2022-2023學(xué)年下學(xué)期期中考試押題卷03高二·數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測(cè)試范圍：選擇性必修第二冊(cè)第6章、第7章、第8章。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從10種不同的作物種子中選出6種分別放入6個(gè)不同的瓶子中展出，每瓶不空，如果甲、乙兩種種子都不許放入1號(hào)瓶子內(nèi)，那么不同的放法共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】C【解析】分兩步：第1步，可在其他8種種子中選取1種放入1號(hào)瓶，則有種選法；第2步，在剩下的9種種子中選5種作全排列，則有種選法.故共有種不同的放法.故選：C.2．立德學(xué)校于三月份開展學(xué)雷鋒主題活動(dòng)，某班級(jí)5名女生和2名男生，分成兩個(gè)小組去兩地參加志愿者活動(dòng)，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）種．A．20 B．4 C．60 D．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保證每個(gè)小組都有男生，共有種分配方案；再安排5名女生，若將每個(gè)女生隨機(jī)安排，共有種分配方案，若女生都在同一小組，共有種分配方案，故保證每個(gè)小組都有女生，共有種分配方案；所以共有種分配方案.故選：C.3．若直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B．C． D．l與斜交【答案】B【解析】∵，，可得，∴，可得故選：B.4．甲?乙兩所學(xué)校有同樣多的學(xué)生參加數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)，兩所學(xué)校學(xué)生測(cè)驗(yàn)的成績分布都接近于正態(tài)分布，其中甲校學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為105分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分；乙校學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為115分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分.若用粗線表示甲校學(xué)生成績分布曲線，細(xì)線表示乙校學(xué)生成績分布曲線，則下列哪一組分布曲線較為合理？（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，由于甲校的學(xué)生成績平均分低于乙校的學(xué)生成績平均分，所以甲校的學(xué)生成績正態(tài)曲線的對(duì)稱軸比乙校的學(xué)生成績的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸靠左；由于甲校的學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校的學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差，所以甲校的學(xué)生成績的正態(tài)曲線要“矮胖”些，乙校的學(xué)生成績的正態(tài)曲線要“瘦高”些.故選：A.5．先后擲兩次骰子（骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)），落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A=“為奇數(shù)”，事件B=“，滿足”，則概率（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】用表示第1次擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)為，第2次擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)為，擲兩次骰子，基本事件的個(gè)數(shù)為：，因?yàn)槭录嗀=“為奇數(shù)”，事件B=“，滿足”，記事件“為奇數(shù)，且”，所以事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為：，事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為：，根據(jù)古典概率公式知，，，由條件概率公式知，，故選：B.6．如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且，，設(shè)，，，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；因.所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋赃x項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)椋赃x項(xiàng)正確；故選：.7．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．60 B．30 C．20 D．【答案】D【解析】由，可得其二項(xiàng)展開式，若先滿足項(xiàng)中y的次數(shù)，則，可得，其中展開式的通項(xiàng)為，令，得，可得，故項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D.8．如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，給出下列三個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積的最大值為；②的最小值為；③點(diǎn)到直線的距離的最小值為．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】在直三棱柱中平面，對(duì)于①：因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以，又，又，，，點(diǎn)在棱上，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)、在點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故①正確；對(duì)于②：如圖將翻折到與矩形共面時(shí)連接交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，因?yàn)椋裕裕吹淖钚≈禐椋盛阱e(cuò)誤；對(duì)于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，所以，，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，則，所以當(dāng)取最大值，且時(shí)，即當(dāng)在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故③正確；故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）．A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B．若，則是鈍角C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面【答案】AC【解析】選項(xiàng)A，空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，由于空間任意兩個(gè)向量一定共面，因此這三個(gè)向量一定共面，正確；選項(xiàng)B，若，則是鈍角或者，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，設(shè)是空間中的一組基底，則不共面，可得向量也不共面，所以也是空間的一組基底，正確；選項(xiàng)D，對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，，四點(diǎn)不共面，錯(cuò)誤；故選：AC10．現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法正確的有（

）A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲?乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙?丁?戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方式，則有種安排方法，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于B，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分成4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有種安排方法，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于C，根據(jù)題意，分2種情況需要討論：①從丙?丁?戊中選出2人開車，②從丙?丁?戊中選出1人開車，則有種安排方法，故選項(xiàng)C正確.對(duì)于D，分2步進(jìn)行分析：先將5人分成3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作，有種安排方法，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11．一種疾病需要通過核酸檢測(cè)來確定是否患病，檢測(cè)結(jié)果呈陰性即沒患病，呈陽性即為患病，已知7人中有1人患有這種疾病，先任取4人，將他們的核酸采樣混在一起檢測(cè).若結(jié)果呈陽性，則表明患病者為這4人中的1人，然后再逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定患病者為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外3人中逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定患病者為止.則（

）A．最多需要檢測(cè)4次可確定患病者B．第2次檢測(cè)后就可確定患病者的概率為C．第3次檢測(cè)后就可確定患病者的概率為D．檢測(cè)次數(shù)的期望為3【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，①當(dāng)患病者在混檢的4人中時(shí)，第2次和第3次都沒有檢測(cè)出患病者，則需要進(jìn)行第4次檢測(cè)，第4次可能檢測(cè)到患者，若第4次還是陰性，則剩下沒有檢測(cè)者為患者，所以最多要檢測(cè)4次可確定患病者；②若患病者不在混檢的4人中時(shí)，最多再檢測(cè)2次就可確定患病者.綜述：最多需要檢測(cè)4次可確定患病者.故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，第2次檢測(cè)后就可確定患病者有兩種情況：①患病者在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第1次抽到他，②患病者不在混檢中，并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第1次抽到他，則其概率為：，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，第3次檢測(cè)后就可確定患病者有兩種情況：①患病者在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第2次抽到他，②患病者不在混檢中，并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第1次沒有抽到他，則其概率為：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)檢測(cè)次數(shù)為隨機(jī)變量X，則其分布列為：X234P所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.12．如圖，點(diǎn)M是棱長為l的正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在點(diǎn)M滿足平面B．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足C．當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面截正方體所得截面的面積為D．滿足的點(diǎn)M的軌跡長度是【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：連接，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，∵，且平面，所以，，平面，所以平面，且平面，可得，同理可證，，平面，所以，又點(diǎn)M是面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），所以當(dāng)M與A1重合時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：連接，，，則，又因?yàn)椋裕芍?dāng)M在線段上時(shí)，有故存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：延長交于點(diǎn)，∵，則為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且，則，則為線段的中點(diǎn)，如圖，以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面，點(diǎn)，則，則，解得，則，故，可得，即，且，故截面面積，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)檎襟w的棱長為l，所以設(shè)所以，，因?yàn)椋曰喌茫海渣c(diǎn)M的軌跡是一段以為圓心，半徑為的圓弧，設(shè)圓弧與分別交于點(diǎn)，取，則，即；取，則，即；則，則，且，即，∴軌跡長度是，故D正確．故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．浙大附中高二年級(jí)某班元旦活動(dòng)有唱歌?跳舞?小品?相聲?朗誦?游戲六個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單，其中游戲不安排在第一個(gè)，唱歌和跳舞相鄰，則不同的節(jié)目單順序有___________種（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】【解析】先將唱歌和跳舞進(jìn)行捆綁看作一個(gè)與除游戲外的三個(gè)進(jìn)行全排，則有種排法，然后將游戲插入這4個(gè)排好的空中（不排第一個(gè)），有種，由于唱歌和跳舞的位置可以互換，所以不同的節(jié)目單順序有種，故答案為：.14．已知二項(xiàng)式的展開式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.【答案】【解析】已知二項(xiàng)式的展開式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，解得，的展開式通項(xiàng)為，由可得，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.15．某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計(jì)算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為______．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】【解析】因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)，，，…，的平均值，方差，所以的估計(jì)值為，的估計(jì)值為．設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為X，由，得，所以．故答案為：.16．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是__________.【答案】【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)，則，可得，即，故，同理可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即直線與之間的距離是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）將4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)恰好有一個(gè)空盒，有多少種放法？(4)把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？【解析】（1）每個(gè)小球都可能放入4個(gè)盒子中的任何一個(gè)，將小球一個(gè)一個(gè)放入盒子，共有種放法.（2）這是全排列問題，共有(種)放法.（3）（方法1）先將4個(gè)小球分為三組，有種方法，再將三組小球投入四個(gè)盒子中的三個(gè)盒子，有種投放方法，故共有(種)放法.（方法2）先取4個(gè)球中的兩個(gè)“捆”在一起，有種選法，把它與其他兩個(gè)球共3個(gè)元素分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子，有種投放方法，所以共有(種)放法.（4）（方法1）先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再從三個(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè).由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有(種)放法.（方法2）恰有一個(gè)空盒子，第一步先選出一個(gè)盒子，有種選法，第二步在小球之間的3個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有(種)放法.18．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中，(1)若，求展開式中的有理項(xiàng)；(2)若第4項(xiàng)的系數(shù)與第6項(xiàng)的系數(shù)比為，求：①二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；②二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的系數(shù)之和．【解析】（1）若，則，（）由，得，有理項(xiàng)為：．（2），由題意得，即，解得或（舍）①二項(xiàng)式系數(shù)之和為；②令，得各項(xiàng)的系數(shù)之和為．19．（12分）周末可以去哪里？帶著挖沙桶、皮球、滑板車和野餐墊，踩踩沙灘、在草地上跑累了隨手拿起野餐墊上的蛋糕往嘴巴里塞，沙灘和野餐沒有哪個(gè)家庭會(huì)拒絕的．小蕓正在考慮購買一些物品，和父母一起在本周末去離家不遠(yuǎn)的度假村游玩．買挖沙桶需要40元，買皮球需要60元，買野餐墊需要100元，假設(shè)是否購買相互獨(dú)立，小蕓購買三種物品的概率依次為，只不購買野餐墊的概率為，至少購買一件物品的概率為．(1)求小蕓恰好購買兩件物品的概率；(2)求小蕓購買物品的總金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由題意，可得，即，解得，由題意，可得小蕓恰好購買兩件物品的概率為：.（2）X的所有可能取值為0，40，60，100，140，160，200，，，，，，，，∴X的分布列為X04060100140160200P∴．20．（12分）如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè).(1)試用向量表示向量；(2)若，求的值.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕裕裕唬?）由（1）得，因?yàn)椋?21．（12分）已知正方形的邊長為，，分別為，的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點(diǎn)在線段上．(1)若為的中點(diǎn)，且直線與由，，三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為，試確定點(diǎn)的位置，并證明直線平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時(shí)平面與平面的夾角的余弦值，若不存在，說明理由．【解析】（1）因?yàn)橹本€平面，故點(diǎn)在平面內(nèi)也在平面內(nèi)，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上(如圖所示)．因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，，所以點(diǎn)在的延長線上，且．連接