七年級數學上冊知識點總結

第一章有理數

一'正數和負數

1.正數和負數的概念

負數：比0小的數正數：比0大的數0既不是正數，也不是負數

注意：①字母a可以表示任意數，當a表示正數時，-a是負數；當a表示負數時,

-a是正數；當a表示0時，-a仍是0。(如果出判斷題為：帶正號的數是正數，帶

負號的數是負數，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷)

②正數有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數的符號

是正號。

2.具有相反意義的量

若正數表示某種意義的量，則負數可以表示具有與該正數相反意義的量，比如：

零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：-8℃

3.0表示的意義

(1)0表示“沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人；

(2)0是正數和負數的分界線，0既不是正數，也不是負數。

(3)0表示一個確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準，比如以海平面為基準,

則0米就表示海平面。

二'有理數

L有理數的概念

(1)正整數、0、負整數統稱為整數(0和正整數統稱為自然數)

(2)正分數和負分數統稱為分數

(3)正整數，0,負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為

有理數。

理解：只有能化成分數的數才是有理數。①兀是無限不循環小數，不能寫成分數

形式，不是有理數。②有限小數和無限循環小數都可化成分數，都是有理數。3,

整數也能化成分數，也是有理數

注意：引入負數以后，奇數和偶數的范圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶數

,-1,-3,-5…也是奇數。

2.有理數的分類

⑴按有理數的意義分類(2)按正、負來分

「正整數r正整數

(整數10定有理數Y

〔負整數1正分數

有理數有理數0(0不能忽視)

「正分數「負整數

1分數-聯有理數Y

1負分數〔負分數

總結：①正整數、0統稱為非負整數(也叫自然數)

②負整數、0統稱為非正整數

③正有理數'0統稱為非負有理數

④負有理數、0統稱為非正有理數

3.數軸

(1)數軸的概念

規定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。

注意：①數軸是一條向兩端無限延伸的直線；②原點'正方向'單位長度是數

軸的三要素，三者缺一不可；③同一數軸上的單位長度要統一；④數軸的三要

素都是根據實際需要規定的。

(2)數軸上的點與有理數的關系

①所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，正有理數可用原點右邊的點表示，

負有理數可用原點左邊的點表示，0用原點表示。

②所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點不都表示有理數,

也就是說，有理數與數軸上的點不是一一對應關系。(如.數軸上的點殳不是有理

數)

(3)利用數軸表示兩數大小

①在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大；

②正數都大于0,負數都小于0,正數大于負數；

③兩個負數比較，距離原點遠的數比距離原點近的數小。

(4)數軸上特殊的最大(小)數

①最小的自然數是0,無最大的自然數；

②最小的正整數是1,無最大的正整數；

③最大的負整數是-1,無最小的負整數

(5)a可以表示什么數

①a>0表示a是正數；反之，a是正數，則a>0；

②a<0表示a是負數；反之，a是負數，則a<0

③a=0表示a是0；反之，a是0,則a=0

4.相反數

(1)相反數

只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，其中一個是另一個的相反數，0的相反

數是0。

注意：①相反數是成對出現的；②相反數只有符號不同，若一個為正，則另一

個為負；

③0的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。

(2)相反數的性質與判定

①任何數都有相反數，且只有一個；

②0的相反數是0;

③互為相反數的兩數和為0,和為0的兩數互為相反數，即a,b互為相反數，

則a+b=0

⑶相反數的幾何意義

在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩

個數，在數軸上的對應點(0除外)在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0的相

反數對應原點；原點表示0的相反數。

說明：在數軸上，表示互為相反數的兩個點關于原點對稱。

(4)相反數的求法

①求一個數的相反數，只要在它的前面添上負號“-”即可求得(如：5的相反數是

-5)；

②求多個數的和或差的相反數時，要用括號括起來再添然后化簡(如；5a+b

的相反數是-(5a+b)。化簡得-5a-b)；

③求前面帶的單個數，也應先用括號括起來再添然后化簡(如：-5的相

反數是-(-5),化簡得5)

(5)相反數的表示方法

一般地，數a的相反數是-a,其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。

當a>0時，-a<0（正數的相反數是負數）

當a<0時，-a>0（負數的相反數是正數）

當a=0時，-a=0（0的相反數是0）

5.絕對值

（1）絕對值的幾何定義

一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作閭。

（2）絕對值的代數定義

①一個正數的絕對值是它本身；②一個負數的絕對值是它的相反數；③0的絕

對值是0.

可用字母表示為：

A.如果a>0,那么|a|=a；B.如果a<0,那么|a|=-a；C.如果a=0,那么同=0。

可歸納為①：aNO,<=>|a|=a（非負數的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數

是非負數。）

②aWO,<=>|a|=a（非正數的絕對值等于其相反數；絕對值等于其相反數的數是

非正數。）

經典考題

如數軸所示，化簡下列各數

|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|

解：由題知道，因為a>0,b<0,c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0,

所以|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c,|b+c|=-(b+c)=-b-c

（3）絕對值的性質

任何一個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取

任何有理數，都有⑶對。即

①0的絕對值是0;絕對值是0的數是0。即：a=0<=>|a|=0；

②一個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0.即：|a|>0；

③任何數的絕對值都不小于原數。即：|a|>a；

④絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a(a>0),貝ljx=±a；

⑤互為相反數的兩數的絕對值相等。即：卜a|=|a|或若a+b=0,貝1a]=|b|；

⑥絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|,則a=b或a=-b；

⑦若幾個數的絕對值的和等于0,則這幾個數就同時為0。§P|a|+|b|=0,則a=0且

b=0o

(非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0,則有且只有這幾個非負數同時為

0)

經典考題

已知|a+3|+|2b-2|+|c-l|=0,求a+b+c的值

解：因為|a+3|K),|2b-2|>0,|c-l|>0,且|a+3|+|2b-2|+|c-l|=0

所以|a+3|=0,|2b-2|=0,|c-l|=0

即a=-3,b=l,c=l

所以a+b+c=-3+l+l=-l

(4)有理數大小的比較

①利用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；

②利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；

異號兩數比較大小，正數大于負數。

(5)絕對值的化簡

①當a>0時，|a|=a；②當a<0時，|a|=-a

(6)已知一個數的絕對值，求這個數

一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同

一個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0,沒有絕對值

為負數的數。如：|a|=5,則a=±5

三'有理數的加減法

1.有理數的加法法則

(1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

(2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕

對值減去較小的絕對值；

(3)互為相反數的兩數相加，和為零；

(4)一個數與零相加，仍得這個數。

2.有理數加法的運算律

(1)加法交換律：a+b=b+a

(2)加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規

律：

①互為相反數的兩個數先相加——“相反數結合法”；

②符號相同的兩個數先相加——“同號結合法”；

③分母相同的數先相加——“同分母結合法”;

④幾個數相加得到整數，先相加——“湊整法”；

⑤整數與整數、小數與小數相加——“同形結合法”。

3.加法性質

一個數加正數后的和比原數大；加負數后的和比原數小；加0后的和等于原數。

即：

⑴當b>0時，a+b>a⑵當b<0時，a+b<a(3)當b=0時，a+b=a

4.有理數減法法則

減去一個數，等于加上這個數的相反數。用字母表示為：

a-b=a+(-b)o

5.有理數加減法統一成加法的意義

在有理數加減法混合運算中，根據有理數減法法則，可以將減法轉化成加法后，

再按照加法法則進行計算。

在和式里，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和

的形式。如：

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的讀法：①按這個式子表示的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和”

②按運算意義讀作“負8減7減6加5”

6.有理數加減混合運算中運用結合律時的一些技巧：

(1)把符號相同的加數相結合(同號結合法)

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(將減法轉換成加法)

=-33+18-15-1+23(省略加號和括號)

=(-33-15-1)+(18+23)(把符號相同的加數相結合)

=-49+41（運用加法法則一進行運算）

=-8（運用加法法則二進行運算）

(2)把和為整數的加數相結合(湊整法)

(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（將減法轉換成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加號和括號）

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和為整數的加數相結合）

=4-10+3.8（運用加法法則進行運算）

=7.8-10（把符號相同的加數相結合，并進行

超導)

=-2.2（得出結論）

（3）把分母相同或便于通分的加數相結合（同分母結合法）

-5-2+4-5+2"8

321137

原式=(-----)+(—+—)+(+----)

552248

=-1+0--

8

（4）既有小數又有分數的運算要統一后再結合（先統一后結合）

312

(+0.125)-(-3-)+(-3-)-(-10-)-(+1.25)

483

_13121

原式=(+&)+(+3-)+(-3-)+(+10-)+(-1-)

1.3.1，八2,1

=—+3—3—+10—1—

84834

31112

=(3--1-)+(--3-)+10-

44883

=2--3+10-

23

=-3+13-

6

=10—

6

⑸把帶分數拆分后再結合(先拆分后結合)

-3-+10--12—+4—

5112215

原式=(-3+10-12+4)+(—+—)+(---------)

5151122

,411

=-1+——+——

1522

=一1+2+竺

3030

7

30

(6)分組結合

2-3-4+5+6-7-8+9...+66-67-68+69

原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)

=0

(7)先拆項后結合

(1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8...+100)

四'有理數的乘除法

1.有理數的乘法法則

法則一：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；(“同號得正，異號

得負”專指“兩數相乘”的情況，如果因數超過兩個，就必須運用法則三)

法則二：任何數同0相乘，都得0；

法則三：幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個

數是奇數時，積是負數；

法則四：幾個數相乘，如果其中有因數為0,則積等于0.

2.倒數

乘積是1的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數，用式子表示為

a--=l(a#O),就是說a和工互為倒數，即a是工的倒數，,是a的倒數。

aaaa

注意：(1)0沒有倒數；

(2)求假分數或真分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母點顛倒位置即可；

求帶分數的倒數時，先把帶分數化為假分數，再把分子、分母顛倒位置；

(3)正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。(求一個數的倒數，不改變這個數的

性質)；

(4)倒數等于它本身的數是1或-1,不包括0o

3.有理數的乘法運算律

(1)乘法交換律：一般地，有理數乘法中，兩個數相乘，交換因數的位置，積相

等。即ab=ba

(2)乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積

相等。即(ab)c=a(bc).

(3)乘法分配律：一般地，一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩

個數相乘，在把積相加。即a(b+c尸ab+ac

4.有理數的除法法則

(1)除以一個不等0的數，等于乘以這個數的倒數。

(2)兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0

的數，都得0

5.有理數的乘除混合運算

(1)乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。

(2)有理數的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照，先乘除，

后加減'的順序進行。

五'有理數的乘方

1.乘方的概念

求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做幕。在小中，a叫

做底數，n叫做指數。

2.乘方的性質

(1)負數的奇次易是負數，負數的偶次幕的正數。

(2)正數的任何次事都是正數，0的任何正整數次事都是0。

3.有理數的混合運算

做有理數的混合運算時，應注意以下運算順序：

(1)先乘方，再乘除，最后加減；

(2)同級運算，從左到右進行；

(3)如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。

4.科學記數法

把一個大于10的數表示成axlO"的形式(其中n是正整數)，這種記

數法是科學記數法。

第二章整式的加減

一v整式

代數式：用基本運算符號把數和字母連接而成的式子叫做代數式，如〃，-1

2n+500,abco單獨的一個數或一個字母也是代數式。

單項式：表示數與字母的乘積的代數式叫單項式。單獨的一個數或一個字母也是

代數式。

單項式的系數：單項式中的數字因數

單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數和

多項式：幾個單項式的和叫做多項式。每個單項式叫做多項式的項，不含字母的

項叫做常數項。

多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。常數項的次數為0。

整式：單項式和多項式統稱為整式。

注意：分母上含有字母的不是整式。

代數式書寫規范：

①數與字母、字母與字母中的乘號可以省略不寫或用“?”表示，并把數字放到字

母前；

②出現除式時，用分數表示；

③帶分數與字母相乘時，帶分數要化成假分數；

G若運算結果為加減的式子，當后面有單位時，要用括號把整個式子括起來。

⑷

二、整式的加減

1.合并同類項

同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。

合并同類項的法則：同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指

數不變。

合并同類項的步驟：（1）準確的找出同類項；（2）運用加法交換律，把同類項交換

位置后結合在一起；（3）利用法則，把同類項的系數相加，字母和字母的指數不

變；（4）寫出合并后的結果。

2去括號的法則

⑴括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項的符號都不變；

⑵括號前面是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉，括號里各項的符號都要改

變。

3整式的加減：進行整式的加減運算時，如果有括號先去括號，再合并同類項。

整式加減的步驟：（1）列出代數式；（2）去括號；（3）合并同類項。

第三章一元一次方程

一、一元一次方程的概念：

只含有一個未知數（元）且未知數的指數是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形

式：ax+b=O（存0）

注意：未知數在分母中時，它的次數不能看成是1次。如工+3=盯它不是一元

X

一次方程。

二'解一元一次方程

1.方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。

2.解方程：求方程的解的過程叫做解方程。

3.等式的性質：

（1）等式兩邊都加上或減去同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式；

（2）等式兩邊都乘或除以同一個不等于0的數，所得結果仍是等式。

4.移項

移項：方程中的某些項改變符號后，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形

叫做移項。

移項的依據：（1）移項實際上就是對方程兩邊進行同時加減，根據是等式的性質1;

⑵系數化為1實際上就是對方程兩邊同時乘除，根據是等式的性質2。

移項的作用：移項時一般把含未知數的項向左移，常數項往右移，使左邊對含未

知數的項合并，右邊對常數項合并。

注意：移項時要跨越“=”號，移過的項一定要變號。

5.解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的

系數化為1。

注意：去分母時不可漏乘不含分母的項。分數線有括號的作用，去掉分母后，若

分子是多項式，要加括號。

三'方程解決問題

列一元一次方程解應用題的基本步驟：審清題意'設未知數（元卜列出方程、解

方程、寫出答案。關鍵在于抓住問題中的有關數量的相等關系，列出方程。

1.解決問題的策略：利用表格和示意圖幫助分析實際問題中的數量關系

2.實際問題的常見類型：

（1）行程問題：路程=時間x速度，時間=棗冬，速度=鬻

速度時間

（單位：路程——米、千米；時間——秒、分、時；速度——米/秒、米/分、

千米/小時）

（2）工程問題：工作總量=工作時間x工作效率，工作總量=各部分工作量的和

(3)利潤問題：利潤=售價-進價，利潤率=鏗，售價=標價x(l一折扣)

進價

(4)等積變形問題：長方體的體積=長義寬X高；圓柱的體積=底面積X高；鍛造前的

體積=鍛造后的體積

(5)利息問題：本息和=本金+利息；利息=本金x利率

第四章幾何圖形初步

一、幾何圖形

1.立體圖形與平面圖形

從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。

2.點'線'面、體

(1)幾何圖形的組成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

(2)點動成線，線動成面，面動成體。

3.棱柱及其有關概念：

棱：在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線，都叫做棱。

側棱：相鄰兩個側面的交線叫做側棱。

n棱柱有兩個底面，n個側面，共(n+2)個面；3n條棱，n條側棱；2n個頂點。

棱柱的所有側棱長都相等，棱柱的上下兩個底面是相同的多邊形，直棱柱的側面

是長方形。棱柱的側面有可能是長方形，也有可能是平行四邊形。

4.正方體的平面展開圖有11種

5.截一個正方體：用一個平面去截一個正方體，截出的面可能是三角形，四邊形,

五邊形，六邊形。

6.三視圖

物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。

左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。

俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。

二'直線'射線、線段

L直線、射線、線段的比較

不同點

名稱聯系共同點

延伸性端點數

線段不能延伸2

線段向一方延長

射線只能向一方延伸1都是直的

就成射線，向兩

可向兩方無限延線

直線無方延長就成直線

伸

2.點、直線、射線和線段的表示

在幾何里，我們常用字母表示圖形。

(1)一個點可以用一個大寫字母表示，如點A

⑵一條直線可以用一個小寫字母表示或用直線上兩個點的大寫字母表示，如直

線/,或者直線AB

(3)一條射線可以用一個小寫字母表示或用端點和射線上另一點來表示(端點字母

寫在前面)，如射線/,射線AB

⑷一條線段可以用一個小寫字母表示或用它的端點的兩個大寫字母來表示，如

線段/,線段AB

3.點和直線的位置關系有兩種：

①點在直線上，或者說直線經過這個點。

②點在直線外，或者說直線不經過這個點。

4.線段的性質

(1)線段公理：兩點之間的所有連線中，線段最短。

⑵兩點之間的距離：兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

⑶線段的中點到兩端點的距離相等。

(4)線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。

(5)線段的比較：1.目測法2.疊合法3.度量法

5.線段的中點：

點M把線段AB分成相等的兩條相等的線段AM與BM,點M叫做線段AB的

中點。

是線段AB的中點

AMB

AM=BM=1AB(或者AB=2AM=2BM)

6.直線的性質

(1)直線公理：經過兩個點有且只有一條直線。

(2)過一點的直線有無數條。

(3)直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。

(4)直線上有無窮多個點。

(5)兩條不同的直線至多有一個公共點。

三、角

1.角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個

角的頂點，這兩條射線叫做這個角的邊。或：角也可以看成是一條射線繞著它的

端點旋轉而成的。

2.平角和周角：一條射線繞著它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所形

成的角叫做平角。終邊繼續旋轉，當它又和始邊重合時，所形成的角叫做周角。

3.角的表示：

①用數字表示單獨的角，如Nl,Z2,N3等。

②用小