行程問題（二）（五年級下冊第8講）【內容簡介】本講重點講相遇問題和追及問題。一、相遇問題（或相向問題）：1．相遇問題的概念：兩個運動物體作相向運動或在環形跑道上作背向運動，隨著時間的發展，必然面對面地相遇，這類問題叫做相遇問題．它的特點是兩個運動物體共同走完整個路程。小學數學教材中的行程問題，一般是指相遇問題。2．相遇問題公式：相遇問題根據數量關系可分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。它們的基本關系式如下：總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）另一個速度＝甲乙速度和?已知的一個速度甲走的路程＋乙走的路程＝兩地距離。二、追及問題：1．追擊問題的概念：追及問題的地點可以相同（如環形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發生快的追及慢的問題．2．追及問題公式：根據速度差、距離差和追及時間三者之間的關系，常用下面的公式：距離差＝速度差×追及時間追及時間＝距離差÷速度差速度差＝距離差÷追及時間速度差＝快速?慢速3．解題的關鍵是在互相關聯、互相對應的距離差、速度差、追及時間三者之中，找出兩者，然后運用公式求出第三者來達到解題目的。【例1】甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米。兩車分別從A，B兩地同時出發，相向而行，相遇后3時，甲車到達B地。求A，B兩地的距離？【分析與解答】先畫示意圖如下：圖中C點為相遇地點。因為從C點到B點，甲車行3時，所以C，B兩地的距離為40×3=120（千米）。這120千米乙車行了120÷60=2（時），說明相遇時兩車已各行駛了2時，所以A，B兩地的距離是（40+60）×2=200（千米）。【小結】首先根據題意，用甲車的速度乘以3，求出甲車相遇后行駛的路程，即可求出乙相遇時行駛的路程；然后再除以乙的速度，求出兩車的相遇時間；最后根據速度×時間＝路程，用兩車的速度之和乘以相遇時間，求出A，B兩地的距離即可。此題主要考查了行程問題中速度、時間和路程的關系：速度×時間＝路程，路程÷時間＝速度，路程÷速度＝時間，要熟練掌握；解答此題的關鍵是求出兩車的相遇時間。【例2】小明每天早晨按時從家出發上學，李大爺每天早晨也定時出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行60米，李大爺每分鐘行40米，他們每天都在同一時刻相遇。有一天小明提前出門，因此比平時早9分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時提前多少分鐘出門？【分析與解答】因為提前9分鐘相遇，說明李大爺出門時，小明已經比平時多走了兩人9分鐘合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），所以小明比平時早出門900÷60=15（分）。【小結】根據題意，用兩人9分鐘所行路程除以小明的速度，即為小明早出發的時間。計算為：（60＋40）×9÷60＝15（分鐘），本題主要考查相遇問題，關鍵利用路程、速度和時間的關系解題。【例3】小剛在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，這時迎面開來一列火車，從車頭到車尾經過他身旁共用18秒。已知火車全長342米，求火車的速度？【分析與解答】在上圖中，A是小剛與火車相遇地點，B是小剛與火車離開地點。由題意知，18秒小剛從A走到B，火車頭從A走到C，因為C到B正好是火車的長度，所以18秒小剛與火車共行了342米，推知小剛與火車的速度和是342÷18=19（米/秒），從而求出火車的速度為19-2=17（米/秒）。【小結】解答錯車問題，關鍵是確定行駛的方向，由此求出速度和或速度差。小剛和火車相對而行，18秒共行的路程是342米，所以速度和是342÷18＝19米/秒，然后減去他散步的速度2米/秒，就是火車的速度。【例4】甲乙兩車早上8時分別從A、B兩地同時相向出發，到早上10時兩車相距112.5千米。兩車繼續行駛到下午1時，兩車相距還是112.5千米。A、B兩地的距離是多少？【分析與解答】分析：10點相距112.5千米，下午1點還是112.5千米，說明在這3小時同內他們兩人一共走了225千米。所以他們的合速度是225÷3=75千米每小時，8點到10點有2個小時．他們一共走了75×2＝150千米，故AB兩地距離為：150＋112.5＝262.5千米解：早上8點到10點是2個小時（112.5＋112.5）÷3×2＋112.5＝75×2＋112.5＝150＋112.5＝262.5（千米）答：AB兩地相距262.5千米．【小結】首先根據“中午10時兩車還相距112.5千米，繼續行駛到下午1時，兩車還相距112.5千米”求出兩車速度和，再理解8點到10點這兩個小時是從A地到B地市完成本題的關鍵【例5】鐵路線旁邊有一條沿鐵路方向的公路，公路上一輛拖拉機正以20千米/時的速度行駛。這時，一列火車以56千米/時的速度從后面開過來，火車從車頭到車尾經過拖拉機身旁用了37秒。求火車的全長？【分析與解答】與例3類似，只不過由相向而行的相遇問題變成了同向而行的追及問題。由上圖知，37秒火車頭從B走到C，拖拉機從B走到A，火車比拖拉機多行一個火車車長的路程。用米作長度單位，用秒作時間單位，求得火車車長為速度差×追及時間=[（56000-20000）÷3600]×37=370（米）。【小結】此題屬于追及問題，本題的追及路程就是火車車身長，先求出火車和汽車的速度差；再根據追及路程＝追及時間×速度差，據此解答即可。此題主要考查了速度、路程、時間的關系，但在本題中速度應該是相對速度；當兩物體沿同一方向行駛時，相對速度應該是兩個物體行駛的速度的差，當兩物體沿相反方向行駛時，相對速度應該是兩個物體行駛的速度的和，解答時要注意統一單位。【例6】甲騎車，乙跑步，兩人同時從一點出發沿著4千米的環形公路同方向進行晨練。出發10分鐘后，甲便從乙身后追上了乙，已知兩人的速度和是每分鐘行700米，求甲、乙兩人的速度各是多少？【分析與解答】根據甲騎車，乙跑步，兩人同時從一點出發沿著4千米的環形公路同方向進行晨練。出發10分鐘后，甲便從乙身后追上了乙，可以知道甲比乙10分鐘多跑了4千米，即路程差，根據路程差÷時間＝速度差，求出甲、乙的速度差是：4000÷10＝400（米/分），然后根據和差問題公式：（和＋差）÷2＝大數，可以求出甲的速度，根據（和?差）÷2＝小數，可以求出乙的速度。解：4千米＝4000米4000÷10＝400（米/分鐘）（700＋400）÷2＝1100÷2＝550（米/分鐘）700?550＝150（米/分鐘）答：甲的速度是550米/分鐘，乙的速度是150米/分鐘【小結】求出甲、乙的速度差是解答此題的關鍵。【例7】如右圖所示，沿著某單位圍墻外面的小路形成一個邊長300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發。已知甲每分走90米，乙每分走70米。問：至少經過多長時間甲才能看到乙？【分析與解答】當甲、乙在同一條邊（包括端點）上時甲才能看到乙。甲追上乙一條邊，即追上300米需300÷（90-70）=15（分），此時甲、乙的距離是一條邊長，而甲走了90×15÷300=4.5（條）邊，位于某條邊的中點，乙位于另一條邊的中點，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。甲再走0.5條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊后可以看到乙，共需300×5÷90=1632分=16分40秒【小結】解答這類題目，一定要弄清題里數量間的關系，理清思路，抓住關鍵問題“必須在一條直線上時甲才能看到乙”，再進行推算就可以了。【例8】森林中，獵狗發現前方20米處有一只奔跑的野兔，立即追趕上去，獵狗步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子動作快，獵狗跑2步的時間，兔子卻能跑3步，獵狗跑出多遠才能追上野兔？【分析與解答】獵狗步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，則獵狗跑2×5＝10步路程，則兔要跑9×2＝18步，獵狗跑2步的時間，兔子卻能跑3步，則獵狗跑2×5＝10步的時間，兔只能跑3×5＝15步，所以獵狗速度是的兔的速度的18÷15=56，獵狗在每一個單位時間內比兔子多走20÷（6?5）＝20米，則獵狗跑出20×6＝120米才能追上野兔。解：獵狗跑2×5＝10的步路程＝兔跑9×2＝18步的路程，獵狗跑2×5＝10步的時間內，兔只能跑3×5＝15步；則獵狗速度與兔的速度比：18：15＝6：5設獵狗要追x米，野兔則跑x?20米。x：（x?20）＝6：5x＝120答：獵狗跑出120米才能追上野兔。【小結】根據2和5的最小公倍數為10，獵狗跑5步是時間距離統起來，由此求出獵狗和兔子的速度比是完成本題的關鍵。【練習】1.A，B兩村相距2800米，小明從A村出發步行5分鐘后，小軍騎車從B村出發，又經過10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車比小明步行每分鐘多行130米，小明每分鐘步行多少米？【分析與解答】.60米。解：（2800-130×10）÷（10×2+5）=60（米）。2.甲、乙兩車同時從A，B兩地相向而行，它們相遇時距A，B兩地中心處8千米。已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。【分析與解答】176千米。3.小紅和小強同時從家里出發相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠？【分析與解答】解：因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次走的時間相同，推知小強第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小強第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）。4.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向而行，8小時后相遇，相遇后兩車繼續行駛，3小時后兩車相距360千米。求A、B兩地間的距離？【分析與解答】分析：已知時間是8小時，要求A、B兩地相距多少千米，就要求出兩車的速度和．因為兩車相遇后是背向而行，由“3小時后兩車相距360千米”，可知兩車的速度和為360÷3＝120（千米），那么A、B兩地相距120×8，計算即可．解：360÷3×8，＝120×8，＝960（千米）；5.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢長的車長是385米。坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少秒？【分析與解答】分析：快車上的人看見慢車的速度與慢車上的人看見快車的速度相同，所以兩車的車長比等于兩車經過對方的時間比，那么慢車上看見快車駛過的時間就是快車上看見慢車駛過的時間的280385，用11秒乘這個解：11×2803856.甲、乙二人同時從A地到B地去。甲騎車每分鐘行250米，每行駛10分鐘后必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結果在甲即將休息的時刻兩人同時到達B地。問：A，B兩地相距多遠？【分析與解答】根據題意，每30分鐘甲行250×10＝2500米，乙行100×30＝3000米，乙10分鐘行100×10＝1000米，由于3000÷2500＝1…500，500×3＋1000＝2500（米）．因此，AB相距：3000×3＋1000＝10000（米）．7.甲、乙兩人從周長為1600米的正方形水池相對的兩個頂點同時出發逆時針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發后多長時間兩人第一次在同一邊上行走？【分析與解答】解：甲追上乙一條邊（400米）需400÷（50-46）=100（分），此時甲走了50×100=5000（米），位于某條邊的中點，再走200米到達前面的頂點還需4分，所以出發后100+4=104（分），兩人第一次在同一邊上行走。8.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進3米，兔子一跳前進2.1米，狗跳3次的時間兔子跳4次。兔子跑出多遠將被獵狗追上？【分析與解答】解：狗跑3×3=9（米）的時間兔子跑2.1×4=8.4（米），狗追上兔子時兔子跑了8.4×[20÷（9-8.4）]=280（米）。9.三個人自A地到B地，兩地相距36千米，三個人之有一輛自行車，這輛車只能坐兩個人，自行車的速度比步行速度快兩倍。他們三人決定：第一個人和第二個人同時乘自行車，第三個人步行。這三個人同時出發，當騎車的二人到達某點C時，騎車人放下第二個人，立即沿原路返回去接第三個人，到某處點D與第三個人相遇