2024高考數(shù)學(xué)常考題型精華版第15講等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和性

質(zhì)7大題型總結(jié)

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：等比數(shù)列的基本概念及公式

①等比數(shù)列的定義："二q(或者—=

an

②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a「qi.

A卜

③等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a,A,b成等比數(shù)列，則A叫做a與。的等比中項(xiàng)，且有(-=-).

aA

(q=D

n

④等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：Sn=\a^-qY_a｛-a?q/口

、i-q-i-q；

考點(diǎn)二：等比數(shù)列的性質(zhì)

①通項(xiàng)下標(biāo)和性質(zhì)：在等比數(shù)列｛4｝中，當(dāng)/n+〃=p+q時(shí)，則%?6,=4?4.

特別地，當(dāng)加+〃=2/時(shí)，則

②等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)：a“=a0i,所以等比數(shù)列的通項(xiàng)為指數(shù)型函數(shù).

③等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的常用性質(zhì)：Sn==--^q"+,即S?=的"+，其中攵+r=0

\-q\-q\-q

【題型目錄】

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算

題型二：等比中項(xiàng)及性質(zhì)

題型三：等比數(shù)列通項(xiàng)下標(biāo)的性質(zhì)及應(yīng)用

題型四：等比數(shù)列前〃項(xiàng)片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

題型五：等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的特點(diǎn)

題型六：等比數(shù)列的單調(diào)性

題型七：等比數(shù)列新文化試題

【典型例題】

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算

【例1】在各項(xiàng)為正的遞增等比數(shù)列｛4｝中，qa2a6=64，?,+iZ3+a5=21,則a“=()

A.TB.2"T

C.3x2，iD.2X3"-'

【答案】B

【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求4/=%=4,再利用公比表示內(nèi)，代入方程，即可求得公比，

再表示通項(xiàng)公式.

【詳解】數(shù)列｛4｝為各項(xiàng)為正的遞增數(shù)列，設(shè)公比為9,且“>1,

2a6=64，

=64

..d^CJ~—4—〃3,

4+4+4=21,

4.

/.—^+4+4g""=21,

q

即(4q2_])(/_4)=0,

解得：q=2

4=1

cin=4q"7=2"-.

故選：B

77

【例2】數(shù)列｛《,｝中，％=2,—。,“。“，若%+限++?*+io=2'-2,則&=()

A.5B.6C.7D.17

【答案】B

【分析】先令〃?=1得到〃向=2〃“，從而得到數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求得$“，再將+4“。化

為&+i*，由此可得5的值.

(詳解】依題意，令加=1,則4=2,am+n=ama?,即有an+l=01ali=2an,

故數(shù)列｛q｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

設(shè)數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為5?,則邑=2。-2")=2?+i_2,

++,+11

所以處+1+4+2++4+2=SM0-Sk=（2*"-2）-（2*-2）=2*-2^'，

乂因?yàn)?+1+4+2++4+IO=2—27,

所以2加“一2"h=2n—2',故左=6.

故選：B.

【例3】已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且4+4=20,%+%=5,則使得4%為<1成立的正整數(shù)〃的

最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

_n（9-n）

【分析】應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量可得4,=2"",再由《a,q=2丁<]求正整數(shù)〃的范圍，即可

得答案.

【詳解】若等比數(shù)列的公比為4>0,且〃“>0，

4（1+42）=20,]1

由題設(shè)\，兩式相除得q=；，則°=

4（1+如）=542

所以4=16,故a,,=2"",顯然”45時(shí)-4…/<1不成立,

?+“（9-〃）n（9—n）

所以〃>5且”eN*,a=24+3+2+l+0'|---（5-n）=2h<1，即—--<。，則”>9,

故正整數(shù)〃的最小值為10.

故選：C

【例4】各項(xiàng)為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列｛4｝中，生，;生，4成等差數(shù)列，則馬■的值為（）

2〃4

A1-6石+103+石3-A/5

A.------Rfc>.-------C.-------nD,---------

2222

【答案】B

【分析】由題意，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，建立方程，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，整理方程，解得公比，可

得答案.

【詳解】因?yàn)橥?；%，4成等差數(shù)列，所以4+/=2xgq=4，即

因?yàn)閿?shù)列｛為｝為各項(xiàng)為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，

所以gJq-l=0,解得g=匕坐或g=Y<°（舍去），則氏=4=/叵，

22a42

故選：B.

【例5】已知等比數(shù)列｛《,｝的前"項(xiàng)和為5“，若。”>0,公比g>l,%+6=20,卷^=64,則$6=（）

A.31B.36C.48D.63

【答案】D

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得。24=。3%=64,解方程即可得數(shù)列中的項(xiàng)，進(jìn)而可得首項(xiàng)與公比，求得

%

【詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得a2ah=a3a5=64,

又4+〃5=20,

fa,=4fa,=16

解得”或“，

&=16&=4

“3=4

當(dāng)IV時(shí)，4=2或q=-2(舍),

&=16

；二時(shí),g=±g（舍），

口，山

所以

%=16

此時(shí)4=1,

所以$6=32lx(l-26)

=63,

1一夕1-2

故選：D.

【例6】若數(shù)列｛4｝滿足an+i=2an-l,則稱｛4｝為“對(duì)奇數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列也+1）為“對(duì)奇數(shù)列”,且仿=2,

則瓦=（）

A.2X3"TB.2'iC.2n+lD.2"

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得〃川+1=2（。+1）-1,進(jìn)而可得｛，｝為等比數(shù)列，再求得通項(xiàng)公式即可.

【詳解】由題意得%+1=2出+1）-1,所以心=紋,，又〃=2,所以也｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)

列，所以d=2x21=2".

故選：D.

【例7】已知等比數(shù)列血｝：-1,2,-4,8,若取此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)…組成新的數(shù)列圾｝,則

%等于()

A.210B.-210C.2'5D.28

【答案】C

【分析】由題可得為=-(-2廣，進(jìn)而即得.

【詳解】由題可得為=-lx(-2f=-(-2)"-，,

所以々=%=-(-2)'5=215.

故選：C.

【例8】已知｛q｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，S“是｛%｝的前〃項(xiàng)和，且9s3=85,,,則Ss=()

A.31B.—C.31或5D.包或5

1616

【答案】B

【分析】數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，通過(guò)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式化筒9s3=8S$,從而得到公比4的值，從而求

出Ss的值.

【詳解】因?yàn)椋鹮｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，$“是｛4｝的前"項(xiàng)和，且9s3=84

當(dāng)qwl時(shí)，9x4(l_Q=8x%(l-Q,計(jì)算得“=_1

\-q\-q2

所以s「HI上

5.I16

1-----

2

當(dāng)4=1時(shí)，S3=3,S6=6,所以953H8s$

31

綜上：Ss=?

故選：B

【例9】已知數(shù)列｛。,,｝滿足4=2,??+l=a；,則數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為M=()

A.2n-lB.2"~'C.22"'D.n2

【答案】C

【分析】將。川=｛兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，即可得數(shù)列｛1g。,,｝是以32為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而

求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】易知。“>0,且”,產(chǎn)1,在。e=d的兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得lgae=21g%,

故看廿=2,所以數(shù)列｛1gq｝是以愴2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以lga?=2-'xlg2=lg22'T,所以%=2曠'，

故選:c.

【例10］已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列也｝滿足%=4+2%,存在兩項(xiàng)金，可使得庖不=4q,則

」+七史的最小值為（）

加+2n

11+2夜R26728

815415

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)求得見”的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得」;+小工的最小值.

【詳解】

因?yàn)?=4+2%,所以4=2或9=一1,

又〃“>。，所以9=2.

由北屋4〃=4“可知:灰；2加+”-2=4《,所以“+〃=6，

則(加+2)+〃=8,

1〃+2121(垃+2)+〃

-------+-------=-------+—+1=---------——

m+2nm+2n8m+2n)

1Fm+22("?+2)nn~\.

----------+—---------+------+—+1

8m+2ntn+2n

n2(6+2)、+1>^3+2.n

3+--------F

8〃?+2n，m+2

11+2&

8

由」一=2(辦+2)可得取等號(hào)時(shí)”=0(〃?+2),但九〃eN*,無(wú)解；

m+2n

又初+〃=6,經(jīng)檢驗(yàn)機(jī)=1且〃=5時(shí)有最小值得.

故選:B

【例11】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和為S,,，且%=9,$3-4=36.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若b?=a?+log,an,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和，.

【答案】⑴。"=3",(2)3"+'+"-+〃—

2

【分析】(1)結(jié)合題干條件求解基本量利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；

(2)分組求和即可得解.

(1)

設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為夕，則L…22乂

=a2+a3=a]q+a｝q=36,

解得4=3,4=3.

故a“-atq"'=3x3"」=3".

(2)

由(1)可得a=3"+log33"=3"+〃.

貝IJ7；=(3+1)+俾+2)++(3"+〃)=(3+32++3")+(1+2++〃)

3x0-3")(1+咖3""+/?+“-3

----------------------1—----------------------------,

1-322

【例12】已知等差數(shù)列｛/｝的前"項(xiàng)和為S,,,%=9，九=100.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)”“；

⑵設(shè)數(shù)歹I」圾｝滿足：b?=24,也｝的前“項(xiàng)和為T”，求使7；<200成立的最大正整數(shù)〃的值.

【答案】⑴4=2〃-1；(2)4.

【分析】(1)利用4，4表示題干條件，求解即可得解；

(2)先證明也“｝是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求解。，解不等式即可.

(D

由題意，設(shè)等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為4,公差為",

又％=9,九=100,

4+4d=9

故〃〃=。1+(〃T)d=2〃-1.

由題意d=2%=22"T

b22"-1

又工J=R=4,故｛"｝是以4=2為首項(xiàng)，g=4為公比的等比數(shù)列,

*22"

,—'）2x（1-4"）2x（4"-1）

7-^=-[^-=]一，

若7；<200,即2x（：7）<200,即4”<301,

又4」=256,45=1024>301,故”的最大值為4.

【題型專練】

1.在公比4為整數(shù)的等比數(shù)列｛《｝中，5,是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，若4+%=18,生+%=12,則下列說(shuō)法

錯(cuò)誤的是（）

A.<7=2B.數(shù)列電+2｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛Iga,,｝是公差為2等差數(shù)列D.S8=510

【答案】C

【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)4+4=18,4+4=12,再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到數(shù)列｛4｝的公比4；

B選項(xiàng)：利用求和公式得到S,,,再利用等比數(shù)列的定義證明｛S,,+2｝是等比數(shù)列即可；

C選項(xiàng)：利用等差數(shù)列的定義證明｛1g%｝為等差數(shù)列即可；

D選項(xiàng):根據(jù)S“求$8即可.

【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)槿?+q=18,出+為=12,所以"1+d）=18,《（夕+才卜⑵所以療￡=￡=

所以4=2,q=g（舍），故A正確；

B選項(xiàng)：由A知，＜7=2,所以4=2,a.=2",5=亞21）=2'm—2，所以滬」=2,且E+2=%+2=4,

"1-2S"+2

所以｛S“+2｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B正確：

C選項(xiàng)：由B知，修。“+|-炮/=坨智=炫2,且lgq=lg2,所以數(shù)列｛Ig%｝是以lg2為首項(xiàng)，lg2為公差的

等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：由B知，s==20_2）=510,故D正確；

81-2

故選：C.

2.已知數(shù)列｛4｝中，4=1,4?〃e=2",“eN*,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.生=2B.a4-a3=4

C.他“｝是等比數(shù)列D.%i+%,=2向

【答案】AC

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得出，%，%,由此判斷ABD選項(xiàng)的正確性，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷C選項(xiàng)的正

確性.

2"

【詳解】%?a”+i=2",即a“+i=—,則%=2,%=2,4=4,所以A正確；

an

顯然有q-%=2*4,所以B不正確；亦有q+/=3R2"',所以D不正確；

又4-=27相除得乎=2,

因此數(shù)列｛的,1｝，｛%.｝分別是以1，2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確.

故選：AC

3.（2022?福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝中，若存在兩項(xiàng)（皿〃eN*）,使得

M，%=4q,且。3=見+2《，則,+2的最小值為（）

tnn

11「8-10、14

A.—B.-C.—D.—

4335

【答案】A

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比4,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得加+”=6,結(jié)合見〃eN*進(jìn)行討論求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比9,（其中。＞0）,

因?yàn)椤?=。2+2。1，可得42=4+2,

即q2_g_2=0,解得4=2或g=-l（舍去）

又因?yàn)?4%,所以4M,=16〃；，

m+,,2

即〃；-2~=16al2,所以■+〃=6,

當(dāng)機(jī)=1,〃=5時(shí)，--1--=14--=

mn5T;

1919_ii

當(dāng)m=2,〃=4時(shí)，=—i—

mn24一4

1919_10

當(dāng)帆=3,〃=3時(shí)，―十一：=-+-=

mn33-3；

191919

當(dāng)機(jī)=4,〃=2時(shí)，―+一=—i-=—

mn424

10146

當(dāng)帆=5,〃=1時(shí)，一+—=—+9=一；

mn55

綜上所述，上1+三0的最小值為141.

mn4

故選：A.

4.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)｛〃“｝是等比數(shù)列，且4+%=3,4+%=6,則%+4=（）

A.12B.24C.32D.48

【答案】D

【分析】根據(jù)｛%｝是等比數(shù)列，且滿足4+4=3,%+%=6,計(jì)算出其通項(xiàng)公式％,然后代入氏+小計(jì)

算即可.

【詳解】｛q｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為心則由％+生=3,4+4=6得：

解得憶，——4+25=48.

+6=。2（1+9）=6國(guó)=2

故選：D.

5.（2022?山東泰安?三模）已知數(shù)列｛%｝滿足：對(duì)任意的m,”wN*,都有4,4=4“+“，且％=3,則％。=（）

A.320B.315C.3,°D.38

【答案】C

【解析】

【分析】

由遞推關(guān)系判斷數(shù)列｛““｝為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求生0.

【詳解】

因?yàn)閷?duì)任意的“，都有4Ml=4”+,7,

所以4%=%，

又4=3,

所以q=±G，所以智=4,

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為4,公比為％的等比數(shù)列，

所以4,=勺（4廣’=（4）"，

所以%,=（《戶=3%

故選：C.

6.（2022?河南省葉縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，q+4=72,a2+a,=36,貝lj4=

【答案】6

,、［a（1+^）=72

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為《，公比為4,由題意可得到j(luò)aq（［+［）=36,能求出％和心即可求出

答案

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4,公比為4,

a+4=4+〃a=72即黑一京

由題意可得}

生+/=qg+a\icr~36

易得1+夕片0,所以兩式相除，解得q=g,

將q=g代入4（1+幻=72可得q=48,所以4=49,=6,

故答案為：6

113

7.已知等比數(shù)列｛4｝的公比4>1,一+一==，4=2叵,則生“=.

【答案】2”

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及4>1,求得與與4的值，從而可得生”

113

【詳解】解：由一+—=］得4々2+4〃4=3。2。4

a、4dq

由等比數(shù)列得見4=而=8,所以42+44=24,即%+4=6

解得/2=：或[%=：,則幺4=2或色■=d=；,由“I,可得小2,即片夜

[%=4[a4=2a2a22〃

22n2

所以a2n=q.q"-'=a2-q-=2x(&)"''=(可"=2".

故答案為：2".

8.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)各為S“，己知4=1,$2=3,則怎=.

【答案】7

【分析】根據(jù)條件求出等比數(shù)列的公比，再求出小，根據(jù)前〃項(xiàng)和的定義計(jì)算即可.

【詳解】由題意，S2=q+〃2=3,。2=2，公比口=二=2,：.a3=a2q=4,S3=a,+a2+a3=l+2+4=7；

a\

故答案為：7.

9.已知等比數(shù)列｛q,｝的前H項(xiàng)和為S“，％+4=|，4+。4=：，則其=

31

【答案】v

O

【分析】根據(jù)條件建立關(guān)于4,4的方程組，解出4,4的值，然后可算出答案.

(l+/)=g

4+%=4

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為則

(?+/)[

a2+a4=q

解得q=1,4=2,則5=.6。-力31

25"q~8

31

故答案為：—.

O

10.已知在正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝中3q,：%，2生成等差數(shù)列，則天等如

2%02。+.2019

【答案】9

【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,則9>0,根據(jù)已知條件求出4的值，再結(jié)合等比數(shù)列的基本性

質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,則夕>0,

因?yàn)?《,gq，？4成等差數(shù)列，所以2xg4=3q+2a2，

2

即qg2=3q+2a、q,又4>0,q-2^-3=0

所以4=3或夕=一1(不符合題意，舍去).

2021202032

grpi42022+42021_+〃聞_夕+4_2__Q

//I“7AI99Q181—一“一”,

“202()+。2019atq+qq4+1

故答案為：9.

11.正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝中,4=1,%=4%.

⑴求｛叫的通項(xiàng)公式；

(2)記S”為｛a,,｝的前n項(xiàng)和.若S?,=63,求m.

【答案】(1)%=2"T,⑵"=6

【分析】(1)設(shè)｛,｝的公比為。，由題設(shè)得4,=/I.根據(jù)為=4%列方程，解出4即可得出結(jié)果.

(2)由(1)的結(jié)果可求出S.,將鼠=63代入求解即可.

(1)

設(shè)｛為｝的公比為4,由題設(shè)得??=q'-'.

由已知得/=4q2，解得q=0或g=2,

｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，

所以<7=2.

故。"=2"，

(2)

由⑴得g=2,

??.則S“=2"—1.

.Sm=63,

2"'=64,

解得“6

12.已知公比小于1的等比數(shù)列｛《,｝滿足生+為=20,“3=8.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)記S.為｛4｝的前〃項(xiàng)和，若S,>100q,,求”的最小值.

【答案】⑴凡=白，(2)7

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為4,根據(jù)題意可得出關(guān)于《、夕的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可

求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求出S.，由題意可得出關(guān)于〃的不等式，結(jié)合〃eN*可得出”的最小值.

(1)

4+4=qq(i+/)=20

q=32

解：設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,則。3=的2=8,解得<

<7<1

，a“=qq"T=32x(3)=，.

(2)

32(1-口］(、

解：由(1)可知S"=I'"上的］_J_,

1一！I2"j

2

由S“>100%可得64-白〉黑，可得2">101.

因?yàn)椤╡N*,所以〃的最小值為7.

題型二：等比中項(xiàng)及性質(zhì)

【例1】三個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，首項(xiàng)是9,若將第二項(xiàng)加2、第三項(xiàng)加20可使得這三個(gè)數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列

｛%｝，則%的所有取值中的最小值是()

A.49B.36C.4D.1

【答案】D

【分析］設(shè)原來(lái)的三個(gè)數(shù)為9、9+“、9+2”,根據(jù)題意可得出關(guān)于d的等式，解出d的值，即可得解.

【詳解】設(shè)原來(lái)的三個(gè)數(shù)為9、9+d、9+2d,

由題意可知，4=9,a2=\\+d,4=29+24,且a；=44，

所以，(4+11)2=9(24+29),B|1J2+4(7-140=0,解得d=10或-14.

則a3的所有取值中的最小值是29-2x14=1.

故選：D.

【例2】若a,b,c為實(shí)數(shù)，數(shù)列T,a,b,G-25是等比數(shù)列，則》的值為()

A.5B.-5C.±5D.-13

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得方的值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為夕，

所以6=(-1"<0,

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知從=(-l)x(-25)=25,解得〃=-5.

故選：B

【例3】已知等差數(shù)列｛〃“｝的公差是2,若4，%,4成等比數(shù)列，則，等于()

A.-6B.-4C.-8D.-10

【答案】A

【分析】利用等比中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求解即可.

【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2,且4，4,%成等比數(shù)列，

所以％2="出，即(生+2)2=(%-2)(%+4)，

解得々=-6,

故選：A

【例4】已知等比數(shù)列｛%｝滿足q>0,公比4>1,且a202l<l,a,a2a2022>1,則()

A.a2O22>1

B.當(dāng)〃=2021時(shí)，年"最小

C.當(dāng)〃=1011時(shí),4"最小

D.存在”1011,使得=4+2

【答案】AC

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)、單調(diào)性及不等式的性質(zhì)可對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷

【詳解】A,?H>(),q>T,..a0>0,又q%，■，“2021<1,"出.■.a2022>],

1

>1,故A正確;

對(duì)B和C,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得的2021=。2。2020=…=。⑼0即”2=。溫，

故44…『021=。需<1即。<.I<1，

?a2a2022=a3a2021=…=^1011^1013=4()12，,,。243a4,""2022=以1012，

mZ7z,z/n—°'〃2022、」_匚匚“2021J_

因?yàn)镴。2〃3〃4…。2022—>一，所以^1012>一，

44q

11

?.?…々2021<1，4>0,q>l,0<?1<1,—>1,

a\

，4oi2>l，故當(dāng)〃=1011時(shí)，…%最小，所以B錯(cuò)誤，C正確；

對(duì)D,因?yàn)?<%<1,4>I，所以｛q｝是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)〃V1011時(shí)，%<^1011<1，故/。向<。"+1<。"+2>

故D錯(cuò)誤，

故選：AC

【例5】設(shè)log-,Igx,1。％2三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)x=.

【答案】Ji6或?或加

1010

【分析】利用等比中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可構(gòu)造方程求得Igx,由此可得X.

【詳解】log23,lgx,logs2三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，.?.(lgx『=log23-log8|2=log23」og3,2=；log23-log32=；,

.?」gx=±1,解得：*=而或畫.

210

故答案為：布或強(qiáng).

10

【例6】已知公差不為。的等差數(shù)列伍,｝中，4=1,%是％和6的等比中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式：

(2)保持?jǐn)?shù)列｛q｝中各項(xiàng)先后順序不變，在4與初伏=12)之間插入使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新

的數(shù)列也｝,記也,｝的前”項(xiàng)和為7“，求T20的值.

【答案】⑴4=〃，(2)2101

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛《,)的公差為d,根據(jù)等比中項(xiàng)列出方程求得d即可得到通項(xiàng)公式.

(2)由題意計(jì)算出4在松〃｝中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，然后利用分組求和即可.

(1)

設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,因?yàn)?是生和4的等比中項(xiàng)，

則a：=a2qn(4+3d)?=(4+d)(4+7d)且。?=1

則4=1或4=0(舍)

則a“=4+(n-l)</=l+(n-l)xl=n,

即通項(xiàng)公式4=〃

(2)

因?yàn)椋ヅc%M(k=T,2,...)之間插入23

所以在數(shù)列也｝中有10項(xiàng)來(lái)自｛%｝,10項(xiàng)來(lái)自｛2"｝,

所以7；=1112x10+亞巳1=2101

2。21-2

【題型專練】

1.石-1與G+1的等比中項(xiàng)是()

A.五B.-72C.±0D.±y-

【答案】C

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的定義可得結(jié)果.

【詳解】]一1與、+1的等比中項(xiàng)是±J(K-1)(K+1)=±0.

故選：C.

2.若四個(gè)正數(shù)a,b,c,d成等差數(shù)列，X是。和d的等差中項(xiàng)，y是6和C的等比中項(xiàng)，則X和y的大小關(guān)系為

()

A.x>yB.x>yC.D.x<y

【答案】B

【分析】首先根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，列式，結(jié)合基本不等式，即可比較大小.

【詳解】由條件可知，a+d=b+c,(a,b,c,d>0),x=°,y=+y[bc,

當(dāng)y=_癡時(shí)，x>>,

當(dāng)y=yfbc時(shí)，y=4bc<=x,

所以xNy.

故選：B

3.若不為1的正數(shù)a,b,c依次成公比大于1的等比數(shù)列，貝熠x>l時(shí)，log?x,k)g〃x,logrx().

A.依次成等差數(shù)列B.依次成等比數(shù)列

C.各項(xiàng)的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D.各項(xiàng)的倒數(shù)依次成等比數(shù)列

【答案】C

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得/=加，可得當(dāng)x>l時(shí)，logt^=log^c,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可判斷答

案.

【詳解】由題意可知不為1的正數(shù)a,b,。依次成公比大于1的等比數(shù)列，即從=ac,

,2I1

故當(dāng)x>l時(shí)，logfe2=logac,BR--------=--------+--------,

vAbg%xlog“xk)g〃x

故log“x,log〃x,bg.x各項(xiàng)的倒數(shù)依次成等差數(shù)列，

故選：C

4.已知等差數(shù)列｛端的前"項(xiàng)利為S,,,若Sg,七，1成等比數(shù)列，且邑。2400,則｛a,,｝的公差d的取值范圍

為.

【答案】［2,田)

【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列定義，等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前“項(xiàng)和公式可得含d的不等式，解不等式可求d

的取值范圍.

【詳解】因?yàn)镾g,%,1成等比數(shù)列，所以a；=S,,=9(4；的)=9%，所以%=9,即4+4d=9,即q=9-4d.由

S20>400,得2()q+19()d=2()x(9-4d)+19(H240(),解得"22,即｛a,J的公差d的取值范圍為［2,+oo).

故答案為：［2,口).

5.己知等差數(shù)列｛4｝的公差為-3,且。3是4和%的等比中項(xiàng)，則%=.

【答案】-30

【分析】將為和公差代入等式，求解4,寫出通項(xiàng)公式勺，代入〃=15,可求出結(jié)果.

【詳解】解：因?yàn)?是％和%的等比中項(xiàng)，且公差為-3,所以

(q-6y=a1(4-9)n%=12,所以%=15-3n=>@=-30.

故答案為：-3().

6.已知-1,a,T成等差數(shù)列，-1也T成等比數(shù)列，則必=.

【答案】±5

【分析】根據(jù)等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)，求得4〃的值，即可求得必值，得到答案.

【詳解】由Ta,T成等差數(shù)列，可得2a=-1—4=—5,解得。=-|,

又由-1,6,-4成等比數(shù)列，可得"=(_l)x(T)=4,解得b=±2,

所以必=±5.

故答案為：±5.

7.若依次成等差數(shù)列的三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c之和為12,而a,b,c+2又依次成等比數(shù)列，則a=.

【答案】2或8

【分析】由題意列出方程組，即可求得答案.

2h=a+c

【詳解】由題意可得＜〃+Hc=12,整理得/―io〃+i6=o,

b2=a(c+2)

解得。=2或a=8,

故答案為：2或8

8.在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)后，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個(gè)正數(shù)之和為()

A.13—B.11—C.10—D.10

242

【答案】B

【解析】不妨設(shè)插入兩個(gè)正數(shù)為〃力，即3M力,9

??,3,〃力成等比數(shù)列，則

。也9成等差數(shù)列，貝1」。+9=給

，_9

[a1=3b2\a=-3

即oW解得S或/a(舍去)

4+9=2。,27h=3

ib=—i

4

451

則a+—

44

故選：B.

題型三：等比數(shù)列通項(xiàng)下標(biāo)的性質(zhì)及應(yīng)用

【例1】已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，數(shù)列也｝是等差數(shù)列，若《,?%?4=-38,仿+也+d=7萬(wàn)，則

b,+b

tanj9Q的值是()

1-%q

A.—y/3B.—1c-4D.G

【答案】A

【分析】由等比數(shù)列和等差數(shù)的性質(zhì)先求出仇+4和4?4的值，從而可求出tan,+4一的值

］一%?“8

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，々+%+%=7zr,

所以％3=-班，3b兀，

所以％=-6，b?=M

所以4+d=2%=062=3>

14萬(wàn)

所以tan&+'=tan—2—=tan(--)=-tan(2%+—)=-tan—=->/3'

1-3333

故選:A

【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查三角函數(shù)求值，屬于中檔題

【例2】已知｛4｝為等比數(shù)列，4+%=2,%4=-8,貝1]4。=()

A.1或8B.-1或8

C.1或-8D.-1或-8

【答案】C

【分析】由｛4｝為等比數(shù)列，可得6%=4%,再結(jié)合%+%=2,可求出4，%,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，可

求出4,4。，即可求出答案.

【詳解】解：｛《,｝為等比數(shù)列，?.?%%=%%=-8,

%+為=2

=-8

當(dāng)〃4=4,%=-2時(shí)，/=匕=一!

〃42

%===-8,%

47g3=-2x

q

當(dāng)4=-2,%=4時(shí)，=-=-2,

a4

，4=3=1,4o=%/=4x（-2）=-8；

故選：C.

【例3】設(shè)｛%｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比4=2,且4廿6%。=2%那么。34〃9%）=（）

A.210B.220C.2'6D.215

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)4=4%%“28，“29，%0，

則A,B,C成等比數(shù)列，然后利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得答案

【詳解】設(shè)4=44%?2g,B=a,a5asa29,C=a3aba9aM,

貝1JA,B,C成等比數(shù)列，公比為才°=2'°,且）=40

由條件得A8CU230,

所以外=23°,所以8=2%所以。=小20=2以

故選：B

【例4】等比數(shù)列｛q｝滿足。,,＞（）,〃€77*且49-3=3"'（〃*2）,則當(dāng)“21時(shí)，

log44+bgg/+L+l°g6a2n-i=（）

A.力T）B.2（2〃2-〃）C.yD.2n2-n

【答案】B

【分析】根據(jù)條件可先求出4“=3",進(jìn)而可判斷數(shù)列｛logq4｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，根據(jù)等

差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】｛可｝是等比數(shù)列，且%。7=32"522）,

a?>0,a?=3",

.'.log^a?=2n,可知數(shù)列｛log。凡｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,

(2/?-1)(2+4/J-2)

=2(2〃2.

???%4+%%++喻%”T=

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的求解，屬于基礎(chǔ)

題.

【例5］在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，4%+2繪4+《%=25，則”岡3的最大值是一

【答案、】§25

4

【分析】根據(jù)題意，將6%+24仆+4陽(yáng)=25變形可得（4+%）2=25,又由基本不等式的性質(zhì)可得

4%=的8《巧曳），計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，卬卬+266+%43=25,

即即+2a64+始=（4+4『=25,

.?.4必3=4/4（%愛(ài)］=弓，當(dāng)且僅當(dāng)％=%，即公比為1時(shí)等號(hào)成立，

25

故〃臼3的最大值是

4

故答案為：弓25.

4

【例6】已知等比數(shù)列｛6）各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足：知陽(yáng)+1<%+%<2,記（=的2…凡，

則使得的最小正數(shù)〃為（）

A.36B.35C.34D.33

【答案】B

【分析】先由已知條件判斷出。”，陽(yáng)，/時(shí)的取值范圍，即可判斷使得（>1的最小正數(shù)"的數(shù)值.

/、/、<1jI。］？>1

【詳解】由〃”演+^^+/得：（?|7-1）（^8-1）<0,：.\或《

?,?>1?,?<1

an>0,0<a,<1,.-.0<al7<1<(z18,又-al7al8+l<2,,/.a?a^<1

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3535

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