雅安市重點中學2023-2024學年高二上數學期末調研試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知<。且a+6+c=0,則下列不等式恒成立的是

A.a2<b2<c2B.ab2<cb2

C.ac<beD.ab<ac

2.在一ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,若〃sin6+2csinC=asinA,貝的形狀為()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

3.已知集合4={尤|—1<X<1},B={x\0<x<2],則AB=

A.{X|-1<X<2}B.{X|0<X<1}

C.{x11<x<2}D.{x|0<x<l}

4.已知圓C:(x—l)2+(y+2『=4,則圓C關于直線/：y=x+l對稱的圓的方程為()

A.(x+3)2+(y-2)2=2B.(x+3)2+(y-2)2=4

C.(x+3)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y+3)2=4

x+y-l>0,

5.設變量》,》滿足約束條件x-2y+220,則z=3尤-2y的最小值為()

2x-y-2<0,

A.3B.13

C.2D.-2

6.橢圓尤2+2/=4的焦點坐標為()

A.(V2,0),(-A/2,0)B.(O,0),(0,-3)

7.在空間直角坐標系。-孫z中，已知點M是點N(3,4,5)在坐標平面O町內的射影，則的坐標是()

A.（3,0,5）B.（0,4,5）

C.（3,4,0）D.（0,0,5）

8.已知直線/過點G（l,—3）,H（-2,1）,則直線/的方程為（）

A.4x+y+7=0B.2x-3y-n=0

C.4x+3y+5=0D.4x+3y-13=0

32

9.甲、乙同時參加某次數學檢測，成績為優秀的概率分別為:、兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績

43

都為優秀的概率為。

10.若「=&+血+5，Q=Ja+2+J++3（?>0）,則P,。的大小關系是

A.P<2B.P=Q

C.P>QD.P,。的大小由。的取值確定

11.離心率為二，長軸長為6的橢圓的標準方程是

222222

AA.——%+—y=1B.土+j或土+J

959559

C--1D.《+匚1或工+工=1

362036202036

2

12.盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共10個，從中隨機取出1個，若是肉餡包子的概率為彳，不是豆沙餡包子的

7

概率為正，則素餡包子的個數為()

A.lB.2

D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知雙曲線三一2r=1(。〉0］〉0)的左焦點為尸，點尸在雙曲線右支上，若線段P歹的中點在以原點。為圓心,

ab

I。同為半徑的圓上，且直線尸尸的斜率為q,則該雙曲線的離心率是

14.已知函數/(力=1—集合A={xeZ[x[〃x)—a]20},若A中有且僅有4個元素，則滿足條

件的整數a的個數為

2

15.平面直角坐標系內動點M(尤,V)與定點尸(4,0)的距離和M到定直線/：X=9的距離之比是常數則動點

M的軌跡是___________

7T

16.設函數/(x)=sin(2x—g")

(1)求/(%)的最小正周期和/(%)的最大值；

(2)已知銳角ABC的內角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,若/(A)=咚，a=4且6+c=5,求ABC的面

積.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數/(x)=e""‘-Inx(論0).

(1)當機=0時，求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)若函數f(x)的最小值為工-1,求實數機的值.

e

18.(12分)某地區2021年清明節前后3天每天下雨的概率為50%,通過模擬實驗的方法來計算該地區這3天中恰好

有2天下雨的概率.用隨機數x(xeN,且0WxW9)表示是否下雨：當xe[0,m](meZ)時表示該地區下雨，

當*€卜〃+1,9]時，表示該地區不下雨，從隨機數表中隨機取得20組數如下：

332714740945593468491272073445

992772951431169332435027898719

(1)求出機的值，并根據上述數表求出該地區清明節前后3天中恰好有2天下雨的概率；

(2)從2012年到2020年該地區清明節當天降雨量(單位：mm)如表：(其中降雨量為0表示沒有下雨).

201220132014201520162017201820192020

時間

年年年年年年年年年

年份f123456789

降雨量y292826272523242221

經研究表明：從2012年至2021年，該地區清明節有降雨的年份的降雨量y與年份f成線性回歸，求回歸直線方程

y=bt+a，并計算如果該地區2021年(/=10)清明節有降雨的話，降雨量為多少？(精確到0.01)

參考公式：停一…，砧，

97

參考數據:-58,'卜一乂/—y)=—54,60,52

i=li=l

19,（12分）如圖，直四棱柱ABC。-A與G。中，底面ABC。是邊長為1的正方形，點￡在棱5月上.

（1）求證：AQ1DE；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作已知，使得。4,平面E4G，并給出證明.

條件①：E為8用的中點；條件②：3。//平面E4G；條件③：DBJBD-

（3）在（2）的條件下，求平面E41G與平面0AG夾角的余弦值.

20.（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規定：機動車行經人行橫道時，應當減速慢行；遇行

人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，其中第90條規定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰

款50元的處罰.下表是某市一主干路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統計數據：

n___n

Ex，?—nxyX（七一磯%一?

參考公式：b=R------丁=旦=——二一，》=亍一阮

之X；-nx燈x,-x）

i=lz=l

月份12345

違章駕駛員人數1201051009580

（1）請利用所給數據求違章人數y與月份x之間的回歸直線方程R=凱+機

（2）預測該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數

21.（12分）已知數列｛4｝的前“項和S,滿足2S〃=3a“—6"（"wN*）

（1）證明：數列也+3｝為等比數列；

（2）若數列｛2｝為等差數列，且a=%，%=%,求數列」一的前九項和T”

出4+J

22

22.（10分）已知橢圓C：—+==1（。〉人〉0）的左右焦點分別為耳，B，點P是橢圓C上位于第二象限的任一

ab

點,直線/是/耳P耳的外角平分線，過左焦點《作/的垂線，垂足為N,延長月N交直線「工于點M,|ON|=2（其

中。為坐標原點），橢圓C的離心率為4

2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過右焦點工的直線交橢圓C于A,B兩點,點7在線段4B上，且AT=37B，點3關于原點的對稱點為R，求

△ART面積的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】丁a+/?+c=0且avZ?vc,

a<O,c>0

:.ac<be

選C

2、C

2

_c

【解析】由正弦定理得出〃+2/=〃2,再由余弦定理得出cosA=」一<0,從而判斷A為鈍角得出一ABC的形狀.

2bc

>2,2_2_2

【詳解】因為^+2c2=a2,所以cos4=一。=工<0,所以A>90。，所以ABC的形狀為鈍角三角形.

2bc2bc

故選：c

3、B

【解析】由交集定義直接求解即可.

【詳解】集合A={x[—l<x<l},B={x\G<x<2},則Ac5={x[0<x<l}.

故選B.

【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題.

4、B

【解析】求得圓。的圓心關于直線/的對稱點，由此求得對稱圓的方程.

【詳解】設圓C的圓心(1,-2)關于直線I的對稱點為(。涉)，

b-24+1

----+1

22

則4-na=—3,Z?=2,

b+2

-1

、〃一1

所以對稱圓的方程為(x+3)2+(y—2)2=4.

故選：B

5、D

3z

【解析】轉化z=3x-2'為丁=一1—-,貝！Jz最小即直線在》軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數形

22

結合即得解

3z

【詳解】轉化z=3x—2'為丁=—x—-,則z最小即直線在y軸上的截距最大

22

作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,

當直線經過A（O,I）時，在》軸上的截距最大，z最小，

此時z=3xO—2x1=—2,

故選：D

6、A

【解析】由題方程化為橢圓的標準方程求出c,則橢圓的焦點坐標可求

22

【詳解】由題得方程可化為，—+^=1

42

所以標=412=2,°2=4—2=2

所以焦點為（±百,0）

故選：A.

7、C

【解析】點在平面。町內的射影是乂,坐標不變，z坐標為o的點.

【詳解】點N（3,4,5）在坐標平面。町內的射影為（3,4,0）,故點M的坐標是（3,4,0）

故選：C

8、C

【解析】根據兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.

【詳解】由直線的兩點式方程可得，

直線/的方程為9=±4,即4x+3y+5=0

1+3-2-1

故選：C

9、D

【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解.

【詳解】甲、乙同時參加某次數學檢測，成績為優秀的概率分別為二3、一2，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測

43

321

成績都為優秀的概率為P=-x-=-.

432

故選：D

10、A

2

【解析1,?*P?—Q?=2a+5+2Ja(a+5)-[2a+5+2+2)(a+3)=2(Ja?+5a—1a+5a+6)

且/+5〃<+5〃+6，

???尸2<。2,又尸,Q>0,???尸vQ,故選A.

11、B

2。=6na=3

【解析】試題解析：｛c2c=

e=—=—=c=2

a3

22

當焦點在x軸上：—+^=1

95

22

當焦點在y軸上：—+^=1

59

考點：本題考查橢圓的標準方程

點評：解決本題的關鍵是焦點位置不同方程不同

12、C

【解析】計算出肉餡包子和豆沙餡包子的個數，即可求得素餡包子的個數.

2

【詳解】由題意可知，肉餡包子的個數為10><《=4,

773

從中隨機取出1個，不是豆沙餡包子的概率為仿，則該包子是豆沙餡包子的概率為1-記=歷，

3

所以，豆沙餡包子的個數為10義伍=3,因此，素餡包子的個數為10-4-3=3.

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3

o?

【解析】如圖利用條件可得冏'|=2c,附=半，然后利用雙曲線的定義可得c=3a,即求.

【詳解】如圖設雙曲線的右焦點為尸，線段尸尸的中點為M,連接OMMRP產，

則\OM\=c,\PF'\=2c,又直線PF的斜率為咚，

**.在直角三角形FMF'中tanZMFF'=—,cosZMFF'=-,\FF'\^2c,

23

：,\FM\=^,\FP\=^,

：.\FP\-\PFf\=--2c=2a,即c=3〃，

e=—=3.

a

故答案：3.

14、32

【解析】作出/(%)的圖像，由％=0時，不等式成立，所以OeA,判斷出符合條件的非零整數根只有三個，即等價

于尤>0時，/(x)>a；x<0時，/(%)<?；利用數形結合，進行求解.

【詳解】作出/(%)的圖像如圖所示：

因為x=0時，不等式成立，所以OeA,符合條件的非零整數根只有三個.

由尤20可得：

x>0時，/(x)>a；x<0時，/(x)<a；

所以在y軸左側，/(光)的圖像都在丁=。的下方；在y軸右側，/(光)的圖像都在丁=。的上方；

而/(4)=_3x]6+24=_24,43)=-3x9+18=-9,/(-l)=-(-l)3-3x(-l)2+5=3,

/(-3)=-(-3)3-3x(-3)2+5=5,"T=-(-4)3-3X(^)2+5=21.

平移直線，=。，由圖像可知：

當—24<aW—9時，集合A中除了0只含有1,2,3,符合題意，此時整數。可以取：-23,-22,-21……-9.一共15

個；

當。=3時，集合A中除了0含有1,-1,-2,符合題意.

當54a<23時，集合A中除了0只含有-1,-2,-3,符合題意，此時整數a可以取：5,6,7……20—共16個.

所以整數”的值一共有15+1+16=32(個).

故答案為：32

【點睛】分離參數法求零點個數的問題是轉化為于(x)=k,分別做出芳=/(%)和%=%的圖像，觀察交點的個數即為

零點的個數.用數形結合法解決零點問題常有以下幾種類型：

⑴零點個數：幾個零點；

⑵幾個零點的和；

(3)幾個零點的積.

【解析】根據直接法，即可求軌跡.

2

【詳解】解：動點與定點歹(4,0)的距離和它到定直線/：X=9的距離之比是常數

根據題意得，點M的軌跡就是集合尸={/1牛=芻，

a3

由此得YE包±E=2.將上式兩邊平方，并化簡，得m+片=1

19-x|33620

所以，動點河的軌跡是長軸長、短軸長分別為12、46的橢圓

22

故答案為：在r+工v=1

3620

16、(1)/(乃的最小正周期為"，的最大值為1

⑵9

4

【解析】(1)直接根據的表達式和正弦函數的性質可得到〃x)的最小正周期和最大值；

(2)先根據/(A)=[求得角A的大小為三，然后在中利用余弦定理求得bc=3,最后根據三角形的面積

公式即可

【小問1詳解】

71

已知/(x)=sin(2x-y)

則/(X)的最小正周期為：T=*=〃

2

則/'(X)的最大值為：/(X)M=1

【小問2詳解】

由f(A)='^可得：2A=2ki、—(左EZ)或2A=2k7i----(kEZ)

Jv23333

IT

又A為銳角，則可得：A=—,

3

222

在ABC中，由余弦定理可得：a=b+c-2bccos^9即/二^十4—3秋

又。=4,b+c=5

解得：be=3

則.ABC的面積為：S-—bcsinA-—x3x^-=^^-

2224

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)y=(e-l)x+l

(2)772=e+1

【解析】(1)求導，利用導函數的幾何意義求解切線方程的斜率，進而求出切線方程；(2)對導函數再次求導，判斷

其單調性，結合隱零點求出其最小值，列出方程，求出實數，”的值.

【小問1詳解】

當m=0時，因為r(x)=e'-g,所以切線的斜率為e—1,

所以切線方程為y-e=(e-l)(x-l),即y=(e-l)x+1.

【小問2詳解】

因為廣(x)=e'f—▲，令/⑴=e'-'"-

XX

因為t\x)=e'f+±>0,所以《X)=e-"—!在(0,+8)上單調遞增,

XX

]—~m]

當實數相>1時，t(一)=e"—m<0ft(m)=1--->0；

mm

]—--m

當實數0<加<1時，t(ni)=1-—<09t(一)=e^-m>Q；

mm

當實數根=1時，t(m)=09

所以總存在一個X。，使得f(Xo)=eS'-工=0,

%0

且當％<九0時，t(x)<0；當x>%o時，t(x)>0,

em

所以/(x)min='"-lnx0=--lnx0=--1,

X。e

令/z(x)=工一Inx,因為〃(x)=--v-—<0,所以/z(x)=L-lnx單調遞減，

xxxx

又領e)=‘—1,所以飛=e時，

e

所以e-"'=L，即w=e+l.

e

229179

18、(1)m=49—；(2)y=----1H----；該地區2020年清明節有降雨的話，降雨量為20.2mm

【解析】(1)利用概率模擬求概率

(2)套用公式求回歸直線方程即可.

m+1

【詳解】解：(1)由題意可知，——=50%,解得m=4,即0~4表示下雨，5~9表示不下雨,

10

所給的20組數據中714,740,491,272,073,445,435,027,共8組表示3天中恰有兩天下雨，

Q2

故所求的概率為0=—;

205

(2)由題中所給的數據可得彳=5，亍=25,

y-y

t-5829--一29

所以6-------------=------,a=y—bt=25—X5=N

2M6030306

i=l

29179

所以回歸方程為y=-+7-,

29e1791212c

當/=10時，y=-—xl0+——=——?20.2,

3066

所以該地區2020年清明節有降雨的話，降雨量為20.2mm

【點睛】求線性回歸方程的步驟：①求出工亍；②套公式求出從4；③寫出回歸方程§=阮+吼④利用回歸方程

§=院+》進行預報;

19、(1)證明見解析;

(2)答案見解析；(3)巫.

10

【解析】(1)連結3。，耳。一由直四棱柱的性質及線面垂直的性質可得5月，AC，再由正方形的性質及線面垂直

的判定、性質即可證結論.

(2)選條件①③，設與R=O,連結OE,BD[,由中位線的性質、線面垂直的性質可得。用，OE、

AG1DB,,再由線面垂直的判定證明結論；選條件②③，設4￡仆用2=。，連結OE,由線面平行的性質及平

行推論可得。用±OE,由線面垂直的性質有4G，DB,,再由線面垂直的判定證明結論;

(3)構建空間直角坐標系，求平面E4G、平面必G的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求平面E4G與平面

DAG夾角的余弦值?

【小問1詳解】

連結3。，BR，由直四棱柱知：34，平面4用。12,又A￡u平面451G

所以5用，4￡,又4用。1，為正方形，即4。]，與2,又BRcBBi=Bi，

:.AG,平面D[DBB[,又DEu平面DQBB],

：.AGIDE.

【小問2詳解】

選條件①③，可使DB11平面E41G?證明如下：

設AGC4A=O,連結OE,BD],又E,。分別是8月，4。的中點，

：.OEHBD..

又DB[±BD],所以DBt±OE.

由（1）知：4。]，平面2。34，DB]u平面DQBBi,則AG，D3I.

又AGCOE=O,即。4,平面E41G.

選條件②③，可使DBl1平面E41G.證明如下:

設AGCBI2=O,連結OE.

因為3。"/平面3G，BD]U平面DQBB],平面c平面用。1=OE，

所以BDJ/OE,又DBJBD],則。與LOE.

由（1）知：AG，平面DlDBBl,DB[u平面DQBBi,則\CX1DB「

又AGcOE=O,即。4,平面E41G.

【小問3詳解】

由（2）可知，四邊形與為正方形，所以DR=BD=啦.

因為ZM,DC,兩兩垂直,

如圖，以￡＞為原點，建立空間直角坐標系。—孫Z,則￡＞（0,0,0）,4（1，0，、歷），G（0,1,72）,

所以AG=（—1,1,0），%=（1,0,逝）.

由（I）知：平面璃G的一個法向量為。用=（1,1,0）.

ri-\CX=-x+y=0

設平面DAG的法向量為〃={x,y,z},貝小令x=0，則〃=

n-DA1=x+V2z=0

\n-DB^

設平面E&G與平面%G的夾角為0,則COS。=|cos（n,DB）而

2x45lo-

所以平面E41G與平面夾角的余弦值為巫.

10

20、（1）y=—9X+127；

（2）37

【解析】（1）將題干數據代入公式求出力與進而求出回歸直線方程；（2）再第一問的基礎上代入求出結果.

【小問1詳解】

-1+2+3+4+5°-120+105+100+95+80…

=100,則

X；-xx-y)

=-9,務=亍—》l=100+9x3=127，所以回歸直線方程

y=-9x+127;

【小問2詳解】

令％=10得：§=—90+127=37,故該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數為37.

21、（1）證明見解析

4n+4

【解析】（D由S〃與%的關系，利用等比數列的定義證明即可;

（2）由（1）求出勿，再利用裂項相消法求解即可

【小問1詳解】

當幾=1時，2〃i=3〃[-6,

「.％=6

2Sn=3an-6n（rieN*）,

二當〃》2時，2S“_i=3a-6（72-1）,

2%=3%-3%-6,

，4+3=3（%+3）,

數列｛4+3｝是以q+3=9為首項、以3為公比的等比數列

【小問2詳解】

由（1）得，4+3=9X3"T=