湖南省長沙市第二十六中學高一數學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若向量，的夾角為60°，且||＝2，||＝3，則|2|＝（）A.2 B.14 C.2 D.8參考答案：A【分析】由已知可得||，根據數量積公式求解即可．【詳解】||．故選：A．【點睛】本題考查平面向量數量積的性質及運算，考查了利用數量積進行向量模的運算求解方法，屬于基礎題．

2.數列{an}的前n項和為Sn=4n2﹣n+2，則該數列的通項公式為（）A．an=8n+5（n∈N*） B．an=C．an=8n+5（n≥2） D．an=8n+5（n≥1）參考答案：B【考點】數列的函數特性．【分析】Sn=4n2﹣n+2，n=1時，a1=S1．n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．【解答】解：∵Sn=4n2﹣n+2，∴n=1時，a1=S1=4﹣1+2=5．n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=4n2﹣n+2﹣[4（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]=8n﹣5．∴該數列的通項公式為an=（n∈N*）．故選：B．3.在(0,2π)內,使成立的x的取值范圍為(

)A. B.C. D.參考答案：B【分析】直接利用三角函數線寫出滿足不等式的解集即可.【詳解】解：在內，畫出與對應的三角函數線是MT，OM，如圖：

滿足在內，使即，所以所求的范圍是：，

故選：B.【點睛】本題考查三角函數線解答不等式的應用，考查計算能力，轉化思想的應用.注意三角函數線與線段的區別.4.函數的定義域是（

）A．(－3,0]

B．(－3,1]

C.(－∞,－3)∪(－3,0]

D．(－∞,－3)∪(－3,1]參考答案：A由題意得，所以

5.以下六個關系式：①0∈{0}，②{0}??，③0.3?Q，④0∈N，⑤{a，b}?{b，a}，⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中錯誤的個數是（）A．1 B．3 C．2 D．4參考答案：A【考點】元素與集合關系的判斷．【分析】依次對六個關系式判斷，注意集合符號的應用．【解答】解：①0∈{0}，正確；②{0}??，正確；③Q指有理數集，故0.3?Q不正確；④0∈N，正確；⑤{a，b}?{b，a}，正確；⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，正確；故選A．【點評】本題考查了元素與集合的關系應用，注意常見數集的記法與應用．屬于基礎題．6.△ABC中，若=，則該三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形參考答案：D【考點】正弦定理．【分析】已知等式變形后，利用正弦定理化簡，再利用二倍角的正弦函數公式化簡，即可確定出三角形形狀．【解答】解：由已知等式變形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化簡得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，則△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選：D．7.已知向量，若，則實數m=（

）A.2 B. C.-2 D.0參考答案：B【分析】根據向量共線的坐標表示，可求.【詳解】由，可得.故選：.【點睛】本題考查向量共線的坐標表示，屬于基礎題.8.已知，其中，則（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】先根據同角三角函數關系求得,再根據二倍角正切公式得結果.【詳解】因為，且，所以，因為，所以，因此，從而，，選D.【點睛】本題考查同角三角函數關系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.9.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，，，，則a=（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用正弦定理得到答案.【詳解】故答案選C【點睛】本題考查了正弦定理，意在考查學生的計算能力.

10.在各項均為正數的等比數列{an}中，公比，若，，，數列{bn}的前n項和為Sn，則取最大值時，n的值為（

）A.8 B.9 C.17 D.8或9參考答案：D【分析】利用等比數列的性質求出、的值，可求出和的值，利用等比數列的通項公式可求出，由此得出，并求出數列的前項和，然后求出，利用二次函數的性質求出當取最大值時對應的值.【詳解】由題意可知，由等比數列的性質可得，解得，所以，解得，，，則數列為等差數列，，，，因此，當或時，取最大值，故選：D.【點睛】本題考查等比數列的性質，同時也考查了等差數列求和以及等差數列前項和的最值，在求解時將問題轉化為二次函數的最值求解，考查方程與函數思想的應用，屬于中等題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知二次函數，若在區間［–１，１］內至少存在一個實數，使＞0

，則實數的取值范圍是_____________。參考答案：12.若圓錐的側面積為，底面積為，則該圓錐的體積為

。參考答案：略13.設數集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合的長度的最小值是

．參考答案：略14.已知a,b,c分別為△ABC的三個內角A,B,C所對的邊,且,則_______.參考答案：60°【分析】根據，結合題中條件即可得出結果.【詳解】因為，所以，因此，由余弦定理可得，所以.故答案為60°【點睛】本題主要考查解三角形，熟記余弦定理即可，屬于基礎題型.15.若是銳角三角形的兩內角，則_____（填>或<）。參考答案：

解析：，即，16.正項數列{an}的前n項和為Sn，滿足an=2﹣1．若對任意的正整數p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，則實數k的取值范圍為．參考答案：【考點】8H：數列遞推式．【分析】an=2﹣1，可得Sn=，n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，利用已知可得：an﹣an﹣1=2．利用等差數列的求和公式可得Sn，再利用基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵an=2﹣1，∴Sn=，∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化為：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，∵?n∈N*，an＞0，∴an﹣an﹣1=2．n=1時，a1=S1=，解得a1=1．∴數列{an}是等差數列，首項為1，公差為2．∴Sn=n+=n2．∴不等式SP+Sq＞kSp+q化為：k＜，∵＞，對任意的正整數p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，∴．則實數k的取值范圍為．故答案為：．17.對于下列命題：①

函數的圖象關于點

對稱；②

的單調增區間為；③

已知點N、P在所在平面內，且，則N、P依次是的重心、垂心；④

已知向量，且，則三點一定共線。以上命題成立的序號是__________________.參考答案：①③④.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知集合．（1）若，求；（2）若,求a的取值范圍．參考答案：（1），（2）

得19.（1）求值：（2）求證：參考答案：（1）解：原式＝

＝＝（2）證明：略20.已知，求的最小值及最大值。參考答案：解析：

令

則

而對稱軸為

當時，；

當時，

說明：此題易認為時，，最大值不存在，這是忽略了條件不在正弦函數的值域之內。21.集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|﹣2≤x≤5}（1）若a=3，求集合（?RP）∩Q；（2）若P?Q，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】（1）將a的值代入集合P中的不等式，確定出P，找出P的補集，求出P補集與Q的交集即可；（2）根據P為Q的子集列出關于a的不等式組，求出不等式組的解集即可得到a的范圍．【解答】解：將a=3代入得：P={x|4≤x≤7}，可得?RP={x|x＜4或x＞7}，∵Q={x|﹣2≤x≤5}，∴（?RP）∩Q={x|﹣2≤x＜4}；（2）由P?Q，分兩種情況考慮：（ⅰ）當P≠?時，根據題意得：，解得：0≤a≤2；（ⅱ）當P=?時，可得2a+1＜a+1，解得：a＜0，綜上：實數a的取值范圍為（﹣∞，2]．22.已知向量，求：（1）；（2）與的夾角的余弦值；（3）求x的值使與為平行向量.參考答案：（1）5（2）（3）【分析】(1)利用向量坐標運算法