2024屆福建省泉州實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.雙曲線工-匕=1的焦點到漸近線的距離為（）

36

A.&B.0

3

C.&D.76

2.德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點4、5是NMON的ON邊上的兩個定點，

C是邊上的一個動點，當(dāng)C在何處時，NACB最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)一ABC的外接圓與邊OM相切于點

C時，NACB最大.人們稱這一命題為米勒定理.已知點P、0的坐標(biāo)分別是（2,0）,（4,0）,R是y軸正半軸上的

一動點，當(dāng)/PR。最大時，點R的縱坐標(biāo)為（）

A.1B.V2

C.2拒D.2

3.已知一個乒乓球從加米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來高度的左（0＜大＜1）倍，則當(dāng)它第8次著

地時，經(jīng)過的總路程是（）

2mk(l-k8)

B./+

AH-----------------吧5

1—k1—k

加左(1一左7)

C.m+―——!-----------

1—k1—k

1234

4.數(shù)列…的通項公式》是（）

nn

A.--------B.--------

2n-l2^-3

nn

C.--------D.--------

2n+l2〃+3

V2y27T

5.已知雙曲線二=1（〃〉0）＞0）,過原點作一條傾斜角為1的直線分別交雙曲線左、右兩支于P、Q兩點,

a

以線段P。為直徑的圓過右焦點R，則雙曲線的離心率為().

A.73+1B,V2+1

C.73D.V2

2

6.已知橢圓C:/+匕=1,則橢圓。的長軸長為()

4

A.2B.4

C.2&D.8

7.直線xsin。—y-1=0的傾斜角的取值范圍是()

C%]「3萬

A.0,一。—，萬

44

8.已知點C(2,l)與不重合的點A,5共線，若以A,8為圓心，2為半徑的兩圓均過點。(L2),則QAA5的取值范

圍為O

A.[V2,2]B,[-2,-72]

C.[-8,0)D.[—8,T

9.已知空間向量a=(加+1,加,一2),Z?=(-2,l,4),且a_L6，則加的值為()

A.--B.-10

3

10

C.10D.—

3

10.下列三個命題：①“若"+尸二。，貝1J。，全為0”的逆否命題是“若詼6全不為0,則/+廿彳。”；②若

事件A與事件5互斥，則尸(AB)=P(A)+P(B)；③設(shè)命題p：若山是質(zhì)數(shù)，則機(jī)一定是奇數(shù)，那么f是真命

題；其中真命題的個數(shù)為()

A.3B.2

C.1D.0

11.已知圓。的方程為(x—ay+(y—6)2=4,圓。2的方程為/+(y-b+iy=1,其中a,beR.那么這兩個圓的

位置關(guān)系不可能為()

A.外離B.外切

C.內(nèi)含D.內(nèi)切

12.已知點F是雙曲線二=1的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、

a

H兩點，若△GHE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()

A.(1,+<?)B.(l,2)

C.(2,l+V2)D.(l,l+V2)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若a,c都為正實數(shù)，a+b+c=l,且2a,b,2c成等比數(shù)列，則f的最小值為

14.已知正方形ABCD的邊長為2,E,F分別是邊A瓦CD的中點，沿E尸將四邊形AEFD折起,使二面角A-EF-B

的大小為60，則AC兩點間的距離為

15.長方體ABCD—A4G，中，AB=AD=2,A4=1,已知點A,G三點共線，且AC；?片方=0,則點

H到平面ABCD的距離為

16.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)同時從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入對

方口袋，共進(jìn)行了2次這樣的操作后，甲口袋中恰有2個黑球的概率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1nv

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=tzx-eX(aeR),g(x)=-

x

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)八％)的極值；

(2)若存在使不等式/(%)Wg(x)-e'成立，求實數(shù)。的取值范圍.

18.(12分)已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,C,且cos2A—6sinA+2=0.

(1)求A；

(2)若b+c=6^，求一ABC外接圓面積的最小值.

19.(12分)在等比數(shù)列｛氏｝中，

(1)Q]=2,q=——,求Si。；

(2)，'loo=150,求生+。4+“6++”100的值.

20.(12分)已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)+a?Zl(。wR)

(1)討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)y=/(x)有兩個零點芭，斗,證明：%?Z+玉+々-1

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=%3+3雙2+〃％+片在I=一1時有極值0.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

⑵記g(x)=/(x)—2左+1,若函數(shù)g(x)有三個零點，求實數(shù)人的取值范圍.

22.(10分)某地從今年8月份開始啟動12-14歲人群新冠肺炎疫苗的接種工作，共有8千人需要接種疫苗.前4周的

累計接種人數(shù)統(tǒng)計如下表：

前X周1234

累計接種人數(shù)y(千人)2.5344.5

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)根據(jù)(1)中所求的回歸方程，預(yù)計該地第幾周才能完成疫苗接種工作？

〃__

孫

參考公式：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為6=1=1

n_

Yxi-nx9

Z=1

a-y-bx

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點坐標(biāo)以及漸近線方程，由點到直線的距離公式計算可得答

案.

22

【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為土-匕=1,

36

其焦點坐標(biāo)為(±3,0),其漸近線方程為y=即0x±y=O,

則其焦點到漸近線的距離d=工L=V6；

V1+2

故選D.

【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點坐標(biāo).

2、C

【解析】由題意，借助米勒定理，可設(shè)出坐標(biāo)，表示出PQR的外接圓方程，然后在求解點R的縱坐標(biāo).

【詳解】因為點P、。的坐標(biāo)分別是(2,0),(4,0)是X軸正半軸上的兩個定點，點衣是y軸正半軸上的一動點，

根據(jù)米勒定理，當(dāng).PQR的外接圓與y軸相切時，/PRQ最大,由垂徑定理可知，弦PQ的垂直平分線必經(jīng)過PQR

的外接圓圓心，所以弦PQ的中點為(3,0),故弦PQ中點的橫坐標(biāo)即為PQR的外接圓半徑，即廠=3,由垂徑定

理可得，圓心坐標(biāo)為(3,2夜)，故一PQR的外接圓的方程為(x-3『+(y-2后『=9,所以點R的縱坐標(biāo)為(0,2&).

故選：C.

3、C

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.

【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過的路程為2mk,第2次著地到第3次著地經(jīng)過的路程為2mk2，組成以2mk

為首項，公比為女的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過的路程為2"式(1—N),所以經(jīng)過的總路程是

1—k

2mk(l-k7]

m-\-------------

1—k

故答案為：C.

4、C

【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項，歸納猜想出數(shù)列｛4｝的通項公式.

【詳解】依題意，數(shù)列｛%』的前幾項為：

22

a,=—=----------；

一52x2+1

33

372x3+1

n

則其通項公式a0=c,

2n+l

故選C.

【點睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項公式的猜想，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為尸，連接尸尸、QF',求得目、|Qn利用雙曲線的定義可得出關(guān)于。、c的等式,

即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為尸'，連接小'、QF',如下圖所示：

由題意可知，點。為PQ的中點，也為郎'的中點，且PFLQF,

TT

則四邊形PFQE'為矩形，故。尸，。尸'，由已知可知NQOF=w，

由直角三角形的性質(zhì)可得|OQ|=|O耳=c,故/為等邊三角形，故|QE|=c,

所以，\QF'\=yl\FF'f-\QFf=V3c，

由雙曲線的定義可得2a=|。尸|—|Q盟=(6—l)c,所以，e=；=V[=6+l.

故選：A.

6、B

【解析】根據(jù)橢圓的方程求出。即得解.

【詳解】解：由題得橢圓的片=4,.1a=2,所以橢圓的長軸長為2a=4.

故選：B

7、A

【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.

【詳解1V直線xsina-y-l=O的斜率A;=sincre[-1,1],

設(shè)直線xsina-y-l=O的傾斜角為6(0,,6＜萬)，貝！Jtan。e[—1,1],

解得0,yu乎,萬].

L4jL4)

故選：A.

8、D

【解析】由題意可得A3力,),B(c,d)兩點的坐標(biāo)滿足圓。：(x-Ip+(y-2)2=4,然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)AB±CD

時，弦長A3最小，當(dāng)A3過點。時，弦長A3最長，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可

【詳解】設(shè)點A3,"),3(c,d),則以A,5為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為

(x-tz)2+(y-A)?=4和(x-c)2+(y-d)2=4,

因為兩圓過(L2),

所以(1—a)2+(2—少)2=4和(1—c)2+(2—〃了=4,

所以A(a,b,),B(c,d)兩點的坐標(biāo)滿足圓。：(x—I)?+(y-2)2=4,

因為點C(2,l)與不重合的點A,5共線，所以A3為圓。的一條弦，

所以當(dāng)弦長A3最小時，AB±CD,

因為|CD|=&,半徑為2,所以弦長A3的最小值為2,22-(、也『=2五，

當(dāng)AB過點。時，弦長AB最長為4,

因為DA.AB=_AD?A3=—[4￡＞八A^cosZDAB=_曰45『，

所以當(dāng)弦長AB最小時，DAAB的最大值為—(20『=-4,

1,

當(dāng)弦長AB最大時，DAAB的最小值為-弓x4=-8,

所以DA的取值范圍為，

故選:D

9、B

【解析】根據(jù)向量垂直得一2(加+1)+m—8=0,即可求出機(jī)的值.

【詳解】aLb,—2(m+l)+m-8=0=>m=-10.

故選:B.

10、B

【解析】寫出逆否命題可判斷①；根據(jù)互斥事件的概率定義可判斷②；根據(jù)寫出再判斷真假可判斷③.

【詳解】對于①，“儲+/=0,則“，?全為0”的逆否命題是“若a,6不全為0,則，故①錯誤;

對于②，滿足互斥事件的概率求和的方法，所以②為真命題；

③命題P：若利是質(zhì)數(shù)，則，〃一定是奇數(shù).2是質(zhì)數(shù)，但2是偶數(shù)，命題P是假命題，那么「“真命題

故選：B.

11、C

【解析】求出圓心距的取值范圍，然后利用圓心距與半徑的和差關(guān)系判斷.

【詳解】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得Q（。力），八=2,Q（02-1）,々=1；

則|qQ|=J4+i2]=（_u,所以兩圓不可能內(nèi)含.

故選：C.

12、B

b2

【解析】根據(jù)△GHE是等腰三角形且為銳角三角形，得到|G司<|跖|,即幺<a+c,解得離心率范圍.

a

22r2（〃2、

【詳解】F（-c,0）,當(dāng)x=-c時，:一2=1,>=±幺，不妨取G-C—,H-c,——,

aba

△GHE是等腰三角形且為銳角三角形，則NGEb<：,BP|GF|<|EF|,

A2

一<a+c,即02<2Q2+QC，/一6一2<0，解得一lvev2,故l<e<2.

a

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2及-2##-2+2亞

【解析】利用等比中項及條件可得&+&=1,進(jìn)而可得f=2a±；2',再利用基本不等式即得.

yjayja

【詳解】??F,b,。都為正實數(shù)，2a,b,2c成等比數(shù)列，

1

/.b=4ac,b=2y/acf又a+Z?+c=l,

ci+2Jac+c=1,即（+y/c）—1,

??yfu+y[c—1,

...1-Z?a+c。+(1-G)2a+1-2y[a

-JaJa4a4a

=2&+J=—2220—2,當(dāng)且僅當(dāng)26=。，即。=，取等號.

7a7a2

故答案為：2后-2.

14、75.

【解析】取3E的中點G,然后證明NAE3是二面角A—即—5的平面角，進(jìn)而證明AG_LGC,最后通過勾股定理

求得答案.

【詳解】如圖，取3E的中點G,連接AG,CG,由題意EBLASEFLBE,則NAEB是二面角A—E尸—5的平面

A/3

角，則NAEB=60°,又AE=BE=1,則/XABE是正三角形，于是AG，5E,AG=T

根據(jù)所，人￡,￡/，3￡,4￡仆5￡=石可得：石尸，平面A5E,而AGu平面A8E,所以EELAG,而

AG上BE,BEcEF=E,則AG±平面BCFE,又GCu平面5c尸E,于是，AG_LGC,又GC2=BC2+BG2=—,

4

所以AC=VAG2+GC2=

故答案為：5

5

15、-

9

【解析】在長方體A5CD-44GA中，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件求出點”的坐標(biāo)作答.

【詳解】在長方體A3CQ-46GA中，以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),4(2,0,1),G(2,2,1),AC]=(2,2,1),

因點77,A,G三點共線，令==(2/2/),點HQt,2t,t),則=(2f—2,2/,f—1),

又貝!J2(2t—2)+4/+f—1=0,解得f=：,

故答案為：!

【解析】分兩類：兩次都互相交換白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求

和可得答案.

【詳解】分兩類：①兩次都互相交換白球的概率為=

2<2O4

②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率為QX鼻乂鼻=方

J\JDJ乙/

147

—I------——.

92727

7

故答案為：——,

27

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)函數(shù)“X)在(-8,0)上遞增，在(0,+")上遞減，極大值為T,無極小值

(2)a<—

2e

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號求得單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解；

(2)若存在xe(0,-+W)，使不等式/(x)Kg(%)—e，成立，問題轉(zhuǎn)化為室］,(》〉。)，令可力=?，尤>0,

VX/maxX

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得出答案.

【小問1詳解】

解：當(dāng)。=1時，f[x)=x-&x,

則r(x)=l—e",

當(dāng)x<0時，/(%)>0,當(dāng)x>0時，f'(x)<0,

所以函數(shù)/（x）在（-。,0）上遞增，在（0,+。）上遞減,

所以函數(shù)/（%）的極大值為/（0）=-1,無極小值;

【小問2詳解】

解：若存在x?0,”），使不等式/（x）＜g（x）-e、成立,

則ax<---,(%>0)9即a?——，(尤>0),

xx

Inx

則問題轉(zhuǎn)化為。＜|,(x〉0),

丁max

人7/、Inx八

令/z(x)=^-,x>0,

JV

x-2xlnxl-21nx

/z'(x)

X4X3

當(dāng)0＜%〈血時，”（%）＞。，當(dāng)九,五時，

所以函數(shù)/2⑺在（0,八）遞增，在（6,+可上遞減,

所以Mx）a=］，

乙C

所以a＜——.

2e

18、（1）A=一

3

（2）9萬

【解析】（1）利用二倍角公式將已知轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，解一元二次方程可得；

（2）由余弦定理和（1）可求。的最小值，再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值，然后可解.

【小問1詳解】

因為cos2A-GsinA+2=0,所以一2sin?A-s/3sinA+3=0,

解得sinA=——或sinAu—G（舍去）,

2

7T

又一ABC為銳角三角形，所以A=§.

【小問2詳解】

因為a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=(ZJ+C)2-3bc>"=27>

當(dāng)且僅當(dāng)h=c時，等號成立，所以a23百.

ABC外接圓的半徑R=—^―=叵23，故—ABC外接圓面積的最小值為9萬.

2sinA3

,z、341

19、(1)---

256

(2)50

【解析】(1)直接利用等比數(shù)列的求和公式求解即可,

(2)由已知條件結(jié)合等比數(shù)的性質(zhì)可得Si。。=3(%+%++%>0)，從而可求得答案，或直接利用等比數(shù)列的求和

公式化簡求解

【小問1詳解】

式1024)256

【小問2詳解】

方法1：5*100=%+。2+%+%+…+〃99+%00

4+"100)+%+。4

=2(4+。+a1Go.

=3(/+%+，+4OO)=15O

***a?+%++，ioo=50.

方法2：

20、(1)函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性見解析;

(2)證明見解析.

【解析】⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'（x）,按〃值分類討論判斷了'（%）的正負(fù)作答.

⑵將外,當(dāng)分別代入計算化簡變形，再對所證不等式作等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)導(dǎo)數(shù)推理作答.

【小問1詳解】

已知函數(shù)尸/⑴的定義域為（一1,包），八力=3+看=莖篙，

當(dāng)aNO時，/'（力＞0恒成立，所以“可在區(qū)間（—1,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＜0時，由/'（x）＜0,解得x＞4r—1,由/''（九）＞0,解得一1＜%＜金一1,

/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,-y-1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（/-1,+8）,

所以，當(dāng)。之0時，“尤）在（—1,+?）上單調(diào)遞增，當(dāng)。＜0時，/（%）在（—1,、—1）上單調(diào)遞增，在上（。—1,+8）單

調(diào)遞減.

【小問2詳解】

依題意，不妨設(shè)無1<9，則In(%+1)+a1%+1=0,ln(j;2+1)+a^x2+1=0,

于是得In(X]+1)+In+1)+a(qX]+1+J%+])=0,即In[(石+1)(/+1)]=-a(J%+1+J%+1)，

亦有In(x,+1)—In(X]+1)+a(Jx,+1—J%+1)=0,即In(4+1)-In(為+1)=—a(J/+1—Jx1+1),

1噸(石+1)(%+1)]_Jx]+l+&2+l

因此,

ln(x2+l)-ln(x1+1)Jq+>J%+1，

44

要證明x1-x2+x1+x2>e-1,即證(％+1)-(x2+1)>e,

即證ln[(無i+1)(*2+DI=Un?+1)-In。+1)]->Ine4=4,

即證ln(4+1)-ln(+1)>*V"+1-'j+D,即證In生上1=21n

Jw+1+J玉+1西+1

2"1)3〉。

〃⑺=In%-=lnz+---2,W(t)=

t+1%+1?(?+1)'

則有M0在（L+8）上單調(diào)遞增，VZ＞1,〃（。〉以1）=0,即In

-

所以石?%+再+%2>1.

【點睛】思路點睛