第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES2*24頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES2*24頁第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES2*24頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES2*24頁5.5數(shù)學歸納法同步練習學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．用數(shù)學歸納法證明“”的過程中，從到時，左邊增加的項數(shù)為（）A． B． C． D．2．在正項數(shù)列中，，，則（）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減3．“”表示實數(shù)整除實數(shù)，例如：，已知數(shù)列滿足：，若，則，否則，那么下列說法正確的有（

）A． B．C．對任意，都有 D．存在4．意大利數(shù)學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結構”、化學等領域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2024項的和為（

）A．1348 B．675 C．1349 D．13505．意大利數(shù)學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結構”、化學等領域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2023項的和為（

）A．1348 B．675 C．1349 D．13506．利用數(shù)學歸納法證明不等式（，）的過程中，由到時，左邊增加了（

）A．1項 B．k項 C．項 D．項7．用數(shù)學歸納法證明“當為正奇數(shù)時，能被整除”，第二步歸納假設應寫成（）A．假設正確，再推正確B．假設正確，再推正確C．假設正確，再推正確D．假設正確，再推正確8．用數(shù)學歸納法證明“對任意的，”，第一步應該驗證的等式是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（多選題）已知數(shù)列{}的前n項和為，，則下列選項正確的是（

）A． B．存在，使得C． D．是單調遞增數(shù)列，{}是單調遞減數(shù)列10．用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，下列說法正確的是（）A．使不等式成立的第一個自然數(shù)B．使不等式成立的第一個自然數(shù)C．推導時，不等式的左邊增加的式子是D．推導時，不等式的左邊增加的式子是11．已知數(shù)列中，，，則下列結論正確的是（

）A．當時，數(shù)列為常數(shù)列B．當時，數(shù)列單調遞減C．當時，數(shù)列單調遞增D．當時，數(shù)列為擺動數(shù)列12．設是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當成立時，總可推出成立”，那么下列命題不成立的是（

）A．若成立，則當時，均有成立B．若成立，則當時，均有成立C．若成立，則當時，均有成立D．若成立，則當時，均有成立三、填空題13．用數(shù)學歸納法證明“”時，第一步需要驗證的不等式為14．用數(shù)學歸納法證明時，從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是15．數(shù)列滿足：.若數(shù)列單調遞減，則c的取值范圍是；若數(shù)列單調遞增，則c的取值范圍是.四、解答題16．已知數(shù)列滿足，設該數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列.(1)用數(shù)學歸納法證明：（是正整數(shù)）；(2)求數(shù)列的通項公式.17．在數(shù)列{an}中，．(1)求出，猜想的通項公式；并用數(shù)學歸納法證明你的猜想．(2)令，為數(shù)列的前n項和，求．18．數(shù)列有100項，，對任意，存在,若與前n項中某一項相等，則稱具有性質P．(1)若，寫出所有可能的值；(2)若不是等差數(shù)列，求證：數(shù)列中存在某些項具有性質P;(3)若中恰有三項具有性質P，這三項和為，請用表示．19．已知函數(shù)，設，且任意的，有.(1)求的值；(2)試猜想的解析式，并用數(shù)學歸納法給出證明.20．數(shù)列滿足為正整數(shù).(1)試確定實數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(2)當數(shù)列為等差數(shù)列時，等比數(shù)列的通項公式為，對每個正整數(shù)，在和之間插入個2，得到一個新數(shù)列，設是數(shù)列的前項和，試求滿足的所有正整數(shù).答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【分析】根據(jù)和時，對比左邊的表達式，進行計算即可.【詳解】時，可得：時，可得：，故增加了項.故選：A2．A【分析】先判斷大小關系，進而假設數(shù)列單調性，利用數(shù)學歸納法證明即可得結論.【詳解】由，且，顯然成立，假設，成立，當時，則，所以，故為遞減數(shù)列.故選：A3．C【分析】根據(jù)遞推關系可計算，，故可判斷AB的正誤，利用數(shù)學歸納法可證：除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故可判斷CD的正誤.【詳解】因為，故，故，而，故，故A錯誤.但，故，此時，故B錯誤.下面用數(shù)學歸納法證明：除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù).當時，，此時除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù).設當時，除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù).則當時，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，又與除3余數(shù)相同，故除3余1，故除3余2，故除3余2，由數(shù)學歸納法可得除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù).故除3余1，除3余2，故除3余0，即，故C正確.由C的分析可得沒有項使得，否則除以3的余數(shù)為0，故D錯誤.故選：C.【點睛】方法點睛：對于給定的數(shù)列的遞推關系，要研究數(shù)列的若干性質，注意從而特殊情況總結出一般規(guī)律，再利用數(shù)學歸納法證明即可.4．D【分析】由已知條件寫出數(shù)列的前若干項，觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列周期為3，再利用數(shù)學歸納法證明猜想，從而可求得答案.【詳解】依題意，若，等價于為偶數(shù)，若，等價于為奇數(shù)，顯然，猜想：，當時，成立；假設當時，成立，則為奇數(shù)，為偶數(shù)；當時，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故符合猜想，因此，，所以數(shù)列的前2024項的和為.故選：D【點睛】方法點睛：本題主要考查數(shù)列的周期性以及應用，考查了遞推關系求數(shù)列各項的和，利用遞推關系求數(shù)列中的項或求數(shù)列的和：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.5．C【分析】由已知條件寫出數(shù)列的前若干項，觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列周期為3，從而可求得答案.【詳解】依題意，若，等價于為偶數(shù)，若，等價于為奇數(shù)，顯然，猜想：，當時，成立；假設當時，成立，則為奇數(shù)，為偶數(shù)；當時，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故符合猜想，因此，，所以數(shù)列的前2023項的和為.故選：C【點睛】方法點睛：本題主要考查數(shù)列的周期性以及應用，考查了遞推關系求數(shù)列各項的和，利用遞推關系求數(shù)列中的項或求數(shù)列的和：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.6．D【分析】利用數(shù)學歸納法，分別寫出和的式子，作差能夠得到增加的項.【詳解】當時，左邊，當時，左邊，左邊增加的項為，共項.故選：D7．B【分析】注意為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設．【詳解】解：根據(jù)數(shù)學歸納法的證明步驟，注意為奇數(shù)，所以第二步歸納假設應寫成：假設正確，再推正確；故選：B．【點睛】本題是基礎題，不僅注意第二步的假設，還要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本題的關鍵8．B【分析】由數(shù)學歸納法相關步驟可得答案.【詳解】因，則第一步應驗證當時，是否成立.故選：B9．ACD【分析】由整理得，令，得到，借助反比例函數(shù)和的單調性得到和的增減性，即可判斷D選項；根據(jù)求的范圍即可判斷C選項；利用數(shù)學歸納法證明，，即可得到，，即可判斷A選項，根據(jù)，，可得，即可判斷B選項.【詳解】對于D，由可得，令，則，又，則，，當時，，，，設，在上單調遞增，∵，∴，傳遞下去，可得，同理可得，∴是單調遞增數(shù)列，是單調遞減數(shù)列，又∵，在R上單調遞增，所以是單調遞增數(shù)列，是單調遞減數(shù)列，故D正確；對于C，由，得，，得，∴，即，∵，∴，，顯然，故C正確；對于A，先證：，當時，成立，假設當時，成立，那么當時，成立，綜上，成立，同理可得，∴，即，故A正確；對于B，要使，則，而，，所以，即，故B錯誤.故選：ACD.【點睛】方法點睛：利用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的步驟：①證明當時命題成立；②以“當時命題成立”為條件，推出“當時命題也成立”，只要完成這兩個步驟，就可以判斷命題對從開始的所有正整數(shù)都成立.10．BC【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法逐項分析判斷.【詳解】當時，可得；當時，可得；即使不等式成立的第一個自然數(shù)，故A錯誤，B正確；當時，可得；當時，可得；兩式相減得：，所以推導時，不等式的左邊增加的式子是，故C正確，D錯誤；故選：BC.11．ABC【分析】求出數(shù)列各項的值，可判斷A選項；利用數(shù)列的單調性可判斷B選項；利用數(shù)學歸納法推導出，結合數(shù)列的單調性可判斷C選項；取，求出數(shù)列各項的值，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當時，，由可得，，，，以此類推可知，對任意的，，此時，數(shù)列為常數(shù)列，A對；對于B選項，當時，則，此時，數(shù)列單調遞減，B對；對于C選項，因為，，且，則，猜想，，，當時，猜想成立，假設當時，猜想成立，即，則當時，，因為，則，則函數(shù)在上單調遞增，所以，，即成立，由數(shù)學歸納法可知，對任意的，，所以，，此時，數(shù)列單調遞增，C對；對于D選項，當時，取，則且，則，，，，以此類推可知，當且時，，即，此時，數(shù)列不是擺動數(shù)列，D錯.故選：ABC.【點睛】方法點睛：判斷數(shù)列單調性的方法有：（1）利用數(shù)列對應的函數(shù)的單調性判斷；（2）對數(shù)列的前后項作差（或作商），利用比較法判斷.12．ABC【分析】根據(jù)題設結論逐項分析判斷.【詳解】對于A，若成立，由題意只可得出當時，均有成立，故A錯誤；對于B，若成立，則當時均有成立，故B錯誤；對于C：因為不滿足題設條件，故不能得出相應結論，故C錯誤；對于D：若成立，則當時，均有成立，故D正確；故選：ABC.13．【分析】因，故第一步需要驗證的是時的不等式，代入整理即得.【詳解】用數(shù)學歸納法證明“”時，第一步需要驗證，當時，不等式，即成立，故答案為：.14．【分析】利用數(shù)學歸納法的步驟計算即可.【詳解】把和代入等式左邊分別可得：①②兩式作差得.故答案為：15．【分析】若數(shù)列單調遞減，則恒成立，可得恒成立，由此可得c的范圍.若數(shù)列單調遞增，則，即，且母函數(shù).數(shù)列有極限，其值為其不動點.又在上單調增加，故，所.于是只需要證明時滿足條件，時不滿足條件即可.【詳解】①若數(shù)列單調遞減，因為，則，即，因此恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以c＜0.②數(shù)列單調遞增，則當時，，當時，，而函數(shù)在上單調遞增，則，即，假設當n＝k，k∈時，，則，即，因此由數(shù)學歸納法可得，即數(shù)列單調遞增；當時，因為，則，即，有，，而，于是，即有，從而，則，令，故當時，，此時，而在上單調遞減，∴，即，與題意矛盾.綜上，的取值范圍是.故答案為：；16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)題意得到之間的等式關系，再證明時，符合題意，而后假設時，所證成立，最后再根據(jù)之間的關系，推出時所證成立即可；（2）根據(jù)（1）的結論，結合，可得出當時，的通項公式，再驗證時，是否符合通項公式，最后寫出通項公式即可。【詳解】（1）證明：因為，，成等差數(shù)列，所以，因為，所以上式可化簡為，將帶入上式可得：，當時，，符合，假設當時，有成立，則當時，，因為，所以,所以,符合，故有成立；（2）由（1）可得，，當時，，因為，符合，故。17．(1)，，，證明見解析(2)【分析】（1）代入計算即可得到，按照數(shù)學歸納法的步驟證明即可；（2），再利用錯位相減法即可.【詳解】（1）∵，∴因此可猜想:；當時，，等式成立，假設時，等式成立，即，則當時，，即當時，等式也成立，綜上所述，對任意自然數(shù)，.（2），①②由①-②得：18．(1)3,5,7(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)定義式子代入即可求解；（2）通過數(shù)學歸納法證明逆否命題為真命題；（3）分析去掉具有P性質三項后，得到等差數(shù)列求和即可.【詳解】（1），；當時，；當時，；，若，則；若，則；若，則（與時重復），或；所以的可能值有（2）假設中不存在滿足性質的項，即對任意均有；下面數(shù)學歸納法證明，是等差數(shù)列；①當時，成立；②設當且時，；則當時，因為不具有性質，故而又存在，故，即；綜上所述，當中不存在滿足性質的項時，時等差數(shù)列成立；故其逆否命題：當不是等差數(shù)列時，中存在滿足性質的項成立.（3）將數(shù)列中具有性質的三項去掉，得到一個新的數(shù)列，，，，且中沒有滿足性質的項，由（2）可知，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又因為數(shù)列中去掉的三項和為，所以.【點睛】方法點睛：本題屬于數(shù)列新定義問題，重點考查新定義“性質”的理解和運用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查分類討論思想方法，以及運算能力和推理能力.處理