2.2.3向量的數乘eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設計))教學分析向量的數乘運算，其實是加法運算的推廣及簡化，與加法、減法統稱為向量的三大線性運算．教學時從加法入手，引入數乘運算，充分展現了數學知識之間的內在聯系．實數與向量的乘積，仍然是一個向量，既有大小，也有方向．特別是所得向量與已知向量是共線向量，進而引出共線向量定理．共線向量定理是本章節中重要的內容，應用相當廣泛，且容易出錯．尤其是定理的前提條件：向量a是非零向量．共線向量定理的應用主要用于證明點共線或平行等幾何性質，且與后續的知識有著緊密的聯系．三維目標1．通過經歷探究數乘運算法則及幾何意義的過程，掌握實數與向量積的定義，理解實數與向量積的幾何意義．掌握實數與向量的積的運算律．理解兩個向量共線的等價條件，能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行．2．通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法，培養創新能力和積極進取精神．通過解決具體問題，體會數學在生活中的重要作用．重點難點教學重點：1.實數與向量積的意義．2．實數與向量積的運算律．3．兩個向量共線的等價條件及其運用．教學難點：對向量共線的等價條件的理解運用．課時安排1課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學過程))導入新課思路1.(直接引入)前面兩節課，我們一起學習了向量加減法運算，這一節，我們將在加法運算的基礎上研究相同向量和的簡便計算及推廣．在代數運算中，a＋a＋a＝3a，故實數乘法可以看成是相同實數加法的簡便計算方法，所以相同向量的求和運算也有類似的簡便計算．思路2.(問題引入)一物體做勻速直線運動，一秒鐘的位移對應的向量為a，那么在同一方向上3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))實數與向量積的定義及運算律．活動：教師引導學生回顧相關知識并猜想結果，對于運算律的驗證，點撥學生通過作圖來進行．通過學生的動手作圖，讓學生明確向量數乘運算的運算律及其幾何意義．教師要引導學生特別注意0·a＝0，而不是0·a＝0.這個零向量是一個特殊的向量，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯，所以要引導學生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關系．實數與向量可以求積，但是不能進行加、減運算，比如λ＋a，λ－a都無法進行．向量數乘運算的運算律與實數乘法的運算律很相似，只是數乘運算的分配律有兩種不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，數乘運算的關鍵是等式兩邊向量的模相等，方向相同．判斷兩個向量是否平行(共線)，實際上就是看能否找出一個實數，使得這個實數乘以其中一個向量等于另一個向量．一定要切實理解兩向量共線的條件，它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行等問題的有效手段．實數λ與向量a相乘，叫做向量的數乘(scalarmultiplicationofvectors)．事實上，通過作圖1可發現，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋a＋a.類似數的乘法，可把a＋a＋a記作3a，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝3a.顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即|3a|＝3|a|.同樣，由圖可知，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－a)＋(－a)＋(－a)，圖1即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．顯然3(－a)的方向與a的方向相反，3(－a)的長度是a的長度的3倍，這樣，3(－a)＝－3a.上述過程推廣后即為實數與向量的積．我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，它的長度與方向規定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反．由(1)可知，λ＝0時，λa＝0.根據實數與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律．設λ、μ為實數，那么eq\x(\a\al(1λμa＝λμa；,2λ＋μa＝λa＋μa；,3λa＋b＝λa＋λb.))特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.關于向量共線的條件，教師要點撥學生做進一步深層探究，讓學生思考，若去掉a≠0這一條件，上述條件成立嗎？其目的是通過0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價條件的認識．在判斷兩個非零向量是否共線時，只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個向量的長度無關．在沒有指明非零向量的情況下，共線向量可能有以下幾種情況：(1)有一個為零向量；(2)兩個都為零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．教師與學生一起歸納總結：數與向量的積仍是一個向量，向量的方向由實數的正負及原向量的方向確定，大小由|λ||a|確定．它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小．向量的平行與直線的平行是不同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面內沒有公共點；而向量的平行既包含沒有交點的情況，又包含兩個向量在同一條直線上的情形．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例))思路1例1課本本節例2.變式訓練1．計算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解：(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.點評：運用向量運算的運算律，解決向量的數乘．其運算過程可以仿照多項式運算中的“合并同類項”．2．若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a、b是已知向量，求m、n.解：∵3m＋2n＝a，①m－3n＝b，②3×②，得3m－9n＝3b，③①－③，得11n＝a－3b，∴n＝eq\f(1,11)a－eq\f(3,11)b.④將④代入②，有m＝b＋3n＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b.點評：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n.在此題求解過程中，利用了實數與向量的積以及它所滿足的交換律、結合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數的二元一次方程組的方法一致.例2課本本節例1.變式訓練如圖2(1)，已知任意兩個非零向量a、b，試作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？活動：本題給出了利用向量共線判斷三點共線的方法，這是判斷三點共線常用的方法．教學中可以先引導學生作圖，通過觀察圖形得到A、B、C三點共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉化為用向量共線證明三點共線．本題只需引導學生理清思路，具體過程可由學生自己完成．另外，本題是一個很好的與信息技術整合的題材，教學中可以通過計算機作圖，進行動態演示，揭示向量a、b變化過程中，A、B、C三點始終在同一條直線上的規律．(1)(2)圖2解：如圖2(2)分別作向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))，過點A、C作直線AC〔如圖2(2)〕．觀察發現，不論向量a、b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想A、B、C三點共線．事實上，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋2b－(a＋b)＝b，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).所以A、B、C三點共線．點評：關于三點共線問題，學生接觸較多，這里是用向量證明三點共線，方法是必須先證明兩個向量共線，并且有公共點．教師引導學生解完后進行反思，體會向量證法的新穎獨特．例3課本本節例3.變式訓練如圖3，ABCD的兩條對角線相交于點M，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，你能用a、b表示eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))和eq\o(MD,\s\up6(→))嗎？圖3活動：本題的解答要用到平行四邊形的性質．另外，用向量表示幾何元素(點、線段等)是用向量方法證明幾何問題的重要步驟，教學中可以給學生明確指出這一點．解：在ABCD中，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b，又∵平行四邊形的兩條對角線互相平分，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(MD,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.點評：結合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則，將兩個向量的和或差表示出來，這是解決這類幾何題的關鍵.思路2例1凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點分別為E、F，求證：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．活動：教師引導學生探究，能否構造三角形，使EF作為三角形的中位線，借助于三角形中位線定理解決．或創造相同起點，以建立向量間的關系．鼓勵學生多角度觀察思考問題．圖4證明：方法一：過點C在平面內作eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG的中點(如圖4)．∴EF是△ADG的中位線．∴EFeq\f(1,2)DG，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DG,\s\up6(→)).而eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．方法二：如圖5，連EB、EC，則有eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，圖5又∵E是AD的中點，∴有eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝0，即有eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).以eq\o(EB,\s\up6(→))與eq\o(EC,\s\up6(→))為鄰邊作EBGC，則由F是BC的中點，可得F也是EG的中點．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．點評：向量的運算主要從以下幾個方面加強練習：(1)加強數形結合思想的訓練，畫出草圖幫助解決問題；(2)加強三角形法則和平行四邊形法則的運用練習．做到準確熟練運用．例2課本本節例4.變式訓練1．若非零向量a、b滿足|a＋b|＝|b|，則()A．|2a|>|2a＋b|B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b|D．|2b|<|a＋2b|答案：C2．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)答案：Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練))課本本節練習．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結))1．讓學生回顧本節學習的數學知識，向量的數乘運算法則，向量的數乘運算律，向量共線的條件．體會本節學習中用到的思想方法：特殊到一般、歸納、猜想、類比、分類討論、等價轉化．2．向量及其運算與數及其運算可以類比，這種類比是我們提高思想性的有效手段，在今后的學習中應予以充分的重視，它是我們學習中偉大的引路人．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業))課本習題2.28、9.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設計感想))1．本教案的設計流程符合新課程理念，充分抓住本節教學中的學生探究、猜想、推證等活動，引導學生畫出草圖幫助理解題意和解決問題．先由學生探究向量數乘的結果還是向量(特別地，0·a＝0)，它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小，當λ>0時，λa與a方向相同，當λ<0時，λa與a方向相反；向量共線定理用來判斷兩個向量是否共線，然后對所探究的結果進行運用拓展．2．向量具有的幾何形式和代數形式的雙重身份在本節中得以充分體現，因而成為中學數學知識網絡的一個交匯點，由此可看出在中學數學教材中的地位的重要，也成為近幾年各地高考命題的重點和熱點，教師要引導學生對平面向量中有關知識要點進行歸納整理．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、向量的數乘運算律的證明設a、b為任意向量，λ、μ為任意實數，則有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③證明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則①式顯然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，則根據向量數乘的定義有：|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同號，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號，則①式兩邊向量的方向都與a反向．因此，向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以這兩個向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則②顯然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下兩種情況：當λ、μ同號時，則λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同號，知②式兩邊向量的方向或都與a同向，或都與a反向，即②式兩邊向量的方向相同．綜上所述，②式成立．如果λ、μ異號，當λ>μ時，②式兩邊向量的方向都與λa的方向相同；當λ<μ時，②式兩邊向量的方向都與μa的方向相同．還可證|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)當a＝0，b＝0中至少有一個成立，或λ＝0，λ＝1時，③式顯然成立．當a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1時，可分如下兩種情況：當λ>0且λ≠1時，如圖6，在平面內任取一點O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OA1,\s\up6(→))＝λa，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝λb；則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OB1,\s\up6(→))＝λa＋λb.圖6由作法知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(A1B1,\s\up6(→))，有∠OAB＝∠OA1B1，|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以eq\f(|\o(OA1,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(A1B1,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝λ.所以△AOB∽△A1OB1.所以eq\f(|\o(OB1,\s\up6(→))|,|\o(OB,\s\up6(→))|)＝λ，∠AOB＝∠A1OB1.因此O、B、B1在同一條直線上，|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝|λeq\o(OB,\s\up6(→))|，eq\o(OB1,\s\up6(→))與λeq\o(OB,\s\up6(→))的方向也相同．所以λ(a＋b)＝λa＋λb.當λ<0時，由圖7可類似證明λ(a＋b)＝λa＋λb.圖7所以③式也成立．二、備用習題1.eq\f(1,3)[eq\f(1,2)(2a＋8b)－(4a－2b)]等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b2．設兩非零向量e1、e2不共線，且ke1＋e2與e1＋ke2共線，則k的值為()A．1B．－1C．±1D．03．若向量方程2x－3(x－2a)＝0，則向量x等于()A.eq\f(6,5)aB．－6aC．6aD．－eq\f(6,5)a4．在△ABC中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))