湖北省恩施市市書院中學高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在中，已知，，，則的面積等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有白色地面磚的塊數是（

）A.4n+2 B.4n－2 C.2n+4 D.3n+3參考答案：A因為：方法一：（歸納猜想法）觀察可知：除第一個以外，每增加一個黑色地板磚，相應的白地板磚就增加四個，因此第n個圖案中有白色地面磚的塊數是一個“以6為首項，公差是4的等差數列的第n項”．故第n個圖案中有白色地面磚的塊數是4n+2方法二：（特殊值代入排除法）或由圖可知，當n=1時，a1=6，可排除B答案當n=2時，a2=10，可排除CD答案．故答案為A3.下列不等式中成立的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則參考答案：D4.圓：與圓：的位置關系是（

）A．相交

B．外切

C．內切

D．相離參考答案：B5.等比數列中，，則數列的前8項和等于（

）

A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C略6.過拋物線的焦點作一條斜率不為0的直線交拋物線于、兩點，若線段、的長分別為、，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.雙曲線的焦點坐標是（）A． B． C．（0，±2） D．（±2，0）參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據題意，由雙曲線的標準方程分析可得其焦點位置以及c的值，由此可得其焦點坐標．【解答】解：根據題意，雙曲線的方程為：，其焦點在y軸上，且c==2；則其焦點坐標為（0，±2），故選：C．9.若曲線（t為參數）與曲線x2+y2=8相交于B，C兩點，則|BC|的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】J9：直線與圓的位置關系；QH：參數方程化成普通方程．【分析】根據參數方程與普通方程的互化方法，然后聯立方程組，通過弦長公式，即可得出結論．【解答】解：曲線（t為參數），化為普通方程y=1﹣x，曲線x2+y2=8，y=1﹣x代入x2+y2=8，可得2x2﹣2x﹣7=0，∴|BC|=?=．故選：D．10.如圖21－4所示的程序框圖輸出的結果是()圖21－4A．6

B．－6

C．5

D．－5參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合，則=

參考答案：略12.計算3+5+7+…+（2n+3）=．參考答案：n2+4n+3【考點】85：等差數列的前n項和．【分析】直接利用求和公式求解即可．【解答】解：3+5+7+…+（2n+3）==n2+4n+3．故答案為：n2+4n+3．13.如果實數x，y滿足（x+2）2+y2=3，則的最大值是．參考答案：【考點】圓的標準方程．【專題】計算題；數形結合；綜合法；直線與圓．【分析】設=k，的最大值就等于連接原點和圓上的點的直線中斜率的最大值，由數形結合法的方式，易得答案【解答】解：設=k，則y=kx表示經過原點的直線，k為直線的斜率．所以求的最大值就等價于求同時經過原點和圓上的點的直線中斜率的最大值，如圖示：從圖中可知，斜率取最大值時對應的直線斜率為正且與圓相切，此時的斜率就是其傾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=r=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k=tan∠EOC==，即為的最大值．故答案為：．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，數形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．14.用鐵皮制造一個底面為正方形的無蓋長方體水箱，要求水箱的體積為4，當水箱用料最省時水箱的高為____________.參考答案：115.有10件產品，其中3件是次品，從這10件產品中任取兩件，用表示取到次品的件數，則的概率是_______；_______．參考答案：

【分析】表示兩件產品中，一個正品一個次品，可求概率；求出的所有取值，分別求出概率可得.【詳解】,根據題意的所有取值為；，，，故.【點睛】本題主要考查隨機變量的期望，明確隨機變量的可能取值及分布列是求解關鍵.16.參考答案：、、17.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．（1）若P為DF的中點，求證：BF∥平面ACP（2）若直線PC與平面FAD所成角的正弦值為，求PF的長度．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的性質．【分析】（1）連接BD，交AC于點O，連接OP．利用OP為三角形BDF中位線，可得BF∥OP，利用線面平行的判定，可得BF∥平面ACP；（2）由已知中平面ABEF⊥平面ABCD，由面面垂直的性質定理可得AF⊥平面ABCD，進而AF⊥CD，結合四邊形ABCD為矩形及線面垂直的判定定理，可得CD⊥平面FAD，故∠CPD就是直線PC與平面FAD所成角，進而解三角形求出DF和PD，進而可得PF的長度．【解答】證明：（1）連接BD，交AC于點O，連接OP．∵P是DF中點，O為矩形ABCD對角線的交點，∴OP為三角形BDF中位線，…∴BF∥OP，又∵BF?平面ACP，OP?平面ACP，∴BF∥平面ACP．

…解：（2）∵∠BAF=90°，∴AF⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD，…∴AF⊥CD∵四邊形ABCD為矩形∴AD⊥CD

…又∵AF∩AD=A，AF，AD?平面FAD∴CD⊥平面FAD∴∠CPD就是直線PC與平面FAD所成角…∴sin∠CPD=，又∵AD=2，AB=CD=AF=1，∴DF==，PD===，∴得PF=DF﹣PD=

…19.（12分）已知函數，其圖象在點（1，）處的切線方程為（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函數的單調區間，并求在區間[—2，4]上的最大值．參考答案：（1）ａ=1

b=（2）8（1），由題意得。得：ａ=1

，b=

……………5分

(2)得：x=2或x=0……………6分有列表且正確

…………9分(說明單調性也對)…11分

而f（-2）=-4，f（4）=8，……………12分

所以，f（x）的最大值為8.……………13分20.在矩形中ABCD中，AB=4，BC=2，M為動點，DM、CM的延長線與AB（或其延長線）分別交于點E、F，若?+2=0．（1）若以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，試求動點M的軌跡方程；（2）不過原點的直線l與（1）中軌跡交于G、H兩點，若GH的中點R在拋物線y2=4x上，求直線l的斜率k的取值范圍．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；平面向量數量積的運算；軌跡方程．專題：平面向量及應用．分析：（1）設M（x，y），由已知D、E、M及C、F、M三點共線求得xE、xF，可得、的坐標，=，代入?+2=0，化簡可得點M的軌跡方程．（2）設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x0，y0），由，可得關于x的一元二次方程，由△＞0，可得4k2﹣m2+3＞0①．利用韋達定理求得M的坐標，將點M的坐標代入y2=4x，可得m=﹣，k≠0②，將②代入①求得k的范圍．解答： 解：（1）設M（x，y），由已知得A（﹣2，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（﹣2，2），由D、E、M及C、F、M三點共線得，xE，xF=．又=（xE+a，0），=（xF﹣a，0），=，代入?+2=0，化簡可得+=1．（2）設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x0，y0），由，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由題意可得△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即4k2﹣m2+3＞0①．又x1+x2=﹣，故M（﹣，），將點M的坐標代入y2=4x，可得m=﹣，k≠0②，將②代入①得：16k2（3+4k2）＜81，解得﹣＜k＜且k≠0．點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，直線和圓錐曲線的位置關系，二次函數的性質，屬于中檔題．21.某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求分數在[70，80）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）估計本次考試的平均分；

（3）用分層抽樣的方法在分數段為[60，80）的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數段[70，80）的概率。參考答案：（1）分數在[70，80）內的頻率為1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3，故，如圖所示。

………4分（2）平均分為=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71；

………8分（3）由題意[60，70）分數段人數為0.15×60=9人；[70，80）分數段人數為0.3×60=18人；∵在[60，80）的學生中抽取一個容量為6的樣本，∴[60，70）分數段抽取2人，分別記為m，n；[70，80）分數段抽取4人，分別記為a，b，c，d；設從樣本中任取2人，至多有1人在分數段[70，80）為事件A，則基本事件空間包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…，（c，d），共15種，則事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），共9種，∴。

………………12分22.（理）如圖，點為斜三棱柱的側棱上一點，交于點，交于點.（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明。（3）在（2）中，我們看到了平面圖形中的性質類比到空間圖形的例子，這樣的例子還有不少。下面請觀察平面勾股定理的條件和結論特征，試著將勾股定理推廣到空間去。勾股定理的類比三角形ABC四面體O-ABC條件AB⊥ACOA、OB、OC兩兩垂直結論AB2+AC2=BC2？請在答題紙上完成上表中的類比結論，并給出證明.參考答案：(1)證：；（4分）(2)解：在斜三棱柱中，有，其中為平面與平面所組成的二面角.

（7分）上述的二面角為，在中，T，由于，有.

（10分）（3）空間勾股定理的猜想：已知四面體O-ABC的三條側棱OA、O