連續系統的數學模型2《自動控制原理》國家精品課程網站

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第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天3第2章連續系統的數學模型系統

(機械，電氣，過程等)建模方法機理或實驗數學模型性能分析

穩定性、動態性能、魯棒性等等若性能不滿足要求對系統進行校正校正方法（控制器設計方法）

滯后-超前、PID、LQ最優等

第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天4工程實際中常見的模型舉例第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天5第2章連續系統的數學模型2.1系統數學模型的概念2.3傳遞函數2.2微分方程描述2.4結構圖2.5信號流圖2.6系統數學模型的MATLAB表示第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天6第2章連續控制系統的數學模型2.1系統數學模型的概念2.2微分方程描述2.3傳遞函數2.4結構圖2.5信號流圖2.6系統數學模型的MATLAB表示第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天72.1系統數學模型的概念

自控理論方法是先將系統抽象完數學模型，然后用數學的方法處理。控制系統的數學模型是描述系統內部各物理量（或變量）之間關系的數學表達式或圖形表達式或數字表達式。完全不同物理性質的系統，其數學模型具有相似性！第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天82.1.2建立數學模型的方法機理分析建模方法，稱為分析法；實驗建模方法，通常稱為系統辨識。2.1.1數學模型的定義與主要類型

靜態模型與動態模型(靜態模型是t→∞時系統的動態模型)

輸入輸出描述模型（外部描述模型）與內部描述模型

連續時間模型與離散時間模型

參數模型與非參數模型10第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天9第2章連續控制系統的數學模型2.1控制系統數學模型的概念2.2微分方程描述2.3傳遞函數2.4結構圖2.5信號流圖2.6系統數學模型的MATLAB表示第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天10第2章連續系統的數學模型2.2微分方程描述描述系統輸出變量和輸入變量之間動態關系的微分方程稱為微分方程模型第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天112.2微分方程描述系統微分方程的形式與系統分類之間的關系:（1）非線性微分方程描述的是非線性系統；（2）線性微分方程描述的是線性系統;（3）時變系統的微分方程的系數與時間有關；（4）時不變(定常)系統的微分方程的系數與時間無關。系統u(t)y(t)第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天12例2.1一階RC網絡系統第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天13例2.2二階RC網絡系統第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天14思考：能否可以將二階RC網絡看成是兩個一階RC網絡的串聯？分別建立一階RC網絡的輸入輸出之間的微分方程關系，然后直接得到二階RC網絡的輸入輸出之間的微分方程關系？串聯？T12=0第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天15C-+一階有源網絡系統二階有源網絡系統思考：能否可以將下列有源二階RC網絡看成是兩個有源一階RC網絡的串聯？為什么？第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天16第2章連續控制系統的數學模型2.1控制系統數學模型的概念2.3傳遞函數2.2微分方程描述2.4傳遞函數模型2.5結構框圖模型2.6頻率特性模型第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天17數學預備知識：拉氏變換典型信號的拉氏變換（1）第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天18典型信號的拉氏變換（2）第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天19拉氏變換的性質第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天20應用拉氏變換的終值定理求注意拉氏變換終值定理的適用條件：事實上：

的極點均處在復平面的左半邊。不滿足終值定理的條件。

第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天21幾個拉氏變換定理的證明第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天22拉氏變換的應用：求解微分方程第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天23有理分式的分解（1）：極點為相異實數的情況第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天24有理分式的分解（2）：出現極點為相同實數的情況第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天25有理分式的分解（2）：出現極點為相同實數的情況第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天26有理分式的分解（3）：出現極點為相異復數數的情況第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天27第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天282.3.1傳遞函數與脈沖響應函數的定義系統u(t)y(t)定義：在零初始條件下，線性定常系統（環節）輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統（環節）的傳遞函數。系統G(s)U(s)Y(s)系統微分方程與傳遞函數可以直接轉換!第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天29系統G(s)U(s)Y(s)下面考察單位脈沖輸入信號下系統的輸出單位脈沖輸入信號的拉氏變換為1單位脈沖輸入信號下系統的輸出的拉氏變換為單位脈沖輸入信號下系統的輸出為系統G(s)1G(s)系統g(t)思考：求系統在單位階躍信號作用下的輸出相應（單位階躍響應）。并考慮系統的單位脈沖響應與單位階躍響應之間的關系？脈沖響應是系統的數學模型!階躍響應不是系統的數學模型!第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天30傳遞函數的性質：

（1）傳遞函數只取決于系統或元件的結構和參數，與輸入輸出無關；（2）傳遞函數概念僅適用于線性定常系統，具有復變函數的所有性質；（3）傳遞函數是復變量s的有理真分式，即n≥m；（4）傳遞函數是系統沖激響應的拉氏變換；（5）傳遞函數與真正的物理系統不存在一一對應關系；（6）由于傳遞函數的分子多項式和分母多項式的系數均為實數，故零點和極點可以是實數，也可以是成對的共軛復數。

第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天312.3.2傳遞函數的表示方式

1．有理分式形式2．零極點形式第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天322．零極點形式（傳遞函數是s的復變函數，s是復數變量）第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天33

2．零極點形式（傳遞函數是s的復變函數，s是復數變量）第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天34

3．時間常數形式第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天352.3.3線性系統的基本環節放大環節（比例環節）：積分環節：微分環節：慣性環節：振蕩環節：一階微分環節：二階微分環節：滯后環節（純時滯環節）：一個系統或一個元件（線性連續）總可以由一個或幾個基本環節組成。有些基本環節在實際中可以單獨存在，但象各種微分環節實際上是不能單獨存在的。第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天36傳遞函數的一般形式（考慮時間滯后情況）不考慮時間滯后時（不存在輸送帶）：考慮時間滯后時（存在輸送帶）：第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天37慣性環節從輸入開始時刻就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；慣性環節與延遲環節的區別：延遲環節從輸入開始后在0－τ時間內沒有輸出，在t=τ之后，才有輸出。第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天38第2章連續控制系統的數學模型2.1系統數學模型的概念2.3傳遞函數2.2微分方程描述2.4結構圖2.5信號流圖2.6系統數學模型的MATLAB表示第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天392.4.1結構圖的基本組成控制系統的結構圖是系統數學模型的圖解形式，可以形象直觀地描述系統中各元件間的相互關系及其功能以及信號在系統中的傳遞、變換過程。特點：具有圖示模型的直觀，又有數學模型的精確。第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天40結構圖包含四個基本元素：信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。

引出點（測量點）：引出或者測量信號的位置。這里的信號引出與測量信號一樣，不影響原信號，所以也稱為測量點。比較點（綜合點）：對兩個或者兩個以上的信號進行代數運算。

方塊：表示對輸入信號進行的數學變換。對于線性定常系統或元件，通常在方框中寫入其傳遞函數。

第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天41幾種基本的結構框圖第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天42比較點后移2.4.2結構圖的變換法則第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天43比較點前移第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天44比較點合并第44頁,共51頁，2024年2月25日，星期天45引出點前移第45頁,共51頁，2024年2月25日，星期天46引出點后移第46頁,共51頁，2024年2月25日，星期天47結構圖化簡求系統傳遞函數的基本方法：(1)利用等效變換法則，通過移動比較點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的幾種基本的簡單回路。(2)將結構圖變換為代數方程組,然后求解代數方程組.(3)將結構圖變換為信號流圖,然后應用梅森增益公式(4)直接應用梅森增益公式(最好不用!!)G(s)R(s)C(s)變換法則對應于代數變換結構圖對應于代數方程組結構圖化簡對應于代數方程組求解中消元2.4.3結構圖的簡化第47頁,共51頁，2024年2月25日，星期天48結構框圖的化簡例2.9G(s)R(s)C(s)第48頁