重難點突破04立體幾何中的軌跡問題

目錄

題型一：由動點保持平行求軌跡

方法技巧總結(jié)

立體幾何中的軌跡問題常用的五種方法總結(jié):

1、定義法

2、交軌法

3、幾何法

4、坐標(biāo)法

5、向量法

題型一：由動點保持平行求軌跡

例1.（2023?貴州銅仁?高二貴州省銅仁第一中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)正方體488-4耳。I。的棱長為1,點E

是棱4瓦的中點，點M在正方體的表面上運動，則下列命題：

c,

4

A

①如果AM丄8纟，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為也;

2

②如果旦M〃平面附，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為斗;

③如果EM〃平面。円8。，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為2+/:

④如果丄8。，則點例的軌跡所圍成圖形的面積為迪.

4

其中正確的命題個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由AR丄面A方班,而A析u面\與瓦\,則AQ丄A%又A析丄網(wǎng),

乂AD%=A，4厶%<=面84。，則厶片丄面地。，

由8Qu面BAQ,則厶4丄8R,同理AC丄8R,

ABtAC=A,AB1,ACu面ACS,,則8A丄面AC8一

所以垂直于面4cq所有直線，且Ae面4CB-

若AM丄BR,則〃在邊長為血的正△ACB、的邊上,

故軌跡圖形面積嶺防石6。。考，①對;

若尸，G分別為CD,AB中點，連接AF,FC,,B,G,GC,CB,,

由正方體的性質(zhì)易得AE//4G//FG，AE=Bfi=FC],

所以A,E，G，F(xiàn)共面，且AEG尸為平行四邊形，故面AEG即為面AEG尸,

由AEu面AEGF,B|G<Z面AEGF,則8。〃面AEC/,

同理可得CG〃面4EGF,B、GCG=G,qG,CGu面用CG,

所以面用CG//面AEC/,要使用M〃平面AEG，則M在^BCG的邊上,

所以軌跡長為0+2>4=厶5②錯;

若G,/,J分別為的中點，連接EG,G/,〃丿E,顯然￡G〃〃，

所以E,G,/,J共面,即E,G,/,Je面EG/J,

山EG//BBt,EG①面。,BB}u面DtBtBD,則EG//面D^BD,

又/G〃8D,同理可得/G//面?！?。，EGIG=G,EGJGu面EG”,

所以面。円8力〃面￡G〃，故而EG"內(nèi)任意直線都與面力由3。平行，

要使EM〃平面。B|B￡>,則M在四邊形EG〃的邊上運動，

此時軌跡長為2x也+2x1=75+2,③對；

2

若K,厶N分別是M,A/BG，CC”CD的中點,并依次連接,

易知ENLKIH為正六邊形，顯然EH〃AB、,EN//IK//AC,

由EH面ACB、,ABtu|fiiACB）,則￡〃//面ACB、,同理可得EN//面ACB,,

EHEN=E,EH,ENu面ENLK1H，所以面ENLK1H11面ACB,,

由丄面ACB,,則BD\丄面ENLKIH,故8R垂直于面ENLKIH所有直線，

要使EN丄BR，則M在邊長為正的正六邊形ENLKIH邊上運動，

2

所以軌跡圖形面積為6X丄x（也）2、且=地，④對；

2224

故選：c

例2.（2023?遼寧沈陽?高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）在棱長為1的正方體中，E在棱。2上

且滿足RE=E。，點F是側(cè)面上的動點，且RF//面AEC,則動點尸在側(cè)面A88d上的軌跡長度

為.

【答案】立

2

【解析】如圖，取AB81A的中點G,并連接GR、GB、BD、,

因為E在棱。，上且滿足D,E=ED,即E是棱DD,的中點，

所以8G//CE,又8GU平面AEC,CEu平面AEC,

所以8G//平面AEC,同理可證。。//平面AEC,

乂BGGD,=G,所以平面8G￡>"/平面A￡C,乂8Gu平面8GR,

所以8G//平面A￡C,所以動點尸在側(cè)面A叫A上的軌跡即為BG,

因為正方體的棱長為1,由勾股定理有：BG貝BA2+AG?=旦.

2

例3.（2023?福建福州?高一福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，在棱長為2的正方體A88YBG4

中，E,F,G分別為所在棱的中點，P為平面BCC円內(nèi)（包括邊界）一動點，且〃平面EFG,則P點

的軌跡長度為

C,

【解析】因為AA〃BC,則A，B，CR四點共面，

連接CR，A8,

因為E,尸分別為所在棱的中點，則E/〃4田，

且EFu平面FGE,A8&平面FGE,所以A乃〃平面FGE,

因為EG分別為所在棱的中點，則叩〃AA，

且FGu平面FGE,AQ<2平面FGE,所以4R〃平面FGE,

ABAA=A，u平面ABCR,

所以平面FGE〃平面ABCR,且平面8CG5-平面=BC,

可得當(dāng)且僅當(dāng)點P在棱8C上時，即RPu平面ABCR,滿足Of〃平面“G,

所以點P的軌跡為線段8C,長度為2.

故答案為：2.

1/7

AEB

變式1.（2023?四川成都?髙一成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考期末）如圖，在正三棱柱A8C-A與G

中，AB=A\,D,E分別為AA，AC的中點.若側(cè)面叫的中心為。，”為側(cè)面厶4℃內(nèi)的一個動

點，OM〃平面3DE,且M的軌跡長度為3后，則三棱柱48C-4円￡的表面積為.

GBy

工A

【答案】48+8586+48

【解析】

A

連接GE交AC于/,取GE的中點尸，過尸作HG//AC，

分別交CG，AG于H,G,連接HG,OG,OF,OH,BCi，

功得OF”BE,HG"DE,

因為。F,"GO平面BED,BE,DEu平面BED,所以0尸//平面BED,

“G〃平面BED,因為。尸c〃G=尸，且都在面OHG內(nèi)，所以平面O〃G〃平面3EE）,

所以M的軌跡為線段HG,

因為CE/~AG/,所以考=*=2,.?.害=產(chǎn)_3

EICEC]/1rF-4

31

因為C、HG~“A,所以

所以CA=g〃G=4&,.?.AB=AA.=孝。[=4,

故三棱柱43C-481G的表面積為2x丄x4x4x^^+3x4x4=48+86.

22

故答案為：48+873.

變式2.（2023?江蘇揚州?高二統(tǒng)考期中）如圖，正方體ABCO-ABCQ的棱長為2,點E是線段的中點,

點〃是正方形用8Cq所在平面內(nèi)一動點，若。M//平面ABE,則M點軌跡在正方形用8CG內(nèi)的長度

為.

【答案】亞

【解析】取B片的中點戶，連接CP,PR,CD,,如圖所示:

因為CQ//AB,CQ<2平面A/E,48u平面A8E,所以CD"平面A岀E.

因為C尸〃AE,CPG平面4BE,AEu平面A/E,所以CP〃平面A/E.

乂因為CP,CQu平面CPQ,CPCD、=C,

所以平面CFQ〃平面ABE.

因為〃〃〃平面A8E,Me平面4BCG，

所以〃點在平面4BCQ的軌跡為CP.

所以CP=1l+22=6.

故答案為：V5

變式3.（2023?江蘇泰州?高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體ABCQ-AgCQ的棱長為3,點E,F分別

在線段OR和線段44上，且RE=2ED,厶尸=2尸4，點M是正方形用BCC；所在平面內(nèi)一動點，若D、M/1

平面FBE，則M點的軌跡在正方形B、BCC1內(nèi)的長度為.

【答案】M

【解析】

Di

如圖，在B4上取點打，使得用H=在CG上取點G,使得CG=：CG，連接尸H,EG,”G,A","G.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，9//84，AA,=BBI.

由已知可得，=

又B,H=；BB1,所以耳=3^=4尸.

又B\H3%F,所以，四邊形FHAA為平行四邊形，

所以，F(xiàn)H//AtB,,S.FH=A^.

同理可得，EG//CD,且EG=C￡>,EBHD.H.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，CD3A區(qū),且CO=AB1,

所以，F(xiàn)H//EG,且FH=EG,

所以，四邊形FEGH是平行四邊形，

所以，HG//EF.

因為"G<z平面用E,EEu平面在8￡,所以HG〃平面F8E.

同理可得，RH"平面FBE.

因為HGu平面R"G,平面RHG,D、HHG=H,

所以，平面?！癎//平面EBE.

又平面D,HG平面B,BCC,=HG,

所以，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，只有M在線段上運動時，滿足條件.

過點、H作HL//BC,垂足為3

易知"L=BC=3,且HL丄LG,LG=GCrLC、=l,

所以，HG=^HI3+LG1=7io.

故答案為：V10.

變式4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在邊長為2的正方體A8CZ）-AgCQ中，點M是該正方體表面及其內(nèi)

部的一動點，且BM〃平面AQC,則動點M的軌跡所形成區(qū)域的面積是.

【解析】如圖，邊長為2的正方體A8CQ-A4G。中,

動點M滿足〃平面ARC,

由面面平行的性質(zhì)得：當(dāng)始終在一個與平面4。。平行的面內(nèi)，即滿足題意,

連接AB,BC,,AC，

因為AB〃CQ且AB=CQ,所以四邊形ABG"為平行四邊形，

所以A〃//BG，同理AB//DC，

又4Atz平面ABC-BGu平面ABC一所以AR〃平面ABG，

因為￡>Ca平面AfC，A8u平面A8C1,所以。C〃平面A^G，

又因ARcRC=R,AR,RCu平面AQC,

所以平面A3G〃平面AOC，

又Be平面ABC-所以動點M的軌跡所形成區(qū)域為VA8G，

A,B=BC,=A,C,=2y/2,

?回

S.=-x2y/2x—x2y/2=2yj3,

■片n以rj22

所以動點M的軌跡所形成區(qū)域的面積是2班.

故答案為：2石.

變式5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2,反尸分別是棱AA,，AA的

中點，點尸為底面四邊形ABCO內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線QP與平面軻無公共點，則點尸在四

邊形ABC。內(nèi)運動所形成軌跡的長度為.

【答案】帀

【解析】取BC的中點G,連接AG,QG,A〃，如圖所示：

E、F分別是棱AVA。的中點，所以EF//AD,,

又因為EFu平面BEF,ARa平面BEF,所以4R?平面BEF.

因為五〃//BG,FD、=BG,

所以四邊形FBGD、為平行四邊形，所以尸8//GDt.

乂因為FBu平面仁平面6防，所以GD—平面8￡尸.

因為ADt=D,,所以平面AQG/平面5EF.

因為點尸為底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界）的一動點，直線。尸與平面班戶無公共點,

所以P的軌跡為線段AG,則陷=@+12=亞.

故答案為：亞.

變式6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，正方體A8C0-ABCQ的棱長為2,E、尸分別為4A，AB的

中點，點「是正方體表面上的動點，若GP平面CREF,則點P在正方體表面上運動所形成的軌跡長度

為.

【答案】V2+2A/5/25/5+V2

【解析】取8片的中點G,A4的中點冃，連結(jié)GH,CC，GH，AB,EG,HF.正方體

A8CO-AAGA的棱長為2.E,F,G,H為中點,所以E尸〃AB,G"〃4宙，

所以EF〃G/7且EF=G”=&.

因為￡”為分別為AB,A瓦的中點，

所以尸，〃CG，且FH=CG，所以四邊形式”￡C為平行四邊形，

所以“G〃CF.

因為"G<X面CD\EF,CFU面C[EF,

所以“G’/面以迷尸.

同理可證：HG.面CREF.

又GHc"G="，"Gu面CtGH,GHu面C；G〃,

所以面CHG面CQ|EF.

所以P點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形G〃G.

因為正方體4BCD-ABCA的棱長為2,所以，G=GG=物+『=石,

所以三角形G"G的周長為G4+〃G+GC1=0+6+行=a+26.

故答案為：72+275.

變式7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知棱長為3的正四面體ABCD,E為AO的中點，動點P滿足以=2P￡>,

平面a經(jīng)過點。，且平面a〃平面5C￡,則平面a截點尸的軌跡所形成的圖形的周長為.

【答案】2扃

【解析】設(shè)厶打。。的外心為O,BC的中點為尸，過。作BC的平行線，則以。為坐標(biāo)原點，可建立如圖所

示空間直角坐標(biāo)系，

8。為等邊三角形，BC=3,:.0D=^DF=y/3,0A=y[6,

.?.A(0,0繭，。(0,8,0),尸0,-等,0),

設(shè)P(x,y,z),由PA=2P￡>得：x2+y2+(z-5/6)-=4x2+(}-->/3)'+z2

整理可得:

???動點P的軌跡是以G10,孚,-4]為球心，2為半徑的球；

[33丿

延長AB,4￡AC到點M,Q,N,使得=A尸=尸。，AC=CN,

則CE//DV,BEHMD,又DN,MDu平面MND,CE,BEg平面MND,

.?.CE〃平面MM),BE〃平面MND,由CEnBE=E,CE,BEu平面3CE,

?1.平面BCEH平面MND,即平面MND為平面?,

則點G到平面DAW的距離d即為點G到直線DQ的距離，

DG=,QQ=(°，—2>^,—DG-DQ=-2+2=0,1\\!DGA.DQ.

???點G到直線DQ的距離d=|/)G|=1,

截面圓的半徑「=疹了=6,.??球被平面?截得的截面圓周長為2兀r=2伝,

即平面a截點P的軌跡所形成的圖形的周長為2外萬.

故答案為：2叢兀.

題型二：由動點保持垂直求軌跡

例4.（2023?湖南株洲?高三株洲二中校考階段練習(xí)）在棱長為4的正方體A8CO-AAGR中，點尸、Q分

別是BDt,的中點，點M為正方體表面上一動點，若與CQ垂直,則點M所構(gòu)成的軌跡的周長為,

【答案】8+4班

【解析】如圖，只需過點P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動點M的軌跡.

分別取CC-。。的中點R,5,

巾tanNC|QC=tanNBRC=2,知NGQC=NBRC,易知CQ丄R3,

乂CQ丄A8,ABBR=B、A8,8Ru平面A8RS,

所以CQ丄平面ABRS,

過P作平面ABRS的平行平面TURN，點M的軌跡為四邊形TURJ,

其周長與四邊形ABRS的周長相等，

其中AB=RS=4,BR=AS=qU+*=2小，

所以點M所構(gòu)成的軌跡的周長為2x4+2x2石=8+4石.

故答案為：8+4后

例5.（2023?湖南長沙?長郡中學(xué)?？级＃┰谡睦庵鵄BC0-A4CQ中，AB=1,例=4,E為。R中

點，P為正四棱柱表面上一點，且CJ丄qE,則點尸的軌跡的長為一.

【答案】6+拒/0+?

【解析】如圖，連接耳馬，AG，由題可知，AG丄BR,E0丄平面ABC".

因A&U平面AAGR，則ER丄AG.

又SQu平面EBQ,EQu平EBR,EDQBQ、=D、,則AG丄平面E2Q.又與Eu平面EBQ,則

GA丄B、E：

如圖，過E做RG平行線，交CG于凡則F為CG中點.連接所，BXF,

過G做BF垂線，交8月于G.

由題可得，AG丄平面BCC石，又E尸〃。G，則E尸/平面BCCg.

因GGu平面5CGA，則GG1EF.

又B￡u平面反尸E,FEu平面男尸E,FEC4尸=F，則CQ丄平面B/E.

因u平面B、FE,則C.G丄B}E；

因GGu平面GGA,,C0U平面C0A，c.^nc.G=ct,則AE丄平面GGA,.

連接AG,則點p軌跡為平面GGA與四棱柱的交線，即△A&G.

注意到N8|C|G+ZGC.F=NGC|尸+ZB,FC,nNB?G=ZB,FC,,

/CM=NFC圍,則C/LFCR,故處=%=2n80=J.

4GC盧1z

則點尸的軌跡的長為AG+C,G+AC=2J1+；+V2=^+5/2.

故答案為：舊+五.

B_______c

AX\7

A；D

例6.（2023?全國?唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知N為正方體ABCD-AEGR的內(nèi)切球球面上的動

點，M為8c的中點，DN丄MB,若動點N的軌跡長度為與晝，則正方體的體積是.

5

【答案】64

其中〃為4G的中點，取的中點”，連接CH.

則有：CH丄MB,DCLMB,

又CHDC=C,CH,DC=平面DCH,

所以MB丄平面DC”,

所以動點N的軌跡是平面DCH截內(nèi)切球。的交線,

即平面DCHG截內(nèi)切球。的交線，

因為正方體A8CQ-A耳GA，AB=2a,

連接OD,OG,OH，則有OG=OH=E旦OGLOH,

GH=2a,GO=島且GH丄GD,

設(shè)。到平面DC"G的距離為：d,

則在三棱錐O-DGH中，有VO_CDH=VD_0GH,

所以丄xLxG4xG￡>xd='x丄xOGxOGxa,

3232

HP—x—x2ax\[5axd=-x—x垃ax-j2axa,

3232

解得；：”=a,

5

截面圓的半徑r=y/R2-d2=竽"，

所以動點N的軌跡長度為：c=2/rr=勺匣a,

5

即延為=跡￡,解得°=2,

55

所以A8=4,正方體的體積：V=43=64,

故答案為：64.

變式8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC-ABG的所有棱長均為4,空間內(nèi)的點H滿足

HALHA,,且“8丄"G，則滿足條件的”所形成曲線的軌跡的長度為.

【答案】心/勺員萬

33

【解析】設(shè)的中點為M，8G的中點為N,易知MN=2百，

因為/M丄44,且H8丄4G，所以，點在以AA，BG為直徑的球上，

球心分別為以，N,半徑分別為r=M4=2,R=NB=2應(yīng),即HM=2,HN=2品,

又MN=2后,所以HM2+HM=MN"即HW丄HV,

因為兩球的交線為圓，所以“點軌跡是以丁為圓心，以/”為半徑的圓,

所以軌跡長度為2兀、也=生畫.

33

故答案為：生畫.

3

IT

變式9.（2023?四川成都?三模）如圖,A8為圓柱下底面圓。的直徑,C是下底面圓周上一點，已知NAOC=1,

04=2,圓柱的高為5.若點。在圓柱表面上運動，且滿足8c-CO=0,則點。的軌跡所圍成圖形的面積

為

，--0-、、

A尸B

C

【答案】10

【解析】作母線CE,AF,連接EF,

因為AF〃CE,所以A￡CE共面，ACEE是圓柱的一個截面,

EC丄平面ABC,BCu平面ABC,所以EC丄8C,

又由已知得AC1BC,而ACCE=C,AC,CEu平面ACEF,

所以8c丄平面ACE尸，

111BCCD=0得CD丄BC,所以CDu平面ACE5,

矩形ACE尸即為。點軌跡，

1T

ZAOC=-,則AC=Q4=2,又CE=5,

所以矩形ACEF的面積為2x5=10.

故答案為：10.

尸阡二

/Md七A8

C

變式10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，A3為圓柱下底面圓。的直徑，C是下底面圓周上一點，已知

7T

ZAOC=^,OA=2,圓柱的高為5.若點￡＞在圓柱表面上運動，且滿足BC丄AD,則點。的軌跡所圍成圖

形的面積為.

4y二好…二

c

【答案】io

【解析】因為A3是圓柱F底面圓。的直徑，所以6c丄AC,

又3C丄AD,AC\AD=A,AC,A。u平面AC。，所以BC丄平面AC。，

設(shè)過A的母線與上底面的交點為E,過。的母線與上底面的交點為尸，連石ECEAC,

行1

,D

Z

?/

厶1;:至…二:3

C

因為AE丄平面ABC,BCu平面ABC,所以AE丄BC,

因為A￡AC=A,AE,ACu平面ACE,所以BC丄平面ACE,

所以點。在平面ACE內(nèi)，又點。在圓柱的表面，所以點。的軌跡是矩形AEFC,

jr

依題意得A￡=5,OA=OC=2,ZAOC=-,所以AC=2,

所以矩形的C的面積為5x2=10.

故點。的軌跡所圍成圖形的面積為10.

故答案為：10.

變式11.（2023?浙江寧波?高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，BC=CC『3,

AC=4,AC丄3C,動點P在△AB?內(nèi)（包括邊界上），且始終滿足BP丄Ag,則動點尸的軌跡長度是.

【解析】在直三棱柱ABC-中，丄平面ABC,

因為ACu平面ABC,所以，4c丄8月，

又因為AC18C,BCBB]=B,BC、8與u平面880。，

所以，AC丄平面BBgC,

因為BQu平面BBCC,所以，BCJAC,

因為BBJ/CG,BB、=CQ=BC,則四邊形B8&C為菱形，所以，BC]±BXC,

又因為ACcBC=C,AC,8,Cu平面AB,C,所以，80丄平面A8C，

因為平面AB,C,所以，BC,±AB,.

在平面A4G內(nèi)，過點C1作G"丄A4,垂足為點〃，

因為B4丄平面ABG，G”u平面A耳G，則a”丄3片，

因為G”丄A4，844瓦=片，BB]、AB|U平面A41g8,

所以，G"丄平面A4M8,

因為平面則丄G”,

因為BCJG”=G，BC1、弓”匚平面8。円，所以，AB1丄平面BGH,

由于動點P又在內(nèi)，所以動點P在平面A4G與平面BC、H的交線GH上,

所以，A4=+4c：=J42+32=5,

八“A.C,B.C4x312

由等面積法可得C、H=''11,

452)2)

12

因此，動點尸的軌跡長度是

12

故答案為：~.

變式12.(2023?山東棗莊?高一統(tǒng)考期末)M,N分別是棱長為1的正方體A8CO-AAGA的棱CCrAd的

中點，點P在正方體的表面上運動，總有MP丄8N,則點尸的軌跡所圍成圖形的面積為.

【答案】立

2

【解析】取中點G,連接。M,MG,G4,設(shè)AGcBN=F,

則N81=G8,NNB]B=NGBA=90。,BtB=BA,

所以ANB，B=AGBA,

所以NNBB]=NGAB.

因為NFG8+NG48=90。，

所以NFGB+NNBB[=90°,

所以NGEB=90°,即AG丄8N,

因為正方體ABC。-A8CA中A￡＞丄面BNu面

所以A￡＞丄BN,

因為AZ),AGu面仞MG,ADAG=A,

所以BN丄面APMG,

因為正方體A8CO-48CA中AD丄面AAgB,AGu面A4gB,

所以A￡＞丄AG,

所以點P的軌跡為矩形ADMG,

在直角_4?G中AG=VAB2+BG2=Jl+^=乎，

所以矩形ADMG面積為AG?AO=@x1=@.

22

即點尸的軌跡所圍成圖形的面積為好.

2

故答案為：好

2

變式13.(2023?四川廣元?高二廣元中學(xué)?？计谥?如圖，A8為圓柱下底面圓。的直徑，。是下底面圓周上

7T

一點，已知NAOC=1,OA=2,圓柱的高為5.若點。在圓柱表面上運動，且滿足BC丄A。，則點。的

軌跡所圍成圖形的面積為.

C

【答案】100

【解析】因為A8是圓柱下底面圓。的直徑，

所以8c丄AC,

又8C丄AZ),ACriAD^A,AC,Mu平面ACO,

所以BC1平面AC。，

設(shè)過A的母線與I：底面的交點為E.過C的母線與上底面的交點為尸，連EF,CF,AC,

E防1丿

，D

//

/

A^：：：l：：：O：：：：：：zB

c

則四邊形A￡FC為矩形，

因為AE丄平面ABC,BCu平面ABC,

所以A￡丄BC,

因為AEAC=A,AE,ACu平面ACFE,

所以8C1平面ACFE,

所以點。在平面AC正內(nèi)，

又點。在圓柱的表面，

所以點D的軌跡所圍成圖形是矩形AEFC,

TT

依題意得A￡=5,OA=OC=2,NAOC=一，

2

所以AC=2五，

所以矩形AEFC的面積為5x2a=10夜，

故點。的軌跡所圍成圖形的面積為10匹.

故答案為：I0&.

變式14.（2023?陜西榆林?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體A8CO-A8CA的棱長為2,點M是棱4G的

中點，點P是正方體表面上的動點.若DM丄CF,則P點在正方體表面上運動所形成的軌跡的長度為（）

B.2畐店

C.夜+2逐D.2夜+2有

【答案】C

【解析】取的中點G,A局的中點“，連接匕“、GH、GG、D、M、CM,

設(shè)"GD、M=。,如下圖所示.

因為四邊形AMGR是正方形，又點M是棱的中點，點”是AA的中點，

則4cl=CQi，B\H=JM,NC\B、H=ND￡M=90,

所以，RtZkgG”纟Rt^CQM,所以，NBCH=NCRM,

所以，ZC{MD}+ZB.C,H=ZCtMD,+ZQD.M=90,

所以，ZC.OM=90,即HCX丄DXM.

在正方體ABCO-AMGR中，0A丄平面ABC。，

又G”u平面AAGR，所以。。丄G”，

又DD\D、M=Di,DD,、"Mu平面所以QH丄平面。RM,

又MDu平面。。M,所以C]H丄MD,同理可得，C,G1MD,

又C、GcC、H=C,,C。、GHU平面CQH,所以，DM丄平面GGH.

所以P點在正方體表面上運動所形成的軌跡為aC。4的三邊，

因為正方體ABCD-ASG。的棱長為2,

由勾股定理可得G”=荷不可產(chǎn)=V22+l2=亞，同理可得C。=石，GH=Q，

所以.GGH的周長為GH+"G+GC；=J5+石+石=0+2行.

故選：C.

題型三：由動點保持等距（或定長）求軌跡

例7.（2023?貴州貴陽?高三貴陽一中?？计谀┰诶忾L為1的正方體ABCD-A圈中，點。為側(cè)面889。

內(nèi)一動點（含邊界），若DQ瀉,則點。的軌跡長度為.

兀1

【答案】a

44

【解析】由題意，。在面8BCC的軌跡是以G為圓心，半徑為義的四分之一圓弧，

iiTT

所以軌跡長度為LW*

故答案為：v

例8.（2023?湖北武漢?高一湖北省水果湖高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正方體ABCD-ABCA的棱長為3,動

點尸在VABC內(nèi)，滿足=J五，則點尸的軌跡長度為.

【答案】品

【解析】在正方體ABC。-中，如圖，

丄平面A8CQ,ACu平面AfiCO,則3%丄AC,而BO丄AC,

DDJBD=D,DDt,BDu平面BDR,于是AC丄平面BOR,乂BQu平面BOR,

則AC丄BQ,同理A4丄而ACcAg=A,AC,A^u平面ASQ,

因此8。丄平面AB,C,令8。1交平面A8c于點E，

由V/j-AB'C=VK（-ABC,得3sABtC'BE=；SABC-BB1,

即立?（夜-BE=-AB3，解得BE=\AB=百,

4'丿273

而BD、=\[3AB=3百，丁是RE=2>/3,

因為點P在VA81C內(nèi)，滿足。尸=JS,則EP=JQM-￡>E=6,

因此點尸的軌跡是以點E為圓心，V2為半徑的圓在VAgC內(nèi)的圓弧，

而VA8C為正三角形，則三棱錐8-必為正三棱錐，E為正VA4c的中心，

于是正VAB。的內(nèi)切圓半徑E〃=Agx且x丄=3xJIx立x1=逅，

123232

則cos"EF=立，即=—NFEG=j

263

所以圖在VABC內(nèi)的圓弧為圓周長的

即點P的軌跡長度為；?2兀?a=

故答案為：兀

例9.（2023?河北邯鄲?高一大名縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正方體ABCQ-AB'C'D的棱長為1,點尸

在該正方體的表面ABCD上運動，且PA=夜則點P的軌跡長度是.

【答案】［

2

【解析】當(dāng)AP=應(yīng)時，如圖，點P的軌跡是在面BCC%'，CDDC,AB'C'D三個面內(nèi)以1為半徑，圓心

角為:的三段弧，所以此時點P點尸在該正方體的表面A與GR上運動的軌跡的長度為

變式15.（2023?貴州銅仁?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體48CD-ABC。的棱長為4,點P在該正方體的表面

上運動，且PA=4應(yīng)，則點P的軌跡長度是.

【解析】因為24=40>4,所以點P可能在平面內(nèi)，可能在平面BCG4內(nèi)，可能在平面。CGA

內(nèi).

當(dāng)點尸在平面480。內(nèi)時，

由A4,丄平面ABCQ，APu平面44G可知力A丄AP,

所以PA?=4^+4〃，所以4尸=PA2-M=(4拒『-42=16,

所以點P到A的距離為4,

所以點尸的軌跡為以點A為圓心，4為半徑的圓與正方形AB￡R邊界及其內(nèi)部的交線.

7T

則40的長/=/X4=27T,

所以，當(dāng)點尸在平面A4G。內(nèi)時，點P的軌跡長度是2兀.

同理可得，當(dāng)點尸在平面8CC円內(nèi)時，點尸的軌跡長度也是21t.

當(dāng)點尸在平面QCG2時，點尸的軌跡長度也是27r.

綜上所述，點P的軌跡長度為2兀+2兀+2兀=6兀.

故答案為：67r.

變式16.(2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考二模)表面積為36兀的球M表面上有A,B兩點,且為等邊三

角形，空間中的動點尸滿足|P4|=2|P8］,當(dāng)點P在,所在的平面內(nèi)運動時，點P的軌跡是；當(dāng)尸

在該球的球面上運動時.，點尸的軌跡長度為.

【答案】圓”叵

13

［解析］設(shè)球的半徑為，，則4兀產(chǎn)=36K，解得r=3,

在平面內(nèi)，動點P的軌跡組成一個圓，以線段48所在直線為無軸，以靠近點8且長度為1處為坐標(biāo)原點，

則A(-2,0),8(1,0),此時動點P的軌跡方程為(x-2)2+9=4,

設(shè)其圓心為。一則在空間中，z軸和xO.v坐標(biāo)平面垂直，

動點P的軌跡為xOy平面中的圓(x-2丫+9=4繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成球的球面，

如圖所示,

y

X

所以點P的軌跡是兩個球面的交線，這兩個球分別是以M和0,為球心，

在△MBO?中，結(jié)合余弦定理得到口閘=V32+l-2x3xlxcosl200=V13.

設(shè)交線所圍成的圓半徑為R.則底而R=[x3x2,

22

解得R=小叵.所以交線的長度為吆叵.

1313

故答案為：圓；上叵

13

變式17.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知正四棱柱ABCO-A4GA的體積為16,E是棱BC的中點，戶是

側(cè)棱4A上的動點，直線GP交平面E瓦。于點P，則動點P'的軌跡長度的最小值為.

【答案】厶叵

5

【解析】如圖取8的中點M,連接EM交AC于點F,連接AG、BR交于點0,連接。尸、BD,

3

因為E是棱8C的中點，所以ME〃8O,則尸為AC的四等分點且=

4

由正四棱柱的性質(zhì)可知〃叫且?？?叫，所以四邊形。。冉8為平行四邊形，所以4R//BO,

所以gR〃ME,所以為、口、M,E四點共面，

所以平面8aM4,平面ACGA，

連接AG交。尸于點G,因為P是側(cè)棱AA上的動點，直線C/交平面EBQ于點p,

所以線段0G即為點P'的軌跡，

a

如圖在平面ACGA中，過點尸作，尸丄AC，交AG于點”，因為AG//AC,

所以AFGsCQG,所以注二三二學(xué)一所以O(shè)G=^OF,

°GOGl^C,25

設(shè)4)=￡>C=a、DDt=b,(a,b>0),

?歷

依題意"6=16,CF=CtH=OH=-AC=^a,

所以O(shè)F=JOH2+HF2=&.2,

要求動點P的軌跡長度的最小值，即求。G的最小值，即求O尸的最小值，

因為"2匕=16，所以“2=不，

b

所以丄/+〃=lx—+/?2=b2+-=/?24--+->3^/?2.--1=3,

88bbbb\bb

當(dāng)且僅當(dāng)匕2=:，即8=1、a=4時取等號，

b

所以(0尸)mi“=6,所以(06端“=苧，即動點P的軌跡長度的最小值為竿.

故答案為：厶叵

5

變式18.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知棱長為8的正方體ABCD-AMCQ中，平面A3C。內(nèi)一點E滿足

8E=；CB,點尸為正方體表面一動點，且滿足|陽=2&,則動點P運動的軌跡周長為

【答案】(0+1)萬

【解析】BE=JC8,則E在C8的延長線上，且BE=2,

由正方體性質(zhì)知BE丄平面ABBA,當(dāng)p在平面上時，BPu平面A84A，BE丄BP，由尸E=2正得

8P々（20）2—22=2,因此尸點軌跡是以8為圓心，2為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分即圓周的5,

弧長為2;rx2x!=乃，從而知P點在以B為頂點的三個面內(nèi).

4

TT

當(dāng)尸在棱3片上時，BP=2,ZPEB=-

4t

因此尸點在面BCC|B|時，尸點軌跡是以E為圓心，2a為半徑的圓在正方形BCG片內(nèi)的圓弧，圓弧的圓心

角為￡，弧長為工x2&=^萬，同理P點在面A8C。內(nèi)的軌跡長度也為它；r,

4422

所以所求軌跡長度為"+史"x2=（應(yīng)+1）》.

2

故答案為：（拉+1）%.

變式19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知棱長為2的正方體AbC。一A8CD,M是正方形8冊CC

的中心，P是△4C。內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足PM=P。，則點P的軌跡長度為.

D'C

【答案】巫

2

【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則0（0,0,0）,A'（2,0,2）,C（0,2,2）,M（1,2,1）

DAZ=(2,0,2),DC'=(0,2,2)

設(shè)平面D4C的法向量〃=（x,y,z）

2x+2z=0

則有2y+2z=0,令I(lǐng)則y=l,z=-1

則1)

設(shè)尸(x,y,z),則DP=(x,y,z)

nlDP，貝ijx+y-z=°

又,/PM=PD,則y/x2+y2+z2=^(x-1)2+(y-2)2+(z-l)2

整理得：x+2y+z=3

-3~2x

(x+2y+z=3)-3

聯(lián)立方程?八，則\

[x+y-z=0_x+3

0<x<2

3-2%3

可得04戸丄2,可得04哼

0<^<2

I3

當(dāng)x=0時，［（0,1,1）,當(dāng)》=^|時，鳥弓‘°'3

在空間中，滿足PM=PD的尸為過MC的中點且與MO垂直的平面a

兩個平面的公共部分為直線，即點P的軌跡為an平面則由2卜半

故答案為：叵.

2

變式20.（2023?河南許昌?髙三統(tǒng)考階段練習(xí)）三棱錐P