第五篇動態分析第14章動態經濟學與積分學動態學與積分不定積分定積分廣義積分積分的經濟應用多馬增長模型第15章連續時間：一階微分方程具有常系數和常數項的一階線性微分方程市場價格的動態學可變系數和可變項恰當微分方程一階一次非先行微分方程定性圖解法索洛增長模型第16章最優控制理論最優控制的特性其他終止條件自治問題經濟應用無限時間跨度動態分析的局限性第14章動態經濟學與積分學動態經濟學的涵義其目的是探尋和研究變量的具體時間路徑,或者是確定在給定的充分長的時間內這些變量是否會趨向收斂于(均衡)值.直接面對”可實現性”問題,而不像靜態學和比較靜態學那樣假設”必然能夠實現”.特征:確定變量的時間!時間可作為連續變量也可以作為離散變量.動態學與積分動態模型涉及的問題是,在已知變化模式的基礎上,描述某些變量的變化時間路徑如,假設已知人口規模H隨時間以速率dH/dt=t-1/2變化,則想知道的是:人口H=H(t)的何種時間路徑可以產生上述變化率?當然,如果我們事先就知道函數H=H(t),那么可以通過求導數得到變化率.但現在的問題恰恰相反:要從已知的導數求出原函數!上述問題揭示了動態經濟學問題的實質:給定變量隨時間變化的行為模式,設法求出描述變量時間路徑的函數,在此過程中,遇到一個或多個任意常數,可以通過引入初始條件,確定常數的值.不定積分積分的性質積分是微分的逆過程給定原函數F(x),對其微分得到導數f(x),假設可以得到適當的信息以確定在積分過程中產生的任意常數,則可以”積分f(x)以求得F(x).”函數F(x)稱為f(x)的積分或反導數.積分與微分兩種運算類似研究家譜的兩種方法:積分就是追溯函數f(x)的家系或出身,而微分則是尋找F(x)的后裔.注意兩者的區別:盡管可微原函數總是產生一個后代,即唯一的導數f(x),但導數的積分則可能追溯到無數個可能的父母.積分的基本法則法則I(冪函數積分法則)法則II(指數函數積分法則)法則III(對數函數積分法則)法則IIa法則IIIa

運算法則法則IV(和的積分)法則V(倍數的積分)涉及代換的法則法則VI(代換法則)f(u)(du/dx)對變量x的積分,是f(u)對變量u的積分:法則VII(分部積分)v對u的積分等于uv減去u對v的積分:定積分定積分的含義對于連續函數f(x)的已知不定積分,若選擇x定義域中的兩個值a<b,依次將其代入,并形成差值[F(b)+c]-[F(a)+c]=F(b)-F(a),從而得到不在包含變量x及任意常數c的具體數值,稱為f(x)從a至b的定積分每一個定積分均有一個確定的值,在幾何上可以解釋為一條給定曲線下的特定面積定積分的性質性質I上下限的互換,使符號改變:性質II性質III性質IV性質V性質VI性質VII給定u(x)和v(x):廣義積分無窮極限積分形如的定積分稱為廣義積分計算方法:無窮被積函數積分區間為閉區間[a,b]時,如果被積函數在區間中的某處為無窮大,則積分為廣義積分,求解利用極限積分區間為開區間(a,b)時,則需要先將給定區間分割成子區間,當且僅當每個子區間有極限時,積分才是收斂的.積分的經濟應用從邊際函數到總函數給定一個總函數對其微分會產生邊際函數,而積分使我們可以從已知的邊際函數反推出總成本函數例1如果廠商邊際成本MC是總產出的下述函數:C’(Q)=2e0.2Q,若固定成本CF=90,求總成本函數C(Q).求積分:將信息CF=90作為確定常數c的初始條件,當Q=0時的總成本只含有CF,于是得到:10e0+c=90,則c=80.總成本函數為:C(Q)=10e0.2Q+80.例2如果邊際儲蓄傾向(MPS)是收入的如下函數:S’(Y)=0.3-0.1Y-1/2,若當收入Y=81時,總儲蓄S=0,求儲蓄函數S(Y)求S’(Y)的積分:確定c值:0=0.3(81)-0.2(9)+c,所以c=-22.5儲蓄函數為:S(Y)=0.3Y-0.2Y1/2-22.5上述兩例可推廣至已知邊際函數求總函數的其他問題.投資與資本形成資本形成是增加給定資本存量的過程,此過程可視為連續的,將資本存量表示成時間的函數K(t),并以導數dK/dt表示資本的形成率,但是,在時間t的資本形成率與以I(t)表示的凈投資(流量)率相等.所以資本存量K和凈投資I通過如下兩個方程聯系起來:用Ig表示總投資,I表示凈投資,兩者關系為:Ig=I+

K,其中,

表示折舊率,

K表示重置投資率例3假設凈投資流量以方程I(t)=3t1/2表示,在時間t=0時的初始資本存量是K(0),何謂資本K的時間路徑?將I(t)對t積分,得到:令t=0,求得K(0)=cK的時間路徑為:K(t)=2t3/2+K(0)如果希望求出某一段時間區間的資本形成數量就使用定積分:注意:資本K是存量而投資I是流量!例4若凈投資是一個不變流量I(t)=1000美元/年,則在一年內的總凈投資(資本形成)是多少?例5若I(t)=3t1/2,這是一個可變流量,那么,時期[1,4]的資本形成是多少?資金流量的現值僅用單一未來值V得到的貼現公式是:A=V(1+i)-t[離散情況]A=Ve-rt[連續情況]當假設有一個未來值的流-在未來各個時間可獲得的一系列收益,或在各個時間要支付的成本,那么應該如何計算整個現金流的現值?離散情況:假設有三個在t年末可獲得的收益數字Rt(t=1,2,3),每年的利息率為i,那么Rt的現值分別為R1(1+i)-1,R2(1+i)-2,R3(1+i)-3由此得到總現值和為連續情況:考察收益率為R(t)的連續收入流,在任意時點t,時期[t,t+dt]的收益量為R(t)dt,按當年貼現率r連續貼現,其現值為R(t)e-rtdt對三年收入流的總現值,那么可以通過定積分獲得:例6連續收入流按每年D不變收益率持續y年,將其按年利息率r貼現,其現值為多少?按照上述公式有:例7酒窖藏酒問題在前述酒窖問題中,假定酒窖的藏酒成本為零,當時采用此假設是因為我們不知道計算成本流量現值的方法.現在已經解決了這個問題.假設酒商現在發生的采購成本為C,其未來銷售額隨時間變化而變化,一般表示成V(t),現值為V(t)e-rt.雖然銷售額是一個未來值,但窖藏成本是支出流.假設成本是一個每年為固定比率s的不變支出流,在t年中所發生的窖藏成本的總現值等于酒商力求最大化的凈現值可以表示成為使N(t)最大化,必須選擇t值以使N’(t)=0即此方程為選擇銷售時間t*的最優化的必要條件經濟解釋:V’(t)表示若銷售延遲一年銷售額的變化率,或者V的增量,方程右邊的兩項分別表示由于延遲銷售而導致的利息成本增量和窖藏成本增量(收益和成本均在時間t*計算)持久流量的現值如果資金流量永遠持續,比如從持久債券獲得的利息或從如土地等恒久資產獲得的收益,資金流的現值將為:例8求每年按不變比率D獲得的恒久收入，按貼現率r連續貼現的現值.計算廣義積分時使用正常積分的極限上式討論的是持久流量與持久收入領域中的資產”資本化”公式完全一致(現值=收益率/貼現率)多馬增長模型多馬增長模型前述人口增長問題及資本形成問題的目標是在已知變量變化模式的基礎上描述時間路徑多馬的經典增長模型的思想是規定要滿足某些均衡經濟條件所需要的時間路徑的類型框架(基本假設與均衡條件)年投資(流量)比率I(t)的任意變化會產生雙重效果:它將影響總需求及該經濟體的生產能力I(t)變化的需求效應通過乘數過程立即發揮作用I(t)的提高會通過I(t)增量的乘數作用增加年收入流量比率Y(t)乘數是k=1/s,其中s表示已知的邊際儲蓄傾向,假設I(t)是唯一的影響收入流量比率的支出流量,則有:dY/dt=(dI/dt)(1/s)投資的生產能力效應通過該經濟能夠生產的潛在產出能力的變化來度量假定能力-資本比率不變,有:/K(=常數),其中

表示生產能力或每年的潛在產出流量,表示已知能力-資本比率上式表示資本存量為K(t)的經濟體每年能夠生產的產出或收入等于

K由d=dK可以得到:d/dt=dK/dt=I在多馬模型中,均衡被定義為生產能力得到充分利用的狀態達到均衡時要求總需求恰好等于該年度能夠生產的潛在產量即Y=.若從均衡狀態出發,則要求生產能力變化與總需求變化相等,即dY/dt=d/dt,何種投資I(t)的時間路徑能夠時時滿足這一均衡需要!求解先將假設條件2與3代入均衡條件,得到微分方程:上述式子設定了I變化的確定模式,應當能夠由此求出均衡的投資路徑.由方程左邊給出:由方程右邊給出:兩式結合,合并常數為:ln|I|=

st+c反對數運算得到:|I|=e

stec

Ae

st.取投資I為正,有I=Ae

st,求取常數A:令t=0,得到I(0)=A投資路徑為:I(t)=I(0)e

st經濟意義:為使生產能力和需求在不同時間保持平衡,投資流量比率必須嚴格按照指數

s沿著圖形描述的路徑增長.顯然,所要求的投資增長率越高,生產能力-資本比率和邊際儲蓄投資傾向也越大,但無論如何,一旦

和s的值確定,所要求的投資增長路徑便完全確定了.I(0)刃鋒問題:如果實際投資增長率(稱其為比率r)與所要求的比率

s不同,會出現何種狀況呢?定義一個利用系數:u=1意味著生產能力的充分利用可以證明u=r/s,如果實際的和所要求的比率間存在差距,那么最終將發現生產能力或者不足,或者過剩,具體情況視u的大小而定還可以證明,關于生產能力短缺或者過剩的結論可以在任意時間t應用,增長率為r意味著I(t)=I(0)ert,代入假設條件2和3后得到:上述比率揭示出在實際增長率為r的條件下,在任意時間t,投資的需求創造效應與投資的生產能力生成效應的相對大小如果實際投資增長率r大于要求的增長率

s,則需求效應將超過生產能力效應導致生產能力不足,相反,則導致生產能力過剩結論的奇妙在于:如果投資的實際增長率快于所要求的比率,那么,最終將導致生產能力短缺而非過剩!同樣令人費解的是:如果實際投資增長滯后于所要求的比率,將面臨生產能力過剩而非短缺!最終的結果:給定常參數和s,則避免生產能力短缺或者過剩的唯一方法是謹慎地控制投資流,使其沿著均衡路徑以增長率r*=s增長.而且,任何對這個”刃蜂”時間路徑的偏離都將導致多馬模型中設想的生產能力充分利用的標準永遠得不到滿足.練習給定年固定收益率為1000元的連續收入流:若收入流持續2年,按年利率0.05連續貼現,那么現值為多少?若收入流恰好在第3年后終止,且貼現率為0.04,現值又為多少?第15章連續時間：一階微分方程具有常系數和常數項的一階線性微分方程一階微分方程僅包含一階導數dy/dt方程中導數所達到的最高冪數稱為方程的次.在導數為一次因變量y也為一次,而且沒有積y(dy/dt)等形式出現的情況下,此方程便為線性的.一階線性微分方程的一般形式:(dy/dt)+u(t)y=w(t)其中u,w和y都是t的函數u和w還可以表示常數,當函數u為常數,且當函數w是一個可加性常數項時,上述一般形式簡化為具有常系數和常數項的一階線性微分方程!齊次方程的情況若u和w為常數,且如果w恰好恒為0,則方程變為:(dy/dt)+ay=0,稱為齊次方程.上述方程還可以寫成(1/y)(dy/dt)=-a,與前節多馬模型中的方程形式一致.方程的解:通解:y(t)=Ae-at特解:(滿足初始條件的值)y(t)=y(0)e-at對于微分方程的解不是一個數值,而是一個函數y(t),如果t表示時間,則y(t)就表示時間路徑;解不含有任何導數或微分表達式,只要將t的具體數值代入此雞就可以算出相應的y值非齊次函數的情況非齊次線性微分方程的一般形式

:(dy/dt)+ay=b方程的解是兩項之和:余函數yc和特別積分ypyc是簡化方程的通解:yc=Ae-atyp是完備方程的任意特解:最簡單的情形即y=k(常數)時的解,由dy/dt=0,得到此時的特解為yp=b/a.(a

0)完備方程的通解為:y(t)=yc+yp=Ae-at+(b/a).利用初始條件確定常數A,當t=0時,y=y(0),那么y(0)=A+(b/a),則A=y(0)-(b/a)方程的解(a

0時的定解)為:

y(t)=[y(0)-(b/a)]e-at+(b/a)如果a=0,方程變為比較簡單的形式:(dy/dt)=b直接積分求得通解為:y(t)=bt+c通過確定任意常數,得到定解為:y(t)=y(0)+bt解的檢驗保證時間路徑y(t)的導數與已知微分方程相一致確保定解滿足初始條件市場價格的動態學微觀動態市場模型:非齊次方程的應用對某一特定商品,假設其需求與供給函數如下:Qd=-PQs=-+P市場均衡價格為:P*=(+)/(+)(某確定常數)如果初始價格P(0)剛好在P*水平,市場顯然已經處于均衡狀態,無需動態分析;而更多時候,P*僅在經過適當調整以后才能達到.調整過程中價格隨時間變化Qd和Qs是價格的函數,當然也要隨時間變化.動態問題:給定調整過程所需要的充分時間,能夠將價格調整至均衡水平P*嗎?當t

∞時,時間路徑P(t)趨向收斂于P*嗎?時間路徑首先描述價格變化的具體形式:一般而言,價格變化是由市場中供給和需求的相對強度決定的.假設在某一時刻價格對時間的變化率是在該時刻的超額需求的”比例”:(dP/dt)=j(Qd-Qs)(j>0)根據上述變化模式,當且僅當Qd=Qs時,dP/dt=0均衡價格的雙重含義:跨期意義(P不隨時間變化)和市場出清意義(均衡價格是Qd和Qs相等的價格)在本模型中兩種含義重合!根據Qd和Qs將上述表達式轉換成非齊次線性微分方程的形式:(dP/dt)+j(+)P=j(+)解得:P(t)=[P(0)-P*]e-kt+P*(k

j(+))均衡的動態穩定性(具體分析上述解)當P(t)的時間路徑收斂于P*水平時,稱均衡為動態穩定的.解的表達式包含三種可能的情形P(0)=P*,于是P(t)=P*,時間路徑為水平直線P(0)>P*,隨t增加,時間路徑從上方趨向于均衡水平P(0)<P*,隨t增加,時間路徑從下方趨向于均衡水平一般而言,要具備動態穩定性,時間路徑與均衡的偏差或者等于零,或者隨時間而遞減由上述解和一般形式的解可以知道,P*對應與b/a,是特別積分yp;而含指數的項是余函數yc.yp表示跨期均衡水平,特別積分為常數表示有跨期意義上的穩定均衡,如果不是常數,則解釋為移動均衡yc表示均衡偏差,動態穩定性要求余函數隨時間漸進為零模型的另一種應用前述分析是在給定參數條件下求取均衡另一類問題:要保證動態穩定性,對參數應該施加怎么樣的限制?繼續觀察解:如果允許P(0)

P*,則當且僅當k>0,即j(+)>0,第一項才能趨近于零J是價格調整系數;

是需求曲線斜率的負值;是供給曲線的斜率而j>0,意味著

>-,所以,為實現動態穩定性,供給曲線的斜率必須超過需求曲線的斜率QPSDOGFENMP*P2P1

=1,-

=1/2(斜率為正的需求曲線)可變系數和可變項更一般的一階線性微分方程:(dy/dt)+u(t)y=w(t),其中u(t)和w(t)分別表示可變系數和可變項.齊次方程的情況w(t)=0,(dy/dt)+u(t)y=0左邊積分:右邊積分:兩邊相等時得到:所求的y路徑(微分方程的通解)可以求反對數得到非齊次方程的情況(需要利用恰當微分方程)通解:例求方程(dy/dt)+2ty=t的通解.u=2t,w=t,根據通解公式:恰當微分方程恰當微分方程給定二元函數F(y,t),其全微分為dF(y,t)=(F/y)dy+(F/t)dt,令上述全微分為0,得到的方程稱為恰當微分方程,(F/y)dy+(F/t)dt=0一般而言,微分方程Mdy+Ndt=0,當且僅當存在一個函數F(y,t),使得M=F/y,N=F/t時是恰當的.根據楊氏定理,2F/ty=2F/yt,還可以得到當且僅當

M/t=N/y時微分方程Mdy+Ndt=0是恰當的.解法設想其初步結果為如下形式:由于在F(y,t)對y偏微分過程中,任何含有變量t和(或)某些常數(不含有y)的相加的項會消失,所以積分過程中必須多加小心以恢復這些項.加入一般項

(t)的原因就在此!實例解釋(訣竅在于利用N=F/t)解恰當微分方程2ytdy+y2dt=0M=2yt,N=y2第一步:寫出初步結果第二步:將上述結果對t求偏導(F/t)=y2+’(t);而N=F/t=y2,所以立即有’(t)=0第三步:求積分后得到(t)=k第四步:將第一步與第三步結合得到F(y,t)=y2t+k,而恰當微分方程的解應為F(y,t)=c,同時將k納入到c中,方程的解可以寫成y2t=c,或y(t)=ct-1/2積分因子將微分方程的每一項都乘以一個特定的公因子,非恰當方程也可以成為恰當方程,這樣的因子稱為積分因子.實例解釋微分方程2tdy+ydt=0不是恰當的(因為它不滿足

M/t=N/y)將方程的每一項都乘以y,使其變為前例,從而成為恰當微分方程,y是本例中的積分因子.一階線性微分方程的解一般的一階線性微分方程可以表示成dy+(uy-w)dt=0的形式積分因子為令I為尚屬未知的積分因子,以I通乘上述方程可以將其變為恰當微分方程Idy+I(uy-w)dt=0觀察M和N的表達式可知,M僅由I構成,u和w僅是t的函數,所以如果I也只是t的函數,則恰當性檢驗(M/t=N/y)將簡化為非常簡單的條件:dI/dt=Iu想讓上式成立,不妨有將該因子代入,產生恰當微分方程,可以通過”四步驟”方法解之.一階一次非線性微分方程一階一次非線性微分方程的一般形式當y以高于一次冪的形式出現時,即便方程只含有一次導數,它也是非線性方程.一般形式:f(y,t)dy+g(y,t)dt=0,或(dy/dt)=h(y,t),其中對y和t的冪沒有限制只討論其中簡單的三種類型恰當微分方程可分離變量的方程可化簡為線性的方程可分離變量的方程方程恰好具有方便的性質:函數f僅有變量y,而函數g僅含有變量t,所以方程簡化成為特殊形式f(y)dy+g(t)dt=0稱上述情況中變量是可分離的.只需要簡單的積分方法便可以求解.解方程3y2dy-tdt=0將方程重寫:3y2dy=tdt兩邊同時積分:通解為:可化簡為線性的方程如果微分方程dy/dt=h(y,t)恰好取特定的非線性形式:(dy/dt)+Ry=Tym,其中R和T是兩個關于t的函數,m是不為0和1的任意數,稱這樣的方程為伯努利方程.轉化為線性方程求解以ym除上式,得到:y-m(dy/dt)+Ry1-m=T令z=y1-m,那么(dz/dt)=(dz/dy)(dy/dt)=(1-m)y-m(dy/dt),則方程可以寫成(1/1-m)(dz/dt)+Rz=T重新整理將方程化為dz+[(1-m)Rz-(1-m)T]dt=0求得其解后用逆代換將z變換成y.定性圖解法相位圖給定一般形式的一階微分方程dy/dt=f(y),是變量y的線性或非線性方程.只要dy/dt僅是y的函數,便可以用幾何方式表示,稱其為相位圖,表示函數f的曲線稱為相位線.一旦相位線已知,其圖象將給出關于時間路徑的重要信息在橫軸上方任意點(dy/dt>0),y必隨時間而遞增,對y軸而言,y必向右移動.同理,橫軸下方的任意點必與向左移動相聯系,dy/dt<0意味著y隨時間而遞減.如果y的均衡水平(跨期意義上的均衡)存在的話,也僅能存在于橫軸上,dy/dt=0(y對時間是穩定的),所以為求得均衡水平,只需要考慮相位線與橫軸的交點.同時,為檢驗均衡的動態穩定性,不管y的初始狀態如何,都應該檢驗相位線在對應交點處是否總指向均衡位置.ABCyOdy/dtyaybycyc’時間路徑的類型一般而言,相位線在其交點處的斜率是決定均衡動態穩定性或者時間路徑收斂性的關鍵.(有限)正斜率,比如在ya點會產生動態不穩定性(有限)負斜率,比如在yb點是動態穩定的對于相位線C尚有待討論,它不是函數圖線,只表示dy/dt和y之間的關系