運算法則和階乘和組合數公式。無理型的特征是，分母為等差數列的連續兩項的開方和，形如型，常見的有①；②對數運算本身可以裂解；③階乘和組合數公式型要重點掌握和.15.已知棱長為1的立方體ABCD﹣A1B1C1D1，則從頂點A經過立方體表面到達正方形CDD1C1中心M的最短路線有

條．參考答案：2【考點】多面體和旋轉體表面上的最短距離問題．【分析】由題意，經過邊DD1或DC時，路線最短，即可得出結論．【解答】解：由題意，經過邊DD1或DC時，路線最短，有2條．故答案為：2．16.如圖，四面體OABC的三條棱OA、OB、OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，D為四面體OABC外一點．給出下列命題． ①不存在點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形 ②不存在點D，使四面體ABCD是正三棱錐 ③存在點D，使CD與AB垂直并且相等 ④存在無數個點D，使點O在四面體ABCD的外接球面上 其中真命題的序號是． 參考答案：③④【考點】球內接多面體；棱錐的結構特征． 【分析】對于①可構造四棱錐CABD與四面體OABC一樣進行判定； 對于②，使AB=AD=BD，此時存在點D，使四面體ABCD是正三棱錐； 對于③取CD=AB，AD=BD，此時CD垂直面ABD，即存在點D，使CD與AB垂直并且相等； 對于④先找到四面體OABC的內接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r，可判定④的真假． 【解答】解：對于①，∵四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB= 當四棱錐CABD與四面體OABC一樣時，即取CD=3，AD=BD=2，四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直， 此時點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形，故①不正確； 對于②，由①知AC=BC=，AB=， 使AB=AD=BD，此時存在點D，CD=，使四面體C﹣ABD是正三棱錐，故②不正確； 對于③，取CD=AB，AD=BD，此時CD垂直面ABD，即存在點D，使CD與AB垂直并且相等，故③正確； 對于④，先找到四面體OABC的內接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可 ∴存在無數個點D，使點O在四面體ABCD的外接球面上，故④正確 故答案為：③④． 【點評】本題主要考查了棱錐的結構特征，同時考查了空間想象能力，轉化與劃歸的思想，以及構造法的運用，屬于中檔題． 17.函數的零點個數為

。參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

某工廠生產A，B兩種元件，已知生產A元件的正品率為75%，生產B元件的正品率為80%，生產1個元件A，若是正品則盈利50元，若是次品則虧損10元；生產1個元件B，若是正品則盈利40元，若是次品則虧損5元．

(I)求生產5個元件A所得利潤不少于140元的概率；

(Ⅱ)設X為生產1個元件A和1個元件B所得總利潤，求X的分布列和數學期望．

參考答案：略19.已知a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，且C=2A，cosA=．（1）求c：a的值；（2）求證：a，b，c成等差數列；（3）若△ABC周長為30，∠C的平分線交AB于D，求△CBD的面積．參考答案：考點：余弦定理；正弦定理．專題：解三角形．分析：（1）由C=2A，得到sinC=sin2A，求出sinC與sinA之比，利用正弦定理求出c與a之比即可；（2）由cosC=cos2A，把cosA的值代入求出cosC的值，進而求出sinC的值，由cosA的值求出sinA的值，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即為sinB的值，進而得到sinA+sinC=2sinB，利用正弦定理化簡即可得證；（3）由2b=a+c，且a+b+c=30，得到b=10，由c：a=3：2，得到a=8，c=12，過D作DE⊥AC，交AC于點E，由∠BCA=2∠A，且∠BCA的平分線交AB于點D，得到AD=CD，求出AE的長，在三角形ADE中求出AD的長，利用角平分線定理求出BD的長，利用三角形面積公式求出三角形BCD面積即可．解答：解：（1）∵C=2A，∴sinC=sin2A，∴==2cosA=，則由正弦定理得：c：a=sinC：sinA=3：2；（2）∵cosC=cos2A=2cos2A﹣1=2×﹣1=，∴sinC==，∵cosA=，∴sinA==，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，∴sinA+sinC==2sinB，利用正弦定理化簡得：2b=a+c，則a，b，c成等差數列；（3）由2b=a+c，且a+b+c=30，得到b=10，由c：a=3：2，得到a=8，c=12，過D作DE⊥AC，交AC于點E，∵∠BCA=2∠A，且∠BCA的平分線交AB于點D，∴∠A=∠ACD，即AD=CD，∴AE=b=5，∵cosA=，AD=，由角平分線定理得：===，∴BD=AD=，則S△CBD=××8×=．點評：此題考查了余弦定理，等差數列的性質，同角三角函數間的基本關系，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．20.(本小題滿分10分)選修:幾何證明選講如圖所示，是半圓的直徑，，垂足為，，與、分別交于點、．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)證明：．參考答案：21.（本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱中，底面的棱，且．點、在側棱上，且.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離．參考答案：22.在平面直角坐標系中xOy中，動點E到定點（1，0）的距離與它到直線x=﹣1的距離相等．（Ⅰ）求動點E的軌跡C的方程；（Ⅱ）設動直線l：y=kx+b與曲線C相切于點P，與直線x=﹣1相交于點Q．證明：以PQ為直徑的圓恒過x軸上某定點．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；與直線有關的動點軌跡方程．【分析】（Ⅰ）設出動點E的坐標為（x，y），然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；（Ⅱ）設出直線l的方程為：y=kx+b（k≠0），聯立直線方程和拋物線方程化為關于y的一元二次方程后由判別式等于0得到k與b的關系，求出Q的坐