若PM+PB的最小值是，則AB長為() 2．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點Q是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，連接PB，PQ，則△PBQ周長的最小值是() 4．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，則AD=，若P是AC上一動點，則PB十PE的最小值是.5．如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，連結AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點，連結GH．若7B＝60O，BC＝4，則GH的最小值為() 6．如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC7．如圖，在□ABCD中，上C=120的動點，連接AH，HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF，則EF的連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點，連接GH，則GH的最小值AM+MN的最小值為() 是對角線BD上一個動點，連接BE，EF，則BE+EF的最小值是() 11．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點E、F分別為AD、CD邊上的點，上的兩個動點，將△AEQ沿EQ翻折，使點A落在點F處，連接EF,QF，PF，PD，若下方）在直線OB上移動，連接DE，CF，則DE+CF的最小值為() 點P是BC中點，連接AE,PF，則AE+PF最小值為() EFTAC，垂足為點O，連接EC，AF，則EC+AF的最小值為.16．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點E在邊BC上，分別為邊CD與AB上兩個動點，線段PQ始終滿足與AE垂直且垂足為F，則AP+QE17．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，點E在邊AD上，且AE=2，F(xiàn)為邊AB上的一個動點，連接EF，過點E作EG丄EF交直線BC于點G，連接FG，若P是FG的中點，則DP的最小值為()直線DP繞點P順時針旋轉，使旋轉角等于7DAC，且DG丄PG，即7DPG=7DAC．連接CG，則CG最小值為()19．圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．點E是AB上的動點，點F是線段AE上的點，且EF=3AF，DE，CF相交于點P，則DP的最大值為，最小值于點F，點G與F關于CD對稱，H為CG的中點，則AH的最小值為.21．如圖，在Rt△ABC中，7B=90O，AB=4，BC=3，點E在AB上，以AC為對角線的所有□ADCE中，對角線DE的最小值是()22．如圖，在Rt△ABC中，7B=90O，BC=4，AC=5，點D在BC上，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是()以AD，CD為鄰邊作□ADCE，則對角線DE的最小值是24．如圖，三角形材料ABC，7B=90O，BC=4，AC=5，點D在邊BC上，添加一塊三角形材料ACE，加工成□ADCE的材料，則□ADCE的對角線DE的最小值25．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的兩個頂點A、B是坐標軸上的動點， 27．如圖，7MEN=90O，矩形ABCD的頂點B，C分別是7MEN兩邊上的動點，已知為邊作正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點P，連接OC，則OC的最大值作DE丄AC于點E，DFTBC于點F，連接EF，則線段EF的最小值是()M作MDTAC于點D，過M作METCB于點E，則線段DE的最小值為()個動點，過點D分別作DM丄AB于點M，DN丄AC于點N，連接MN，則線段MN32．如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，EF丄則PA＋PB＋PC的最小值是() 34．如圖，在矩形ABCD中，AB=，BC 35．如圖，在菱形ABCD中，點P為對角線ACPMTAB于點M，PNTBC于點N，連接PD，已知tan7BAC=，AC=24，則37．如圖，在矩形ABCD中，AB=10,AD=6，動點P滿足S△PAB=S矩形ABCD，則點P38．如圖，在長方形ABCD中，AB=5，AD=3，動點P滿足S△PAB=S長方形ABCPA+PB的最小值為() 點P到B、C兩點距離之和PB+PC的最小值為.41．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E為BC邊上的動折疊到△AFE，則在點E的運動過程中，CF的最小值是() F是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB,F，連接B,D，則B,D 的最小值是()上的一個動點，把△PCE沿PE折疊，點C的對應點為F．當點E與點D重合時恰好落在邊AB上，則AF的最小值是.44．如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD邊上一點，將△ADE沿AE折疊，45．如圖，F(xiàn)為正方形ABCD的邊CD上一動點，AB=2，連接BF，過A作AH丄BF交BC于H，交BF于G，連接CG，當CG為最小值時，CH的長為()46．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是AD邊上的一動點，點F是CD邊上的一動點，且AE=DF，AF與BE相交于點P，連接PD，在F運動的過程中，PD的最小值為() AE=DF，連接BE，AF，交于點G.（1）連接DG，則線段DG的最小值是；（2）取CG的中點H，連接DH，則線段DH的最小值是.48．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是BC上的一動點（不與點B、C重合連接AE，過點D作DF丄AE，垂足為F，則線段BF長的最小值為.則CP的最小值是()且AE=6，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E順時針旋轉60O，得到EN，連接BN、CN，則BN+CN的最小值是() PE+PF取得最小值時，的值是.距離．嘗試利用閱讀內容解決問題：如圖，在正方形ABCD中，M為AD上一點，且,E，F(xiàn)分別為BC，CD上的動點，且BE=2DF，若AB=4，則ME+2AF的徑問題，連接BD，PD，MD，由菱形的性質得到AB=AD，AC垂直平分BD，則 DM=3；證明△BAD是等邊三角形，得到DM丄AB，7ADM=30O，求出【詳解】解：如圖所示，連接BD，PD，MD，由菱形的性質可得AB=AD，AC垂直平分BD，:PD=PB，:△BAD是等邊三角形，∵M是AB的中點，:DM丄AB，7ADM=30O，與點D是對稱點，連接DQ，交AC于點P，此時△PB【詳解】∵邊長為2的正方形ABCD中，點Q是BC【分析】先求出C(0,3)，B(3,0)，A(-1,0)，于點T，連接PT，證明四邊形OBTC是正方形，且T(3,3)，即有點O與點T關于直線BC最小值為AT，問題隨之得解.:C(0,3)，:B(3,0)，A(-1,0)，過點B、C分別作x軸、y軸的垂線，兩線交于點T，連接PT，∴當A、P、T三點共線時PA+PT最小，即PA+PO最小，最小值為AT，稱的性質，勾股定理，正方形的判定與性質等知識，證明四邊形OBTC是正方形，且【分析】首先根據(jù)題意解得AE、AB的值，再根據(jù)正方形的性質求得AD的值；連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PBPB=PD，所以PB+PE=PD+PE=DE，利用勾股定∵四邊形ABCD為正方形，如下圖，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小，:PB=PD，正確作出輔助線是解題關鍵.【分析】連接AF，利用三角形中位線定理，可知GH=AF，求出AF的最小值即可解決:四邊形ABCD是菱形，:AB=BC=4，:G，H分別為AE，EF的中點，:GH是△AEF的中位線，當AF丄BC時，AF最小，GH得到最小值，題的關鍵是學會添加常用輔助線.【分析】連接AF，利用三角形中位線定理，可知GH=AF，求出AF的最小值即可解決:G，H分別為AE，EF的中點，:GH是△AEF的中位線，:△ABF是等腰直角三角形， 線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.【分析】連接AG，AC，過A作AMTBC于M；由題意得<B=60o，則可求得AM，BM的長，從而由勾股定理求得AC；由三角形中位線定理得EF=AG，當G與C重合時，AG最長；當G與M重合時，AG最短，從而可求得EF的最大值與最小值的差.【詳解】解：如圖，連接AG，AC，過A作AMTBC于M；∵四邊形ABCD是平行四邊形，且7C=120。，:AB=4， ∵點E為AH的中點，點F為GH的中點， AG利用三角形中位線定理是關鍵. :GH是△AEF的中位線，當AF丄BC時，AF最小，GH得到最小值，:△ABF是等腰直角三角形， 故答案為：22.線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.直角三角形的性質、矩形的性質求解即可得.:AM+MN=A/M+MN，等知識點，利用兩點之間線段最短和垂線段最短得出當題關鍵.【分析】作點B關于AD的對稱點B,，過點B,作B,G丄BD于點G，交AD于點H，即可得到BE+EF的最小值為B,G，再解直角三角形即可解答.【詳解】解：作點B關于AD的對稱點B,，過點B,作B,G丄BD于點G，交AD于點H，如圖：由對稱性可得B,E=BE，:BE+EF≥B,G，:當B,，E，F(xiàn)三點共線，且B,F丄BD時，即點E在點H處，點F在點G處時，BE+BF的值最小.:AB=6，BC=6，【點睛】本題主要考查矩形的性質和線段和最小值問的性質，解題的關鍵在于作出適當?shù)妮o助線. 最短路徑．作點A關于BC的對稱點H，連接HP，DG，DH，可知當H、P、G、D共線時，PA+PG最小，求出DH、DG長即可.【詳解】解：作點A關于BC的對稱點H，連接HP，DH，GH，如圖所示：:AH=8，DH=:GD=2， :822≤AP+PG， 故答案為：822. 根據(jù)兩點之間線段最短解決最短問題.作點D關于BC的對稱點D,，連接PD,,ED,，由軸對稱可知，DP=D,P， 【詳解】解：如圖，作點D關于BC的對稱點D,，連接PD,,ED,， 【分析】如圖，作點D關于OB的對稱點T，作TR∥OB，使得TR=EF，連接CR交OB于F，在FO的延長線上，取點E，使得EF=1，連接ET．DE，此時DE+CF的值最小.【詳解】解：如圖，作點D關于OB的對稱點T，作TR∥于F，在FO的延長線上，取點E，使得EF=1，連接ET．DE，此時DE+CF小.:RT=EF=1，RT∥EF，:四邊形TRFE是平行四邊形，:ET=FR，:D，T關于OB對稱，:ED=ET，:DE=RF，:DE+CF=RF+FC=RC，此時CR的值最小，最小值關鍵是學會利用軸對稱添加輔助線，構造特殊四邊形解決最短問題，屬于中考常考題型.【分析】取CD的中點Q，連接PQ，EQ，證明四邊形PQEF為平行四邊形，求出【詳解】解：取CD的中點Q，連接PQ，EQ，如下圖所示：:EF=5，:PQ=EF，【點睛】本題考查三角形中位線，勾股定理的知識，掌握性質是解題的關鍵.三邊關系，勾股定理，分別以EF、EC為邊作平行四邊形ECHF，連接AH，過點F作FGⅡBC交AB于點G，根據(jù)相似三角形的判定和性質以及勾股定理解答即可，根據(jù)題意正確作出輔助線是解題的關鍵.【詳解】解：分別以EF、EC為邊作平行四邊形ECHF，連接AH，過點F作FGⅡBC交AB∴7BAC=7GFE解得EF=CH=∵四邊形ECHF是平行四邊形，2 【分析】過點Q作QH丄CD于點H．利用相似三角形的性質求出PH=3，設BQ=x，則CH=x，PD=5x，AP+QE=，求AP+QE的最小值，相當于在x軸上找一點M(x,0)，使得點M到J(0,4)，K(5,6)的距離和最小，作點J關于x軸的對稱點J,，連接KJ,，則KJ,=由MJ+MK=MJ,+MK≥KJ,=5·,可得結論.【詳解】解：如圖，過點Q作QH丄CD于點H.:四邊形ABCD是矩形，:CE=2，:QH丄CD，:四邊形BCHQ是矩形，:BQ=CH，BC=QH=6，QHⅡBC，:AE丄QP，:△ABE∽△QHP，,:PH=3，欲求AP+QE的最小值，相當于在x軸上找一點M(x,0)，使得點M到J(0,4)，K(5,6)的距離作點J關于x軸的對稱點J,，連接KJ,，:K(5,6)，J,(0,一4)， :JM+MK的最小值為55， :AP+QE的最小值為55. 故答案為：55.中考填空題中的壓軸題.【詳解】則四邊形ABG1E是矩形.2:△ABE~△EG2B，2，:OC=BC2BC2BO222(10)2 【點睛】本題是一道矩形中的動點問題，難度較大.主要考查了矩形的性質、勾股定理、三軌跡.【分析】作DHTAC于H，連接HG延長HG交CD于F，作HETCD于H，證明△ADH∽△PDG，得∠DHG=∠DAP=定值，則點G在射線HF上運動，故當CG⊥HF時，【詳解】解：如圖，作DHTAC于H，連接HG延長HG交CD于F，作HETCD于E，∵DG⊥PG,DH⊥AC，:△ADH∽△PDG，:△ADP∽△DHG，:∠DHG=∠DAP=定值，:∠HDF=∠DAH=∠DHF，在Rt△ADC中，4242+22 5，∴△CGF≌△HEF(AAS)，的關鍵. ∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，AD:△PCD∽△PFE，:當t=時，即x=時，PD取得最大值，(75,(75,【點睛】本題考查了矩形性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，二次函數(shù)的性質等，熟練運用相似三角形性質和二次函數(shù)的性質是解題關鍵. 【分析】將正方形ABCD沿著CD翻折得正方形A,B,CD，連接AE，BG，以A,B,為直徑作當MG最小時，AH的值最小．由點G在以A,B,為直徑的ΘO上運動，當且僅當M、G、O【詳解】解：將正方形ABCD沿著CD翻折得正方形A,B,CD，連接AE，BG，以A,B,為直徑作ΘO，連接CA并延長至M，使AM=AC，連接MG，如當MG最小時，AH的值最小.:點G在以A,B,為直徑的ΘO上運動，當且僅當M、G、O三點共線時，過點O作ON∥AD，過點M作AB的平行線交ON于N，延長DA交MN于K，:△MAK≌△ACD(AAS)，:A,K=12，:四邊形A,ONK是矩形，:MG=62。故答案為：31題.【分析】由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當DE丄BA時，DE取最小值，【詳解】解：在Rt△ABC中，7B=90O，:BC丄AB.:當DE丄BA時，線段DE最短，:DE∥CB，:OE是△ABC的中位線，故選：B.行四邊形的性質和三角形中位線定理是解題的關鍵.【詳解】解：∵7B=90O，BC=4，AC=5，:BC∥AE，:當DETBC時，DE最小，:四邊形ABDE是矩形，【點睛】本題考查矩形判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理及點到直線垂線段最短，解題的關鍵是掌握點到直線垂線段最短.23．6的對角線的交點是AC的中點O，當ODTBC時，OD最小，即DE最小，根據(jù)三角形中位線定理即可求解.【詳解】解：如圖所示，設AC,DE交于點O，∵平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，:當ODTBC時，OD最小，即DE最小.ODTBC，BCTAB，:ODⅡAB，:OD是△ABC的中位線，:CDⅡAE，:當DE丄BC時，DE取最小值，∵7B=90O，的距離處處相等.【分析】取AB的中點E，連接OE、CE，則BE=根據(jù)正方形的性質及勾股定理得即可求解.【詳解】解：如圖，取AB的中點E，連接OE、CE，則BE=，∵四邊形ABCD是正方形，邊長為4，:<ABC=90。,AB=BC=4，則BE=AB=2，三角形三邊關系，理解題意，熟練掌握運用這些知識點是解題關鍵.【分析】取AB的中點E，連接OE、CE，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半” 【詳解】解：取AB的中點E，連接OE、CE， :OC的最大值為3+35，兩點之間線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵. 【分析】如圖所示，取BC的中點F，連接DF，DE，利用勾股定理求出DF的長，再確定DE最大時的條件，即可求出答案.【詳解】如圖所示，取BC的中點F，連接DF，DE，:7BCD=90O，∵F是BC的中點，:當點E，F(xiàn)，D三點共線時，DE有最大值， :DE最大值=EF+DF=5+52， 【點睛】此題考查了矩形性質及三角形的三邊性質，確定最值條件是解題的關鍵.【分析】取AB中點E，連接OE，CE，根據(jù)勾股定理求出CE，根據(jù)直角三角形斜邊中線【詳解】解：取AB中點E，連接OE，CE，正方形ABCD，AB=6，點E是AB中點，:OE=AB=3，:當O，C，E三點共線時，OC取最大值，最大值為OE+CE=3+3關系求線段的最值等，解題的關鍵是正確作出輔助線.CD的值最小，即線段EF有最小值，在Rt△ABC中，可求出AB的值，根據(jù)等面積法即可 求出CD的值，由此即可求解.【詳解】解：如圖所示，連接CD，∴CD是斜邊AB的高，∴線段EF的最小值是2.4，故選：D.線段最小值的轉換方法，等面積法求高是解題的關鍵.【分析】連接CM，先證明四邊形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面積關系【詳解】解：連接CM，如圖所示：∴DE=CM，當CM丄AB時，CM最短，此時Rt△ABC的面積AB.CM=BC.AC，∴線段DE的最小值為，矩形的判定與性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵.【分析】由勾股定理求出BC的長，再證明四邊形DMAN是矩線段最短和三角形面積即可解決問題.∵DM丄AB，DN丄AC，∴四邊形DMAN是矩形.∴當AD丄BC時，AD的值最小，此時，ΔABC的面積AB×AC=BC×AD，的關鍵是熟練掌握基本知識，本題屬于中考常考題型. 定理，連接FG、BE，根據(jù)EFTAB，EGTBC結合正方形的性質得到FG=BE，根據(jù)垂線段最短，可知當BETAC時，BE最小，得出△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解.【詳解】解：連接FG、BE，又EFTAB于點F，EGTBC，:四邊形FBGE是矩形.:FG=BE.:當BE最小時，F(xiàn)G就最小.根據(jù)垂線段最短，可知當BETAC時，BE最小.當BETAC時，在正方形ABCD中，△AEB是等腰直角三角形，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得2BE2=AB2=400， 解得BE=102. 故答案為：102.【分析】將△BPC繞點C逆時針旋轉60°,得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求.【詳解】解：將△BPC繞點C逆時針旋轉60°,得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求.考題型.【分析】將△BPC繞點C逆時針旋轉60°,得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求.【詳解】解：如圖，將△BPC繞點C逆時針旋轉60°,得到△EFC，連接PF、AE、AC，【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、矩形的性質、旋轉變換等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.【分析】過點P作PM,丄AD，垂足為M,，過點D作DG丄AB，垂足為G，交AC于點H，連接BD，交AC于點O，連接BH，根據(jù)菱形的性質，得到PM,=PM，BH=DH，由PN丄BC，PM,丄AD，結合ADⅡBC，推出點M,,P,N三點共線，即【詳解】解：過點P作PM,丄AD，垂足為M,，過點D作DG丄AB，垂足為G，交AC于點H連接BD，交AC于點O，:ABCD是菱形，PM/丄AD，PM丄AB，:PM/=PM，BH=DH，:PN丄BC，PM/丄AD，ADⅡBC，當點D,P,M三點共線時，即點G，M重合，DP+PM有最小值，最小值為DG的長，:PD+PM+PN有最小，最小值為DG+BH，:菱形ABCD的面積為AC.BD=AB.DG，:△BOH∽△AOB，:DG+BH=+=，做出輔助線證明三角形相似是解題的關鍵.△DQC，則△APP和△DQQ是正三角形，進而可證當B,P,P,Q,Q,C六點共線時AP+BP+PQ+CQ+DQ的值最?。B接BB,CC，則△ABB和△CDC是等邊三角形，然后分別求出BE,EF,CF的值即可.【詳解】解：將△APB繞點A順時針旋轉60O至OAPB至△DQC，∴AP+BP+PQ+CQ+DQ∴當B,P,P,Q,Q,C六點共線時AP+BP+PQ+CQ+DQ的值最小.連接BB,CC，∴B,C,垂直平分AB,CD， 即AP+BP+PQ+CQ+DQ的值最小為1+3. 【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，線段垂直平分線的判定，等邊三角形的判定與性質等知識，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.【分析】過P點作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A點關于MN的對稱點A,，連接求出A,B即可.【詳解】解：過P點作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A點關于MN的對稱點A,，連接A,B交MN于點P，【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點.線段相加最小值后用勾股定理即可求出本題答案.【詳解】解：設△PAB中AB邊上的高是h，∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關于直線l的對稱點E，,線段最短.:PE=9×2÷6=3，題. 40．85【分析】首先由S△ABP=10.5，得出動點P在與AB關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值.【詳解】設△ABP中AB邊上的高是h，:動點P在與AB平行且與AB的距離是3的直線l上，作A關于直線l的對稱點E，連接在Rt△ABE中，AB=7，AE= 【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質，勾股定理，兩點之間線段最短的性質．得出動點P所在的位置是解題的關鍵.∴點A，F(xiàn)，C在同一條直線上時，CF最小， ∴CF=AC-AF=2·5-2.【點睛】此題考查了折疊的性質，勾股定理，熟記折疊的性質是解題的關鍵.AD=3，DG=進一步求得從而解∵四邊形ABCD是平行四邊形，<B=60O∵E是AB的中點，AB=4，【點睛】本題主要考查了折疊的性質、平行四邊形的性質、兩點之間線段最短的綜合運用，43．E與點D重合時，點F恰好落在邊AB上，畫出圖形，由勾股定理解Rt△FBP，Rt△DAF求出AB的長，再根據(jù)PF=PC=5cm，點P為定點，可知點F和點C在以點P為圓心，5為半徑的圓上，連接AP，與ΘP交點即為所求點F.【詳解】解：矩形ABCD中，AD=8cm，當點E與點D重合時，點F恰好落在邊AB上，如下圖所示：在Rt△FBP中，由勾股定理得BF2+BP2=PF2，:AF=AB—BF=x4，在Rt△DAF中，由勾股定理得AD2+AF2=DF2，:AB=CD=10cm.:點F和點C在以點P為圓心，5為半徑的圓上，如圖，連接AP，與ΘP交點即為所求點F，:AB=10cm，BP=3cm， 【分析】本題考查了矩形的性質、折疊的性質、以及勾股定理，利【詳解】解：由折疊知，點D,在以點A為圓心，AD為半徑的圓弧上，所以當A、D,、C:矩形ABCD中，AB=5，AD=3，:DC=AB=5 運用這些知識是解題的關