§5.2實二次型的標(biāo)準(zhǔn)形目錄配方法初等變換法正交變換法二次型與對稱矩陣的規(guī)范形Part1配方法一、標(biāo)準(zhǔn)形定義

如果一個二次型只含變量的平方項,則稱這個二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.定理1

對任何實二次型,必存在非退化的線性變換,使得關(guān)于新變量的二次型

為標(biāo)準(zhǔn)形.定理2

對任意一個對稱矩陣

A,總存在一個可逆(非奇異)矩陣C,使得

為對角矩陣,即任何一個對稱矩陣都與一個對角矩陣合同.01一、標(biāo)準(zhǔn)形將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法：(1)配方法；(2)初等變換法；(3)正交變換法.二、配方法若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量重復(fù)上述過程，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;二、配方法例1

利用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性變換的矩陣.解含有平方項去掉配方后多出來的項二、配方法二、配方法所用變換矩陣為二、配方法2.若二次型中不含有平方項，但是至少有一個則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按步驟1中方法配方.注：每一步所經(jīng)的線性變換都是非退化的。二、配方法解由于所給二次型中無平方項，所以例2

利用配方法化二次型

成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性變換的矩陣.二、配方法再配方，得所用變換矩陣為二、配方法注：向量

x到向量

y的線性變換為,向量

y到向量

z的線性變換為,則向量

x到向量

z的線性變換為.Part2初等變換法一、初等變換法一、初等變換法一、初等變換法即

練習(xí)例3

利用對稱初等變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性變換的矩陣.練習(xí)練習(xí)練習(xí)例4

利用對稱初等變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形.練習(xí)練習(xí)Part3正交變換法一、正交矩陣及其性質(zhì)定義5

設(shè)

C為

n階實矩陣，如果

C滿足則稱

C為正交矩陣.例如，

，

都是正交矩陣.一、正交矩陣及其性質(zhì)定理5

正交矩陣具有如下性質(zhì)：（1）正交矩陣的行列式為1或-1;（2）正交矩陣的轉(zhuǎn)置等于其逆矩陣，即

;（3）若A,B為正交矩陣，則它們的逆矩陣和乘積矩陣AB也是正交矩陣；（4）C是正交矩陣的充要條件是C的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.二、正交變換法定義6

設(shè)

C為

n階正交矩陣，x,y是

n維實向量，則稱線性變換

是

n維實空間

上的正交變換.注：利用正交變換

將實二次型

轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形則等價于實對稱矩陣A求一個正交矩陣C，使得二、正交變換法定理6

對

n階實對稱矩陣

A，有（1）A的特征值都是實數(shù).（2）A的對應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交.定理7

對

n階實對稱矩陣

A，必存在正交矩陣

C，使得其中

為A的特征值，C的

n個列向量是

A的對應(yīng)特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.二、正交變換法歸納以上定理的結(jié)果，用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟如下：（1）由

，求

A的

n個特征值

；（2）對

，由

，求

A關(guān)于

的線性無關(guān)的特征向量；（3）對

重特征值

，用施密特正交化方法，將

t個線性無關(guān)的特征向量正交化；（4）將

A的

n個正交的特征向量單位化，再以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣

C，并寫出相應(yīng)的正交變換

和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.練習(xí)例5

利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并指出對應(yīng)的線性變換.練習(xí)練習(xí)練習(xí)Part4二次型與對稱矩陣的規(guī)范形一、二次型與對稱矩陣的規(guī)范形定義7

若二次型

的標(biāo)準(zhǔn)形

的系數(shù)

只在1,-1,0三個數(shù)中取值，則稱

為此二次型的規(guī)范形.定理8(慣性定理)

對任意實二次型

，必存在非退化的線性變換

化二次型為規(guī)范形.一個二次型的規(guī)范形是唯一的.一、二次型與對稱矩陣的規(guī)范形注：在二次型的規(guī)范形中，系數(shù)為正的平方項的個數(shù)

p與化二次型為規(guī)范形時所用的非退化線性變換無關(guān)，它是由二次型唯一確定的。同樣，系數(shù)為非零的平方項的個數(shù)

r和系數(shù)為負(fù)的平方項的個數(shù)

r-p也是由二次型唯一確定的，且

r=R(A).定義8實二次型

的規(guī)范形中系數(shù)為正的平方項的個數(shù)

p稱為二次型的正慣性指數(shù)；系數(shù)為負(fù)的平方項的個數(shù)

r-p稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù)；其中r是二次型

的秩.一、二次型與對稱矩陣的規(guī)范形推論1

任何實對稱矩陣A都合同于對角矩陣其中

，p為與矩陣A對應(yīng)的二次型的正慣性指數(shù).推論2

如果

與

都是n個變量的實二次型，它們有相同的秩與正慣性指數(shù)，則必有非退化的線性變換

，使得

，反之也成立.注：任意合同的實對稱矩陣，具有相同的規(guī)范形.練習(xí)例6

化二次型成規(guī)范形，并求所用的非退化線性變換矩陣C.解

由于在二次型

f中不含有平方項，含有乘積項

，故令代入到原二次型

中得一、二次型與對稱矩陣的規(guī)范形再配方，得令

即

就可以把原二次型化成規(guī)范形

，所用的變換矩陣為：