線性代數高等學校經濟管理學科數學基礎微積分常微分方程第一節常微分方程的基本概念第二節一階微分方程第三節可降階微分方程第四節二階常系數微分方程常微分方程第一節微分方程的基本概念一、基本概念引例二、微分方程的基本概念常微分方程

導言：為了解決實際問題，經常需要確定反映客觀事物內部間聯系的函數關系.尋找函數關系的一種常用方法是建立所求函數的導數所滿足的關系式這種關系式就是所謂的微分方程.

本章主要介紹微分方程的基本概念、幾種常用微分方程的經典解法和微分方程的應用.第一節微分方程的基本概念一、基本概念引例

例

一曲線過點(1,2),曲線上任意點P(x,y)處的切線斜率等于該點的橫坐標平方的3倍,求此曲線的方程.解①③②由條件代入（3）式，得④由條件得①②③④解法概念命名微分方程初始條件方程通解方程特解解即①②③對①式兩端積分，得將代入③④，得④⑤

例2

設質量為m的物體,以初速度從地面垂直上拋，若物體只受重力作用，試求物體的運動規律.實例2中的對應概念①②③④實例2概念名稱二階微分方程初始條件方程通解方程特解二、微分方程的基本概念

定義含未知函數的導數或微分的方程稱為微分方程；未知函數是一元函數的微分方程稱為常微分方程；微分方程中未知函數的導數的最高階數，稱為微分方程的階.

2.微分方程的解、通解與特解

定義代入方程能使微分方程成為恒等式的函數,稱為微分方程的解.如果微分方程的解中含有任意常數,且獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解稱為微分方程的通解.相應的，不包含任意常數的解為微分方程特解.1.微分方程及微分方程的階

常數的獨立性：若在表達式中則稱函數此時常數相互獨立.3.微分方程的初值條件及其記法

用以確定微分方程解中任意常數的特定條件，稱為微分方程的初值條件.初值條件的記法例解常微分方程第二節一階微分方程一、可分離變量的微分方程二、齊次微分方程三、一階線性微分方程第二節一階微分方程一階微分方程的基本形式為或一、可分離變量微分方程形如的一階微分方程稱為可分離變量的微分方程.

方程的主要特征：等式左端為一階導數，等式右端變量x的函數與變量y的函數之積.可分離變量微分方程的解法（1）分離變量（2）等式兩端積分（3）求解積分得通解上式等式左端積分表示對變量y積分,等式右端積分表示對變量x積分.例解例解將方程變形分離變量得例解二、齊次微分方程定義形如的方程稱為齊次微分方程.

齊次微分方程的特點：微分方程的右端為齊次函數．（齊次函數是指：若這里t為任意實數，則稱為齊次函數）．例如下列方程為齊次微分方程.齊次微分方程的解法對齊次微分方程作變量代換即兩邊求導得將其代入原方程，得可分離變量的微分方程積分得它的通解為求出積分后，將回代就得到原方程的通解.例求微分方程的通解．解作變量代換即則即分離變量取積分，得求不定積分，得即將回代，得到原方程的通解為例求微分方程的通解．解作變量代換即則即分離變量取積分，得求不定積分，得即將回代，得到原方程的通解為三、一階線性微分方程形如一階線性微分方程.

方程的主要特征：等式左端為的線性表達式，等式右端為變量x的函數.的一階微分方程稱為非齊次方程.為一階線性線性齊次方程.為一階一階線性非齊次微分方程的求解步驟一：先求齊次方程的通解.（1）方程變形得（2）方程分離變量得（3）方程兩端積分得（4）齊次方程的通解為（C為任意常數）步驟二：求非齊次方程的通解.設為待定.將其對x求導,得是非齊次方程的解其中C(x)將上式積分，得

上式即為線性非齊次微分方程的通解.也稱為非齊次線性微分方程通解公式.所以，得非齊次方程的解

概括：這種通過把對應的線性齊次方程的通解中的任意常數變易為待定函數，然后求出線性非齊次方程的通解，這種方法稱為常數變易法.一階線性非齊次微分方程的兩種求解方法方法一：常數變易法（1）求齊次方程的通解.（2）將齊次方程通解中的常數變易為函數（3）變易后的函數代入非齊次方程中確定（4）函數代入（*）式得非齊次通解.（*）方法一：公式法（1）將給定方程變為標準方程形式（2）確定方程中的（3）將代入方程的通解公式中（4）積分得非齊次線性微分方程通解.例解法1（常數變易法）所以故得原線性非齊次微分方程的通解為解法2公式法將其代入公式通解公式，得通解例解代入通解公式，得通解將例將方程可改寫為解對于未知函數x(y為自變量)來說，上式方程為一階線性非齊次方程其通解公式為這里將其代入通解公式，得所求方程的通解為例解代入通解公式得將常微分方程第三節可降階的微分方程一、y(n)=f(x)型的微分方程三、型微分方程一、型微分方程

方程特征：方程左側為未知函數的n階導數方程右側為變量x的函數.

方程解法：方程兩端直接依次積分

n

次.即原方程方程兩端積分一次,得方程兩端再積分一次,得方程兩端依次積分n次,得含有n個任意常數的通解.第三節可降階的微分方程例解方程通解

方程特征：方程左側為未知函數的二階導數方程右側為x與（不含y）的函數.

方程解法：方程做變換將其化為一階微分方程，求解一階微分方程可得通解.過程如下：二、型微分方程代入原方程，得一階微分方程（1）做變換（2）求此一階微分方程，得通解（3）將回代得一階微分方程（4）求解微分方程微分方程兩端積分，得原方程通解例解一階線性微分方程由通解公式得于是有再積分一次，得原方程的通解為例解此方程為可分離變量方程方程分離變量兩端積分，解得化簡得將回代得所以將此方程兩端積分，得所求特解為三、型微分方程

方程特征：方程左側為未知函數的二階導數方程右側為y與（不含x）的函數.

方程解法：方程做變換將其化為一階微分方程，求解一階微分方程可得通解.過程如下：代入原方程，得y的一階微分方程（1）做變換（2）求此一階微分方程，得通解（3）將回代得一階微分方程（4）求解微分方程微分方程兩端分離變量方程兩端積分，得通解解代入原方程得原方程通解為例常微分方程第四節二階常系數線性微分方程一、二階常系數線性微分方程解的結構二、二階常系數齊次線性微分方程解法三、二階常系數非齊次線性微分方程解法第四節二階常系數線性微分方程當時，方程形如二階線性微分方程.二階線性微分方程的概念的方程，稱為稱為二階線性齊次微分方程.當時，方程稱為二階線性非齊次微分方程./當時，方程形如稱為二階常系數線性微分方程.常系數線性齊次微分方程.當時，方程二階常系數線性非齊次微分方程./的方程稱為二階稱為二階常系數線性微分方程的概念因為為方程的解，所以一、二階常系數線性微分方程解的結構

定理設y1(x),y2(x)是方程的兩個解,則也是該方程的解,其中C1,C2是任意常數.證1.二階常系數線性齊次微分方程通解結構所以是方程的解.

此定理表明，二階線性齊次微分方程任何兩個解y1(x),y2(x)的線性組合,仍是方程的解.

問題：滿足何條件線性組合為二階線性齊次微分方程的通解？

定義設y1(x)與y2(x)是定義在某區間內的兩個函數，如果存在不為零的常數k(或存在不全為零的常數k1,k2)，使得對于該區間內的一切x，有成立，則稱函數y1(x)與y2(x)在該區間內線性相關，否則稱y1(x)與y2(x)線性無關.為了回答此問題,在此給出線性相關與無關概念.

定理如果函數y1(x)與y2(x)是二階常系數線性齊次微分方程的兩個線性無關的特解，則就是方程的通解.

此定理表明要求二階常系數線性齊次微分方程通解只需求其兩個線性無關的特解y1(x)與y2(x),作線性組合即可.

例驗證為二階常系數線性齊次微分方程通解.解將代入方程易證滿足方程.由

證由與分別為非齊次方程的特解和齊次2.二階常系數線性非齊次微分方程的通解結構

定理設是方程的一個特解，是相應的齊次方程的通解，則為非齊次方程的通解.方程的通解，得

證由與分別為非齊次方程的特解和齊次2.二階常系數線性非齊次微分方程的通解結構

定理設是方程的一個特解，是相應的齊次方程的通解，則為非齊次方程的通解.方程的通解，得所以為非齊次方程的解，且含有兩個獨立的任意常數，故為通解.

此定理說明：二階常系數線性非齊次方程通解可以表達成其特解和相應齊次方程通解之和的形式.

定理設分別是二階常系數線性非齊次微分方程的特解，則是微分方程的特解，其中p，q是常數.證明由題設知二、二階常系數線性齊次微分方程的解法求方程

分析：欲求方程的解，考慮到方程左端為未知函數及其導數的線性組合形式，不妨設方程具有指數形式的解通解.將代入方程整理，得（稱為特征方程）特征方程特征根的討論解特征方程的根為于是都是方程的解，且即

線性無關.方程通解為為其兩個相等實根所以為方程的一個特解.為了找到方程的另一個線性無關的特解.不妨取u=x，可得方程的另一個特解為線性無關的兩個特解所以，方程的通解為因為即方程的通解為此時方程的有兩個復數形式特解.現確定兩個實函數特解.由歐拉公式上式相加減，得這里為方程的兩個特解.即為線性無關特解，故得方程的通解為二階常系數齊次線性微分方程通解兩個不相等實根兩個相等的實根一對共軛復根的通解特征根1.寫出特征方程3.根據兩個特征根的不同情況，由通解公式寫出微分方程的通解.求方程通解步驟2.求出特征方程的兩個根兩個不相等實根兩個相等的實根一對復根的通解特征根例求下列微分方程的通解

解（1）特征方程為（2）特征方程為

例

求方程

y

-4y

+4y=0

的滿足初始條件

y(0)=1，y(0)=4的特解.解

該方程的特征方程為

r2

-4r

+4=0，它有重根

r=2.所以通解為將

y

(0)=4,C1=1代入式，解得

C2=2將

y(0)=1，式解得

C1=1因此，所求特解為y=

(1+2x)e2x.常微分方程第四節二階常系數線性微分方程一、二階常系數線性微分方程解的結構二、二階常系數齊次線性微分方程解法三、二階常系數非齊次線性微分方程解法二階常系數線性非齊次微分方程的一般形式為它所對應的齊次方程為二階常系數線性非齊次微分方程的通解結構

定理設是方程的一個特解，是相應的齊次方程的通解，則為非齊次方程的通解.三、二階常系數線性非齊次微分方程的解法其中是常數為m次多項式設二階常系數線性非齊次方程1.若即微分方程為

考慮到方程右端為指數函數與多項式積的形式，不妨設其特解為①對求導數得整理，得②的特解討論方程(1)若不是特征方程的根，即.由式可知應為m次多項式，可設方程特解為②確定待定系數得多項式相應可得方程的特解.(2)設是特征方程的單根，則且由式可知應為m+1次多項式,設方程特解為②(3)設是特征方程的重根，則且由式可知應為m+2次多項式,設方程特解為②

待定系數的確定：

方法2：將代入式，比較等式兩端多項式同次冪的系數,得到含有未知系數的(m+1)個方程，解方程組確定未知系數.②

方法1：將代入式，比較等式兩端多項式同次冪的系數,得到含有未知系數的(m+1)個方程，解方程組確定未知系數.①的特解概括方程對于微分方程方程的特解可設為(2)當是單特征根時，取k=1(3)當是重特征根時，取k=2.(1)當不是特征根時，取k=0k的取法：例求方程解求導得例解故得對應齊次方程的通解為解得因是特征方程的重根,取k=2.設特解為將代入式，即②得例解(1)先求所給方程對應的齊次方程的通解Y.(2)再求所給方程的一個特解y*.設所求特解為（3）確定滿足初始條件的特解.二階常系數線性非齊次微分方程為此時方程的特解形式其中a，b為待定系數，k的取法如下：(1)當不是特征根時，取k=0(2)當是單特征根時，取k=1k=二階常系數線性非齊次微分方程為此時方程的特解形式其中a，b為待定系數，k的取法如下：(1)當不是特征根時，取k=0(2)當是單特征根時