2023-2024學年黑龍江省大慶杜爾伯特蒙古族自治縣聯考九上數學期末監測試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.

3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，在矩形中，AB=4,BC=6,將矩形A8CO繞8逆時針旋轉30°后得到矩形G8EV,延長ZM交尸G

C.3G-4D.6-373

2.下列方程中是關于x的一元二次方程的是()

A.x2+-=0B.(X-1)2=(X+3)(X-2)+1

x

C.x=x2D.ax2+bx+c=0

3.關于X的方程依2+3x—1=0有實數根，則k的取值范圍是（）

9999

A.k工—B.kN—且左H0C.kN—D.k>——且左

4444

4.對于二次函數y=/-6x+10,下列說法不正確的是（）

A.其圖象的對稱軸為過（3,1）且平行于.V軸的直線.

B.其最小值為1.

C.其圖象與x軸沒有交點.

D.當x<3時，，'隨x的增大而增大.

3

5.如圖，點A在反比例函數y=—（x>0）的圖象上，過點A作ABJ_x軸，垂足為點B,點C在y軸上，則AABC的面

x

積為（）

6.拋物線y=3x2-6x+4的頂點坐標是（）

A.（1,1）B.（-1,1）C.（-1,-2）D.（1,2）

7.一次函數y=-3x+》圖象上有兩點A（xi,ji）,B（M,戶），若xi〈X2,則yi,山的大小關系是（）

A.J1>J2B.J1<J2

C.y\—yiD.無法比較yi，也的大小

8.如圖，PA是。O的切線，切點為A,PO的延長線交。O于點B,若NP=40。，則NB的度數為（）

二P

A.20°B.25°C.40°I）.50°

9.如圖，下列四個三角形中，與ABC相似的是（）

A

B人C

a

A，B.C.1

555

10.函數y=ax2與》=-ax+6的圖象可能是（）

A-y小B-4J泳C

11.關于X的一元二次方程（。一1）/一2彳+1=0有實數根，貝！J"滿足（）

A.a<2B.。<2且C.a<2S.a^lD.。彳1

12.如圖，在ABC。中，E為CD上一點,連接4￡、BD,且AE、BD交于點F,O￡:AB=2:5,則DE:職

等于（）

C.3:5D.3:2

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，正六邊形ABCDEF內接于00,。0的半徑為6,則這個正六邊形的邊心距0M的長為

14.如圖，在△A8C中，NA4c=50。，AC=2,48=3,將△ABC繞點4逆時針旋轉5（）。，得到△ABG,則陰影部分

的面積為.

15.計算：^-（1）-'+4sin30=.

16.如圖，已知菱形ABCD中，ZB=60°,點E在邊BC上，NBAE=25。，把線段AE繞點A逆時針方向旋轉，使點

E落在邊CD上，那么旋轉角a的度數為.

A

D

17.如圖，正方形ABCD中，E是AD的中點，BM±CE,AB=6,則BM=

18.因式分解：27a2-3b2=.

三、解答題（共78分）

19.（8分）計算：|一百|一A+2020°；

20.（8分）已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C,D（如圖）.

（1）求證：AC=BD；

（2）若大圓的半徑R=10,小圓的半徑r=8,且圓O到直線AB的距離為6,求AC的長.

21.（8分）已知拋物線的解析式是y=R-（*+1）x+lk-1.

（1）求證：此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；

（1）若拋物線與直線》=*+犬-1的一個交點在y軸上，求該二次函數的頂點坐標.

12

22.（10分）如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米，坡比DE:EC=1：y,高為DE,在斜坡下的點C

處測得樓頂B的仰角為64。，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45。，其中A、C、E在同一直線上.

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大樓AB的高度；（參考數據：sin64K0.9,tan64%2）.

ECA

23.(10分)如圖，一艘游輪在A處測得北偏東45。的方向上有一燈塔B.游輪以20夜海里/時的速度向正東方向航

行2小時到達C處，此時測得燈塔B在C處北偏東15。的方向上，求A處與燈塔B相距多少海里？(結果精確到1海

里，參考數據：收工.41,73=1.73)

24.(10分)如圖，在等腰A4BC中，AB=AC,以AC為直徑作。。交8c于點O,過點。作垂足為

E.

(1)求證：DE是一。的切線.

(2)若OE=百，NC=3O。，求A0的長.

25.(12分)如圖，線段48,A(2,3),B(5,3),拋物線y=-(x-1)2-”/+2??+1與才軸的兩個交點分別為C,

D(點C在點。的左側)

(1)求，”為何值時拋物線過原點，并求出此時拋物線的解析式及對稱軸和項點坐標.

(2)設拋物線的頂點為P,，"為何值時△產口)的面積最大，最大面積是多少.

(3)將線段A8沿y軸向下平移〃個單位，求當，〃與"有怎樣的關系時，拋物線能把線段A〃分成1：2兩部分.

26.如圖，NMON=60。，0尸平分NMON,點A在射線OM上，P,。是射線ON上的兩動點，點尸在點。的左側,

且尸Q=QA,作線段。。的垂直平分線，分別交OM,OF,ON于點Z),B,C,連接48,PB.

(1)依題意補全圖形；

(2)判斷線段48,P8之間的數量關系，并證明;

(3)連接AP,設上，當尸和。兩點都在射線ON上移動時，人是否存在最小值？若存在，請直接寫出女的最

小值；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、A

【分析】作輔助線，構建直角△A”M,先由旋轉得8G的長，根據旋轉角為30。得/GBA=30°,利用30。角的三

角函數可得GM和的長，由此得AM和的長，相減可得結論.

【詳解】如圖，延長BA交G尸于M,

由旋轉得：ZGBA=30°,ZG=ZBAD=90°,BG=AB=4,

：.ZBMG=60°,

GM

tanN30°=

~BG

.6M73

??=

43

.?.GM=半

3

.皿86.

..AM=-------4,

3

中，ZAHM=30°,

：.HM=2AM=-8,

3

AGH=GM-HM=-(1^1-8)=8-473，

【點睛】

考查了矩形的性質、旋轉的性質、特殊角的三角函數及直角三角形30。的性質，解題關鍵是直角三角形30。所對的直角

邊等于斜邊的一半及特殊角的三角函數值.

2、C

【詳解】A.x2+-=0,是分式方程，故錯誤；

X

B.(x—l)2=(x+3)(x—2)+1經過整理后為：3x-6=0,是一元一次方程，故錯誤;

C.x=x2,是一元二次方程，故正確；

D.當a=()時，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故錯誤，

故選C.

3、C

【分析】關于X的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；

當方程為一元一次方程時，k=l;

是一元二次方程時，必須滿足下列條件：（1）二次項系數不為零；（2）在有實數根下必須滿足

【詳解】當k=l時，方程為3x-l=l,有實數根，

當片1時，A=b2-4ac=32-4xkx（-1）=9+4k>l,

9

解得k'—.

4

9

綜上可知，當k壬丁時，方程有實數根；

4

故選C.

【點睛】

本題考查了方程有實數根的含義，一元二次方程根的判別式的應用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這

一隱含條件.注意到分兩種情況討論是解題的關鍵.

4、D

【分析】先將二次函數變形為頂點式，然后可根據二次函數的性質判斷A、B、D三項，再根據拋物線的頂點和開口即

可判斷C項，進而可得答案.

【詳解】解：y=f—6x+10=（x—3了+1,所以拋物線的對稱軸是直線：m3,頂點坐標是（3,1）；

A、其圖象的對稱軸為過（3,1）且平行于），軸的直線，說法正確，本選項不符合題意；

B、其最小值為1,說法正確，本選項不符合題意；

C、因為拋物線的頂點是（3,1）,開口向上，所以其圖象與x軸沒有交點，說法正確，本選項不符合題意；

D、當x<3時，）'隨x的增大而增大，說法錯誤，所以本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】

本題考查了二次函數的圖象和性質，屬于基本題型，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵.

5、C

【分析】連結OA,如圖，利用三角形面積公式得到SMAB二SMAB,再根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到

SAOAB=y|k|,便可求得結果.

【詳解】解：連結OA,如圖,

VAB±x^,

AOC/7AB,

??SAOAB=SACAB,

HC13

而SAOAB=—-|k|=一,

22

SACAB=—>

2

故選C.

【點睛】

k

本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義：在反比例函數y=一圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別

x

作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.

6、A

【解析】利用二次函數的性質可求出拋物線的頂點坐標，此題得解（利用配方法找出頂點坐標亦可）.

一64x3x4-（-6）2

【詳解】???平3,爐-6,爐4,...拋物線的頂點坐標為（一一匕」4二）,即（1,1）.

2x34x3

故選A.

【點睛】

本題考查了二次函數的性質，牢記“二次函數尸af+*c（a￥0）的頂點坐標是（）,,是解題的關鍵.

2a4。

7、A

【分析】根據一次函數圖象的增減性判斷即可.

【詳解】-3V0,

???）值隨x值的增大而減小，

又,.FVxi,

故選：A.

【點睛】

本題考查一次函數圖象的增減性，關鍵在于先判斷k值再根據圖象的增減性判斷.

8、B

【解析】連接OA,由切線的性質可得NOAP=90。，繼而根據直角三角形兩銳角互余可得NAOP=50。，再根據圓周角

定理即可求得答案.

【詳解】連接OA,如圖：

?；PA是。O的切線，切點為A,

.,.OA1AP,

AZOAP=90°,

VZP=40°,

:.ZAOP=90°-40°=50°,

.*.ZB=-ZAOB=25°,

2

故選B.

【點睛】

本題考查了切線的性質，圓周角定理，正確添加輔助線，熟練掌握切線的性質定理是解題的關鍵.

9、C

【分析】AABC是等腰三角形，底角是75。，則頂角是30。，結合各選項是否符合相似的條件即可.

【詳解】由題圖可知，A6=AC=6,NB=750所以NB=NC=75。，

所以NA=30°.根據兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似知，與A6C相似的是C項中的三角形

故選：C.

【點睛】

此題主要考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此題難度不大，但綜合性較

強.

10、B

【解析】A選項中，由圖可知：在丁二奴?，?>0；在丁=一。%+人，-<7>0,.,.a<Q,所以A錯誤;

B選項中，由圖可知：在y=?>0；在丁=一。%+匕，-a<0,：.a>0,所以B正確；

C選項中，由圖可知：在y=a%2,a<Q,在>=一數+。，-a<o,;.a>Q,所以C錯誤；

D選項中，由圖可知：在^=辦2,a<Ot在y=-O￥+。，-a<0,：,a>0,所以D錯誤.

故選B.

點睛：在函數>=依2與丁=一6+匕中，相同的系數是“a”，因此只需根據“拋物線”的開口方向和“直線”的變

化趨勢確定出兩個解析式中的符號，看兩者的符號是否一致即可判斷它們在同一坐標系中的圖象情況，而這與

“b”的取值無關.

11、C

【分析】根據一元二次方程（。-1）/-2》+1=0有實數根得到^..0且。_1。0,解不等式求出"的取值范圍即可.

【詳解】解：關于x的一元二次方程（。-1）/-2工+1=0有實數根，

且a—IHO,

二△=4-4（。-1）=-4a+8..0且a。1,

aW2且

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程，a2+必+。=0包/0）的根的判別式△=〃一4ac：當△>（），方程有兩個不相等的實數

根；當△=（）,方程有兩個相等的實數根；當△<（）,方程沒有實數根.

12、A

【分析】根據平行四邊形得出DEF.84尸，再根據相似三角形的性質即可得出答案.

【詳解】四邊形ABCD為平行四邊形

DC//AB

「DEF一BAF

DFDE2

,--5

故選A.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定及性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、36

【解析】連接0B,

360°

,六邊形ABCDEF是。。內接正六邊形，.'.NBOMM-------=30°,

6x2

.?.0M=0B?cosNB0M=6X—=3^/3,

2

故答案為3G.

D

.c_c_50乃,AB~_5.經妥七5

【解析】試題分析：??S陰影=3扇形Ag==:),故答案為—冗?

36044

考點：旋轉的性質；扇形面積的計算.

15、272

【分析】先計算根號、負指數和sin30。，再運用實數的加減法運算法則計算即可得出答案.

【詳解】原式=2夜-2+4x；=2&,故答案為2vL

【點睛】

本題考查的是實數的運算，中考必考題型，需要熟練掌握實數的運算法則.

16、60。或70°.

【分析】連接AC,根據菱形的性質及等邊三角形的判定易證AABC是等邊三角形.分兩種情況：①將AABE繞點A

逆時針旋轉60。，點E可落在邊DC上，此時AABE與AABEi重合；②將線段AE繞點A逆時針旋轉70。，點E可落

在邊DC上，點E與點E2重合，此AAEC絲ZkAEzC.

【詳解】連接AC.

,菱形ABCD中，ZABC=60°,

.,.△ABC是等邊三角形，

.,.ZBAC=ZACB=60°,

/.ZACD=60°.

本題有兩種情況：

①如圖，將AABE繞點A逆時針旋轉，使點B與點C重合，點E與點Ei重合，此時AABEg4ABEi,AE=AEi,旋

轉角a=ZBAC=60°；

，D

//、、/￡

Zf、/

/I、/

BKC

②?.?NBAC=60°,NBAE=25°,

.?.NEAC=35。.

如圖，將線段AE繞點A逆時針旋轉70。，使點E到點E2的位置,

此時AAEC且△AE2C,AE=AE2,旋轉角a=ZEAE2=70°.

綜上可知，符合條件的旋轉角a的度數為60度或70度.

171275

5

【分析】根據正方形的性質，可證△8CMS4CE。，可得照=g,即可求8腸的長

BMBC

【詳解】解：正方形A3C。中，AB=6,

E是AO的中點，故EO=3；CE=3y/5,

\'BM±CE,

:ABCMsACED,

根據相似三角形的性質，可得盥=段，

BMBC

解得：BM=^H.

5

【點睛】

主要考查了正方形的性質和相似三角形的判定和性質.充分利用正方形的特殊性質來找到相似的條件從而判定相似后

利用相似三角形的性質解題.一般情況下求線段的長度常用相似中的比例線段求解.

18、3（3a+A）（3a-b）

【分析】先提取公因式，然后用平方差公式因式分解即可.

【詳解】解：27?2-3b2=3（9?2-Z?2）=3（3a+Z?）（3?-b）

故答案為：3（3a+0）（3a-。）.

【點睛】

此題考查的是因式分解，掌握提取公因式法和公式法的結合是解決此題的關鍵.

三、解答題(共78分)

19、-373+1

【分析】先根據絕對值的意義、二次根式的性質、零指數幕的意義逐項化簡，再合并同類二次根式即可.

【詳解】原式=6-46+1

=-373+1.

【點睛】

本題考查了實數的混合運算，正確化簡各數是解答本題的關鍵.

20、(1)證明見解析；(2)8-277.

【分析】(1)過O作OE_LAB,根據垂徑定理得到AE=BE,CE=DE,從而得到AC=BD；

(2)由(1)可知，OELAB且OE_LCD,連接OC,OA,再根據勾股定理求出CE及AE的長，根據AC=AE-CE

即可得出結論.

【詳解】解：(1)證明：如答圖，過點O作OE_LAB于點E,

VAE=BE,CE=DE,

ABE-DE=AE-CE,即AC=BD.

(2)由(1)可知，OE_LAB且OEJLCD,連接OC,OA,

VOA=10,OC=8,OE=6,

???CE=YIOC2-OE2=V82-62=2#i,AE=y/OA^-OE2=A/102-62=8-

r.AC=AE-CE=8-2幣.

【點睛】

本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

39

21、(1)此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；(1)(三，-

【分析】(D由△=[-(k+1)],-4xlx(lk-1)=k'-4k+U=(k-1)i+8>0可得答案；

(1)先根據拋物線與直線y=x+k」的一個交點在y軸上得出lk-l=k」，據此求得k的值，再代入函數解析式，配方

成頂點式，從而得出答案.

【詳解】(1),/△=[-(k+1)],-4xlx(Ik-1)

=k1-4k+ll

=(k-1)'+8>0,

???此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；

(1),?,拋物線與直線y=x+k]-1的一個交點在y軸上，

Aik-l=k'-1,

解得k=L

39

則拋物線解析式為y=x,-3x=(x--)

24

39

所以該二次函數的頂點坐標為(一，

24

【點睛】

本題主要考查的是拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是掌握二次函數y=ax/bx+c(a,b,c是常數，a和)的交點與一

元二次方程ax4bx+c=0根之間的關系及熟練求二次函數的頂點式.

22、(1)斜坡CD的高度DE是5米；(2)大樓AB的高度是34米.

12

【解析】試題分析：(1)根據在大樓AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米，坡度為1:y,高為DE,可以求得DE

的高度；

(2)根據銳角三角函數和題目中的數據可以求得大樓AB的高度.

12

試題解析：(1),??在大樓AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米，坡度為1：y,

DE15

AEC-I2-12?

5

設DE=5x米，則EC=12x米，

(5x)2+(12x)2=13-

解得：x=l,

5x=5,12x=12,

即DE=5米，EC=12米，

故斜坡CD的高度DE是5米；

(2)過點D作AB的垂線，垂足為H,設DH的長為x,

由題意可知NBDH=45。，

.*.BH=DH=x,DE=5,

在直角三角形CDE中，根據勾股定理可求CE=12,AB=x+5,AC=x-12,

Vtan64°=-----,

AC

AB

??2=------9

AC

解得，x=29,AB=x+5=34,

即大樓AB的高度是34米.

23、A處與燈塔B相距109海里.

【解析】直接過點C作CMJ_AB求出AM,CM的長，再利用銳角三角函數關系得出BM的長即可得出答案.

【詳解】過點C作CM_LAB,垂足為M,

在RtAACM中，ZMAC=90°-45°=45°,則NMCA=45。，

，AM=MC,

由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=(200X2)2,

解得：AM=CM=4(),

VZECB=15°,

/.ZBCF=90°-15°=75°,

ZB=ZBCF-ZMAC=75°-45。=30。，

在RtABCM中，tanB=tan3(T=^^,即更=^2_,

BM3BM

.".BM=40V3?

AB=AM+BM=40+408=40+40x1.73=109（海里）,

答：A處與燈塔B相距109海里.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

2

24、(1)見解析；(2)A0=§7

【解析】(1)連結O/),根據等腰三角形性質和等量代換得N1=N5,由垂直定義和三角形內角和定理得

N2+ZB=90°,等量代換得N2+Nl=90°,由平角定義得N￡>OE=90°,從而可得證.(2)連結A。，由圓周角

定理得NADC=90°,根據等腰三角形性質和三角形外角性質可得NAO。=60。，在RtADEB中，由直角三角形性

質得BD=CD=2C，在RtAADC中，由直角三角形性質得Q4=OC=2,再由弧長公式計算即可求得答案.

【詳解】(1)證明：如圖，連結8.

?：OC=OD,AB^AC,

二N1=NC,NC=ZB,

AZ1=ZB,

二DELAB,

二N2+N6=90°,

二N2+Nl=90°,

...NODE=90°,

?'?DE為。的切線.

(2)解：連結A。，?.'AC為0。的直徑.

：.ZADC^90°.

VAB=AC,

AZB=ZC=30%BD=CD,

：.ZAOD=60°.

VDE=6

BD=CD=26

：.OC=2,

..c60c2

??AD—---萬、2=-7i

1803

【點睛】

本題考查切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.

25、(1)當股=()或m=2時，拋物線過原點，此時拋物線的解析式是y=-(x-1)M,對稱軸為直線x=l,頂點

為(1,1)；(2)，〃為1時的面積最大，最大面積是20；(3)-2/?+6或-2?i+l.

【分析】(1)根據拋物線過原點和題目中的函數解析式可以求得機的值，并求出此時拋物線的解析式及對稱軸和項點

坐標；

(2)根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以求得機為何值時△尸C。的面積最大，求得點C、D的坐標，

由此求出4PCD的面積最大值；

(3)根據題意拋物線能把線段AB分成1：2,存在兩種情況，求出兩種情況下線段43與拋物線的交點，即可得到當

，"與"有怎樣的關系時，拋物線能把線段分成1：2兩部分.

【詳解】(1)當y=-(x-1)2-m2+2m+l過原點(0,0)時，0=-1-m2+2m+l,得mi=(),m2=2,

當mi=0時，y=-(x-1)2+1,

當m2=2時，y=-(x-1)2+1,

由上可得，當m=0或m=2時，拋物線過原點，此時拋物線的解析式是y=-(x-1)2+1,對稱軸為直線x=L頂

點為(1,1);

(2):?拋物線y=-(x-1)2-m2+2m+l,

??.該拋物線的頂點P為(1,-m2+2m+l),

當-m2+2m+l最大時，4PCD的面積最大，

■:-m2+2m+l=-(m-1)2+2,

.,.當m=l時，-nP+Zm+l最大為2,

；.y=-(x-1)2+2,

當y=0時，0=-(x-1)2+2,得xi=l+72，X2=l-6,

.,.點C的坐標為(1-&，0),點D的坐標為(1+72.0)

；.CD=