備戰2023年高考數學模考適應模擬卷1（新高考專用）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.己知集合4={1,3,/},B={\,a+2},A<JB=A,則實數。的值為（）

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2}

K答案HA

［解析U由=A知：B=

當。+2=3,即a=1,則/=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

當a+2=（?,即。=一1或。=2,

若。=-1,則。2=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

若。=2,則4={1,3,4},8={1,4},滿足要求.

綜上，<2=2.

故選：A

2.復數z滿足涔"（2+2）=2—i,則三（）

A.-l+2iB.l+2iC.-l-2iD.l-2i

（答案UC

K解析?因為產=（打叫j3=_j,

所以田3（2+2）=2-i可化為z="i-2

-1

所以z=￥=（2+i）i=-l+2i,所以5=一1一2人故選：C.

3.中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.安排甲、乙、丙、

丁4名航天員到空間站開展工作，每個艙至少安排1人，若甲、乙兩人不能在同一個艙開

展工作，則不同的安排方案共有（）

A.36種B.18種C.24種D.30種

K答案HD

K解析』先將甲乙兩人分別安排到兩個不同艙中，有A；=6種安排方法.

后分兩種方法安排丙、丁，第一種安排丙、丁到第三個艙中，有1種方法；第二種先安排

丙、丁中的一人到第三個艙中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的艙中，有2x2=4種方

法.則不同的安排方案共有6x（1+4）=30種.

故選：D

4.今年入夏以來，南方多省市出現高溫少雨天氣，持續的干旱天氣導致多地湖泊及水庫水

位下降.已知某水庫水位為海拔50m時，相應水面的面積為160km2；水位為海拔41m時，

相應水面的面積為140km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位

從海拔50m下降到41m時，減少的水量約為（J五v3.7）（）

A.I.OxlO9m3B.1.2xl09m3

C.1.3x10%/D.1.4xl09m3

K答案UC

K解析》臺體體積公式：K=；〃（，+邑+商^），

2822s2

由題意可得/?=50-41=9m,5,=160x1000=1.6xIOm,S2=140xI000=1.4xlOm,

代入計算得丫=3x108x（3+0.4^）^1.3x1090?,

故選：C

5.如圖，2022年世界杯的會徽像阿拉伯數字中的“8”.在平面直角坐標系中，圓

M：f+（y+〃?）2=〃2和N：x2+（y_］）2=］外切也形成一個8字形狀，若p（0,_2）,A（l,-1）

為圓M上兩點，B為兩圓圓周上任一點（不同于點A,P）,則P4PB的最大值為（）.

FIFAWORLDCUP

QdJV2022

3a+2

A.B.26+1C.3+V2D.30+2

2

K答案1C

(-2+/n)~=n2

K解析11根據題意可得,、2「解得加=1，〃2=1，故圓”的方程為

1+(-1+間=n~

x2+(y+l)2=l.

PA?=網.網cos（PA,尸B）=閨Pfi|cos（PA,明,

畫圖分析可知當與直線以垂直的直線/和圓N相切，切點為B,且直線/的縱截距大于0

時，網cos（PA,Pg最大.

直線出的斜率為1,設/的方程為y=-x+a（a＞0）,由圓心N（0,l）到直線/的距離為

…I7

解得4=1+0或1-應（舍去）.

故/的方程為y=T+l+0,其與直線力：y=x-2的交點坐標為七一|,

所以同卜笑+2,所以P8=72|PB|COS（PA,PB）4夜x型|出=3+0,

即PAPB的最大值為3+夜.

故選：C

6.己知函數〃x）=Asin（x+，）-cos5cosc-力（其中A為常數，同一萬,0））,若實數

毛、演、Z滿足：①陽＜七＜》3；②七一玉＜2萬；③/（再）=/（工2）=/（不），則，的值為

（）

k答案XD

K國星析H.cos—cos[--—\=cos—f—cos—+—sin—=—sin—cos—+—cos*2*4—

2162J2(2222)22222

1.5/31+cosx1.73百

=-sinxH-----------------=-sinx+——cosx4-——，

422444

所以，f(x]=Asinxcos0+Acosxsin6?--sinx-cosx-

v7444

Acos6-」]sinx+Asin6一

4

若Acos。-!、Asin。-且不全為零,

44

利用輔助角公式可得出〃x）=Csin（x+g）-￥，其中

2

Acos。」]+Asin。一

C=

4

所以，函數的最小正周期為2兀,

當當＜乙＜當且/（工］）=/（工2）=/（七）時，則七一M之2萬，這與七一%＜2笈矛盾.

A.A拒

Asin”=——

所以，Acos^--=Asin6-^^=0,

所以,4

44

4cos6=—

4

所以，tan6二

Acos。

。￡（-石。）,因止匕，。=弋27.r

故選：D.

7.若實數“，b,ce[0,l],且滿足“e=e",tel2=1.2e\^'6=\.6e,則〃，b,c的大

小關系是（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a

K答案UC

R解析』由—陽畤+《審

令f（x）芍，貝l」/'（x）=M，

當X<1時/'(x)>0,當x>l時/'(x)<o,

所以Ax）在（-8,1）上是增函數，在以內）上是減函數,于是f⑴＞/（1.2）＞/（1.6）,

即/(a)>/S)>f(c),又a,b,ce[O,l],所以“>"c.

故選：c.

8.記41f為點4到平面”的距離，給定四面體A-&AA，則滿足幺=2＜［（i=2,3,4）的平

面a的個數為（）

A.1B.2C.5D.8

K答案》D

K解析》到點4,43和4的距離相等的平面a有兩種類型，與平面4AAl平行或者經過

△AAA」的某一條中位線.當平面a與平面4AAi平行時，如下圖1,

圖I

設A4,A&,AA,的三等分點分別為氏氏與（靠近A）,

dAA以八

對于平面鳥B'B,,利用三角形相似可知f=笠=2,平面B2B/4符合題意.

在線段AA-的延長線上取c,使得A4=4c?=2,3,4）,

對于平面GC,C.,利用三角形相似可知》=竽=2,平面GCC符合題意,

a

A,A2c2

即平面a與平面&AA,平行時，滿足條件的平面有2個；

設44,4A,44的中點分別為E,RG,

當平面a經過的中位線EF時，

如下圖2：對于平面與后/，為在線段44上且笠=2,

圖2

利用三角形相似可知4=普=2,

又E尸〃44，￡Fu平面&EF,441a平面紇EF,可得44//平面8通尸,

且E、尸分別為的中點，

則4、A.、4到平面8通尸的距離相等，

因此平面反E尸符合題意.

如下圖3：對于平面用小五￡,%在線段A4上，84在線段AA,上，

且罌=4粵=2,利用三角形相似可知3華=2,

A￡44AldA>&&

又EF//AA,b（3平面層為在，440平面層4尸￡,可得44〃平面冬為尸E,

且E、尸分別為44,44的中點，

則&、A、、4到平面與為FE的距離相等，

因此平面紜為FE符合題意.

對于中位線EG、GF,也有類似結論，即平面。經過△44A，的某條中位線時，滿足條件的

平面有6個，

綜上所述，符合題意的平面共有8個.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在三棱錐A-B8中，G,E,P,H分別是△BC￡）,.ACD,△ABD,ABC的重

心.則下列命題中正確的有（）

A.GE〃平面ABDB.VA.CSC=lv,.D8C

C.四條直線AG,BE,CP,相交于一點D.AB=2GE

K答案》ABC

K解析U由于G,E分別是BCD,AS的重心，所以分別延長8G,AE交CO于中點F.

因為3G:GF=AE:E尸=2:1,故GE〃AB.

GEg平面ABQ,ABu平面42，因此GE〃平面AB￡>,A選項正確；

因為G是BCD的重心，所以S08c=gs“sc因此匕-CBC=；L-DBC，B選項正確；

因為GE//AB,有AB:GE=BF:GF=3:1,則線段46,8￡的交點分46,班：為3:1,同理線

段AG,CP和線段AG,￡>”的交點分AG為3:1,因此四條直線AG,8E,CP,DH相交于一

點，C選項正確.

因為GE//AB,所以A8:GE=8尸：G尸=3:1,因此A8=3GE,D選項錯誤.

故選：ABC.

2

IO.已知函數/(X)=￡,曲線y=/(x)的切線/的斜率為k,則下列各選項正確的是

()

A./(x)在(-1,0)上單調遞減

B.f(x)是偶函數

C.當x=2時，/(x)取得極大值

D.當時，/在x軸上的截距的取值范圍為［2應,+8)

K答案》AC

K解析U由八外=注①，且/(r)=E=x2e*±/(x),B錯誤；

ee

當x<0或x>2時，f'(x)<0,即〃x)在(ro,0)、(2,+8)上遞減；

當0<x<2時，r(x)>0,即。幻在(0,2)上遞增;

故x=2時，/(X)取得極大值，A正確，C正確；

設切點為(療⑴),則/的方程為y=/⑺(xT)+f(t),又&<0貝！|fG(-8,0)52,+8),

所以/在x軸上的截距機(f)=f_駟=t+T=f_2+2+3，

JV；，一，t-2

令獻幻=X+—且X￡(-O0,-2)D(0,H"QO),則

X

當xe(0,+co)時，〃(x)在(0,&)上遞減，(&,+oo)上遞增，值域為[2夜,+oo)；

當xe(-oo,-2)時,網x)遞增,值域為(Y>,-3).

所以fe(-8,0)u(2,+功時，加⑺的取值范圍是(-8,0)=[2&+3,+8),D錯誤.

故選：AC

11.己知A(ll),8(4,1),點P滿足|尸耳=2|24|,則()

13

A.點尸在以48為直徑的圓上B.一面積的最大值為不

C.存在點P使得乙物=5D.|叫閥的最小值為學

69

K答案2BCD

K解析》設P(x,y),則\PA\=7(l-x)2+(-l-y)2,|PB|=7(4-X)2+(1-^)2,

又歸耳二2|尸山，則J(4_x『+0_y)2=2狂力2+(—i)2,化簡得/+1+02=1，

所以點P的軌跡方程為/+()，+|)=(孚).

對于A,以A8為直徑的圓的圓心為(|,0),半徑為耳L；J(4-l『+(l-(-l))2=理,

故A錯誤；

對于B,依題意可得直線4B的方程為丫+1=空?(彳-1),

即y=-x--,

-33

所以圓尸的圓心在直線AB的方程上，

所以點P到直線AB的距離為圓P的半徑時，的面積最大,

所以.上鉆面積的最大值為C"=；x|AMxr=gxJBx半號,故B正確:

對于C,由|PB|=2|A4|,在直角三角形中，；角對應的直角邊是斜邊的一半,

6

又12+卜1+滬乎）＜（半，則點A在圓P內，

所以存在點尸使得/PAB=二IT，此時NP8A=37T，故C正確:

對于D,設|P4|=x,則|冏=2萬,

由余弦定理有13=父+4f—2?x?2x?cosZAP3=(5—4cos,

26

所以|MJP5|=x2x=2/

5—4cosNA尸8

所以當cosNAP3=T,即4依=兀時，有（|叫閥心=瓦,故D正確.

故選：BCD.

12.已矢口/(x)=e",g(x)=e-X，若直線x=k(k>0)與/*)、g(x)圖象交點的縱坐標分別

為"，"1,且n<2m,則()

A.“+，”殛

B.n-m<—C.〃">("?+1嚴?D.nm+'<(/77+1)"

22

K答案』ABD

1

K解析H由題意得m=—

n

-1

n<2in,w<2x—,

n

x+1在(1,&)上單調遞增,

對于A：n+m=n+-,因為函數丫=

n

-i==~^->故A正確;

:.n-^m=n+—<>/2+

nV22

:.n-m=n-^~,因為函數y二工一,在(1,?)上單調遞增，

:.n-m=n--<y/2--]==與,故B正確；

nV22

nm+,m+,m+,

由〃一加一1v也一1v0,.".n<m+l9/.n<n,n<(/n+l),

2

+l嚴，故C錯誤;

Inx,1-lnx

令A,=—,則'=——

XX

當xe(l,e)時，y'>0,.”=￥在(1,6)上單調遞增,

因為1<"<血，則時"

」|,所以機+le

,lnn<ln(m+l).加/血<In(/n+l)",.?.臚“<(加+1)“，故D正確.

nm+\

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2()分.

13.(or+l)［x+1］的展開式中含V項的系數為30,則實數。的值為

R答案X2

K解析X(x+￡|的展開式的通項為加產《尸］￡|=晨"2次=0,123,4,5,6,

令6—2%=2,則％=2,令6—2/=3,則(舍去),

所以3+1)1的展開式中含F項的系數為=15a=30,

所以a=2.

故K答案》為：2.

14.寫出一個半徑為1,且與圓/+丁=1和圓。一2)2+(>—2)2=1均夕卜切的圓的方程

K答案D(x-2>+y2=l或f+(y—2>=1(填一個即可)

a2+b2=(1+1)2

K解析》設所求圓的圓心為(。力)，則由外切關系可得<

(a-2)2+(/?-2)2=(l+l)2

化簡得解得或故滿足條件的圓的圓心為(°，2)或(2,。)，

故R答案》為：(x-2)2+/=l

15.在18世紀，法國著名數學家拉格日在他的《K解析》函數論》中，第一次提到拉格朗

日中值定理，其定理陳述如下，如果函數f(x)區間僅，回上連續不斷，在開區間(a,

b)內可導(存在導函數)，在區間(a,b)內至少存在一個點(a,b),使得f")

-/(?)=((與)(…),則x=xo稱為函數y=/(x)在閉區間［a,切上的中值點，則關

于X的/(x)="+/總在區間［-1,1］上的中值點X0的值為

睹案X4(e-e-')

K解析X當尢￡［-1,1］時，由拉格朗日中值定理可得

/⑴-/(-D=e+〃L(e」-，〃)1,,

了'(%))==m,

1-(-1)一2一萬口-e-

,:f(x)=ex+tn,

l]

滔+m=^(e-e~)+fnf即=^(e-e~)f

=In—(c—c1).

2

故K答案》為：lng(e-eT).

2

22

16.已知橢圓C:\+g=l(a>%>0)的左、右焦點分別為耳,K，離心率為%點P在橢圓

上，連接球并延長交C于點。，連接。匕若存在點p使|PQ|=|Q閭成立，則/的取值范

圍為.

K答案》［872-11,1)

K解析』設|。用=叫尸耳|=〃,則|QE|=2a-m.顯然當P靠近右頂點時，\P^>\QF2\,

所以存在點P使|PQ|=|Q段等價于(|尸@_|。國入/0,歸0|_|。段=2〃?+”―24,

在△「/=；鳥中由余弦定理得尸號=尸一+片62_23十入?cos。，

即(2a—冷“=7?+4c2-2/?-2ccos^,解得〃=--------,

a-ccos0

同理可得"7=^一b—,所以，+'=言，

a+ccos。mnb-

所以2〃,+〃=々2〃,+〃)化+口=23+巴+如R(3+2何從,

2av\znnJ2a\mn)2a

所以(2m+〃-2a)mjn=(四")"—2a,當且僅當〃=\/2m時等號成立.

2a

由成+D?-2awo得乂412-8點,所以8夜一114e?<1.

2aa2

故K答案1為：［872-11,1)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.數列｛q｝滿足q=3,4用=2%,23=%+L

(1)求證：色｝是等比數列；

(2)若q,=:+1,求｛%｝的前〃項和為7,.

A

(1)證明：2-=+1,bn=log,(??+=log,(3+1)=2,

2

?n+i=端+2?,?.-.a?+l+1=a；+2a“+1=(a?+1),

10

§2（?,1+1+1）=2log2（a?+1）,

...如=bg2(a,-+l)=2,

bnlog2(a?+l)'

所以數列｛4｝是以2為首項，2為公比的等比數列.

(2)解：由⑴可得，a=2",所以%=襲+1,

設4歿，設其前”項和為s，，，

則s,,=耍+齊+無++^zr+—,?

1123n-\n小

S，=7+7++

2I22F+^+尹'②

減

?1得

所以S.=2-甯，

所以=S“+”=〃+2-^^?

18.如圖，。為“ABC內部一點，短EL8C于E,他=4).請從下面①②③中選取兩個作

為條件，證明另一個成立.①CE=3E8;②sin(3+C)=0(sinB-sinC)；③

2

ADDE后AE

DEADADDE

解：以①③為條件，②為結論：

證明：如圖，過點A作AG垂直于BC的延長線于G點，延長A￡）交BC于尸點.

]13

由CE=3EB可得，BE=-BC=-a,CE=7a.

444

,ADDErrAE2—r相,

由k+F+J2=———可得-AD92+DE2+V2AD-DE=AE2>

DEADAD-DE

在VADE1中，由余弦定理可得AE?=AD2+OE2—2AO-Z）ECOSZA￡）E,

所以cosNAQE=—立，0<ZA￡>E<7t,則NA￡>E=學，則/。叫=￡.

設EF=x,貝iJOF=0x，又AO=A8=c,所以AF=c+岳，

貝ljAG=FG=^AF=^c+x,GB=GF-BE-EF=—+x---x=~~-,

222424

“血,3

GC=----c-v—a.

24

在RtAAGB中，有AG2=AB1-GB2RtAAGC中，有AG2=AC2-GC2.

所以有AB2-AC2=GB2-GC2，即c2-b2=GB2-GC2，

整理可得，（c+0）僅—c）=a（G3+GC）.

代入整理可得，o（2>/^c+a）=2（/?+c）3—c）,即6r—2V^ca+2（c，—3）=0.

解關于”的方程可得，&_2及c±J8c2-8a2一%_g（b±c），

因為av力+c,所以4=3（。+。）不成立，舍去.

所以，a=y/2（h-c）.

由正弦定理可得，sinA=V2（sinB-sinC）,

又A=兀一（B+C）,所以sinA=sin［兀一（3+C）］=sin（3+C）,

所以sin（3+C）二及（sinB-sinC）,即②成立.

以①②為條件，③為結論：

證明：如圖，過點A作AG垂直于8c的延長線于G點，延長AO交于尸點.

設EF=m,DF=n,則AF=AD+DF=c+〃，

113

由CE=3E3可得，BE=-BC=-aCE=^-a.

44f4

由sin（3+C）=&（sin8—sinC）可得，sinA=A/2（sinB-sinC）,

由正弦定理可得a=0伍-c）.

在RtzXAGB中，有-462=48；!-68；!.在口12\46。中，有AG?=AC?-GC）.

所以有AB?-AC?=GB2-GC2，HPc2-b2=GB2-GC2，

整理可得，（c+3（b—c）=a（GB+GC）.

因為4=正僅一9，所以(c+b)=0(G8+GC).

A/)卜卜Mni

由已知可得，ED//AG,所以VEC史/△EG,所以有￡?=蕓，即/一=三，

4FAFGc+nFG

所以尸G="(,+")=,〃+巴-所以GB=FG-BE-EF=m+'c-La-，"='c-La,

nnn4n4

GC=GB+BC=—c+-a,

n4

所以GB+GC=^c+；a=@c+#e_c),

^c+b=42x—c+y[2x—(b-c]=^^-c+b-c,整理可得巴=變.

n2nn2

在RtZiDEF中，sinZ￡DF=—=—=—,則NE￡)F=￥，

DFn24

3冗

所以ZAOE=兀一NEQF=乙.

則在V4)E中，由余弦定理可得AE2=AD2+DE2-2AD-DEcosZADE

=AD、DE'+CADDE，

所以有絲+竺+3=w,即③成立；

DEADAD-DE

以②③為條件，①為結論：

證明：如圖，過點A作4G垂直于8c的延長線于G點，延長A￡）交BC于尸點.

由sin（B+C）=0（sin8-sinC）可得，sinA=V2（sinB-sinC）,

由正弦定理可得。=0（。-c）.

2

.ADDErrAE-T4EI7-)r~-)

由二+K+J2=…2可得，AD2+DE2+V2AD-DE=AE2-

DEADAD-DE

在VA￡>E中，由余弦定理可得4爐=A￡)2+OE2-2A￡).￡>ECOSNA￡)E,

所以cosNADE=—且，0<ZADE<n,則ZAOE=紅，則NQFE=f.

244

設BE=/BC,EF=x,則。尸=J^x，又A￡)=AB=c,所以Abuc+J5x，

則AG=FG=^AF=^c+x,

22

GB=GF-BE-EF=^-+x-2a-x=--Aa,GC=—c+

222

.ADDEr-

由——+——+V2=-二c”可得,AD2+DE2+41AD-DE=AE2，

DEADADDE

在V4DE中，由余弦定理可得AE?=A￡>2+￡>E2—2AZ>nEcosNADE,

所以cosNADE=—且，0<ZADE<n,則ZAOE=紅，則NQFE==.

244

由sin(8+C)=夜($也8-$也(7)可得，sinA=>/2(sinB-sinC),

由正弦定理可得a=3(b-c).

在RtAAGB中，有AGZMAE-GB?.在RtZXAGC中，AG2=AC2-GC2.

所以有Afi2_AC2=GB2_GC2,即_b2=GB2_0c2,

整理可得，(c+b)(b-c)=a(GB+GC).

因為a=0(A-c),所以(C+A)=應(GB+GC).

GB+GC=^J-i-、Aa+^Bc+(\-A)a=y/2c+(\-2A)a,

所以有6+c=2c+0(l-2/l)a=2c+2(l-2/l)(6-c),

整理可得（4"1）修一3=0.

因為a=0（b-c）HO,所以i>-cxO,所以44-1=0,所以4=；.

即BE=〈8C,由圖知法=4序，所以有CE=3EB，即①成立.

4

19.魏晉時期數學家劉徽（圖a）為研究球體的體積公式，創造了一個獨特的立體圖形“牟

合方蓋“，它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上.如圖，將

兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時（如圖b）,兩圓柱

公共部分形成的幾何體（如圖c）即得一個“牟合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖

中標出的各點A,B,C,D,P,Q均在原正方體的表面上）.

bcdd

(1)由“牟合方蓋''產生的過程可知，圖d中的曲線P3QO為一個橢圓，求此橢圓的離心

率；

(2)如圖c,點M在橢圓弧尸8上，且三棱錐A-DMC的體積為g,求二面角P-AM-C

的正弦值.

解：(1)由“牟合方蓋”產生的過程可知，將圖中正方體的前面的面旋轉至上面，可得圖中

標出的各點A,B,C,P,。在原正方體中相對對應的位置為如圖所示.

故圖中的曲線PBQD所對應的橢圓的長軸長2a=8。=2近，短軸長處=PQ=2,

于是可得此橢圓的半焦距c==1，因此離心率^=-=—.

a2

1?1

(2)二棱錐A-DMC的體積V=3S4ACO,力=§"二§，

故點M到平面A8CO的距離/?二；,連接8。交AC于點。，連接0尸，

由題可知04,0B,。尸兩兩相互垂直，

如圖，

以。為原點，分別以。4，OB，0P所在方向為x，)'，z軸的正方向，建立空間直角坐標

系0-乎，

1

由題可得M42.2-A（A/2,0,0）,C（-V2,0,0）,P（O,O,1）,

設平面PAM的一個法向量為弓=(N，y|,zJ,

由卜*°=倍一…取一遍;⑼，佝,

〃［尸M=0［后y-z=O,')

設平面AMC的一個法向量為%=(x,,y2,z2),

n-,,CA=0

由=>'r-r-取y=ln”,=(0,l,-?),

1v

2cM=02V2X2+V6y2+z2=0,-'

?n_5_\]5

記二面角P-A"-C的平面角為，，則|cos6|=#2

n

故sine=Jl-cos2。=~^==.

Vl414

20.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化

學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數學定義

為：假設我們的序列狀態是…，X,_z，Xz,X,,X,M，…，那么X,M時刻的狀態的條件

概率僅依賴前一狀態X,,即p(x,+l|-,X”X-,X,)=p(x,+JX,).

現實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可

以贏得1元，每一局賭徒賭輸的概率為50%,且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去，

直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是

賭金達到預期的8元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A(AeN",A<8),賭博過程如下圖

的數軸所示.

0.50.5

,A-lAA+l,

AAr1——L-1——LJA/V_L.

0\JyJB

0.50.5

當賭徒手中有“元(04〃43,〃eN)時，最終輸光的概率為尸(〃)，請回答下列問題:

(1)請直接寫出P(0)與尸(B)的數值.

(2)證明｛尸(〃)｝是一個等差數列，并寫出公差乩

(3)當A=100時，分別計算8=200,8=1000時，P(A)的數值，并結合實際，解釋當

8foo時，P(A)的統計含義.

解：(1)當〃=0時，賭徒己經輸光了，因此P(O)=L

當〃時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率P(3)=0.

(2)記歷：賭徒有"元最后輸光的事件，N：賭徒有〃元上一場贏的事件，

P(M)=P(N)P(M|N)+P(M)P(MIN),

BPP(n)=-P(n-l)+-P(〃+1),

22

所以-1)=尸(〃+l)-

所以仍(〃)｝是一個等差數列，

設/〃)"(〃-l)=d,則？(〃-1)-?(〃-2)=4,，⑴-P(O)=d,

累加得尸(〃)—尸(。)=加/,故P(B)—P(O)=Bd,得1=一[,

A

(3)A=100,由尸(〃)一尸(0)=加Z得尸(A)-尸(0)=4/,即尸(A)=l--，

B

當3=200時，尸(A)=50%,

當8=1000時，P(A)=90%,

當3―8時，尸(A)-1,因此可知久賭無贏家，

即便是一個這樣看似公平的游戲，

只要賭徒一直玩下去就會100%的概率輸光.

2*＞

21.已知6，K分別為雙曲線E：，-2=1(。＞0力＞0)的左、右焦點，P為漸近線上一

ab

點，且6|P6|=J7|P用,cosNF"=母.

(1)求雙曲線的離心率；

(2)若雙曲線E實軸長為2,過點K且斜率為/的直線/交雙曲線C的右支不同的A,B

兩點，。為x軸上一點且滿足|QA|=|Q8],試探究鬲盥p是否為定值，若是，則求

出該定值；若不是，請說明理由.

解：⑴由6|尸制=不歸周，可設|尸耳|=岳，|朋|=岳

在瑪中，因為cosNKP8=g,

所以恒閭2=7爐+3/-2缶.岳.叵=4/,即忻閭=2x,

所以|尸制2=|P圖2+憎月『，即△尸耳鳥為直角三角形.

|明=x,所以9陶=3

所以在OP6中，PF2±OF2,\PF2\=y/3x,

則雙曲線的離心率為e=￡=，l+（2j=J1+3=2.

（2）由（1）可知在雙曲線E中有2且實軸長為2,所以。=1,b=g

a

所以雙曲線E方程為》2-t=1.

3

由瑪（2,0）,故設斜率為女的直線/為y=2（x-2）,

y=k^x-2）

聯立x2-^=l可得（3-公+4/x-4%2-3=0,

3

A=36（公+1）＞0

-4公

因為直線/與雙曲線右支交于不同兩點，所以丁丁＞0,解得：公＞3.

J-k

2

-4k-3八

----^＞0

3-k2

設4（4，乂），3（孫％）,則%+々=孚三，XR=4a2+：

k—3k—3

%+x?_2k2y+丫2