§4

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃1/334.1

二元一次不等式(組)與平面區(qū)域2/333/331.二元一次不等式表示平面區(qū)域(1)直線與坐標(biāo)平面普通地,直線l:ax+by+c=0把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分:①直線l上點(diǎn)(x,y)坐標(biāo)滿足ax+by+c=0;②直線l一側(cè)平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)(x,y)坐標(biāo)滿足ax+by+c>0;③直線l另一側(cè)平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)(x,y)坐標(biāo)滿足ax+by+c<0.(2)二元一次不等式表示平面區(qū)域普通地,在平面直角坐標(biāo)系中,二元一次不等式ax+by+c>0表示直線ax+by+c=0某一側(cè)全部點(diǎn)組成平面區(qū)域,我們把直線畫成虛線,以表示區(qū)域不包含邊界.不等式ax+by+c≥0表示平面區(qū)域包含邊界,把邊界畫成實(shí)線.4/33【做一做1】已知點(diǎn)P(x0,y0)和點(diǎn)A(1,2)在直線l:3x+2y-8=0異側(cè),則(

)

A.3x0+2y0>0 B.3x0+2y0<0C.3x0+2y0<8 D.3x0+2y0>8解析:因?yàn)?×1+2×2-8=-1<0,點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線l異側(cè),所以3x0+2y0-8>0,即3x0+2y0>8.故選D.答案:D5/332.二元一次不等式組表示平面區(qū)域二元一次不等式組解集是各個(gè)不等式解集交集.我們知道每一個(gè)二元一次不等式都表示平面上一個(gè)區(qū)域,因而二元一次不等式組所表示平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域公共部分.6/33思索辨析判斷以下說(shuō)法是否正確,正確在后面括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤打“×”.(1)每個(gè)二元一次不等式組都能表示平面上一個(gè)區(qū)域.(

)(2)點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,2)分布在直線x+y+1=0兩側(cè).(

)(3)若A<0,則Ax+By+C<0表示平面區(qū)域恰好在直線Ax+By+C=0右方.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√7/33探究一探究二探究三探究四思維辨析【例1】

畫出以下二元一次不等式表示平面區(qū)域:(1)x-2y+4≥0;(2)3x+2y-6<0;(3)y>2x;(4)3x+2y<0.分析:按照畫二元一次不等式表示平面區(qū)域步驟進(jìn)行.8/33探究一探究二探究三探究四思維辨析解:(1)先畫出直線x-2y+4=0(畫成實(shí)線).取點(diǎn)(0,0),代入x-2y+4,得0-2×0+4=4>0,所以x-2y+4≥0表示平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分.(2)先畫出直線3x+2y-6=0(畫成虛線),取點(diǎn)(0,0),代入3x+2y-6,得0+0-6<0,所以3x+2y-6<0表示平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分.9/33探究一探究二探究三探究四思維辨析(4)先畫直線3x+2y=0(畫成虛線),取點(diǎn)(1,0),代入3x+2y,得3×1+2×0=3>0,所以不等式3x+2y<0表示平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分.(3)先畫出直線2x-y=0(畫成虛線),取點(diǎn)(1,0),代入2x-y,得2×1-0=2>0,所以y>2x表示平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分.10/33探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟畫二元一次不等式Ax+By+C>0(≥0,<0,≤0)表示平面區(qū)域步驟:(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線Ax+By+C=0,即邊界;(2)利用特殊點(diǎn)確定二元一次不等式Ax+By+C>0(≥0,<0,≤0)表示平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0哪一側(cè);(3)用陰影表示平面區(qū)域.注意:對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C≥0和Ax+By+C≤0,把邊界畫成實(shí)線;對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C>0和Ax+By+C<0,把邊界畫成虛線.11/33探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練1

不等式x-y+1≥0表示平面區(qū)域是

(

)

解析:先畫出直線x-y+1=0(畫成實(shí)線),即可排除A,C選項(xiàng),將點(diǎn)(0,0)代入不等式,得1≥0成立,排除D選項(xiàng).故選B.答案:B12/33探究一探究二探究三探究四思維辨析【例2】

畫出以下不等式組表示平面區(qū)域.分析:不等式組表示平面區(qū)域是每個(gè)不等式表示平面區(qū)域公共部分.13/33探究一探究二探究三探究四思維辨析將(1,0)分別代入①②③左邊,知不等式①表示平面區(qū)域在直線x-y=0右下方,不等式②表示平面區(qū)域在直線x+2y-4=0左下方,不等式③表示平面區(qū)域在直線y+2=0上方.故不等式組表示平面區(qū)域如圖甲中三角形陰影部分(不包含邊界).14/33探究一探究二探究三探究四思維辨析(2)不等式x-y+5≥0表示直線x-y+5=0上及右下方點(diǎn)集合;x+y+1≥0表示直線x+y+1=0上及右上方點(diǎn)集合;x≤3表示直線x=3上及左方點(diǎn)集合,所以不等式組表示平面區(qū)域如圖乙中三角形陰影部分(包含邊界).15/33探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.畫二元一次不等式組所表示平面區(qū)域時(shí),應(yīng)先畫出每個(gè)不等式表示平面區(qū)域,再取它們公共部分即可.其步驟可概括為:①畫線;②定側(cè);③求“交”;④表示.2.在畫二元一次不等式組表示平面區(qū)域時(shí),假如不等式組中不等式不是標(biāo)準(zhǔn)形式,那么可先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式(即不等號(hào)右側(cè)為0),再畫平面區(qū)域.16/33探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練2

能表示圖中陰影部分區(qū)域二元一次不等式組為(

)解析:取原點(diǎn)O(0,0)檢驗(yàn)滿足x+y-1≤0,所以異側(cè)點(diǎn)應(yīng)為x+y-1≥0排除B,D,點(diǎn)O滿足x-2y+2≥0,排除C.故選A.答案:A17/33探究一探究二探究三探究四思維辨析分析:先依據(jù)二元一次不等式組畫出平面區(qū)域,再依據(jù)平面區(qū)域圖形特點(diǎn)求其面積.解:不等式x-y+6≥0表示直線x-y+6=0上及右下方點(diǎn)集合;x+y≥0表示直線x+y=0上及右上方點(diǎn)集合;x≤3表示直線x=3上及左方點(diǎn)集合.18/33探究一探究二探究三探究四思維辨析19/33探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟處理平面區(qū)域面積問(wèn)題普通步驟是:(1)畫出不等式組表示平面區(qū)域;(2)判斷平面區(qū)域圖形形狀,并求得直線交點(diǎn)坐標(biāo)、圖形邊長(zhǎng)、相關(guān)線段長(zhǎng)(三角形高、四邊形高)等,利用圖形面積公式求解;(3)若圖形是不規(guī)則,可采取分割方法,將平面區(qū)域分為幾個(gè)規(guī)則圖形后求解.20/33探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練3

解析:畫出不等式組表示平面區(qū)域如圖,易求得A(-2,2),B(a,a+4),C(a,-a).S△ABC=|BC|·|a+2|=(a+2)2=9,由題意得a=1.答案:D21/33探究一探究二探究三探究四思維辨析【例4】

投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí),每生產(chǎn)100噸需要資金200萬(wàn)元,需場(chǎng)地200平方米;投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí),每生產(chǎn)100噸需要資金300萬(wàn)元,需場(chǎng)地100平方米.現(xiàn)某單位有可使用資金1400萬(wàn)元,場(chǎng)地900平方米,用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述要求.分析:首先將已知數(shù)據(jù)列成表,以下表:然后依據(jù)此表設(shè)未知數(shù),列出限制條件,最終作圖即可.22/33探究一探究二探究三探究四思維辨析解:設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸,生產(chǎn)B產(chǎn)品y百噸,用圖形表示以上限制條件,得其表示平面區(qū)域如圖(陰影部分).23/33探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.用二元一次不等式組表示實(shí)際問(wèn)題步驟:(1)依據(jù)問(wèn)題需要,選取具相關(guān)鍵作用兩個(gè)量,用字母表示;(2)把問(wèn)題中全部量都用這兩個(gè)字母表示出來(lái);(3)由實(shí)際問(wèn)題中限制條件以及全部量實(shí)際意義寫出全部不等式,結(jié)構(gòu)不等式組;(4)畫出上述不等式組對(duì)應(yīng)平面區(qū)域.2.對(duì)于本例,依據(jù)所設(shè)未知量實(shí)際意義,千萬(wàn)不要遺漏x≥0,y≥0這一限制條件.24/33探究一探究二探究三探究四思維辨析

變式訓(xùn)練4

預(yù)算用2000元購(gòu)置單價(jià)為50元鍵盤和20元鼠標(biāo),鼠標(biāo)數(shù)不能少于鍵盤數(shù),但不多于鍵盤數(shù)1.5倍,問(wèn)鍵盤數(shù)、鼠標(biāo)數(shù)應(yīng)滿足什么條件,并在平面直角坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)區(qū)域.

解:設(shè)買x個(gè)鍵盤,y個(gè)鼠標(biāo),則x,y滿足條件是

對(duì)應(yīng)平面區(qū)域如圖,故陰影部分中全部整數(shù)點(diǎn)集合即為所求區(qū)域.25/33探究一探究二探究三探究四思維辨析忽略題意中隱含條件而致誤【典例】

設(shè)集合A={(x,y)|x,y,1-x-y表示三角形三條邊長(zhǎng)},則A所表示平面區(qū)域(不含邊界陰影部分)是(

)錯(cuò)解因?yàn)閤,y,1-x-y是三角形三邊長(zhǎng),26/33探究一探究二探究三探究四思維辨析

糾錯(cuò)心得本題錯(cuò)誤原因是忽略題目中隱含條件,實(shí)際上,x,y,1-x-y除了都滿足大于0之外,還有任意兩邊之和大于第三邊這一條件,所以在處理與三角形邊相關(guān)問(wèn)題時(shí),不要遺漏此隱含條件.27/33探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練

在平面直角坐標(biāo)系中,不等式x2-y2>0表示平面區(qū)域是(

)

答案:B28/3312345解析:當(dāng)x