關于幾何學與力學提要§1.名人談幾何學與力學

§2.從歷史發展看幾何與力學

§3.從變換的角度看不變量理論與幾何學

§4.從計算的角度看幾何學與力學§5.結語第2頁,共41頁，2024年2月25日，星期天§1.名人談幾何學與力學在中國明末，由西方傳教士鄧玉函（瑞士人）口授、王徵筆錄、并于1627年出版的《遠西奇器圖說》。這本書談到力學與數學的關系時說：“造物主之生物，有數、有度、有重，物物皆然。數即算學，度乃測量學，重則此力藝之重學也。重有重之性。以此重較彼重之多寡，則資算學；以此重之形體較彼重之形體之大小，則資測量學。故數學、度學、重學之必須，蓋三學皆從性理而生，為兄弟內親，不可相離者也。”這里數學是計算的意思，和現今數學的含義不同。度學是指測量學，更寬一點，指的是幾何學。第3頁,共41頁，2024年2月25日，星期天《遠西奇器圖說》第4頁,共41頁，2024年2月25日，星期天哥白尼1653年出版的《天體運行論》的扉頁上，由出版商約翰尼斯彼得奧斯（JohannesPetreius）寫上的一句話：“沒有學過幾何學的人，不準入內。”第5頁,共41頁，2024年2月25日，星期天牛頓在他的《自然哲學的數學原理》一書第一版的序言中是這樣說的：“由于古人（如帕普斯（Papus,公元前3世紀）所告訴我們的）在研究自然事物方面，把力學看得最為重要，而今人則舍棄其實體形狀和隱蔽性質而力圖以數學定律說明自然現象，因此我在本書中也致力于用數學來探討有關的哲學問題。古人從兩方面來研究力學，一方面是理性的，用論證來精確地進行，另一方面是實用的。一切手藝都屬于實用力學，力學之得名就是為這個緣故。”“幾何學是建立在力學的實踐之上的，它無非是普通力學的一部分，能精確地提出并論證測量的方法。但因手藝主要應用于物體的運動方面，所以通常認為幾何學涉及物體的大小，而力學則涉及它們的運動。在這個意義上，推理力學是一門能準確提出并論證不論何種力所引起的運動，以及產生任何運動所需要的力的科學。”第6頁,共41頁，2024年2月25日，星期天牛頓（１６４２－１７２７）第7頁,共41頁，2024年2月25日，星期天“在力學中，平衡的疊加就像在幾何中圖形的疊加一樣豐富多彩。”（拉格朗日，1788）拉格朗日，１７３６－１８１３第8頁,共41頁，2024年2月25日，星期天“他（Riemann）用純粹數學推理的方法，得出了關于幾何學同物理學不可分割的思想；七十年后，這個思想實際上體現在那個把幾何學同引力論融合成為一個整體的廣義相對論中。”（愛因斯坦，1925）愛因斯坦，１８７９－１９５５第9頁,共41頁，2024年2月25日，星期天總結以上一些名人的說法，力學與幾何學有不可分離的密切關系。沒有幾何學，就不能準確描述天體的運動、沒有幾何學就不能精確描述物體的運動、幾何學是和力學有著相同的內容、沒有幾何學，就不可能有相對論，等等。第10頁,共41頁，2024年2月25日，星期天§2.從歷史發展看幾何與力學古希臘哲學家赫拉克利特（Heraclites,約公元前540年~前480年）說:“人不能兩次踏入同一條河”。極言萬物無時無刻不在變化。研究事物的變化乃是科學的真諦。不過，為了區分事物、為了識別變化的事物，我們必須抓住變化事物的不變性質。所以認識在變化過程中，事物的不變性質，乃是研究這種事物的關鍵。第11頁,共41頁，2024年2月25日，星期天在力學中，最早樸素地認識不變性質的，大約是物體處于平衡時，進行微擾平衡不改變。13世紀約旦努在他的《重物的科學》中，就以這種觀點來處理杠桿平衡問題。實際上，這就是后來發展的虛功原理的萌芽。第12頁,共41頁，2024年2月25日，星期天力學是研究物質在空間中位置變化的科學，而幾何學是專門研究空間結構的學科。所以力學和幾何學有著天生不可分的聯系。所以在1627年出版的我國最早的力學文獻《遠西奇器圖說》中說“數學、度學，重學之必須，為兄弟內親，不可相離者也。”這里重學就是力學，度學就是指幾何學。第13頁,共41頁，2024年2月25日，星期天所以力學同數學的發展是同步的，或者說，有什么樣的數學就有什么樣的力學，反過來在一定的程度上也可以說有什么樣的力學就有什么樣的數學。力學的研究經常是要了解客觀事物的質和量兩個側面，而質和量是不可分的，所以力學同數學自古便有緊密聯系的傳統。力學的任務是研究物質在空間中的運動，而幾何是研究空間的，所以力學與幾何有著最為密切的聯系。力學與物理學的革命性的發展常常是和幾何聯系在一起的從阿基米德到斯梯芬時代，力學的研究內容是靜力學。在幾何方面的主要工具是歐氏幾何。相應的計算工具是常量的代數運算。第14頁,共41頁，2024年2月25日，星期天從伽利略、惠更斯到牛頓、萊布尼茲的時代，力學研究的主要內容是自由質點的運動，特別是解決在引力作用下的自由質點的運動。在幾何方面的主要工具是解析幾何，特別是有關圓錐曲線的解析幾何。在計算方面的主要工具則是引進了變量，發明了微積分，而且微積分的發明人牛頓與萊布尼茲自己也是著名的力學家，是那個時期的力學學科的開拓者。從拉格朗日到哈密爾頓和雅科比時代，力學主要的研究內容是約束運動。在幾何方面的主要工具是引進了n維空間的概念，后來經過黎曼的嚴格化，就是流形或黎曼幾何。而在分析方面的主要工具則是引進了泛函的概念，并且發展了求泛函極值的方法，也就是變分法，拉格朗日自己就是早期開拓變分法的主將。第15頁,共41頁，2024年2月25日，星期天在20世紀末，力學又進入了一個重要的新階段，這就是以龐卡萊與李亞普諾夫為代表的發展動力系統的定性理論時代。定性理論與運動穩定性的研究本來是從天體力學中提出來的一個理論課題，之后發現在一切力學系統中，甚至在由一切非線性常微分方程決定的系統中都有普遍理論與應用意義。簡單說，定性理論是研究系統解的性質隨參數而變化的方向，例如有沒有周期解的變化、有沒有極限環的變化、解穩定與不穩定的變化等等。相應的幾何方面的主要工具就是拓撲學，而相應的計算工具是同倫與外微分等。至今經過了100多年的發展，它仍然是世界上都很關心的研究領域。第16頁,共41頁，2024年2月25日，星期天§3.從變換的角度看不變量理論

與幾何學在所有的變化中，最為基本的變化就是位置的變化。為了描述位置的變化，從歷史上說，首先就要把位置用數量來表述。這就是坐標的引進。1637年笛卡爾（ReneDescartes，1596-1650)發表《LaGéométrie》奠定了解析幾何的基礎。從而產生了坐標變換的概念。第17頁,共41頁，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史1893年李（MariusSophusLie

，1842-1899）出版了他積九年研究的成果于三卷書《TheoriederTransformationsgruppen》中。奠定了李群也就是變換群的基礎。第18頁,共41頁，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史1872年，德國數學家克萊因（FelixChristianKlein，1849-1925）在論文《VergleichendeBetrachtungenüberneueregeometrischeForschungen》中提出以變換來區分非歐幾何的理論。后來被稱為Erlangenprogram愛爾朗根綱領。

第19頁,共41頁，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史在引進了坐標和時間的變換后，人們自然要討論在這些變換下，哪些力學量保持不變。于是人們定義了以下三個力學量即：動量＝、角動量＝和能量＝。人們立即發現，這三個力學量分別在坐標的平移、旋轉和時間的平移之下保持不變。這就是著名的力學中的三大守恒定律。第20頁,共41頁，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史1904年羅倫茨（H.Lorentz，1853-1928）引進了時間和空間變量的羅倫茨變換，在羅倫茨變換下，時空距離是不變量。其中c是光速。羅倫茨變換在后來相對論的發展中起了非常重要的作用。第21頁,共41頁，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史在研究了許多個別的不變量之后，人們需要從一般的觀點來討論變換和不變量。在力學問題被牛頓和拉普拉斯等人提為微分方程組之后，一個力學系統的變化可以用動力系統，，設給定初值為，它的解是（1）這個解實際上給出了從到的一個帶參數t的變換。李是系統研究這種變換的第一人。這個變換構成了一個單參數變換群，也稱為單參數李群。第22頁,共41頁，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史設為的任一函數，一般來說如果

（2）則就是在變換（1）之下的一個不變量。顯然這個條件是充分必要的，這是因為進一步講，力學中的各種定律和各種方程，都是講在一定條件或過程中的不變量。都可以統一納入不變量的理論中去討論。第23頁,共41頁，2024年2月25日，星期天勒讓德A.M.Legendre1752－1833

第24頁,共41頁，2024年2月25日，星期天勒讓德變換是從以下偏微分方程出發的（3）其中令，再令R、S、T僅是p、q函數。

一些重要變換的歷史第25頁,共41頁，2024年2月25日，星期天令曲面的切平面為

（4）則應當有

（5）（4）式就在函數變量x,y與p,q之給出了一個變換。即第26頁,共41頁，2024年2月25日，星期天由(4)微分得

第27頁,共41頁，2024年2月25日，星期天把以上結果代入（3）就得到（5），這一變換可以把一個擬線性方程化歸為一個線性方程求解。

第28頁,共41頁，2024年2月25日，星期天勒讓德變換的一般提法把以上思想推廣。設有n個自變量的函數它具有直到二階的連續微商，取新的一組變量

(6)

第29頁,共41頁，2024年2月25日，星期天它們組成對的一組變量替換，設其Jacobi行列式從（6）就可以把原變量反解出來。得（7）

（8）

考慮新函數

第30頁,共41頁，2024年2月25日，星期天可以證明（9）

在勒讓德變數替換下，兩個函數U，和

的關系由（8）給出，對應的變量與函數的關系由（6）和（9）給出。它概括了力學與物理上各種作用量之間的關系。

第31頁,共41頁，2024年2月25日，星期天在力學中常見的內能與自由能之間有關系。變形能密度與余變形能密度之間有關系。它們都是勒讓德變換的實例第32頁,共41頁，2024年2月25日，星期天在分析力學中，拉格朗日方程是其中拉格朗日函數是T為動能，U為勢能。哈米爾頓函數與拉格朗日函數之間的關系是這實際上也是一個勒讓德變換。在這個變換下，拉格朗日方程就變換為哈米爾頓方程。第33頁,共41頁，2024年2月25日，星期天從應變能到胡—鷲原理也可以歸結為勒讓德變換令分別為彈性體的位移場、應力張量場和應變張量場。是應變能密度函數。D為彈性體所占的體積。則泛函取駐值的充分必要條件是第34頁,共41頁，2024年2月25日，星期天§4.從計算的角度看幾何學與力學從歷史上看，不僅在對線性問題的求解中，發展了一整套幾何語言來表述求解問題的技術，如：投影、解空間、誤差度量、梯度法，等等。就是近代受到充分注意的非線性問題的計算中，起最重要作用的兩個算法：同倫算法和單形法，它們都是起源于近代幾何并且用近代幾何語言來描述的。第35頁,共41頁，2024年2月25日，星期天進一步，在計算力學中近年來引起注意的分叉問題的計算，則不僅要和上述非線性問題的計算打交道，還要和動力系統的流、微分拓樸、變換群等概念打交道。第36頁,共41頁，2024年2月25日，星期天最后，還應當提起一個在計算力學方面比較明顯的趨勢，即在相空間內直接求解。在用手工進行計算的時代，多事先