福建省廈門市廈門三中高三階段訓練

理科數學

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁，第n卷3至4

頁。滿分150分。考試用時120分鐘。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（共60分）.

注意事項：

1.答第I卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將姓名、座號、準考證號填寫在答題卡

規定的位置。一

2.第I卷共2頁。答題時，考生須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。在試卷上作答無效。

參考公式：

球的表面積公式：S=47tR2,其中R是球的半徑；

圓錐的側面積公式：S=nrl,其中,為圓錐底面半徑，/為圓錐母線長。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

2

（D在復平面內，復數「對應的點所在象限是

1+z

（A）-（B）二（C）三（D）四

⑵若集合4={1,加},8{2,4},則"加=2"是"4。8={4}"的

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

⑶設尸是雙曲線￡逐心"右支上一點'其一條漸近線方程是31y分

別是雙曲線的左、右焦點,若坐1=8,則IP里等于

(A)4(B)12(C)4或12(D)2或14

(4)a=J2xdx,2e.vf/x,c=f2sinxdx,piija>b、c大小關系是

ooo

(A)a<c<h(B)a<b<c(c)c<b<a(Q)c<a<b

（5）某校園有一橢圓型花壇，分成如圖四塊種花，現有4種不同顏色的花

可供選擇，要求每塊地只能種一種顏色，且有公共邊界的兩塊不能種

同一種顏色，則不同的種植方法共有

（A）48種（B）36種?30種（D）24種

（6）某企業三月中旬生產A、B、C三種產品共3000件，根據分層抽樣的結

果，企業統計員制伍了如下的統計表格。由于不小心，表格中A、C產

品的有關數據己被污染看不清楚，統計員記得A產品的樣本容量比C

第-1-頁共10頁

產品的樣本容量多10件，根據以上信息，可得C產品的數量是

產品類別ABC

產品數量(件)1300

樣本容量(件)1300

(A)900件(B)800件(C)90件(D)80件

⑺已知直線/，〃?,平面a、B,且/，。，機匚瓦給出下列四個命題：

①若a〃P，則/_Lm;②若/1m,則。〃0；③若a10,則〃/如④若〃/〃?，則aJ.J3;

其中真命題是

(A)①②⑻①③(C)①④(D)②④

(8)設。為函數y=sinx+JTcosx(xeR)的最大值，則二項式(。石一十乃的展開式中含

(11)定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)=-/(x)J(x-2)=/(x+2),且xe(-1,0)時,

小)=2々,則川叫20)=

4,4

(A)l(B)j(0-1(D)-j

(12)從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其而積的取值范圍是

[3從,4仇],則這一橢圓離心率e的取值范圍是

第n卷(共90分)

注意事項:

第-2-頁共10頁

第I【卷共2頁。考生必須使用0.5毫米黑色簽字筆在指定答題區域內作答，填空題請直

接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

(13)按如圖所示的程序框圖運行程序后，輸出的結果是63,則判斷框中的整數H的值是

卜+y—320,

(14)若滿耳》一丁+120,設〉=H,則無的取值范圍是

(3x-y-5<0,

(15)在AA8C中，三個內角A,所對的邊分別是a1,c,已知

c=2,C=g,A4BC的面積等于JI則a+b=

(16)給出下列四個命題：

①命題"VxeR,無2>0"的否定是"lveR,x2<0"；

②線性相關系數，的絕對值越接近于1,表明兩個隨機變量線性相關性越強;

1兀

③若€[0,1],則不等式42+從<z成立的概率是彳；

④函數IIX—11-1X+1IK。恒成立，則實數。的取值范圍是[2,+8)。

其中真命題的序號是。(填上所有真命題的序號)

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

(17)(本小題滿分12分)

若函數/(x)=sin2ax-"sinaxcosax(a>())的圖象與直線>=機相切，相鄰切點之

71

間的距離為了。

(I)求機的值；

n

(II)若點A(x,y)是y=/(x)圖象的對稱中心，且x求點A的坐標。

ooo2

(18)(本小題滿分12分)

第-3-頁共10頁

亞冠聯賽，山東魯能、廣島三箭、阿德萊德聯、浦項制鐵分在同一組進行循環賽，已知規

則為每輪勝得3分，平得1分，負得0分。第一輪在2月24日的比賽中，山東魯能客場1:0

戰勝廣島三箭；第二輪主場對陣阿德萊德聯；第三輪客場對陣浦項制鐵。若山東魯能主場勝的

21

概率為負的概率為五，客場勝、平、負是等可能的。假定各場比賽相

互之間不受影響。在前三輪中求：也

(I)山東魯能兩勝一平的概率；

(H)山東魯能積分的數學期望。

(19)(本小題滿分12分):/\、、\

直四棱柱ABCD-ABCD^中，底面ABCD為菱形，且幺二二二二

,D=60，M=gE為叩延長線上的一點，。一面。產。"

(I)求二面角E-AC一2的大小；

(II)在一上是否存在一點P,使竹/面4C?若存在,求。戶PE的值，不存在,

說明理由。

(20)(本小題滿分12分)

已知數列數｝的前〃項和為S,且(。-1)5=a(a-l)(a>0)(neN?)o

nnnn

(I)求證數列僅｝是等比數列，并求。；

nn

(H)已知集合4=*|x2+a<(a+l)x｝,問是否存在實數a,使得對于任意的〃eN*,都

有SeA?若存在，求出。的取值范圍；若不存在，說明理由。

n

(21)(本小題滿分12分)

已知拋物線C的方程是y=?x2(a〉0),圓C的方程是

I2

G+()，+1)2=5,直線/:y=2久+皿"<0)是C,C的公切

12

線，F是C的焦點.

1

(I)求機與a的值；

(H)設A是拋物線C上的一動點，以A為切點作C的

1I

第-4-頁共10頁

切線交y軸于點6,若而=,則點”在一定直線上，試證明之。

(22)(本小題滿分14分)

己知/(x)-Inx-ax2-hx。

(1)若。=-1,函數/(X)在其定義域內是增函數，求匕的取值范圍；

(H)當。=1力=-1時，證明函數/(x)只有一個零點；

(HI)/。)的圖象與％軸交于A(x,O),8(x,0)(x<x)兩點A8中點為C(x,0),求證:

12120

r(x)<o0

0

高三階段訓練

理科數學參考答案及評分標準

一、選擇題(每小題5分，共60分)

DAADABCCCBCD

二、填空題(每小題4分，共16分)

I?

(13)5；(14)[-,2];.(15)4；(16)②④

三、(17)解：(I)f(-^)-sin^ax-sinaxcosax

1-coslaxJT.八.小九、1

=--------------———sin2ax=-sm(2ax+—)+—,.....................................................3分

2262

13

由題意知，機為/(x)的最大值或最小值，所以機=一]或m=].................................6分

7T

(II)由題設知，函數/(X)的周期為,，???。=2............................................................8

分

/./(x)=-sin(4x+±)+—令sin(4x+2)=0,得41+三=無冗/eZ)

6266

=—A(keZ),由0W?—(v］伏eZ),得左=1或攵=2

第-5-頁共10頁

“,5K1Jin1

因此點A的坐標為(2^-,—)或12

分

(18)解：(I)記山東魯能兩勝一平的事件為A,由于第一輪已經取勝，則事件A包含第二輪

主場勝，第三輪客場平：或第二輪主場平，第三輪客場勝，

21112111

從而P(A)=X十—?X—―+_,5分

334391236

II

所以山東魯能兩勝一平的概率為后,6分

(H)(法一)記山東魯能在第二輪得分為隨機變量X,

X310

則X的取值為3、1、0

由已知得X的分布列為：P211

21193412

EX=3x—+lx_+0x——=—..........Q分

34124”

14

.第三輪得分為隨機變量丫，因勝、負、平概率相等，故Ey=(3+i+o)xm=§....11分

19479

所以前二三輪山東魯能積分的數學期望為3+1+]=五..........................12分

(法二)記山東魯能在第二輪和第三輪得分為隨饑變量X,則X的取值為

6、4、3、2、1、0

212121111I11

P(X=6)=_x_=_,P(X=4)=—,P(X=3)=_x_+_x_=_，尸(X=2)=_x_=_

339363312344312

所以前三輪山東魯能積分的數學期望為五+3=—

(19)解：(I)設AC與BO交于°,如圖所示建立空間直角坐標系0-X”,設月AB=2,

第-6-頁共10頁

則A(3,0,0),8(0,1,0),C(—4,0,0),r>(0,-l,0),D(0-1,2),設E(o,l,2+/O,

則DE=(0,2,h),CA=(273,0,0),￡>/=(5/3,1,-2),

OE_L平面OAC,:.DEA.AC,DE1DA,

11111

/.2-2/i=0,/z=1,gpE(0,1,3)...............3分

?=(0,2,1),通=(-/1,3)

設平面EAC的法向量為而=(x,y,z)..............5分

m±CA,(x=0

則由_得《L

,m±AE,-x/Jx+y+3z=0

?，?平面E4C的一■個法向量為加=(0,3,—1)

m-DE_yjl

又平面DAC的法向量為力后=(0,2,1),cos<m,DE>^

\11\m\\DE\~~

1

二面角E-AC-R大小為45.............................................7分

(H)設。庵以(平一?),得？戶=占。產=(。,備，占),

??￥=W+7=(-V3,-i,o)+(o,2L,2_)=3W,金)

10分

一LX-lX、3

?,APH面EAC,.'.API.in,.".—y/3x0+3x——+(―1)x----=0,;.A,=—,

111+X1+X2

存在點P使APH面EAC,此時DP:PE^3:2..............................12分

11

(20)解：(1)當〃=1時，v(a-l)5=a(a=a(a>0)..................1分

111

2時，由(。-1)S=a(a-l)(a>0),得(〃-1)S=a(a-1)

nnn-1n-\

(a-l)o=a(a-a),變形得：—?-=a(?>2)............................4分

nnn-1Q

n-1

故伍}是以。=。為首項，公比為。的等比數列，=*......................6分

n1n

(H)(1)當a=l時，A={1},S=〃，只有"=1時SeA,

nn

第-7-頁共10頁

，。=1不適合題意.........................................7分

(2)。〉1時,A={xl1V尤<a},S=a+a2>a,.\SeA,

22

即當a>1時，不存在滿足條件的實數a..............................................................................9分

(3)當0<。<1時，A={x\a<x<l}

ca八、r〃、

而S=Q+Q2+???+〃”=---------(l—an)G[a,-------)

〃1—al-a

ro<a<i,1

因此對任意的〃wN*,要使SEA,只神a解得彳..................11分

"[41,2

i\-a

綜上得實數。的范圍是(0，；]............................................................................12分

(21)解：(I)由己知，圓C的圓心為C(0,1),半徑r=

22

.個/八、_,|1+加1

由題設圓心到直/：y=2x+m(m<0)的距離d=、，一

g+J1)2

\\+tn\層v

即,==J5,解得“=-6(m=4A舍去).................................3分

-2+(-1)2

設/與拋物線相切的切點為A(x,y),又y'=2ax,得2ax=2,:.x=-,y=一

000oOQOQ

121

代入直線方程，得一=一=—6,.二a二2.............................6分

aao

，1

所以加二—6,tz=<-

o

(n)由(I)知拋物線c的方程為y=!冗2,焦點F(0,m

i62

設4(x，!心)，由.(i)知以A為切點的切線方程為y=(%-x)+1x2......................8分

1o1311bl

令x=0,得點B的坐標為(0,-!心)

6?

所以F/4=(X光2—力，戶=(0,——彳)...................................10分

1612612

第-8-頁共10頁

____3_3

，FM-FA+FB-(x^,-3),因F(0,—),設M(x,y),:.FM=(x,y--)=(x,-3)

33

.??>=一］,即加點在定直線y=-］上.........................................12分

(22)解：(I)依題意:f(x)=lnx+x2-bx

1/f(x)在(0,+8)上遞增，：./'")='+2x-人20對xe(0,+Q0)恒成立

X

即bd+2x對xe(0,+oo)恒成立，，只需〃<(』+2幻......................2分

XXmin

X>Q,：.L+2X>2JI當且僅當x=4時取"=b<272,

x2

?.2的取值范圍為(-00,26...........................................4分

(II)當。=16=T時，fM=\nx-x2+x,其定義域是(0,+℃),

12x2—x—1(X—1)(2x+1)

r(x)=一一2x+1=---------=--——------,...........................6分

XXX

：.?x>0,r.0<x<1時，/'(X)>0;當x>l時，f'(x)<0

函數/(x)在區間(0/)上單調遞增，在區間(L+S)上單調遞減

???當X=1時，函數/(X)取得最大值，其值為/(1)=1111-12+1=0

當XH1時,/(》)</(1),即/(幻<0

???函數/(X)只有一個零點................................