北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年度高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

試題【解析版】

第一部分(選擇題共50分)

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，

選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.已知A(-L3),8(3,5),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(1,4)B.(2,1)C.(2,8)D.(4,2)

2.如圖，平行六面體ABC。-A4G。中，E為CC1中點(diǎn).設(shè)AB二a，AD=b，44,=c,

用基底｛。，6,4表示向量AE，則AE=<)

C.a+4+cD.—a+Z?+c

22

3.在如圖所示的正方體ABCD-A耳GA中，異面直線A/與8c所成角的大小為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A4CQ中，=()

A.2忘B.4亞C.2D.4

5.如圖，在四面體A-BC。中，49，平面8。9,BCLCD,則下列敘述中錯(cuò)誤的是

()

A

---丁7D

C

A.NACO是直線AC與平面BCD所成角

B./AAD是二面角A-8C-O的一個(gè)平面角

C.線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線BC的距離

D.線段AD的長(zhǎng)是點(diǎn)A到平面BCD的距離

6.已知直線，i：2x+（q_l）y+a=0與直線4：ox+y+2=0平行，貝i]a的值為（）

A.-1或2B.—C.2D.—1

7.在同一平面直角坐標(biāo)中，表示4：y=6+。與仆y=6x-a的直線可能正確的是（）

8.長(zhǎng)方體ABCO-A4G。中，AAl=AB=2,M為A8的中點(diǎn)，D.MVMC,則4）=

（）

A.1B.2C.3D.4

9.設(shè)尸為直線y=-l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸做圓C：（x+3Y+（y-2）2=4的切線，則切線

長(zhǎng)的最小值為（）

A.2B.6C.3D.-Jvi

10.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》

是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)

%依＞0且％"）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)A（-l,0）,

8（2,0）,圓C:（x-2y+（y-姆=","0）,在圓上存在點(diǎn)尸滿足|網(wǎng)=2儼卸，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是（）

J5向

~2

第二部分(非選擇題共100分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.已知4(2,1),8(0,-3),則直線的斜率3.

12.已知4(0,0),8(2,2),C(4,2),則依C外接圓的方程為_(kāi)_______.

13.已知直線/與平面a所成角為45。，A,8是直線/上兩點(diǎn)，且AB=6,則線段A3在

平面。內(nèi)的射影的長(zhǎng)等于.

14.如圖，長(zhǎng)方體ABCO-AAGR中，AA,=AD=\,AB=1,則點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離

等于;點(diǎn)R到直線AC的距離等于

15.已知圓。：/+/=/&>0)和直線/：x-y+4=0,則圓心。到直線/的距離等

于;若圓。上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為0,寫(xiě)出一個(gè)符合要求的

實(shí)數(shù),的值，，?=.

16.如圖，在四棱錐P-A8CO中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，一抬8是等邊三

角形，。為A3的中點(diǎn)，且PO上底面438,點(diǎn)F為棱PC上一點(diǎn).給出下面四個(gè)結(jié)論：

①對(duì)任意點(diǎn)尸，都有CCOF；

②存在點(diǎn)F,使。尸〃平面尸仞；

③二面角P—AC—B的正切值為新；

④平面PAB_L平面A8CO.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)

程.

17.已知三條直線4：x+y—2=0,4：x—3y+10=0,4：3x—4y+5=0.

(1)求直線4，乙的交點(diǎn)〃的坐標(biāo);

(2)求過(guò)點(diǎn)M且與直線人平行的直線方程;

(3)求過(guò)點(diǎn)M且與直線4垂直的直線方程.

18.已知圓C的圓心為點(diǎn)。(1,-3),半徑為2.

(1)寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/：》->-2=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),求線段48的長(zhǎng).

19.如圖，在四棱錐P-A5CD中，底面ABC7),底面ABCD是正方形，PA=AB=\,

M為尸8的中點(diǎn).

(1)求證：平面P8C；

(2)求直線PO與平面PBC所成角的大小；

(3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

20.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AA_L平面4BC,。是BC的中點(diǎn)，BC=6,

4A=AB=AC=1.

D

B

⑴求證：AB〃平面AOC；

(2)求二面角O-AG-C的余弦值；

(3)判斷直線A由與平面AOG是否相交，如果相交，求出4到交點(diǎn)〃的距離；如果不相

交，求直線4片到平面AOG的距離.

21.已知圓M：/+y2-4x-2y=0和直線/：y=Ax-l.

⑴寫(xiě)出圓M的圓心和半徑；

(2)若在圓M上存在兩點(diǎn)4,8關(guān)于直線/對(duì)稱，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，

求直線A8的方程.

1.A

【分析】用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.

-1+3

a=F-

【詳解】設(shè)線段A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為“（。力），則3工，

b=:-

2

（4二1

即6=4'則線段A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為“（L4）.

故選：A.

2.B

【分析】利用幾何圖形的關(guān)系，結(jié)合向量的加法運(yùn)算，即可求解.

【詳解】AE=AC+CE=AB+AD+^AAt=a+b+^c.

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義及正方體的特征求解

【詳解】連接A。，DB,如圖,

因?yàn)檎襟w中AD//8C，

所以NBAD就是A8與B、C所成的角,

在；BA】Z）中，A^D=\B=BD.

??./%。=60。.

故選：C

4.D

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算即可.

D,c

C

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A冉GR中，

易知14Al=2,閘|=2&

因?yàn)锳A=與3cl的夾角為-,

所以A4,與BQ的夾角為:，

/Z

A4,?BCt=|A4l|.|fiCl|cos^=2x2>/2x^-=4.

故選：D

5.B

【分析】根據(jù)線面垂直即可求解AD,根據(jù)8c1平面AC。，即可得3C_LAC,進(jìn)而判斷

C,結(jié)合二面角的定義即可判斷B.

【詳解】對(duì)于AD,由于">_L平面88,所以/AC。是直線AC與平面BCO所成角，線

段AO的長(zhǎng)是點(diǎn)A到平面BCD的距離，故AD正確，

對(duì)于B,AT>J_平面8c。，8。匚平面8。。,所以8。，4。,又8。_18,

AD8=。,4￡),8<=平面48,所以BC/平面ACZ),

C4u平面ACD,故3c1AC,

又BCLCD,ACu平面ABC,C￡)u平面BCD,

故/AC￡>是二面角A-8C-Q的一個(gè)平面角，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,由于BCJ.AC,所以線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線BC的距離，C正確，

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)兩直線平行，即可列式求解.

【詳解】因?yàn)椤?,所以

a12

解得：a=-\.

故選：D

7.C

【分析】結(jié)合各選項(xiàng)分析直線的斜率與在y軸上的截距，即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：由圖可得直線4的斜率a>0,在y軸上的截距

而4的斜率6<0,矛盾，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B：由圖可得直線4的斜率a>0,在y軸上的截距%>0；

而4的斜率6<0,矛盾，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于c：由圖可得直線4的斜率“<0,在)軸上的截距b>0；

而4的斜率方>0,在y軸上的截距-。>0,即a<0,故C正確.

對(duì)于D：由圖可得直線4的斜率。<0,在y軸上的截距6<0；

而4的斜率方>0,矛盾，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.A

【分析】連接CR,設(shè)4￡>=a(a>0),表示出CM,CD,,MD,,利用勾股定理計(jì)算可得.

【詳解】如圖連接C0,設(shè)4O=a(a>0),則CM=J/+1，

CD,=V22+22=2V2,MD、=V?2+l2+22=J/+5,

因?yàn)镽M1MC,所以MC2+MR2=C22,即/+1+/+5=8,解得a=l(負(fù)值舍去).

故選：A

9.B

【分析】根據(jù)切線最小時(shí)為圓心到直線上的點(diǎn)的距離最小時(shí)可以求出圓心到直線的距離，再

求出切線長(zhǎng)即可.

【詳解】圓心為。(一3,2),半徑為r=2,設(shè)切點(diǎn)為。，

要使得切線長(zhǎng)歸。|最小，則|。耳最小，此時(shí)CP，/,

所以|CP|=臂=3,所以|也|=廊=二=石，

故選：B

10.D

【分析】設(shè)P(x,y),根據(jù)|E4|=2|P8|求出點(diǎn)尸的軌跡方程，根據(jù)題意可得兩個(gè)圓有公共點(diǎn),

根據(jù)圓心距大于或等于半徑之差的絕對(duì)值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.

【詳解】設(shè)P(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A(—1,0),8(2,0),|申|=2|陶，

所以yj(x+\)2+y2=2^(x-2)2+y2即/+丁-6x+5=0,

所以(x-3)\y2=4,可得圓心(3,0),半徑R=2,

由圓C:(x-2)2+(y-⑺2=；可得圓心C(2m),半徑—=],

因?yàn)樵趫AC上存在點(diǎn)產(chǎn)滿足|R4|=2|PB|,

所以圓(x-3)2+V=4與圓C:(x—2y+(y-m)2=；有公共點(diǎn)，

所以2—彳4J(3—2)~+〃-<2+—>整理可得：1+/n2<,

解得：JlqmM叵,

22

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是手，等，

故選：D.

11.2

【分析】根據(jù)直線斜率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)題意，kAB=^^-=2,

故答案為：2.

12.x2+y2-6x+2y=0

【分析】首先設(shè).MC外接圓的方程為『+/+m+6+尸=0,從而得到

F=0

4+4+2￡>+2E+F=0,再解方程組即可.

16+4+4D+2E+F=0

【詳解】設(shè)ABC夕卜接圓的方程為丁+J、+。工+砂+/=o,

F=0￡>=-6

則44+4+2D+2E+T7=0=><E=2,

16+4+4O+2E+F=0[F=0

所以45c外接圓的方程為：x2+y2-6x+2y=0.

故答案為：x2+y2-6x+2y=0

13.3也

【分析】依題意可得線段AB在平面a內(nèi)的射影的長(zhǎng)等于Mcos45。.

【詳解】因?yàn)橹本€/與平面a所成角為45。，A,B是直線/上兩點(diǎn)，且AB=6,

則線段AB在平面a內(nèi)的射影的長(zhǎng)等于ABcos45。=6x—=372.

2

故答案為：3亞

14.V6苧##]?

【分析】以向量D4，DC，所在方向?yàn)閤軸，）'軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩

點(diǎn)間的距離公式可求點(diǎn)R到點(diǎn)8的距離；連接。①，作。E垂直AC,垂足為E,求出向量

ULIII

ADt在向量AC上的投影，由勾股定理即可求點(diǎn)。到直線AC的距離.

【詳解】如圖，以向量DA，DC，所在方向?yàn)閤軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由M=AO=1,AB=2,則2（0,0,1）,1,2,0）,所以1卻=Jl+4+1=3,

所以點(diǎn)R到點(diǎn)B的距離等于V6.

連接0A,作RE垂直AC,垂足為E,由A（l,0,0）,C（0,2,0）,所以叫=（一1,0,1）,

,、?AD,■AC1V5

AC=（T2,0）,所以MAE|=不不=忑=行，

又|A〃卜近,所以點(diǎn)】到直線AC的距離d=NJ=手.

15.202（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算；將圓。上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為應(yīng)轉(zhuǎn)化

為半徑與圓心。到直線/的距離之間的關(guān)系即可求解.

|0-0+4|

【詳解】圓心。到直線/的距離為d==2&；

VT+T

因?yàn)閳A。上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為正，所以-0<"-廠<應(yīng)，解得0<〃<3&.

故答案為：2近;2（答案不唯一）.

16.②③④

【分析】根據(jù)題意，利用空間直線與直線，直線與平面位置關(guān)系，依次進(jìn)行判斷即可.

對(duì)于①，若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，顯然不滿足所以①錯(cuò);

對(duì)于②，若點(diǎn)F為線段PC中點(diǎn)，取線段尸。中點(diǎn)E,連接EF,

貝IJEF8且EF=；C￡>,

所以所〃A。且EF=AO,則四邊形AOFE為平行四邊形，

得。尸〃AE,因?yàn)椤?0平面PA￡）,AE=平面PAD

所以O(shè)F〃平面尸AQ,所以②正確；

對(duì)于③，因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn)，且PO1底面A8CO,

過(guò)。作OHJ_AC于H,

則NPHO即為二面角尸―AC—3的平面角，

根據(jù)邊長(zhǎng)可求得P0=且，0"=變，

24

所以tanNPHO=2所以③正確:

4

對(duì)于④，因?yàn)榈酌鍭8C￡>,POu平面R4B,

所以平面PAB_L平面ABC。，所以④正確;

故答案為：②③④

17.(1)M(2,4)

(2)3x-4y+10=0

⑶4x+3y—20=0

【分析】(1)聯(lián)立直線方程，即可求解；

(2)根據(jù)己知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解;

(3)根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解;

fx+y—2=0fx=2

【詳解】(1)聯(lián)立；in八，解得，，

[x-3y+10=0[y=4

故交點(diǎn)〃坐標(biāo)為M(2,4)；

(2)所求直線與直線4平行，

則所求直線可設(shè)3x-4y+C=0(Cw5),

所求直線過(guò)點(diǎn)M(2,4),

則3x2-4x4+C=0,解得C=10,

故所求直線方程為3x-4y+10=0；

(3)所求直線與直線4垂直，

則所求直線可設(shè)4x+3y+￡>=0,

所求直線過(guò)點(diǎn)M(2,4),

則4x2+3x4+￡>=0,解得￡>=一20,

故所求直線方程為4x+3y-20=0.

18.(l)(x-l)2+(y+3)2=4

⑵2夜

【分析】(1)根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義可得解；

(2)求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理計(jì)算可得.

【詳解】(1)因?yàn)閳A心C(l,-3),半徑廠=2,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)，(y+3)2=4.

(2)圓心C到直線/的距離d==

V2

2

19.(1)見(jiàn)解析

⑶變

2

【分析】(1)根據(jù)線線，線面的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可證明線面垂直；

(2)首先建立空間直角坐標(biāo)系，由(1)可知向量AM是平面P8C的法向量，利用向量法

求線面角的大小；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)果，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的定義，即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)樯?,平面ABC。，所以

又PAAB=A,尸A,A8u平面%

所以3cl平面以8,AMu平面乃W,

所以BC_LAM,

因?yàn)镽4=/W,且點(diǎn)〃是尸8的中點(diǎn)，所以AA/J_P8,

且8cPB=B,

所以AA/1平面PBC；

(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以向量A8,ARAP為％y,z軸的方向向量，建立空間直角坐標(biāo)系,

A（0,0,0）,P（O,O,1）,。（0,1,0）,8（1,0,0）,C（l,l,0）,

A例=（；,0,￡|,PD=（0,1-1）,

由（1）可知，向量AM是平面PBC的法向量，

設(shè)直線與平面PBC所成角為凡

_1

-5

所以sin(9=|cos(PZ),AM，卜則。=9

正走LO

2

所以直線PD與平面PBC所成角的大小為與；

6

（3）因?yàn)镽4=AD=1,則=

由（2）可知，直線尸￡）與平面P8C所成角的大小為

所以點(diǎn)。到平面P6C的距離為&sin^=走.

62

20.⑴見(jiàn)解析

⑵如

3

（3）相交，AH=-j2

【分析】（1）構(gòu)造中位線，利用線線平行證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求二面角的余弦值；

（3）利用平面的性質(zhì)，即可判斷直線A片與平面AOC的位置關(guān)系，并利用圖形求解.

【詳解】（1）連結(jié)AC交AR于點(diǎn)E,連結(jié)。￡,

小

因?yàn)辄c(diǎn)Z),E分別是BC，AC的中點(diǎn)，所以。E//A8,

且￡)Eu平面AOG，4乃仁平面4。6，

所以AB//平面4OG；

(2)因?yàn)殂@=AC=1,BC=五,

所以AB1AC,且平面ABC,

所以如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以向量AB,AC,A4,為x,y,z軸的方向向量建立空間直角坐標(biāo)系,

A(0,0,0)