2021年全國碩士研究生招生考試

數學（一）

（科目代碼:301）

一'選擇題（1?10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的，請將所選項前的字母寫在題后的括號內.）

（1）函數：，在x=O處（）.

(A)連續且取得極大值(B)連續且取得極小值

(C)可導且導數等于零(D)可導且導數不為零

(2)設函數f(x,y)可微，且f(x+l,e)=x(x+l)2,f(x,x2)=2x21nx,則df(l,l)=().

(A)dx+dy(B)dx-dy(C)dy(D)-dy

(3)設兩數「，在x=O處的3次泰勒多項式為ax+bx￥cx3,則().

(A)a-1.6=O,<*=——(B)u=I./>=O.r=—

66

(C)a=-l.b=-l?<?；(D)a—l,b=-l.，；

(4)設函數f(X)在區間［0,1］上連續，則］|廣一人().

(A)Imi\/-5-B)lnnX!?

(。litn\/I,1I1I

??'2n1n…，'2?'n

222

(5)設二次型f(Xi,X2,Xg)=(Xi+XZ)+(X2+xg)-(x3-Xi)的正慣性指數

與負慣

性指數依次為().

(C)2,l(D)l,2

I

m-4.A-a-IB-IB.活B.

p2,B3兩兩相交，則L,b依次為().

(A)堤.！(B)—"I?二(C)4,?―'T(D)5I

222222v72.-2

7)設A,B為n階實矩陣，下列結論不成立的是().

iAAB\

(B)r=2r(A)

W)A1T1

/ABA\

◎I-2r(A)

'OAATl(D：-a)

8)設A,B為隨機事件，且O<P(B)<1,下列命題中為假命題的是(),

(A)若P(A|B)=P(A),則P(A|B)=P(A)

(B)若P(A|B)>P(A),則P(A|B)>P(A)

(C)若P(A|B)>P(A|B),則P(A|B)>P(A)

(D)若P(A|AUB)>P(A|AUB),則P(A)>P(B)

9)設(Xi,Yj,(X2,Y。，…，(X,,Y)為來自總體N(ul?口2;oi,o2;p)的簡單隨機樣本,

令o二小~P2,\：￡Y,3=X-Y,則()

(A)6是0的無偏估計，“HI17

除不是0的無偏估計，「

(C是0的無偏估計，”.，山

(D)6不是0的無偏估計，/)「一""/J…

10)設X[X2,…,先是來自總體N(u,4)的簡單隨機樣本，考慮假設檢驗問題：Ho：uW10,

Hi：M>10,(p(x)表示標準正態分布函數，若該檢驗問題的拒絕域為W={XN11},其

二\，則R=ll.5時，該檢驗犯第二類錯誤的概率為().

(A)l—<p(0.5)(B)l—<p(l)

(C)l—(p(1.5)(D)l—q>⑵

二、填空題⑴?16小題，每小題5分，共30分請將答案寫在題中的橫線上.)

Il)f————=_______.

J-廣+2，+2--------

12)設函數戶y(x)由參數方程''''所確定，貝產、|

ly=4(/—De*+/1--------

3)歐拉方程x2y”+xy，-4y=0滿足條件y(l)=l,y<l)=2的解為y=

4)設三為空間區域{(x,y,z)1x2+4y9,gT2}表面的外側，則曲面積分

Jx*dydz+y2dzdjr+tcLrdj._..

5)設A=(ay)為3階矩陣，A,為代數余子式，若A的每行元素之和均為2,且|A|=3,

貝!jAp+A2n+Ap=

16)甲、乙兩個盒子中各裝有2個紅球和2個白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙

盒中，再從乙盒中任取一球，令X,Y分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個數，則X與Y

的相關系數為

三、解答題（17?22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

（17）（本題滿分10分）

八十￡入1\

求極I限lim-'1---------.

e—1sinx/

（18）（本題滿分12分）

設）求緞（￡"工）的樹姆汲和函數

（19）（本題滿分12分）

已知曲線''''?求C上的點至UxOy坐標面距離的最大值.

Il.r+2v+;30.

(20)(本題滿分12分)

設DCR2是有界單連通閉區域，J，",7,.T…，取得最大值的積分區域為Di.

JU

(I)求KDi)的值；

(II)計算［空三也，其中3D1是D］的正向邊界.

Jx+

(21)(本題滿分12分)

IU1

已知A,Ia11

1—1"/

(I)求正交矩陣P,使得PTAP為對角矩陣;

(II)求正定矩陣C,使得C2=(a+3)E-A.

(22)(本題滿分12分)

在區間(0,2)上隨機取一點，將該區間分成兩段，較短一段的長度為X,較長一段的長度

y

為Y,令Zx

(I)求X的概率密度；

(H)求Z的概率密度；

(山)求卜心).

2021年數學(一)真題解析

一、懶

⑴【答案】(D).

［解］'lit!,■得f(x)在x=0處連續;

再崎11mzi小」---------Em』--，得

XX??《>y*ZT2

''wo.應選(D),

⑵【答案】(0.

【解】f(x+ld)=x(x+l)2兩邊對x求導得

fi(x+1,e)+e2f(x+1,e)=(x+l)2+2x(x+1),

取X=0得f(l,l)+f2(1,1)=1；

f(x,x2)=2x2lnx兩邊對x求導得

f(x,x2)+2xP(x,x2>4xlnx+2x

取x=l得f(l,l)+2fz(l,l)=2,

解得f(l,l)=0,f2(1,1)=1,故df(l,l)=dy,應選(C).

⑶【答案】(A).

【解】因為小，為奇函數，所以40;

J,1

由r11)/，，，I,!17勺日

卜I->；仔

?ini7

/<r)「—-~~—tja

14.r1G

應選(A).

⑷【答案】(B).

【■】即卻保)：=1則;卻生卜。」出,應選(B).

⑸【答案】(B).

【解】令A.(ZI)則仁KAX,

=(X+1)(X2-3X)=0

得入i=T,X2=0,入3=3,應選(B).

(6)【答案】(A).

【解】由施密特正交化得0戶?f;應選(A).

?nA.9

方法點評：將線性無關的向量組化為兩兩正交的規范向量組即施密特正交規范化，實對

稱矩陣的對角化的正交變換法需要將線性無關的特征向量進行正交化和單位化.

設3,(X2,aO線性無關，pi=ai,p2=Ct2-llPl,p2=a3*2p2，且線性無關,

則，砥不出=詆了3出=而而

(7)【答案】(0.

【解】」'0*\\\

OA\

\Ui'og\\H

由-I得門

A*f'CA1}O41，

由：：?::得",)，應選。

(8)【答案】(D).

【解】由P(A|B)=P(A)得P(AB)=P(A)P(B),即事件A,B獨立，

_P(AB)P(A)P(B)

于是P(A————-—-「(Ah

P(B)P(B)

由P(A|B)>P(A)得P(AB)>P(A)P(B)

____尸(4B)l-P(A)-P《3》+P(AB)

從而P(A|B>=-

p八八=r^-pcB)

>f*P(fi)P(A)-P(A)i

由P(A|B)>P(A|B)得'''"3,整理得P(AB)>P(A)P(B),

rP(B)1-P(B)

P(AB)

MP(A|B)("應通()

P(H)>P，rl：o：f尸D

(9)【答案】?.

懈】'(〃二

則E(。尸E(X)-E(Y)=g-Q0;

D(6)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)

?~—―[Cov<x(?Y>+Cov(xj>y)++Cov(x.?y)]

?內用

,:?2.............一.,一.2一

?npo。''.，應選(C).

n

(10)【答案】(B).

悅】由題\"「心吱'…

犯第二類錯誤的概率為

PXII：-pL'14><-1)?1?(1).

芽

應選(B).

二、填空題

(11)【答案】

【解】，,，，..

?，,2，?2,1+(4+1尸2

(⑵【答案】

,,

［解］

dr<V2<1］rl/<h山\-I.

(13)【答案】x2.

【解】令乂=6/)一［則

xy'=Dy,x2y"=D(D-l)y,

代入歐拉方程得

力-"-0,

特征方程為X2-4=0,特征根為x,=-2,X2=2,

今T,=。的通解為尸C；dH泣原方程的通解為

G”>

r?

由y(l)=l,y'(l)=2得Ci+C2=l,-2g+2C2=2,解得C］=0,C2=1,

故y=x2,

方法點評：形如

,,,,

xy()+aa-ix"-'y*-D+...+a1xyi+aoy=f(x)

的方程稱為歐拉方程.

令x=e1則'l)v1*'.?'-/)?/>I?\'-'',

d/At1At

x"y''=D(D-l)…(D-n+l)y,

代入原方程得高階常系數線性微分方程，求出其通解，再將t=lnx代入即可得原方程的通解.

(14)【答案】4n.

【解】設三所圍成的幾何體為。，由高斯公式得

I+y3dzdx+xdrd>?+2>+l>dvi

由積分的奇偶性得

dr1*2=

(15)【答案】

2

it

a”?2(A|i+An+AK1)?3>?|

1

3

All+An+An"y

(16)(答案】

【解】(X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),

3

2

I

PX

0

E(X)=^E(XJ)=yD(X)

illX得

得E<r>=1)

ill>'?ID(Y

,xvJ；3

J^IWECXY)

10

'10

1

3I1一20

Cav(Xty)-E(Xr>-F<X>E(Y)=---=茹——j-

,,.—^―

99

三、解答題

(17)【解】方法一

(1+jer，dr)sin'一?"十

livn------------------------------------

￥-1J7(e*-I)?injr

方法三

由泰勒公式得e，=1+/+062),

質，?.I;*..|［七

Jn3

2rr

urn】+

、即村時，“收斂；

______1―

再由Im"''上」7「的收斂半徑為R=l,

??1―〃(”?I)

W1?f,1,得

當*=±1時，士，；—二］:，利二［「的收斂域為II］，

故級數-1⑺的收斂域為(0,為

令、,="\、-J

HSJ』)='-i

Xn(it+I)卜n

=(l-x)ln(l-x)+x(O<x<l),

當x=l時，由、.[,、：得、，

(19)【解】設M(x,y,z)CC,點M到xOy坐標面的距離d=|z|,

4*F=z2+X(x2+2y2-x-6)+p(4x+2y+x-30),

F；?2Ax+4夕-0.

+2/i?0.lx=4i1=X

?F：-1一夕=。，得jl■或?，-一

F：，+2y*-—6?(hI念?12,lx

F：H4X+2、+z—30?。

故C上的點(-8,-2,66)到xOy面的距離最大為66.

(20)IB](I)顯焦〃一,')<kdy取最大值的區域為4-x2-y2>0,

ft

即Di={(x,yW+"4},則

/(D,)-J(4-x*-yOdrdy-2?卜(4-r1)dr

o.

?2KJ(4,一，')d，?2/(8-4》,8JN

(11)令Lo:x2+4y2=r2(r>0,L?在L內，取逆時針），設aD,與L。所圍成的區域為D。，

Lo圍成的區域為D2,則

(+y)di'-jrldy

J/+」'

f(工，""+y>dz+(4ye"'t)dy

J―十e

*?p

=-7+jr)d-r+