《概率統計與隨機過程》考前輔導概率論基本概念與性質隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布隨機變量數字特征與極限定理隨機過程基本概念與分類隨機過程應用舉例contents目錄01概率論基本概念與性質樣本空間所有可能結果的集合，通常用Ω表示。事件的分類基本事件、復合事件、必然事件、不可能事件。事件樣本空間的子集，即某些特定結果的集合。樣本空間與事件事件發生的可能性大小的度量，通常用P表示。概率定義非負性、規范性、可列可加性。概率的性質加法公式、減法公式、乘法公式等。概率的運算規則概率定義及性質條件概率在給定條件下，某事件發生的概率。獨立性兩事件發生的概率互不影響，即P(AB)=P(A)P(B)。條件概率與獨立性的關系獨立則條件概率等于無條件概率，不獨立則不一定。條件概率與獨立性030201全概率公式01若事件B能由互不相容的事件A1,A2,…,An中的任一事件引起，則B發生的概率為P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+…+P(An)P(B/An)。貝葉斯公式02在全概率公式的基礎上，當已知B發生時，求某個Ai發生的概率，即P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)/[P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+…+P(An)P(B/An)]。全概率公式和貝葉斯公式的應用03用于解決復雜事件的概率計算問題，如逆概率問題、信號與噪聲問題等。全概率公式和貝葉斯公式02隨機變量及其分布隨機變量概念及分類隨機變量的定義設隨機試驗的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函數。稱X=X(e)為隨機變量。隨機變量的分類根據隨機變量可能取值的性質，可以分為離散型隨機變量和連續型隨機變量。分布律的定義對于一個離散型隨機變量X，其所有可能取的值xi(i=1,2,...)與取這些值的概率P(X=xi)所構成的序列{(xi,P(X=xi))}稱為X的分布律。常見離散型隨機變量分布二項分布、泊松分布、超幾何分布等。離散型隨機變量分布律如果對于隨機變量X的分布函數F(x)，存在非負可積函數f(x)，使對于任意實數x有F(x)=∫f(t)dt(積分下限是-∞，上限是x)，則稱X為連續型隨機變量，f(x)稱為X的概率密度函數。概率密度函數的定義正態分布、均勻分布、指數分布等。常見連續型隨機變量分布連續型隨機變量概率密度函數VS設X是一個隨機變量，y=g(x)是實數域上的函數，則Y=g(X)稱為隨機變量X的函數。隨機變量函數的分布當X為離散型隨機變量時，可以通過列舉法求出Y的分布律；當X為連續型隨機變量時，可以通過積分變換法求出Y的概率密度函數。隨機變量函數的定義隨機變量函數分布03多維隨機變量及其分布聯合分布函數定義對于所有實數x,y，二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數$F(x,y)$是事件$Xleqx$與$Yleqy$同時發生的概率。聯合概率密度函數若存在非負函數$f(x,y)$，使得對任意實數x,y，有$F(x,y)=int_{-infty}^{y}int_{-infty}^{x}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度函數。聯合分布律對于離散型二維隨機變量(X,Y)，其聯合分布律為$P{X=x_i,Y=y_j}=p_{ij}$，其中$i,j=1,2,...$，且滿足$sum_{i=1}^{infty}sum_{j=1}^{infty}p_{ij}=1$。010203二維隨機變量聯合分布邊緣分布函數二維隨機變量(X,Y)的邊緣分布函數$F_X(x)$和$F_Y(y)$分別由聯合分布函數$F(x,y)$對y和x取極限得到，即$F_X(x)=F(x,+infty)$，$F_Y(y)=F(+infty,y)$。邊緣概率密度函數二維隨機變量(X,Y)的邊緣概率密度函數$f_X(x)$和$f_Y(y)$分別由聯合概率密度函數$f(x,y)$對y和x積分得到，即$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$，$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。條件分布函數與條件概率密度函數在給定$Y=y$的條件下，隨機變量X的條件分布函數和條件概率密度函數分別定義為$F_{X|Y}(x|y)=P{Xleqx|Y=y}$和$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$（在$f_Y(y)>0$的條件下）。邊緣分布與條件分布若二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數$F(x,y)$可以表示為兩個邊緣分布函數$F_X(x)$和$F_Y(y)$的乘積，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱X和Y是相互獨立的。若X和Y相互獨立，則對于任意實數a,b,c,d（滿足$P{a<Xleqb}>0$，$P{c<Yleqd}>0$），有$P{a<Xleqb,c<Yleqd}=P{a<Xleqb}P{c<Yleqd}$。相互獨立的定義相互獨立的性質相互獨立隨機變量組多維隨機變量函數的定義設$X_1,X_2,...,X_n$是n個隨機變量，$y=g(x_1,x_2,...,x_n)$是一個n元函數，則稱$Y=g(X_1,X_2,...,X_n)$為多維隨機變量$X_1,X_2,...,X_n$的函數。多維隨機變量函數的分布多維隨機變量函數的分布可以通過求解多維隨機變量的聯合分布函數或聯合概率密度函數，并結合函數的性質得到。具體求解方法包括卷積公式、變量變換法等。特殊的多維隨機變量函數常見的多維隨機變量函數包括和函數、差函數、積函數、商函數、最大值函數、最小值函數等。這些函數的分布往往具有一些特殊的性質，可以通過特定的方法求解得到。多維隨機變量函數分布04隨機變量數字特征與極限定理掌握數學期望的概念、性質和計算方法，了解條件期望的概念。數學期望定義及性質掌握方差的概念、性質和計算方法，了解協方差和相關系數的概念。方差定義及性質熟練掌握常見分布（如二項分布、泊松分布、正態分布等）的數學期望和方差的計算。常見分布的數學期望與方差數學期望與方差計算相關系數定義及性質掌握相關系數的概念、性質和計算方法，了解相關系數的取值范圍和意義。協方差與相關系數的應用了解協方差和相關系數在實際問題中的應用，如投資組合風險分析、信號處理等。協方差定義及性質理解協方差的概念、性質和計算方法，了解協方差矩陣的概念。協方差與相關系數分析大數定律和中心極限定理理解大數定律的概念和意義，掌握大數定律的幾種常見形式（如伯努利大數定律、切比雪夫大數定律等）。中心極限定理理解中心極限定理的概念和意義，掌握中心極限定理的幾種常見形式（如獨立同分布的中心極限定理、棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理等）。大數定律和中心極限定理的應用了解大數定律和中心極限定理在實際問題中的應用，如保險精算、質量控制等。大數定律05隨機過程基本概念與分類隨機過程定義隨機過程是一族隨機變量，其中每個隨機變量都與一個參數（通常是時間）相關聯。示例隨機游走、布朗運動、排隊系統等。隨機過程定義及示例平穩過程統計特性不隨時間變化的隨機過程，即其均值、方差和相關函數等與時間無關。要點一要點二非平穩過程統計特性隨時間變化的隨機過程，其均值、方差和相關函數等可能隨時間發生變化。平穩過程與非平穩過程馬爾可夫過程和泊松過程未來狀態只與當前狀態有關，而與過去狀態無關的隨機過程。具有“無記憶性”或“馬爾可夫性”。馬爾可夫過程一種特殊的計數過程，用于描述在給定時間間隔內發生的事件次數。其特點是事件發生率穩定且獨立，即事件發生的時間間隔服從指數分布。泊松過程06隨機過程應用舉例03主要研究內容系統狀態的概率分布、系統的性能指標以及系統的優化問題。01排隊論基本概念研究系統隨機聚散現象和隨機服務系統工作過程的數學理論和方法，為運籌學的一個分支。02排隊系統組成輸入過程、排隊規則、服務機構。排隊論模型簡介存儲論基本概念研究物資最優存儲策略的理論和方法，是運籌學的一個重要分支。主要研究內容確定物資最優存儲量、補貨策略以及缺貨成本等。存儲模型分類確定性存儲模型和隨機性存儲模型。存儲論模型分析在通信系統中，噪聲是指對有用信號的接收造成干擾的無用信號。通信系統噪聲概念內部噪聲和外部噪聲，包括熱噪聲、散粒噪聲和宇宙噪聲等。噪聲來源及分類降低信噪比、引起誤碼率增加、降低通信質量等。噪聲對通信系統的影響采用抗干擾編碼、提高信號功率、采用濾波技術等。減少噪聲的方法通信系統中噪聲問